Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ Phương pháp đặt ẩn phụ giải PT, bất phương trình chứa căn

Để giải phương trình chứa căn (phương trình vô tỉ) thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những cách hiệu quả để đưa một phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn phức tạp về các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn cơ bản.

Các phương pháp giải PT, BPT chứa căn khác là:

• Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn
• Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích
• Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến) giải phương trình, bất phương trình vô tỉ gồm có 4 dạng:

• Đưa về phương trình một ẩn.
• Đưa về phương trình đẳng cấp (phương trình thuần nhất).
• Đưa về phương trình tích (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn).
• Đưa về hệ phương trình.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới

Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+9}+\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}=7$$ Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}$, điều kiện $t \ge 0$ ta thu được phương trình \[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{\sqrt {{t^2} + 7} + t = 7}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
7 – t \ge 0\\
{t^2} + 7 = {(7 – t)^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
t \le 7\\
{t^2} + 7 = 49 – 14t + {t^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{t = 3}
\end{array}\] Với $ t=3, $ ta có phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 2x + 2} = 3\]Bình phương hai vế phương trình này, tìm được nghiệm $ x=\frac{{1 \pm\sqrt {22} }}{3}.$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $$\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$$ Hướng dẫn. Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với \[ {{x}^{2}}+5x+4<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28} \] Lúc này đã thấy xuất hiện một biểu thức phức tạp và xuất hiện nhiều lần. Do đó, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$ điều kiện $ t\ge0 $ thì thu được bất phương trình \[ {{t}^{2}}-5t+24<0 \] Giải bất phương trình này được $-3<t<8$. Kết hợp điều kiện được $0<t<8$, do đó có $$\sqrt {{x^2} + 5x + 28} < 8 $$ Giải bất phương trình này tìm được $ – 9 < x < 4. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}+\sqrt{(x+2)(5-x)}=4$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-2\le x\le 5$. Đặt $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}$ điều kiện $ t\ge0. $ Suy ra \[ {{t}^{2}}=7+2\sqrt{x+2}\sqrt{5-x}=7+2\sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)} \] Do đó $ \sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)}=\dfrac{{{t}^{2}}-7}{2} $ và ta thu được phương trình \[ t + \frac{{{t^2} – 7}}{2} = 4 \] Giải phương trình bậc hai này tìm được $ t=3 $. Suy ra, ta có phương trình \[{\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 – x} = 3}\] Hai vế của phương trình này đều không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình tương đương \[\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{7 + 2\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 9}\\
\Leftrightarrow &{\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 1}
\end{array}\]Tiếp tục bình phương hai vế phương trình cuối cùng này ta tìm được đáp số $x={\frac{{3 \pm3\sqrt 5 }}{2}}$

Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=2$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 1$. Nhận xét: $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$ nên đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ thì phương trình đã cho trở thành $$t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t=1$$ Với $t=1$, chúng ta có phương trình $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$. Bình phương hai vế phương trình này ta tìm được đáp số cuối cùng $x=1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình: $$2{{x}^{2}}-6x-1=\sqrt{4x+5}$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\ge -\frac{4}{5}$. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{4x+5}$ điều kiện $ t\ge 0 $ thì $x=\frac{{{t}^{2}}-5}{4}$. Thay vào ta có phương trình: \begin{align*}
& 2.\frac{{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+25}{16}-\frac{6}{4}({{t}^{2}}-5)-1=t\\
\Leftrightarrow\;& {{t}^{4}}-22{{t}^{2}}-8t+27=0\\
\Leftrightarrow\;& ({{t}^{2}}+2t-7)({{t}^{2}}-2t-11)=0
\end{align*} Ta tìm được bốn nghiệm là: ${{t}_{1,2}}=-1\pm 2\sqrt{2}$, ${{t}_{3,4}}=1\pm 2\sqrt{3}$. Kết hợp điều kiện được ${{t}_{1}}=-1+2\sqrt{2},{{t}_{3}}=1+2\sqrt{3}$. Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là $x=1-\sqrt{2}$ và $x=2+\sqrt{3}$.

Ví dụ 6. Giải phương trình $$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $1\le x\le 6$. Đặt $y=\sqrt{x-1}$ điều kiện $y\ge 0$ thì phương trình trở thành: $${{y}^{2}}+\sqrt{y+5}=5\Leftrightarrow {{y}^{4}}-10{{y}^{2}}-y+20=0$$ Với $y\le \sqrt{5}$ thì phương trình tương đương với $$({{y}^{2}}+y-4)({{y}^{2}}-y-5)=0\Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{21}}{2},y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$ Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=\frac{11-\sqrt{17}}{2}$.

Ví dụ 7. [THTT 3-2005] Giải phương trình $$x=\left( 2004+\sqrt{x} \right){{\left( 1-\sqrt{1-\sqrt{x}} \right)}^{2}}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $0\le x\le 1$. Đặt $y=\sqrt{1-\sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành $$2{{\left( 1-y \right)}^{2}}\left( {{y}^{2}}+y-1002 \right)=0\Leftrightarrow y=1$$ Từ đó tìm được nghiệm $ x=0. $

Ví dụ 8. Giải phương trình sau: $${{x}^{2}}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-1\le x<0$. Chia cả hai vế cho $ x $ ta được phương trình $$x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}$$ Đặt $t=x-\frac{1}{x}$. Đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5} }{2}.$

Ví dụ 9. Giải phương trình $${{x}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}=2x+1$$ Hướng dẫn. Nhận xét $x=0$ không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho $ x $ ta được: $$\left( x-\frac{1}{x} \right)+\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=2$$ Đặt $t=\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}$ thu được phương trình $${{t}^{3}}+t-2=0$$ Giải phương trình này, tìm được $t=1$. Từ đó tìm được đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.

Ví dụ 10. Giải bất phương trình \[ \frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1 \] Hướng dẫn. Biến đổi bất phương trình đã cho thành \begin{align*}
&\frac{1}{1-x^2}-1>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-2 \\
\Leftrightarrow\;& \frac{x^2}{1-x^2}>3\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-2
\end{align*} Đặt $ t= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \[{{t^2} > 3t – 2}\]

Ví dụ 11. Tìm $ m $ để phương trình sau có nghiệm: $$ x(x-1)+4(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}=m $$ Hướng dẫn. Đặt $t=(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}$ thì $t\in \mathbb{R}$. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ${{t}^{2}}+4t-m=0$ có nghiệm. Điều kiện cần và đủ là \[ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow m\ge -4 \] Vậy với $ m\ge -4 $ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $ m $ để bất phương trình $$ m\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1 \right)+x(2-x)\le 0 $$ có nghiệm $x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]$.

Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}$ thì $x\in [0;1+\sqrt{3}] $ nên $ t\in[1;2]. $ Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với $$ m\le \frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}\,\,\,\,(*)$$ Xét hàm số $f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}$ trên $ [1,2] $ có $$f'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t+2}{{{(t+1)}^{2}}}>0$$ nên hàm số $ f(t) $ đồng biến trên đoạn $ [1,2]$

Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm $x\in \left[ 0;\,\,1+\sqrt{3} \right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $(*)$ có nghiệm $t\in [1,2]$ khi và chỉ khi $$m\le\underset{t\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max f(t)}}=f(2)=\frac{2}{3}$$ Vậy các giá trị cần tìm là $m\le\frac{2}{3}.$

3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất

Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc hai hai ẩn \( x,y \) là phương trình có dạng $$ ax^2+bxy+cy^2=0 $$ Cách giải. Chúng ta có hai cách để xử lý phương trình thuần nhất bậc hai này:

• Nếu $y=0$ thì $x=0$. Nếu $y\ne0$ ta chia cả hai vế cho $y^{2}$ và đặt $t=\frac{x}{y}$ được phương trình bậc hai $$at^{2}+bt+c=0$$
• Nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm $M,N$ thì ta phân tích ngay phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
  \,\,\,\,\,\,\,a{x^2} + bxy + c{y^2} = 0\\
  \Leftrightarrow a(x – My)(x – Ny)
  \end{array}\] mà không cần phải đặt $t=\frac{x}{y}$.

Ví dụ 1. [Vào 10 Trần Phú – Hải Phòng] Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x^3+1\ge0 \Leftrightarrow x\ge -1. $ Ta có $ x^3=1=(x+1)(x^2-x+1) $ mà $ (x+1)+(x^2-x+1)=x^2+2 $ tức là giữa căn thức và biểu thức còn lại có sự liên quan nhất định. Ta khai thác như thế nào?

Viết lại phương trình đã cho thành \begin{align*}
& 5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((x+1)+(x^2-x+1))\\
\Leftrightarrow \;&5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((\sqrt{x+1})^2+(\sqrt{x^2-x+1})^2)
\end{align*} Đặt $ a=\sqrt{x+1} $ và $ b=\sqrt{x^2-x+1} $ thì ta được phương trình $$ 5ab=2a^2+2b^2 $$ Phân tích đa thức thành nhân tử được $$2(a-2b)(a-\frac{1}{2}b)=0$$ Từ đó tìm được $a=2b $ hoặc $a=\frac{1}{2}b. $ Đáp số $ x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8} $$ Hướng dẫn. Đáp số $ x=3\pm\sqrt{13}. $

Ví dụ 3. Giải phương trình: $$2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}$$ Hướng dẫn. Đặt $u=\sqrt{x+1},v=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ thì phương trình trở thành: $$2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)=5uv\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u=2v \\
u=\frac{1}{2}v
\end{array} \right.$$
Tìm được đáp số $x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2\sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4} $$ Hướng dẫn. Khi giải phương trình này, việc đầu tiên là tôi thử bình phương! Được một phương trình bậc 6, thử nhóm các kiểu, loay hoay một lúc mà không được. Tôi quay lại phương trình ban đầu, quan sát biểu thức $ x^6+5x^4+8x^2+4 $ tôi thấy có mũ 6, mũ 4 và mũ 2, toàn là lũy thừa chẵn. Tôi thử tách và thành công \begin{align*}
x^6+5x^4+8x^2+4&=(x^6+x^4)+4(x^4+2x^2+1)\\
&=(x^2+1)(x^4+4x^2+4)
\end{align*} Quan sát biểu thức dưới căn ở vế trái, dễ dàng nhóm thành $ (x^2+1)(x^3+1) $. Do đó, phương trình ban đầu trở thành \[ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2) \] đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ u=x+1,v=x^2-x+1. $

Ví dụ 5. Giải bất phương trình  $$2{x^3} \le (1 + 2x – 3{x^2})\sqrt {2x + 1}$$ Hướng dẫn. Đặt $y=\sqrt{2x+1}$ điều kiện $ y\ge 0 $ thì $ {{y}^{2}}=2x+1 $ và do đó, bất phương trình đã cho trở thành: $$
2{{x}^{3}}\le \left( {{y}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)y\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}\le 0\,\,\,(*)
$$ Ta xét hai trường hợp:

• $ y=0 $ tìm được nghiệm $ x=-\frac{1}{2}. $
• $ y>0 $, chia cả hai vế bất phương trình $ (*) $ cho $ y^3 $ được \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {}&{2{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^3} + 3{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} – 1 \le 0}\\
  \Leftrightarrow &{\left( {2\frac{x}{y} – 1} \right){{\left( {\frac{x}{y} + 1} \right)}^2} \le 0}\\
  \Leftrightarrow &{\frac{x}{y} \le \frac{1}{2}}\\
  \Leftrightarrow &{y \ge 2x}
  \end{array}\]Do đó, ta được
  $\sqrt {2x + 1} \ge 2x \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l}
  \left\{ \begin{array}{l}
  x \le 0\\
  2x + 1 \ge 0
  \end{array} \right.\\
  \left\{ \begin{array}{l}
  x > 0\\
  2x + 1 \ge 4{x^2}
  \end{array} \right.
  \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  – \frac{1}{2} \le x \le 0\\
  0 < x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}
  \end{array} \right.$

Kết hợp hai trường hợp, được tập nghiệm là $S=\left[ -\frac{1}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$.

4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích

Đôi khi, phương pháp này còn được gọi là Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn. Chúng tôi sẽ có một bài viết chi tiết hơn về phương pháp này. Mời Quý thầy cô và các em học sinh đón xem.

Ví dụ 1. [HSG 9 Thừa Thiên Huế 2003] Giải phương trình $$ x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1} $$ Hướng dẫn. Đặt $ t=\sqrt{x^2+1} $ thì phương trình trở thành $ t^2-(x+3)t+3x=0 $ là phương trình bậc hai đối với ẩn $ t. $

Ta có $ \Delta=(x-3)^2\ge 0 \; \forall x$ do đó \[ \left[\begin{array}{l}
t=x\\ t=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\sqrt{x^2+1}=x\\ \sqrt{x^2+x}=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\pm 2\sqrt{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1.$$ Hướng dẫn. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn $ t=\sqrt{x^2+2x-1} $ đưa về phương trình bậc hai theo $ t. $

Đáp số $ x=-1\pm \sqrt{6}. $

Cách khác: Các em có thể phân tích trực tiếp phương trình đã cho thành $ (x-1)^2-2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}-2=0 $

Ví dụ 3. [HSG Vĩnh Long 2012] Giải phương trình: $$4\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1+5x+4{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$$ Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ điều kiện $t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ thì phương trình $ (\ref{ap1}) $ trở thành: \begin{align*}
&4t=-{{t}^{4}}+7{{t}^{2}}-5\\
\Leftrightarrow \;&{{t}^{4}}-6{{t}^{2}}+9-\left( {{t}^{2}}-4t+4 \right)=0 \\
\Leftrightarrow \;&{{\left( {{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}-{{\left( t-2 \right)}^{2}}=0\\
\Leftrightarrow \;&\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t-5 \right)=0
\end{align*} Tìm được $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$. Từ đó tìm được hai nghiệm là $ x=\frac{-1-\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$ và $x=\frac{-1+\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$.

5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình $$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\le \frac{6}{5}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u=\sqrt[3]{3x-2} \\
v=\sqrt{6-5x}
\end{array} \right. $ thì chúng ta có $ \left\{ \begin{array}{l}
{{u}^{3}}=3x-2 \\
{{v}^{2}}=6-5x
\end{array} \right.$

Do đó, ta có hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
2u+3v=8 \\
5{{u}^{3}}+3{{v}^{2}}=8 \end{array} \right.$$ Giải hệ này ta được $\left\{ \begin{array}{l} u=-2 \\
v=4 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x-2=-2 \\
6-5x=16 \end{array} \right.\Rightarrow x=-2$.

Thử lại, thấy $x=-2$ là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=-2$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $$2\text{x}+1+x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}+3}=0 $$ Hướng dẫn. Đặt $\begin{cases}
u=\sqrt{{{x}^{2}}+2} \\
v=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}
\end{cases}
$ điều kiện $ u,v>0 $ thì $$
\begin{cases}
{{u}^{2}}={{x}^{2}}+2 \\
{{v}^{2}}={{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
{{v}^{2}}-{{u}^{2}}=2x+1 \\
{{x}^{2}}=\frac{{{v}^{2}}-{{u}^{2}}-1}{2} \\
\end{cases}$$ Thay vào phương trình đã cho được $$(v-u)\left( (v-u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
v-u=0\\
(v+u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2}=0\\
\end{array} \right.$$ Vì $ u,v>0 $ nên suy ra $ u=v. $

Vậy phương trình đã cho  tương đương với $$  v=u\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} $$