Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài tập Các phép toán véc-tơ (phép toán tổng của hai vecto, hiệu của hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và ứng dụng để chứng minh đẳng thức véc-tơ, xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ, chứng minh thẳng hàng, song song, tìm tập hợp điểm…

Xem thêm:

• Véc-tơ là gì? Khái niệm Vecto
• Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)

Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài 1. Cho bốn điểm phân biệt $ A, B, C, D. $ Dựng các vectơ tổng $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CD} $, $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} $.

Bài 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ: $$ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}, \vec{v}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng $a$. Hãy tính $$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}|;|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|;|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}|.$$
Đáp số. $\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;a\sqrt{2}$.

Bài tập chứng minh đẳng thức vecto

Bài 1. Cho bốn điểm $ A, B, C, D $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

Bài 2. Cho năm điểm $ A, B, C, D, E $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi điểm $ A,B,C,D,E,F,G $ tùy ý ta luôn có:

• $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} $
• $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB} $
• $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE} $
• $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{GF} $

Bài 4. Gọi $ O $ là tâm của hình bình hành $ ABCD $. Chứng minh rằng:

• $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$
• $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}$
• $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
• $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ với điểm $ M $ tùy ý.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$ và $BC$. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kỳ ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.$

Bài 6. Cho tam giác $ \Delta ABC $ có $A’,B’,C’$ là trung điểm các cạnh $ BC,CA,AB. $ Chứng minh $ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec{0}. $

Bài 7. Cho tứ giác $ ABCD. $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB, CD. $ Điểm $ K $ là điểm đối xứng của $ M $ qua $ N. $ Chứng minh $$ \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}. $$

Bài 8. Cho tam giác $ ABC $, dựng bên ngoài tam giác các hình bình hành $ ABIJ,BCPQ,CARS. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec{0}$.

Bài 9. Cho tứ giác lồi $ ABCD. $ Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD. $

• Chứng minh $ \overrightarrow{ AC}+\overrightarrow{ BD}=\overrightarrow{ AD}+\overrightarrow{{BC}}=2 \overrightarrow{ EF} $.
• Gọi $ G $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=2 \overrightarrow{EF}$.

Bài 10. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ M,N $ là trung điểm của $ AD,BC $ và $ O $ là điểm trên đoạn $ MN $ sao cho $ OM=2ON. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $$

Bài 11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là một điểm bất kỳ trên đường chéo $AC$. Qua $O$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt $AB$ và $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$, cắt $AD$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng:

• $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.
• $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}$.

Bài 12. Gọi $ G,G’ $ là trọng tâm hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $. Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=3\overrightarrow{GG’}. $$ Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Bài 13. Cho lục giác $ ABCDEF $ có $ M, N, P, Q, R, S $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB, BC, CD, DE, EF $ và $ FA. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ MPR $ và $ NQS $ có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn. Giả sử điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ MPR $ thì
\begin{align*}
\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GA}) \\
&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})\\
&=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}\\
&=\vec{0}.
\end{align*}

Bài 14. Cho tứ giác $ABCD$, biết rằng tồn tại điểm $ O $ sao cho các véc-tơ $ \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau và $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng $ABCD$ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn. Gọi $ E,F,G,H $ là trung điểm các cạnh. Từ $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $ suy ra $ O $ là trung điểm của $ EG $ và $ HF. $ Mặt khác, các véc-tơ $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau nên $ OA=OB=OC=OD. $ Từ đó suy ra tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Bài 15. Cho $ \Delta ABC $ có $ M $ là trung điểm của $ BC,G$ là trọng tâm, $ H $ là trực tâm, $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh:

• $ \overrightarrow{ AH}=2 \overrightarrow{ OM} $,
• $ \overrightarrow{ OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OC}=\overrightarrow{ OH}=3\overrightarrow{OG} $,
• $ \overrightarrow{ HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ HC}=2 \overrightarrow{ HO}=3\overrightarrow{HG} $,
• $ \overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OI} $.

Hướng dẫn. Gọi $A’$ đối xứng với $ A $ qua $ O $ thì $ BHCA’ $ là hình bình hành.

Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ có độ dài ba cạnh là $ a,b,c $. Gọi $ I $ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh $ a \overrightarrow{ IA}+b\overrightarrow{ IB}+c\overrightarrow{ IC}=\vec{0} $.

Hướng dẫn. Gọi $ B_1,C_1 $ là chân hai đường phân giác kẻ từ $ B,C. $ Dựng hình bình hành $AB_2IC_2$ thì $ \overrightarrow{ IA}=\overrightarrow{ IB_2}+\overrightarrow{ IC_2} $. Lại có $ \frac{IB_2}{IB}=\frac{AC_2}{IB}=\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{b}{a}, $ nên $ \overrightarrow{ IB_2}=-\frac{b}{a}\overrightarrow{IB}. $ Tương tự có $ \overrightarrow{ IC_2}=-\frac{c}{a}\overrightarrow{IC}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 17. Cho tam giác $ ABC $ có $ H $ là trực tâm. Chứng minh rằng
$$ \tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$$ Hướng dẫn. Xét trường hợp tam giác $ ABC $ nhọn. Dựng hình bình hành $ HA’CB’ $ thì có $ \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA’}+\overrightarrow{HB’}=\alpha.\overrightarrow{HA}+\beta.\overrightarrow{HB}, $ trong đó $$ \alpha=-\frac{HA’}{HA}=-\frac{B_1C}{B_1A}=-\frac{BB_1.\cot C}{BB_1\cot A}=-\frac{\tan A}{\tan C},$$ và  $$\beta=…=-\frac{\tan B}{\tan C}. $$ Suy ra $$ \overrightarrow{HC}=-\frac{\tan A}{\tan C}\overrightarrow{HA}-\frac{\tan B}{\tan C}\overrightarrow{HB} $$ hay chính là $\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$

Bài 18*. Cho tam giác $ ABC $ đều có $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua các cạnh $ BC,AC,AB. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ ABC $ và $ DEF $ có cùng trọng tâm.

Bài 19. Cho tam giác $ ABC $ có $ G $ là trọng tâm và $ H $ là điểm đối xứng của $B$ qua $ G. $

• Chứng minh $ \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) $.
• Gọi $ M $ là trung điểm của $BC$, chứng minh rằng $ \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $

Bài 20*. Cho tam giác $ ABC $ đều tâm $ O.$ Giả sử $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là hình chiếu của $ M $ trên $ BC, AC $ và $ AB. $ Chứng minh rằng: $ \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}. $

Hướng dẫn. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song $ B_2C_2\parallel BC, A_2C_1\parallel AC, A_1B_1\parallel AB $ thì các tam giác $ MA_1A_2,MB_1B_2,MC_1C_2 $ là các tam giác đều.

Có \begin{align} 2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})& =\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\\
&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}. \end{align}

Bài tập phân tích véc-tơ (Biểu diễn vecto theo 2 vecto không cùng phương)

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo hai véc-tơ $\vec{u},\vec{v}$.

Đáp số. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v};\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v};\overrightarrow{DE}=-\vec{v};\overrightarrow{DC}=\vec{u}-\vec{v}$.

Bài 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Đặt $ \overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}. $ Hãy tính các véc-tơ sau theo $ \vec{a}, \vec{b} $:

• $ \overrightarrow{AI} $ với $ I $ là trung điểm của $ BO. $
• $ \overrightarrow{BG} $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ OCD. $

Đáp số. $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b} $, $ \overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{6}\vec{b}. $

Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Cho các điểm $ D, E, F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC, CA, AB $ và $ I $ là giao điểm của $ AD $ và $ EF. $ Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo $\vec{u},\vec{v}$.

Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
\overrightarrow{AI}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})\\
\overrightarrow{AG}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}\\
\overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}=0.\vec{u}+(-1)\vec{v}\\
\overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\vec{u}-\vec{v}
\end{align*}

Bài 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$ và cạnh $a$.

• Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF}$.
• Tính độ dài của véc-tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ theo $a$.

Đáp số. a) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}$; b) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Bài 5. Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Phân tích $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Đáp số. $ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

Bài 6. Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NA=2NC$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. Phân tích $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Đáp số. $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

Bài 7. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $I$ trên cạnh $BC$ sao cho $ 2CI=3BI, J $ trên cạnh $BC$ kéo dài sao cho $ 5JB=2JC. $

• Tính $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $
• Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}. $

Đáp số.

• $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
• $ \overrightarrow{AG}=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}. $

Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Bài 1. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tìm điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K$ thỏa mãn: $ \overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC} $, $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0} $, $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CB} $.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L$ thỏa mãn:

• $ \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB} $,
• $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} $,
• $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\vec{0} $,
• $ \overrightarrow{LA}-2\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}=\vec{0} $.

Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $ a,M $ là một điểm bất kì. Chứng minh rằng các véc-tơ sau đây không đổi. Tính mô-đun của chúng theo $ a. $

• $ 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD} $,
• $ 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} $,
• $ 4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} $.

Đáp số. $3a,a\sqrt{13},2a\sqrt{2} $

Bài 5. Cho tam giác $ ABC $, tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:

• $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $,
• $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}| $,
• $ |4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}| $.

Hướng dẫn.

• Biến đổi thành $ |\overrightarrow{MG}|=|\overrightarrow{MI}| $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm $ BC. $
• $ M $ thuộc đường tròn $ (D,AB) $ với $ D $ là đỉnh hình bình hành $ABCD$.
• Biến đổi thành $ |6\overrightarrow{MK}|=|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}|=2|\overrightarrow{EA}| $ trong đó $ E $ là trung điểm $BC$ và $ K $ là điểm thỏa mãn $ 4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\vec{0}. $

Chứng minh song song thẳng hàng bằng vecto

Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $MN\parallel AC$.

Hướng dẫn. Chỉ ra $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$.

Bài 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài 3. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $ Tính $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $ Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Hướng dẫn.  Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $
Mặt khác \begin{align} \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}&=\vec{0}.\end{align} Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Bài 6. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.

• Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
• Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
• Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $

Hướng dẫn.

• Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
• Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
• Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
  Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $

Bài 7. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

Bài 8. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

• Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.
• Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 9. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực.

• Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
• Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
• Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

• $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $
• Ta có \begin{align} \overrightarrow{AM}&=x\overrightarrow{AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}&=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}& =(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. \end{align}
• Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng $ \Leftrightarrow $ tồn tại số $ k $ sao cho \begin{align} \overrightarrow{BM}&=k\overrightarrow{BI}  \\ \Leftrightarrow  (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}&=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \\ \Leftrightarrow 2(1-x)&= 3x \\ \Leftrightarrow x&=\frac{2}{5}.\end{align}

Bài 10. Cho tam giác $ ABC $. Xác định điểm $ D $ thỏa mãn $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0}. $ Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $ |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|=8. $

Hướng dẫn. 
Có $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{DB} $ nên điểm $ D $ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $ -3. $

Từ \begin{align} |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|&=8 \\ \Leftrightarrow |\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+3(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB})|&=8 \\ \Leftrightarrow |4\overrightarrow{MD}|&=8 \end{align} suy ra $ DM=2. $

Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ D, $ bán kính bằng 2.

Bài 11. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $M$ tùy ý. Xác định điểm $D$ thỏa mãn $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ MN $ đi qua điểm cố định biết $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}. $

Hướng dẫn. 
Có $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DC}.$ Vậy điểm $ D $ chia đoạn $ BC $ theo tỉ số 3.
Ta có $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MD}. $ Vậy đường thẳng $ MN $ đi qua điểm $D$ cố định.

Bài 12. Cho tam giác $ ABC $ có $ D $ là trung điểm của $ BC, N $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ A $ và
$ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Tìm điểm $ K $ trên đường thẳng $ MN $ sao cho ba điểm $ A, D , K $ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

Ta có $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}). $ Vì $ K\in MN $ nên đặt $ \overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{KN} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=x(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK})$.

Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{x\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} }{x-1}=\frac{-x\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} }{x-1}=\frac{x}{1-x}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2(1-x)}\overrightarrow{AB}. $ Mà $ A,D,K $ thẳng hàng nên tìm được $ x=\frac{1}{2}. $

Vậy $ \overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KN}. $