Giải phương trình \[ \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}=x^2+1. \]
Hướng dẫn. Điều kiện \( x \geqslant \frac{2}{3}. \) Dự đoán nghiệm của phương trình là \( 1 \) nên ta nhân hai vế của phương trình với 2 và thêm bớt \( 4x \) ta được \[2x^2-4x+2 + x-2\sqrt{x}+1 +3x-2 -2\sqrt{3x-2}+1=0 \] \[ \Leftrightarrow 2(x-1)^2 + \left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0 \] Từ đó suy ra \[ (x-1)^2= \left(\sqrt{x}-1\right)^2=\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0 \] và tìm được nghiệm duy nhất \( x=1 \). \end{proof} Cách khác, đặt \( u= \sqrt{x}, v=\sqrt{3x-2} \) ta suy ra \( u+v=x^2+1, u^2=x, v^2=3x-2 \) ta đưa về đánh giá các biểu thức đại số không chứa căn. Cách khác nữa, sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \[ \frac{x +1}{2} \geqslant \sqrt{x}; \frac{3x-2+1}{2} \geqslant \sqrt{3x-2} \] Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta được \[ 2x \geqslant \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}. \] Mà \( \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}=x^2+1 \) nên suy ra \[ 2x \geqslant x^2+1 \Leftrightarrow (x-1)^2 \leqslant 0. \] Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi \( x=1. \)
Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ Phương pháp đặt ẩn phụ giải PT, bất phương trình chứa căn
Để giải phương trình chứa căn (phương trình vô tỉ) thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những cách hiệu quả để đưa một phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn phức tạp về các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn cơ bản.
1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến) giải phương trình, bất phương trình vô tỉ gồm có 4 dạng:
Đưa về phương trình một ẩn.
Đưa về phương trình đẳng cấp (phương trình thuần nhất).
Đưa về phương trình tích (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn).
Đưa về hệ phương trình.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới
Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+9}+\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}=7$$ Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}$, điều kiện $t \ge 0$ ta thu được phương trình \[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{\sqrt {{t^2} + 7} + t = 7}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
7 – t \ge 0\\
{t^2} + 7 = {(7 – t)^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
t \le 7\\
{t^2} + 7 = 49 – 14t + {t^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{t = 3}
\end{array}\] Với $ t=3, $ ta có phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 2x + 2} = 3\]Bình phương hai vế phương trình này, tìm được nghiệm $ x=\frac{{1 \pm\sqrt {22} }}{3}.$
Ví dụ 2. Giải bất phương trình $$\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$$ Hướng dẫn. Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với \[ {{x}^{2}}+5x+4<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28} \] Lúc này đã thấy xuất hiện một biểu thức phức tạp và xuất hiện nhiều lần. Do đó, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$ điều kiện $ t\ge0 $ thì thu được bất phương trình \[ {{t}^{2}}-5t+24<0 \] Giải bất phương trình này được $-3<t<8$. Kết hợp điều kiện được $0<t<8$, do đó có $$\sqrt {{x^2} + 5x + 28} < 8 $$ Giải bất phương trình này tìm được $ – 9 < x < 4. $
Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}+\sqrt{(x+2)(5-x)}=4$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-2\le x\le 5$. Đặt $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}$ điều kiện $ t\ge0. $ Suy ra \[ {{t}^{2}}=7+2\sqrt{x+2}\sqrt{5-x}=7+2\sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)} \] Do đó $ \sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)}=\dfrac{{{t}^{2}}-7}{2} $ và ta thu được phương trình \[ t + \frac{{{t^2} – 7}}{2} = 4 \] Giải phương trình bậc hai này tìm được $ t=3 $. Suy ra, ta có phương trình \[{\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 – x} = 3}\] Hai vế của phương trình này đều không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình tương đương \[\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{7 + 2\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 9}\\
\Leftrightarrow &{\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 1}
\end{array}\]Tiếp tục bình phương hai vế phương trình cuối cùng này ta tìm được đáp số $x={\frac{{3 \pm3\sqrt 5 }}{2}}$
Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=2$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 1$. Nhận xét: $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$ nên đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ thì phương trình đã cho trở thành $$t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t=1$$ Với $t=1$, chúng ta có phương trình $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$. Bình phương hai vế phương trình này ta tìm được đáp số cuối cùng $x=1$.
Ví dụ 5. Giải phương trình: $$2{{x}^{2}}-6x-1=\sqrt{4x+5}$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\ge -\frac{4}{5}$. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{4x+5}$ điều kiện $ t\ge 0 $ thì $x=\frac{{{t}^{2}}-5}{4}$. Thay vào ta có phương trình: \begin{align*}
& 2.\frac{{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+25}{16}-\frac{6}{4}({{t}^{2}}-5)-1=t\\
\Leftrightarrow\;& {{t}^{4}}-22{{t}^{2}}-8t+27=0\\
\Leftrightarrow\;& ({{t}^{2}}+2t-7)({{t}^{2}}-2t-11)=0
\end{align*} Ta tìm được bốn nghiệm là: ${{t}_{1,2}}=-1\pm 2\sqrt{2}$, ${{t}_{3,4}}=1\pm 2\sqrt{3}$. Kết hợp điều kiện được ${{t}_{1}}=-1+2\sqrt{2},{{t}_{3}}=1+2\sqrt{3}$. Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là $x=1-\sqrt{2}$ và $x=2+\sqrt{3}$.
Ví dụ 6. Giải phương trình $$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $1\le x\le 6$. Đặt $y=\sqrt{x-1}$ điều kiện $y\ge 0$ thì phương trình trở thành: $${{y}^{2}}+\sqrt{y+5}=5\Leftrightarrow {{y}^{4}}-10{{y}^{2}}-y+20=0$$ Với $y\le \sqrt{5}$ thì phương trình tương đương với $$({{y}^{2}}+y-4)({{y}^{2}}-y-5)=0\Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{21}}{2},y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$ Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=\frac{11-\sqrt{17}}{2}$.
Ví dụ 7. [THTT 3-2005] Giải phương trình $$x=\left( 2004+\sqrt{x} \right){{\left( 1-\sqrt{1-\sqrt{x}} \right)}^{2}}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $0\le x\le 1$. Đặt $y=\sqrt{1-\sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành $$2{{\left( 1-y \right)}^{2}}\left( {{y}^{2}}+y-1002 \right)=0\Leftrightarrow y=1$$ Từ đó tìm được nghiệm $ x=0. $
Ví dụ 8. Giải phương trình sau: $${{x}^{2}}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-1\le x<0$. Chia cả hai vế cho $ x $ ta được phương trình $$x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}$$ Đặt $t=x-\frac{1}{x}$. Đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5} }{2}.$
Ví dụ 9. Giải phương trình $${{x}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}=2x+1$$ Hướng dẫn. Nhận xét $x=0$ không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho $ x $ ta được: $$\left( x-\frac{1}{x} \right)+\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=2$$ Đặt $t=\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}$ thu được phương trình $${{t}^{3}}+t-2=0$$ Giải phương trình này, tìm được $t=1$. Từ đó tìm được đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.
Ví dụ 10. Giải bất phương trình \[ \frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1 \] Hướng dẫn. Biến đổi bất phương trình đã cho thành \begin{align*}
&\frac{1}{1-x^2}-1>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-2 \\
\Leftrightarrow\;& \frac{x^2}{1-x^2}>3\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-2
\end{align*} Đặt $ t= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \[{{t^2} > 3t – 2}\]
Ví dụ 11. Tìm $ m $ để phương trình sau có nghiệm: $$ x(x-1)+4(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}=m $$ Hướng dẫn. Đặt $t=(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}$ thì $t\in \mathbb{R}$. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ${{t}^{2}}+4t-m=0$ có nghiệm. Điều kiện cần và đủ là \[ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow m\ge -4 \] Vậy với $ m\ge -4 $ thì phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 12. Tìm $ m $ để bất phương trình $$ m\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1 \right)+x(2-x)\le 0 $$ có nghiệm $x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]$.
Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}$ thì $x\in [0;1+\sqrt{3}] $ nên $ t\in[1;2]. $ Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với $$ m\le \frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}\,\,\,\,(*)$$ Xét hàm số $f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}$ trên $ [1,2] $ có $$f'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t+2}{{{(t+1)}^{2}}}>0$$ nên hàm số $ f(t) $ đồng biến trên đoạn $ [1,2]$
Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm $x\in \left[ 0;\,\,1+\sqrt{3} \right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $(*)$ có nghiệm $t\in [1,2]$ khi và chỉ khi $$m\le\underset{t\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max f(t)}}=f(2)=\frac{2}{3}$$ Vậy các giá trị cần tìm là $m\le\frac{2}{3}.$
3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất
Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc hai hai ẩn \( x,y \) là phương trình có dạng $$ ax^2+bxy+cy^2=0 $$ Cách giải. Chúng ta có hai cách để xử lý phương trình thuần nhất bậc hai này:
Nếu $y=0$ thì $x=0$. Nếu $y\ne0$ ta chia cả hai vế cho $y^{2}$ và đặt $t=\frac{x}{y}$ được phương trình bậc hai $$at^{2}+bt+c=0$$
Nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm $M,N$ thì ta phân tích ngay phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,a{x^2} + bxy + c{y^2} = 0\\
\Leftrightarrow a(x – My)(x – Ny)
\end{array}\] mà không cần phải đặt $t=\frac{x}{y}$.
Ví dụ 1. [Vào 10 Trần Phú – Hải Phòng] Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x^3+1\ge0 \Leftrightarrow x\ge -1. $ Ta có $ x^3=1=(x+1)(x^2-x+1) $ mà $ (x+1)+(x^2-x+1)=x^2+2 $ tức là giữa căn thức và biểu thức còn lại có sự liên quan nhất định. Ta khai thác như thế nào?
Viết lại phương trình đã cho thành \begin{align*}
& 5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((x+1)+(x^2-x+1))\\
\Leftrightarrow \;&5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((\sqrt{x+1})^2+(\sqrt{x^2-x+1})^2)
\end{align*} Đặt $ a=\sqrt{x+1} $ và $ b=\sqrt{x^2-x+1} $ thì ta được phương trình $$ 5ab=2a^2+2b^2 $$ Phân tích đa thức thành nhân tử được $$2(a-2b)(a-\frac{1}{2}b)=0$$ Từ đó tìm được $a=2b $ hoặc $a=\frac{1}{2}b. $ Đáp số $ x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}. $
Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8} $$ Hướng dẫn. Đáp số $ x=3\pm\sqrt{13}. $
Ví dụ 3. Giải phương trình: $$2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}$$ Hướng dẫn. Đặt $u=\sqrt{x+1},v=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ thì phương trình trở thành: $$2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)=5uv\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u=2v \\
u=\frac{1}{2}v
\end{array} \right.$$
Tìm được đáp số $x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2\sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4} $$ Hướng dẫn. Khi giải phương trình này, việc đầu tiên là tôi thử bình phương! Được một phương trình bậc 6, thử nhóm các kiểu, loay hoay một lúc mà không được. Tôi quay lại phương trình ban đầu, quan sát biểu thức $ x^6+5x^4+8x^2+4 $ tôi thấy có mũ 6, mũ 4 và mũ 2, toàn là lũy thừa chẵn. Tôi thử tách và thành công \begin{align*}
x^6+5x^4+8x^2+4&=(x^6+x^4)+4(x^4+2x^2+1)\\
&=(x^2+1)(x^4+4x^2+4)
\end{align*} Quan sát biểu thức dưới căn ở vế trái, dễ dàng nhóm thành $ (x^2+1)(x^3+1) $. Do đó, phương trình ban đầu trở thành \[ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2) \] đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ u=x+1,v=x^2-x+1. $
Ví dụ 5. Giải bất phương trình $$2{x^3} \le (1 + 2x – 3{x^2})\sqrt {2x + 1}$$ Hướng dẫn. Đặt $y=\sqrt{2x+1}$ điều kiện $ y\ge 0 $ thì $ {{y}^{2}}=2x+1 $ và do đó, bất phương trình đã cho trở thành: $$
2{{x}^{3}}\le \left( {{y}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)y\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}\le 0\,\,\,(*)
$$ Ta xét hai trường hợp:
$ y=0 $ tìm được nghiệm $ x=-\frac{1}{2}. $
$ y>0 $, chia cả hai vế bất phương trình $ (*) $ cho $ y^3 $ được \[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{2{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^3} + 3{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} – 1 \le 0}\\
\Leftrightarrow &{\left( {2\frac{x}{y} – 1} \right){{\left( {\frac{x}{y} + 1} \right)}^2} \le 0}\\
\Leftrightarrow &{\frac{x}{y} \le \frac{1}{2}}\\
\Leftrightarrow &{y \ge 2x}
\end{array}\]Do đó, ta được
$\sqrt {2x + 1} \ge 2x \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
2x + 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
2x + 1 \ge 4{x^2}
\end{array} \right.
\end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
– \frac{1}{2} \le x \le 0\\
0 < x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}
\end{array} \right.$
Kết hợp hai trường hợp, được tập nghiệm là $S=\left[ -\frac{1}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$.
4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích
Đôi khi, phương pháp này còn được gọi là Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn. Chúng tôi sẽ có một bài viết chi tiết hơn về phương pháp này. Mời Quý thầy cô và các em học sinh đón xem.
Ví dụ 1. [HSG 9 Thừa Thiên Huế 2003] Giải phương trình $$ x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1} $$ Hướng dẫn. Đặt $ t=\sqrt{x^2+1} $ thì phương trình trở thành $ t^2-(x+3)t+3x=0 $ là phương trình bậc hai đối với ẩn $ t. $
Ta có $ \Delta=(x-3)^2\ge 0 \; \forall x$ do đó \[ \left[\begin{array}{l}
t=x\\ t=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\sqrt{x^2+1}=x\\ \sqrt{x^2+x}=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\pm 2\sqrt{2}. $
Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1.$$ Hướng dẫn. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn $ t=\sqrt{x^2+2x-1} $ đưa về phương trình bậc hai theo $ t. $
Đáp số $ x=-1\pm \sqrt{6}. $
Cách khác: Các em có thể phân tích trực tiếp phương trình đã cho thành $ (x-1)^2-2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}-2=0 $
Ví dụ 3. [HSG Vĩnh Long 2012] Giải phương trình: $$4\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1+5x+4{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$$ Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ điều kiện $t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ thì phương trình $ (\ref{ap1}) $ trở thành: \begin{align*}
&4t=-{{t}^{4}}+7{{t}^{2}}-5\\
\Leftrightarrow \;&{{t}^{4}}-6{{t}^{2}}+9-\left( {{t}^{2}}-4t+4 \right)=0 \\
\Leftrightarrow \;&{{\left( {{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}-{{\left( t-2 \right)}^{2}}=0\\
\Leftrightarrow \;&\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t-5 \right)=0
\end{align*} Tìm được $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$. Từ đó tìm được hai nghiệm là $ x=\frac{-1-\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$ và $x=\frac{-1+\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$.
5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải phương trình $$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\le \frac{6}{5}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u=\sqrt[3]{3x-2} \\
v=\sqrt{6-5x}
\end{array} \right. $ thì chúng ta có $ \left\{ \begin{array}{l}
{{u}^{3}}=3x-2 \\
{{v}^{2}}=6-5x
\end{array} \right.$
Do đó, ta có hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
2u+3v=8 \\
5{{u}^{3}}+3{{v}^{2}}=8 \end{array} \right.$$ Giải hệ này ta được $\left\{ \begin{array}{l} u=-2 \\
v=4 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x-2=-2 \\
6-5x=16 \end{array} \right.\Rightarrow x=-2$.
Thử lại, thấy $x=-2$ là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=-2$.
Ví dụ 2. Giải phương trình $$2\text{x}+1+x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}+3}=0 $$ Hướng dẫn. Đặt $\begin{cases}
u=\sqrt{{{x}^{2}}+2} \\
v=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}
\end{cases}
$ điều kiện $ u,v>0 $ thì $$
\begin{cases}
{{u}^{2}}={{x}^{2}}+2 \\
{{v}^{2}}={{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
{{v}^{2}}-{{u}^{2}}=2x+1 \\
{{x}^{2}}=\frac{{{v}^{2}}-{{u}^{2}}-1}{2} \\
\end{cases}$$ Thay vào phương trình đã cho được $$(v-u)\left( (v-u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
v-u=0\\
(v+u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2}=0\\
\end{array} \right.$$ Vì $ u,v>0 $ nên suy ra $ u=v. $
Vậy phương trình đã cho tương đương với $$ v=u\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} $$
Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.
1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp
Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.
Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $\sqrt{A}\pm\sqrt{B}$ là $\sqrt{A}\mp\sqrt{B}$, tức là biến đổi:
$$ \sqrt{A}\pm \sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}$ là $(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2$ $$ \sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}=\frac{A\pm B}{(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2} $$
Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.
Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3\sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như sau\begin{align*}
& x^3+8-3\sqrt{x+3}+3=0 \\
\Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x+3}+1}=0\\
\Leftrightarrow &(x+2)\left(x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}\right)=0\\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}
x+2=0\\x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}=0 \qquad (*)
\end{array}\right.
\end{align*} Ta có \[\begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 4 \ge 3\\
– \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge – 3\\
\Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge 0.
\end{array}\] Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức nên phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $
Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!
Ví dụ 2.Giải phương trình $$\sqrt{x+1}~+1=4{{x}^{2}}+\sqrt{3x} $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ x\ge0 $ thì phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
&4{{x}^{2}}-1+\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}=0\\
\Leftrightarrow & (2x+1)(2x-1)+\frac{2x-1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}=0\\
\Leftrightarrow & (2x-1)\left( 2x+1+\frac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}} \right)=0\\
\Leftrightarrow & 2x-1=0\\
\Leftrightarrow & x=\frac{1}{2}
\end{align*} So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=\frac{1}{2}. $
Ví dụ 3.Giải phương trình $$\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+x=\sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge \sqrt[3]{2}$. Đoán được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
&\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = \sqrt {{x^3} – 2} – 5 \\
\Leftrightarrow\;& \left( {x – 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \\
\Leftrightarrow\;& x = 3
\end{align*} Ta có \[\begin{array}{*{20}{c}}{1 + \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} \right)}^2} + 3}}}\\
{}&{ < 2 < \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}}}
\end{array}\] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=3. $
Ví dụ 4. Giải phương trình $$ \sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4} $$ Hướng dẫn. Nhận xét $\left( 3{{x}^{2}}-5x+1 \right)-\left( 3{{x}^{2}}-3x-3 \right)=-2(x-2)$ và $\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=3(x-2)$ nên ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
&\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}=\sqrt{{{x}^{2}}-2}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}\\
\Leftrightarrow\;& \frac{-2(x-2)}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\\
\Leftrightarrow\;& (x-2)\left[ \frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}} \right]=0
\end{align*} Ta có $ \dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}>0 $ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $
Ví dụ 5.Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+15}=3x-2 +\sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau \begin{align}
&\sqrt{x^2+15}-4=3x-3+\sqrt{x^2+8}-3 \notag\\
\Leftrightarrow &\frac{x^2+15-16}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2+8-9}{\sqrt{x^2+8}+3}\notag\\
\Leftrightarrow &\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \,\,\,(*)
\end{align} Xét hai trường hợp:
$ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
$ x\ne 1 $ thì phương trình $$ (*)\Leftrightarrow\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3$$ Vì $ \sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8} $ nên từ phương trình đã cho, chúng ta suy ra
\begin{align*} &3x-2=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}\\
\Leftrightarrow \;& 3x-2>0 \Leftrightarrow x>\frac{2}{3}
\end{align*} Suy ra $ x+1>0 $ và như vậy $ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3>\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}} $ hay phương trình $(*)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $
Ví dụ 6.Giải phương trình\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ -\frac{1}{3}\le x\le 6. $ Đoán được nghiệm $ x=5 $ nên ta tách phương trình đã cho thành:
\[ (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0 \] Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:
\begin{align*}
&\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\\
\Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right)=0
\end{align*} Vì $ -\frac{1}{3}\le x\le 6 $ nên $$ \dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0,$$ do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $
Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.
Ví dụ 7. Giải phương trình \[ (x+3)\sqrt{x+4}+(x+9)\sqrt{x+11}=x^2+9x+10 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge -4 $. Dễ dàng đoán được nghiệm $ x=5 $, nên ta tách thành: \[ (x+3)\left(\sqrt{x+4}-3\right)+(x+9)\left(\sqrt{x+11}-4\right)=x^2+2x-35 \] Sau đó, nhân liên hợp được: \begin{align*}
&(x+3)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+4}+3}+(x+9)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\\
\Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7\right)=0
\end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7=0\,\,(*)
$$ Vì điều kiện là $ x\ge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ \frac{1}{\sqrt{x+4}+3} $ và $ \frac{1}{\sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ \frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau:
\begin{align*}
VT(*)&= \frac{x+4}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{x+4}{2}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{x+9}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
&=(x+4)\left(\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{1}{2}\right)+(x+9)\left(\frac{1}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
&<0
\end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $
Ví dụ 8. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}=2x-1 $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách PT đã cho thành \[ \left(\sqrt{x^2+8}-3\right)-\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)-2(x-1)=0 \] Sử dụng phương pháp nhân liên hợp được \[ (x-1)\left((x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2\right)=0 \] Nhận xét rằng $ \sqrt{x^2+8}+3>\sqrt{x^2+3}+2 $ nên $$ \frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}<0 $$ Mặt khác, từ phương trình đã cho có $ 2x-1=\sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}>0 \Leftrightarrow x>\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+1>\frac{3}{2} . $ Do đó, $$ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)<0 $$ và dẫn tới \[ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2<0 \] Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $
Ví dụ 9. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+5}+\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.
Ví dụ 10.Giải phương trình $$\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$$ Hướng dẫn. Điều kiện xác định của phương trình là $x\ge 1$. Với diều kiện đó, ta có: $(x+2)-(x-1)=3>0$ nên $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}>0$ với $x\ge 1$. Nhân hai vế của phương trình với $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}$ ta được \begin{align*}
&\bigg( (x+2)-(x-1) \bigg)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)\\
\Leftrightarrow\;& \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}\ge 1 \\
{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}} \\
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0\\
{{x}^{2}}+x-1-2\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2\sqrt{x+2}.\sqrt{x-1} \\
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
{{x}^{2}}-x-2=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
x=-1\vee x=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1\vee x=2.
\end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $
Ví dụ 11.Giải bất phương trình $$ \left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}-3} \right)\ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
& 4\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} \right)\ge 4\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1} \right)\\
\Leftrightarrow & 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\\
\Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge 2x+2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\\
\Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4\ge 0\\
\Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l}x\le -2 \\ x\ge 2 \\ \end{array} \right.
\end{align*} Kết hợp với điều kiện $x\ge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+\infty)$.
Nhận xét. Bất phương trình này hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!
Ví dụ 12.Giải bất phương trình $$2x+5>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ 1\le x\le 2. $ Chúng ta có $$ 2x+5=3x+4-(x-1)=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right) $$ nên bất phương trình đã cho tương đương với tương đương với \begin{align*}
& \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right)>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\\
\Leftrightarrow & \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2-x} \text{\quad (vì $ \sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}>0 $)}
\end{align*} Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $
Ví dụ 13.Giải phương trình $$\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$\left( 2{{x}^{2}}+x+9 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)=2\left( x+4 \right)$$ Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ x\ne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được $$\frac{2x+8}{\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4\Rightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$$ Thu được hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + x + 9} – \sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2\\
\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4
\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{8}{7}
\end{array} \right. \] Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = \frac{8}{7}. $
3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình
Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.
Bài 1. Giải phương trình $ \sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6 $
Đáp số. $ x=3 $
Bài 2. Giải phương trình $ \sqrt{4x^2 +5x+1}-2\sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $
Đáp số. $ x=\frac{1}{3}. $
Bài 3. Giải phương trình $ \sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2} $
Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4}\right)+\left(\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2}\right)=0, $ rồi nhân liên hợp…
Đáp số. $ x=3 $
Bài 4. Giải phương trình $ \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $
Hướng dẫn. Tách thành $ \left(\sqrt{x-2}-1\right) +\left(\sqrt{4-x}-1\right)-\left(2x^2-5x-3\right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại…
Đáp số. $ x=3 $
Bài 5. Giải phương trình $2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 5-x \right)}=x+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 10-x \right)}$
Đáp số. $ x=1,x=\frac{15+5\sqrt{5} }{2} $
Bài 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$
Đáp số. $ x=2 $
Bài 7. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+\sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$
Bài 8. [Đề thi Olympic 30/4 năm 2007] Giải phương trình $2{{x}^{2}}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$
Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$
Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=\left( x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}$
Bài 11. Giải phương trình $1+\sqrt{x}=4x^{2}+\sqrt{3x-1}$
Đáp số. $x=\frac{1}{2}$
Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{x}=1-\sqrt[3]{3x^2+x-1}+\sqrt[3]{2x+1} $
Đáp số. $ x=1 $
Bài 13. Giải phương trình $ 2\sqrt {{x^2} + 5} = 2\sqrt {x – 1} + {x^2} $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2\sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2\sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow 2\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ \frac{2(x+2)}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+x+2\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {x – 1} + 1}} + \left( {x + 2} \right)\left( {1 – \frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} \right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.
Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5} $
Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{{{x}^{2}}+12}-\sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành \begin{align*}
& \sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+\sqrt{{{x}^{2}}+5}-3\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3\left( x-2 \right)+\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \\
& \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 \right)=0\Leftrightarrow x=2
\end{align*} Chứng minh được $\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3<0,\forall x>\frac{5}{3}$.
Đáp số. $ x=2 $
Bài 15. Giải bất phương trình $\frac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$
Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích
Giải phương trình chứa căn thức, bất PT chứa căn (PT, BPT vô tỷ) ngoài cách nâng lên lũy thừa thì chúng ta còn có thể phân tích thành tích các nhân tử, mỗi nhân tử là một PT, BPT đơn giản hơn.
1. Ví dụ giải phương trình, bất phương trình chứa căn bằng phân tích thành tích
Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
& \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
\Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
\sqrt {x + 3} – 2x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $
Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến PT đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = – 1
\end{array} \right.$$ Đáp số $ x=0,x=-1. $
Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:
$ x = 1 $ là nghiệm.
$ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
$x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$
Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
\Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
\end{align*} Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $
Ví dụ 5. Giải phương trình $${{x}^{2}}-2x-3=\sqrt{x+3}$$ Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,{x^2} – x + \frac{1}{4} = x + 3 + \sqrt {x + 3} + \frac{1}{4}\\
\Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 3} + \frac{1}{2}} \right)^2}
\end{array}\] Đến đây tách thành hai phương trình đơn giản hơn. Đáp số. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \vee x = 1 – \sqrt {13}$.
Ví dụ 6. Giải phương trình $$x-2\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\left( x-1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}-x}=0$$ Hướng dẫn. Bình phương, biến đổi thành \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,2x\sqrt {{x^2} – x} – 4\sqrt {{x^2} – x} + {x^3} – 4{x^2} + 6x – 4 = 0\\
\Leftrightarrow (x – 2)(2\sqrt {{x^2} – x} + {x^2} – 2x + 2) = 0
\end{array}\] Đáp số. $x=2$.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số $ m, $ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \[{{x}^{2}}+2x-8=\sqrt{m\left( x-2 \right)}\] Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 2$, do $ m > 0. $ PT tương đương với \[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right) = \sqrt {m\left( {x – 2} \right)} .\]Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT \[{x^3} + 6{x^2} – 32 = 0\,\,\,\,\,\,\,(*)\] có một nghiệm khác 2.
Thật vậy, đặt $ f\left( x \right)={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-32,x\ge 2 $ thì ta có \[f(2) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = + \infty ,f’\left( x \right) = 3{x^2} + 12x > 0,\forall x \ge 2\] Suy ra $ f(x) $ là hàm liên tục trên $ \left[ 2;+\infty \right) $ và đồng biến trên khoảng đó. Do đó, với mọi $m>0$ phương trình (*) luôn có nghiệm $ x_0 $ mà $2 < x_0 <+\infty $.
2. Bài tập phân tích thành tích giải phương trình, bất phương trình
Giải các phương trình, bất phương trình sau:
Bài 1. Giải phương trình $ (x+3)\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12 $
Đáp số. $ x=-3 $
Bài 2. Giải phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$
Đáp số. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right]\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left[ 3;+\infty \right)$
Bài 3. Giải bất phương trình $\left( x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\le {{x}^{2}}-9$
Hướng dẫn. Xét ba trường hợp $ x=3, x>3 và x<3. $ Đáp số. $x<-\frac{5}{6}\vee x\ge 3$
Bài 5. Giải bất phương trình chứa căn $\frac{\sqrt{51-2x-{{x}^{2}}}}{1-x}<1$
Hướng dẫn. Xét hai trường hợp của $ x-1. $ Đáp số. $1-\sqrt{52}\le x<-5\vee x>1$
Bài 7. Giải PT $ \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^2+3x+2} $
Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt[3]{x+1}-1\right) +\left(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x^2+3x+2}\right)=0$ rồi phân tích thành tích.
Đáp số. $ x=0,x=-1 $
Bài 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$
Hướng dẫn. Nhận xét $ x=0 $ không là nghiệm, chia hai vế cho $ x $ được: $$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}+\sqrt[3]{x}=1+\sqrt[3]{x+1}$$ $$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)=0$$ Đáp số. $x=1$
Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ và biến đổi \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\
\Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1.
\end{array}\]
Bài 10. Giải phương trình $ x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1 $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(x-1-2\sqrt{x-1}\right) +\left(2\sqrt{7-x}-\sqrt{(7-x)(x-1)}\right)=0$…
Đáp số. $ x=5,x=4 $
Bài 11. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6 $
Hướng dẫn. $ \sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+7}-3\right)-2\left(\sqrt{x+7}-3\right)=0 $
Đáp số. $ x=1,x=2 $
Bài 13. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left( \sqrt{x+3}-2x \right)\left( \sqrt{x+1}-1 \right)=0 $
Đáp số. $x=0,x=1$
Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $
Đáp số. $x= 1;x=2-\sqrt{2} $
Bài 15. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ được $ \left( 1-\sqrt{\frac{4x}{x+3}} \right)^2=0 $
Đáp số. $x=1$
Bài 17. Giải phương trình $ 4x^2+\sqrt{ 2x+3}=8x+1 $
Hướng dẫn. $ 4x^2-6x+\frac{9}{4}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^2-2\sqrt{2x+3}+\frac{1}{4}$
Đáp số. $x= \frac{5-\sqrt{21}}{4},x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} $
Bài 18. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+x+2}=\frac{x^2+5x+2}{2x+2} $
Hướng dẫn. Nhân chéo, nhóm thành $$ \left(\sqrt{x^2+x+2}\right)^2-2x\sqrt{x^2+x+2}-2\sqrt{x^2+x+2}+4x=0 $$
Đáp số. $ x=1,x=-2 $
Bài 19. Giải phương trình $ 2\sqrt{2x+3}-\frac{3}{x}=x+2 $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \frac{1}{x}\left(x-\sqrt{2x+3}\right)^2=0 $
Đáp số. $x=3$
Bài 20. $ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[6]{x^5-2x^4+x^3} $
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left(1-\sqrt[3]{x-1}\right)(1-\sqrt{x})=0 $
Đáp số. $x=1,x=2$
Bài 21. Giải phương trình $ 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x^2+6x}=2\sqrt{2x}+\sqrt{x^2+4x+3} $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(\sqrt{ x+1}-\sqrt{ 2x}\right)\left(2-\sqrt{x+3}\right)=0 $
Đáp số. $x=1$
Bài 22. Giải phương trình $ 4x\sqrt{x+7}+3x\sqrt{7x-3}=6x^2+2\sqrt{ 7x^2 +46x-21} $
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$ \left(2x-\sqrt{7x-3}\right)\left(2\sqrt{x+7}-3x\right)=0 $$Đáp số. $x=1,x=2,x=\frac{3}{4}$
Bài 23. Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }}
\end{array}\] Đáp số. $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$
Bài 24. Giải phương trình $2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$
Hướng dẫn. Biến đổi thành ${{\left( 1+\sqrt{3+x} \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}$
Đáp số. $x=1,x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$
Bài 25. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)^3=0 $
Đáp số. $x=1$
Bài 26. Giải phương trình $\sqrt[4]{x+1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[4]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$
Đáp số. $x=0, x=1$
Bài 27. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$Đáp số. $x=0, x=1$
Bài 28. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
Hướng dẫn. Sử dụng biến đổi $ a^3-b^3=0 \Leftrightarrow a=b$
Đáp số. $x=1$
Bài 29. Giải phương trình $4{{x}^{2}}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$\left( 4{{x}^{2}}-4x\sqrt{x+3}+x+3 \right)\left( 1-2\sqrt{2x-1}+2x-1 \right)=0$$Đáp số. $x=1$
Bài 30. Giải phương trình $\frac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$
Đáp số. $ x=1 $
Bài 31. Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3x+3}+\sqrt{2x}=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2x}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$ Đáp số. $x=0$
Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức
Thông thường, ý tưởng chung để giải bất cứ một phương trình bậc cao, phương trình vô tỷ là đều qui về các phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Trong bài viết này, O2 Education xin giới thiệu phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình chứa căn bậc hai. Cách giải các phương trình chứa căn bậc 2 cơ bản, xin mời bạn đọc xem tại đây Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn.
Đối với phương pháp biến đổi tương đương, ta thường sử dụng những cách sau:
1. Biến đổi tương đương bằng bình phương hai vế phương trình (nâng lên lũy thừa)
Chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình rồi biến đổi, chú ý rằng trước khi bình phương hai vế phải đảm bảo điều kiện cả hai vế không âm. Một số dạng cơ bản (biến đổi tương đương luôn mà không cần tìm điều kiện riêng, vì đưa về hệ đã bao hàm cả điều kiện xác định trong đó rồi):
$ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $ hoặc $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $
(Tùy theo mức độ đơn giản của biểu thức $ A $ hay $ B $ mà ta lựa chọn cách biến đổi nào cho dễ dàng nhất)
$ \sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B^2 \end{array} \right. $
$ \sqrt A \le B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0\\ A \le {B^2} \end{array} \right. $
$ \sqrt A \ge B \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A \ge {B^2} \end{array} \right. \end{array} $
Sau đây, mời các bạn theo dõi một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}=x-1$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
{x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1. \] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=1. $
Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}=\sqrt{-2{{x}^{2}}-3x+12}$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
{x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}.$$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-\frac{4}{3}. $
Ví dụ 3. Giải bất phương trình $$x+1\ge \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}$$ Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với
$$ \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
{x^2} – 2x – 3 \le 0\\
{x^2} – 1 \ge 0
\end{array} \right.$$ Từ đó tìm được tập nghiệm là $S=\left[ 1;3 \right]\cup \left\{ -1 \right\}$.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$2x-5<\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}$$ Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với
\[ \Bigg[ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 < 0\\ – {x^2} + 4x – 3 \ge 0\end{array} \right. & \left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 \ge 0\\ {\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3 \end{array} \right. & \left( 2 \right)
\end{array}\]
Giải từng hệ bất phương trình $ (1) $ và $ (2) $ rồi lấy hợp hai tập nghiệm, được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ 1;\frac{14}{5} \right)$.
Ví dụ 5. Giải phương trình $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
& {\left( {1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 – x} } \right)^2}\\
\Leftrightarrow\;& 4\left( {x – {x^2}} \right) – 6\sqrt {x – {x^2}} = 0 \\
\Leftrightarrow\;& \sqrt {x – {x^2}} \left( {4\sqrt {x – {x^2}} – 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x – {x^2}} = 0\\
\sqrt {x – {x^2}} = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{align*}
Ví dụ 6. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện ${{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 5x + \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2} \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
\sqrt {{x^3} + 2x + 1} = 1 – 3x
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
\frac{1}{3} \ge x\\
{x^3} + 2x + 1 = {\left( {1 – 3x} \right)^2}
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
– 1 \le x \le \frac{1}{3}\\
x = 0;x = 1;x = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.
\end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x = 0. $
Đôi khi, việc đặt điều kiện để bình phương khá phức tạp, ta sẽ bình phương để thu được phương trình hệ quả, sau đó thử lại nghiệm. Xét ví dụ sau: Ví dụ 7. Giải phương trình $$ \sqrt{1-x}+1-2x^2-2x\sqrt{1-x^2}=0 $$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[ \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2} \]
Bình phương thu được phương trình hệ quả, rút gọn được
\[ x\left(4(1-2x^2)\sqrt{1-x^2}-1\right)=0 \] Giải phương trình này tìm được nghiệm $ x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} $.
Ví dụ 8. [Đề thi ĐH khối A năm 2004] Giải bất phương trình \[\frac{{\sqrt {2({x^2} – 16)} }}{{\sqrt {x – 3} }} + \sqrt {x – 3} > \frac{{7 – x}}{{\sqrt {x – 3} }}\] Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 4. $ Biến đổi phương trình thành \[\sqrt {2({x^2} – 16)} > 10 – 2x \Leftrightarrow \Bigg[ {\begin{array}{l}
{\left\{ {\begin{array}{l}
{{x^2} – 16 \ge 0}\\
{10 – 2x < 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{l}
{10 – 2x \ge 0}\\
{2({x^2} – 16) > {{(10 – 2x)}^2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}}\] Từ đó tìm được đáp số $ x > 10 – \sqrt {34}. $
Ví dụ 9. Giải bất phương trình $$\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}}\le \frac{1}{\sqrt{5-2x}} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in[-2,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},\frac{5}{2}). $ Ta xét hai trường hợp:
Với $-2\le x<\frac{1}{2}$ thì $\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}<0$ và $\sqrt{5-2x}>0$, nên bất phương trình đã cho luôn đúng.
Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$ thì phương trình đã cho tương đương với $ \sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}\ge \sqrt{5-2x}\Leftrightarrow 2\le x<\frac{5}{2}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ -2;\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 2;\frac{5}{2} \right)$
Ví dụ 10. [Đề thi ĐH khối A năm 2010] Giải bất phương trình
\[ \dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\ge 1 \] Hướng dẫn. Vì $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{x^2+(x-1)^2+1}>1 $ nên $ 1-\sqrt{2(x^2-x+1)}<0 $, do đó bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&x-\sqrt{x}\le 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} &(1)\\
\Leftrightarrow\;& \sqrt{2(x^2-x+1)}\le 1-x+\sqrt{x} &
\end{align*} Lại có $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{2(x-1)^2+2(\sqrt{x})^2}\ge 1-x+\sqrt{x} $. Do đó, bất phương trình $ (1) $ chỉ có thể xảy ra dấu bằng.
\[ x-\sqrt{x}= 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} \] Từ đó tìm được đáp số: $ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}. $
Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \\
\Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
\Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
\sqrt {x + 3} – 2x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{align*}
Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $
Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = – 1
\end{array} \right.$$
Đáp số $ x=0,x=-1. $
Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$
Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:
$ x = 1 $ là nghiệm.
$ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
$x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.
\end{itemize}
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$
Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
\Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
\end{align*}
Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $
3. Phương pháp nhân liên hợp
Đôi khi, chúng ta còn nhân chia với biểu thức liên hợp để dễ dàng phương trình thành tích các nhân tử là phương trình, bất phương trình chứa căn đơn giản hơn. Riêng phương pháp này, chúng tôi xin hẹn ở một bài viết khác.
Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.
Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:
1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2
Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.
Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).
Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!
2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản
Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là
3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn
Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.
4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức
Ví dụ 1. Giải phương trình
$$\sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
{x^2} – 3x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 0\, \vee \,x = 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 2. Giải phương trình
\[\sqrt {25 – {x^2}} = x – 1\]
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
25 – {x^2} = {(x – 1)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
2{x^2} – 2x – 24 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 4\, \vee \,x = – 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 4
\end{array}\] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.
Ví dụ 3.Giải phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x\]
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\\
\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
2{x^2} – 5x – 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 3 \vee \,x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
{x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 1
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.
Ví dụ 5. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 5x + 4} = \sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
{x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) \ge 0\\
3{x^2} – 2x – 8 = 0
\end{array} \right. & \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ge 4
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{-8}{6}$.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 \ge \sqrt {2\left( {{x^2} – 1} \right)} $$
Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
{x^2} – 2x – 3 \le 0\\
{x^2} – 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
– 1 \le x \le 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le – 1\\
x \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right.
\end{array}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;3} \right] \cup \left\{ { – 1} \right\}$.
Ví dụ 7.Giải bất phương trình $$2x – 5 < \sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$
Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{5}{2}\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < \frac{5}{2}$$
Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{5}{2}\\
5{x^2} – 24x + 28 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{5}{2}\\
2 < x < \frac{{14}}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le x < \frac{{14}}{4}
\end{array}$$
Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = \left[ {1;\frac{{14}}{5}} \right)$.
Ví dụ 8. Giải phương trình $$\sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} = \sqrt {1 – 2x} $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 4} = \sqrt {1 – 2x} + \sqrt {1 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x + 4 = 1 – x + 2\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x \ge – \frac{1}{2}\\
(1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\
x = 0 \vee x = – \frac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.
Ví dụ 9. Giải phương trình $$\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} $$
