Tag: giao tuyến

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian

Nhờ việc sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt trong không gian hoặc đồng quy, hoặc đôi một so sánh nên trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta có thể làm như sau:
- Tìm giao điểm I của hai trong ba đường thẳng đã cho, chẳng hạn a và b;
- Giả sử c là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) nào đó lần lượt chứa đường thẳng a và đường thẳng b;
- Chứng minh rằng I là điểm chung của (α) và (β), tức là I phải thuộc vào giao tuyến c;
- Kết luận: a, b, c đồng quy tại O.
Xem thêm Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh rằng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

Lời giải

Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD

Lại có I ∈ MP ⊂ (ABD) và I ∈ NQ ⊂ (BCD) nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Nói cách khác, I thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Do đó, I ∈ BD hay ba đường thẳng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD mặt phẳng(P) không chứa AB và CD cắt các cạnh AC, BC, AD lần lượt tại M, N, R, S.
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, MN, RS đồng qui.
2. Chứng minh 3 đường thẳng CD, MS, NR đồng qui
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. Các điểm P và S lần lượt thuộc AD, AC sao cho AR= AD:3 ; AS= AC:3. CMR ba đường thẳng AB, MS, NR đồng qui.

Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng qui.
16/01/2022
Phương pháp tìm thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm
Phương pháp tìm thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm

Khi mà học sinh chưa được học về quan hệ song song trong không gian thì bài toán xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng khá hạn chế. Lúc đó, để giải quyết các bài toán mà đáy là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật… chúng ta phải sử dụng đến phương pháp phép chiếu xuyên tâm (còn được gọi là Phương pháp đường gióng – đường dóng).

Xem thêm:
- Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
- Xác định thiết diện sử dụng quan hệ vuông góc trong không gian
1. Phép chiếu xuyên tâm là gì?

Phép chiếu xuyên tâm (còn được gọi là phép phối cảnh, tiếng Anh: inner projection) được giới thiệu ngay từ lớp 8, trong chương trình công nghệ – vẽ kỹ thuật.

Trong không gian, cho một điểm S và một mặt phẳng (P) không đi qua S. Quy tắc biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M’ là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng SM được gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm S) xuống mặt phẳng (P).
- Trong phép chiếu này, các điểm M nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua S và song song với (P) thì không có ảnh. Trong chương trình vẽ kỹ thuật, để cho mọi điểm trong không gian đều có ảnh, người ta bổ sung cho (P) một đường thẳng ở vô tận, coi như giao của (P) và (Q).
- Nếu ta hạn chế chỉ xét phép chiếu trên một mặt (R) nào đó trong không gian thì phép chiếu xuyên tâm nói trên gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm S) từ mặt (R) xuống mặt phẳng (P).
- Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép.
2. Các ví dụ xác định thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm

Bài toán. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

Phương pháp phép chiếu xuyên tâm (Inner Projection Method)
- Chọn một tam giác trên mặt phẳng $(\alpha)$, gọi là tam giác cơ sở và xác định hình chiếu của tam giác cơ sở đó lên mặt đáy qua phép chiếu xuyên tâm với tâm là đỉnh của hình chóp.
- Xác định các giao điểm của tam giác hình chiếu với các cạnh, đường chéo của đáy.
- Dựa vào quan hệ liên thuộc, tìm các điểm trên mặt phẳng $(\alpha)$ tương ứng với các điểm ở dưới mặt đáy.
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ C’ $ là một điểm trên cạnh $ SC. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABC’). $

Hướng dẫn.
- Rõ ràng vì đáy là một tứ giác bất kỳ, nên có nhiều khả năng kéo dài các cạnh đáy chúng sẽ không thể cắt nhau. Do đó ta không thể sử dụng phương pháp giao tuyến gốc.
- Trong mặt phẳng $(ABC’)$, ta chọn một tam giác làm tam giác cơ sở, chính là tam giác $ABC’$ luôn. Ta tìm ảnh của nó qua phép chiếu xuyên tâm $S$ lên mặt phẳng đáy, chính là tam giác $ABC$.
- Tiếp theo, ta xác định giao điểm của tam giác $ABC$ này với các cạnh và đường chéo của đáy. Ta tìm thấy $ O$ là giao điểm của $AC$ và $BD $.
  Lưu ý rằng, điểm $O$ trên mặt phẳng đáy, mà $ O$ thuộc vào cạnh $ AC$, cạnh $ AC$ lại là ảnh của cạnh $ AC’$ qua phép chiếu. Điều này chứng tỏ phải có một điểm nào đó (tạm đặt tên là $ I$), mà qua phép chiếu thì tạo thành điểm $ O$. Mục đích của ta là đi tìm điểm $ I$ này.
- Trong mặt phẳng $ (SAC) $ giao điểm của $SO$ và $AC’ $ chính là điểm $I$ nói trên. Lúc này, mặt phẳng $ (ABC,)$ xuất hiện một đường thẳng mới là đường thẳng $ BI$, mà đường thẳng này có thể cắt được $ SD.$
- Trong mặt phẳng $ (SBD) $ gọi $ D’$ là giao điểm của $BI$ và $ SD. $
- Dễ dàng chỉ ra thiết diện cần tìm là tứ giác $ ABC’D’. $
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có ba điểm $ M,N,P $ lần lượt thuộc $ SA,SB,SC. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (MNP). $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M $ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ SCD. $ Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM). $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành và $ M $ là trung điểm $ SB. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (AMD). $

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M $ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ SCD. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM). $
Hướng dẫn.
Trong mặt phẳng $ (SCD) $ gọi $ E=SM\cap CD, $ trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ F=AC\cap BE, $ trong mặt phẳng $ (SBE) $ gọi $ I=BM\cap SF, $ trong mặt phẳng $ (SAC) $ gọi $ N=AI\cap SC, $ trong mặt phẳng $ (SCD) $ gọi $ H=MN\cap SD. $ Thiết diện là tứ giác $ ABNH. $

3. Bài tập tìm thiết diện sử dụng phép chiếu xuyên tâm
06/11/2020
Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian
Chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian

Phương pháp. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng, tức là cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Xem lại Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian

Như vậy, để chứng minh 3 điểm $ A,B,C$ thẳng hàng. Ta chỉ ra ba điểm $ A,B,C$ cùng thuộc hai mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ nào đó. Tức là ta chỉ ra đường thẳng $ AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Sau đó chỉ ra điểm $ C$ cũng thuộc vào giao tuyến này, hay nói cách khác chỉ ra $ C$ cũng là một điểm chung của cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ nằm ngoài mặt phẳng $ (\alpha). $ Giả sử các cạnh $ AB,BC,CA $ kéo dài lần lượt cắt mặt phẳng $(\alpha)$ tại $ D,E,F. $ Chứng minh ba điểm $ D,E,F $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Rõ ràng, ba điểm $ D,E,F $ cùng thuộc hai mặt phẳng $(ABC)$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Nên chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nói cách khác ba điểm $D,E,F$ thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $. Trên các đoạn $ SA, SB, SC $ lần lượt lấy các điểm $ A’,B’,C’ $ sao cho $ A’B’ $ cắt $AB$ tại $ I,A’C’$ cắt $AC$ tại $J,B’C’$ cắt $BC $ tại $ K. $ Chứng minh ba điểm $ I, J, K $ thẳng hàng.

Hướng dẫn.
- Ta có $ I$ là giao điểm của hai đường thẳng $ A’B’$ và $ AB$. Mà $ AB$ nằm trong mặt phẳng $ (ABC)$, $ A’B’$ nằm trong mặt phẳng $(A’B’C’)$, nên suy ra $ I$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$.
- Chứng minh tương tự có $ J,K$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$.
- Suy ra, $ J,J,K$ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$. Mà giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng, suy ra $ I,J,K$ cùng thuộc một đường thẳng. Nói cách khác, ba điểm $ I,J,K$ thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có $ M $ là điểm trên đoạn $ SC $. Tìm giao điểm $ N $ của $ SD $ với mặt phẳng $ (ABM) $. Giả sử $ AB $ cắt $ CD $ tại $ K, $ chứng minh ba điểm $ M, N, K $ thẳng hàng.

Hướng dẫn.
- Trong mặt phẳng $ (ABCD)$, gọi $ O$ là giao điểm của $ AC$ và $ BD$. Trong mặt phẳng $ (SAC)$, gọi $ I$ là giao điểm của $ SO$ và $ AM$. Chỉ ra được $ N$ chính là giao điểm của $ BI$ và $ SD$.
- Chúng ta có $ MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ABM)$ và $ (SCD)$. Mặt khác, $ K$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên suy ra $ K$ phải nằm trên giao tuyến $ MN$. Nói cách khác, ba điểm $ M,N,K$ thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ SC $. Xác định giao điểm $ I,J $ của $ AN,MN $ với mặt phẳng $ (SBD). $ Chứng minh ba điểm $ I , J , B $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ I,J,B $ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ANB) $ và $ (SBD) $.

Ví dụ 5. Cho tứ giác hình chóp $ S.ABCD $ có $ I, J $ là hai điểm trên $ AD,SB $. Giả sử $ AD $ cắt $ BC $ tại $ O, OJ$ cắt $ SC $ tại $ M $. Tìm các giao điểm $ K,L $ của $ IJ,DJ $ và $ (SAC). $ Chứng minh bốn điểm $ A ,K ,L ,M $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Chỉ ra bốn điểm cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (AJO) $.
17/09/2020
Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Hướng dẫn cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Xem thêm
- Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Chúng ta thừa nhận một kết quả sau của hình học không gian:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Tập hợp các điểm chung đó của hai mặt phẳng tạo thành một đường thẳng, được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Do đó, phương pháp chung để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là ta chỉ ra hai điểm chung của chúng, và đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm.

1. Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $, chúng ta xét các khả năng sau:
- Nếu nhìn thấy ngay hai điểm chung $ A $ và $ B $ của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $.
  Kết luận đường thẳng $ AB $ chính là giao tuyến cần tìm.
- Nếu chỉ chỉ tìm được ngay một điểm chung $ S $ của mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $. Lúc này, ta xét ba khả năng:
  - Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $ I $ thì $ SI $ chính là giao tuyến cần tìm.
Đối với các em học sinh lớp 11 đầu năm thì chưa học đến quan hệ song song trong không gian nên sử dụng các kết quả trên là đủ. Sau khi các em học sang phần đường thẳng và mặt phẳng song song, hoặc các em học sinh lớp 12 thì sẽ sử dụng thêm các kết quả sau:
- - Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ song song với nhau thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $ S $ đồng thời song song với cả $ d_1,d_2. $
- - Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $a$ mà $ a$ lại song song với $(\beta) $ thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $ S $ đồng thời song song với đường thẳng $ a. $
Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Một số lưu ý.
- Cho mặt phẳng $ (ABC) $ thì các điểm $ A,B,C $ thuộc mặt phẳng $(ABC);$ các đường thẳng $ AB,AC,BC $ nằm trong mặt phẳng $ (ABC)$, và do đó mọi điểm thuộc những đường thẳng này đều thuộc mặt phẳng $ (ABC). $
- Hai đường thẳng chỉ cắt nhau được nếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng nào đó, nên khi gọi giao điểm của hai đường thẳng ta phải xét trong một mặt phẳng cụ thể.
- Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta chú ý tới tên gọi của chúng.
- Thường phải mở rộng mặt phẳng, tức là kéo dài các đường thẳng trong mặt phẳng đó.
2. Một số ví dụ tìm giao tuyến của 2 mp

Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I $ là trung điểm của $ BD. $ Gọi $ E,F $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD$ và $CBD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $

Hướng dẫn.

Rõ ràng $E$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ nên $E$ phải nằm trên đường thẳng $AI$. Suy ra, điểm $A$ thuộc vào đường thẳng $IE$. Tương tự, có điểm $F$ thuộc vào đường thẳng $CI$.
- Như vậy, chúng ta có: $$ \begin{cases} A\in (ABC)\\ A\in IE \subset (IEF) \end{cases}$$ hay $A$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $
- Tương tự, các em cũng chỉ ra được $C$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC)$ là đường thẳng $AC$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $. Đáy $ABCD$ có $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E$, $AC$ cắt $ BD $ tại $ F. $ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
1. $ (SAB) $ và $(SAC)$,
2. $ (SAB) $ và $ (SCD)$,
3. $(SAD)$ và $(SBC)$,
4. $(SAC) $ và $ (SBD) $,
5. $ (SEF) $ và $ (SAD)$,
Hướng dẫn.
1. Dễ thấy hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $(SAC)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $SA$.
2. Ta thấy ngay $ (SAB) $ và $ (SCD)$ có một điểm chung là $S$. Để tìm điểm chung thứ hai, chúng ta dựa vào đề bài $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E$. Tức là có $$\begin{cases} E\in AB\subset (SAB)\\ E\in CD\subset (SCD) \end{cases}$$. Như vậy $E$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SCD)$.
  Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SCD)$ là đường thẳng $SE$.
3. Tương tự ý 2, các em tìm được giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SF$.
4. Giao tuyến của $(SAC) $ và $ (SBD) $ là đường thẳng $SO$, trong đó $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
5. $ (SEF) $ và $ (SAD)$ chính là đường thẳng $SF$.
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC $. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (ADM) $ và mặt phẳng $ (BCD) $.

Hướng dẫn.

Đầu tiên, chúng ta thấy ngay một điểm chung của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là điểm $D$. Như vậy, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm một điểm chung nữa của hai mặt phẳng này.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $AM$ cắt $BC$ tại $N$. Ta thấy $$\begin{cases} N\in BC \subset (BCD)\\ N\in AM\subset (ADM)\end{cases}$$ nên $N$ chính là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $.

Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là đường thẳng $DN$.

Ví dụ 4. Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng $AB, AC, BD$ lấy lần lượt các điểm $M, N, P$ sao cho $MN$ không song song với $BC$. Tìm giao tuyến của $(BCD)$ và $(MNP)$.

Hướng dẫn.

Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).

Chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.

Khi đó,
- I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)
- I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)
Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Ví dụ 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC$, $N $ thuộc miền trong tam giác $ ABD$. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (BMN) $ và mặt phẳng $ (ACD) $.

Hướng dẫn.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $BM$ cắt $AC$ tại $P$ thì ta có:
- $P\in MB$ mà $MB$ nằm trong mặt phẳng $(BMN)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(BMN)$;
- $P\in AC$ mà $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(ACD)$;
Như vậy, $P$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $.

Tương tự, trong mặt phẳng $(ABD)$ kéo dài $BN$ cắt $AD$ tại $Q$ thì cũng chỉ ra được $Q$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $.

Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $ là đường thẳng $PQ$.

Ví dụ 6. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABD,N $ thuộc miền trong tam giác $ ACD. $ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (AMN) $ và mặt phẳng $ (BCD) $; mặt phẳng $ (DMN) $ và $ (ABC) $.

Hướng dẫn.

Ví dụ 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BC. $ Lấy $ K $ thuộc $ BD $ sao cho $ KD<KB. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IJK) $ và $ (ACD),(IJK) $ và $ (ABD). $

Hướng dẫn.

Ví dụ 8. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AD,BC. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IBC) $ và $ (JAD). $ Gọi $ M,N $ là hai điểm trên cạnh $ AB,AC. $ Xác định giao tuyến của $ (IBC) $ và $ (DMN). $

Hướng dẫn.

Ví dụ 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SC $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (ABCD),(SAB),(SAD)$ và $ (SAC) $.

Hướng dẫn.

Ví dụ 10. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SO $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (SAB),(SAD),(SBC) $ và $ (SCD)$.

Hướng dẫn.
01/06/2020
Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
Thiết diện là gì là một câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi của chương trình lớp 11. Đây là một bài toán gây khó khăn cho rất nhiều em học sinh khi mới bước đầu tiếp xúc với hình học không gian. Bài viết này, O2 Education sẽ giúp các em học sinh trả lời được câu hỏi thế nào là thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng. Đồng thời, chúng tôi xin giới thiệu hai cách xác định thiết diện của hình chóp, đó là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

CHUYÊN ĐỀ THIẾT DIỆN FILE PDF

Mời các em học sinh lớp 11 xem thêm:
1. Thiết diện của một hình là gì?

Định nghĩa: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung nhau của mặt phẳng (P) và hình H. Tìm thiết diện tức là tìm hình dạng mặt cắt này, thường là một đa giác như tam giác, tứ giác… Như trong hình vẽ sau thì thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) chính là ngũ giác MKNPQ (được tô màu xanh lá cây).

Giải đáp chi tiết cho câu hỏi thế nào là thiết diện, mời các em xem trong video sau:

https://www.youtube.com/watch?v=MNIP5U5AfGs

2. Cách để xác định thiết diện làm như thế nào?

Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng, ta có hai phương pháp tìm thiết diện chính là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

Xem thêm: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Nếu bài viết hữu ích, bạn hãy tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Với các bài toán liên quan thiết diện, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản như sau:
- Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P), phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt).
- Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng một trong hai đường thẳng đó.
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.
Các cách xác định mặt phẳng: Biết ba điểm không thẳng hàng; hai đường thẳng cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đường thẳng; hai đường thẳng song song.

Lưu ý.
- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T. Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có.
- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T.
- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T. Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu bài.
Chúng ta cùng thực hành bằng một bài toán sau:

Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. P là điểm trên cạnh SC sao cho SP lớn hơn PC (tức là MP không song song với AC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

https://www.youtube.com/watch?v=y5ljnpx5gc8

Các bài toán liên quan thiết diện thường là: Tính diện tích thiết diện; tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất; thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước.(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).

3. Một số phương pháp tìm thiết diện nhanh nhất

Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng…

Phương pháp giao tuyến gốc.
- Trước tiên, tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (giao tuyến này thường được gọi là giao tuyến gốc).
- Trên mặt phẳng này của T, tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung.
- Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện.
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình bình hành). Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của BC,CD,SA. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

https://www.youtube.com/watch?v=Aag4lMyGRqI

Các ví dụ về phương pháp giao tuyến gốc xin mời xem tại đây

Phương pháp phép chiếu xuyên tâm

Mời thầy cô và các em học sinh xem trong bài viết sau Xác định thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm.
16/04/2020