O₂ Education

Tag: trọng tâm

  • Trung tuyến là gì?

    Trung tuyến là gì?

    Trung tuyến là gì?

    Trong hình học, trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến. Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.

    1. Đường trung tuyến là gì?

    Trong hình học, trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.

    Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến này cùng cắt nhau tại một điểm, điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.

    Ví dụ, trong hình sau thì tam giác ABC có ba đường trung tuyến là AM, BN và CP. Ba đường này đồng quy tại trọng tâm G của tam giác.

    trọng tâm là gì

    Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau. Khi đó, các đường trung tuyến đó đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác của tam giác đó.

    2. Trung tuyến của tam giác vuông

    Trong tam giác vuông thì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa cạnh huyền. Ngược lại, một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

    Trung tuyến của tam giác vuông

  • Trọng tâm là gì?

    Trọng tâm là gì?

    Trọng tâm là gì?

    Trọng tâm là gì?

    Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến, là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Ba đường trung tuyến này đồng quy tại một điểm (cùng cắt nhau tại một điểm). Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

    Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

    trọng tâm là gì

    Tính chất của trọng tâm trong tam giác

    Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

    Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:

    • GA = 2/3 AM
    • GC = 2/3 GP
    • BG = 2/3 GN
    		 tính chất trọng tâm của tam giác

    Cách tìm trọng tâm tam giác

    Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến

    Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

    Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

    Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.

    Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.

    Chú ý, trong thực tế chúng ta chỉ cần tìm giao điểm của hai đường trung tuyến là đủ.

    		 cách xác định trọng tâm của tam giác

    Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến

    Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.

    Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.

    Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM.

    Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.

    		 Trọng tâm là gì? 1
  • Trung điểm là gì?

    Trung điểm là gì?

    Trung điểm là gì?

    Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng đó, chia đoạn thẳng đó thành hai đoạn dài bằng nhau.

    Trung điểm là gì?

    Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng và chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn có độ dài bằng nhau.

    Ví dụ ta có đoạn thẳng AB, điểm C nằm trên AB và AC = CB. Vậy C chính là trung điểm của đoạn AB

    trung điểm là gì

    Tính chất trung điểm của đoạn thẳng

    Chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn thẳng bằng nhau. Ví dụ: M là trung điểm của đoạn thẳng OP thì MO = MP.

    Trung điểm là gì? 2

    Đoạn thẳng nối đỉnh của một tam giác với trung điểm cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến. Giao điểm của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác.

    Biểu thức tọa độ của trung điểm đoạn thẳng

    Công thức để xác định trung điểm của một đoạn thẳng trên một mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hai điểm $A(x_A, y_A)$ và $B(x_B, y_B)$ thì trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $$\displaystyle M\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right).$$
  • TỔNG HỢP BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10

    TỔNG HỢP BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10

    TỔNG HỢP BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Chứng minh các đẳng thức vectơ

    Ví dụ 1. Cho 6 điểm $A, B, C, D, E, F$. Chứng minh rằng: (bằng nhiều cách khác nhau)

    1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$
    2. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$
    3. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ với $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $AB, BC, CA$. Chứng minh rằng:

    1. $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{O}$
    2. $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}$
    3. $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{O}$

    Ví dụ 3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm $A, B$.

    1. Cho $M$ là trung điểm $A, B$. Chứng minh rằng với điểm $I$ bất kì ta có: $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$$
    2. Với điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{NA}=-2\overrightarrow{NB}$. Chứng minh rằng với $I$ bất kì: ta có $$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=3\overrightarrow{IN}$$
    3. Với điểm $P$ sao cho $\overrightarrow{PA}=3\overrightarrow{PB}$. Chứng minh rằng với $I$ bất kì ta có $$\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=-2\overrightarrow{IP}$$

    Ví dụ 3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác.

    1. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{O}$. Với $I$ bất kì ta có: $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$$
    2. Điểm $M$ thuộc đoạn $AG$ và $MG=\frac{1}{4}GA$. Chứng minh rằng:$$2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$$
    3. Với $I$ bất kì, chứng minh rằng $$2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IM}$$
    4. Cho hai tam giác $ABC$ và DEF có trọng tâm là $G$ và $G’$. Chứng minh rằng: $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{GG’}$$ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

    Ví dụ 4. (Hệ thức về hình bình hành) Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$.

    1. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{O}$
    2. Với $I$ bất kì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=4\overrightarrow{IO}$

    Ví dụ 5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng:

    1. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$
    2. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$
    3. Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{O}$$
    4. Với điểm $M$ bất kì, Chứng minh rằng: $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MI}$$

    Ví dụ 6. (Khái niệm trọng tâm của hệ $n$ điểm và tâm tỉ cự của hệ $n$ điểm) Cho $n$ điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$.

    1. Gọi $G$ là điểm thoả mãn $$\overrightarrow{G{{A}_{1}}}+\overrightarrow{G{{A}_{2}}}+…+\overrightarrow{G{{A}_{n}}}=\overrightarrow{O}.$$ Chứng minh rằng với điểm $M$ bất kì ta luôn có$$\overrightarrow{M{{A}_{1}}}+\overrightarrow{M{{A}_{2}}}+…+\overrightarrow{M{{A}_{n}}}=n\overrightarrow{MG}.$$
    2. Gọi $I$ là điểm thoả mãn ${{n}_{1}}\overrightarrow{IA_1}+n_2\overrightarrow{G{{A}_{2}}}+…+{{n}_{n}}\overrightarrow{G{{A}_{n}}}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh rằng với $M$ bất kì: $${{n}_{1}}\overrightarrow{M{{A}_{1}}}+{{n}_{2}}\overrightarrow{M{{A}_{2}}}+…+{{n}_{n}}\overrightarrow{M{{A}_{n}}}=({{n}_{1}}+..+{{n}_{n}})\overrightarrow{MG}$$

    Ví dụ 7.

    1. Cho lục giác đều $ABCDEF$. Chứng minh rằng hai tam giác $ACE$ và $BDF$ cùng trọng tâm.
    2. Cho lục giác $ABCDEF$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD, EF, BC, DE, FA$. Chứng minh rằng hai tam giác $MNP$ và $QRS$ cùng trọng tâm.
    3. Cho hai tam giác $ABC$ và $A’,B’,C’$ là các điểm thuộc $BC, CA, AB$ sao cho:$$\overrightarrow{{{A}’}B}=k\overrightarrow{{{A}’}C},\overrightarrow{{{B}’}C}=k\overrightarrow{{{B}’}A},\overrightarrow{{{C}’}A}=k\overrightarrow{{{C}’}B}$$ và $k\ne 1$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ cùng trọng tâm.
    4. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh rằng hai tam giác $ANP$ và $CMQ$ cùng trọng tâm.

    Ví dụ 8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)

    Cho tam giác $ABC$ có $G, H, O, I$ lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng:

    1. $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
    2. $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
    3. $2\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$
    4. $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$
    5. $\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{O}$
    6. Gọi $M$ là điểm bất kì nằm trong tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: ${{S}_{BCM}}\overrightarrow{IA}+{{S}_{ACM}}\overrightarrow{IB}+{{S}_{ABM}}\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$ ($M$ nằm ngoài thì không còn đúng).

    Ví dụ 9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA$. Gọi $K$ là trung điểm $MN$.

    1. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.
    2. $D$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng:  $\overrightarrow{KD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Biểu diễn véc tơ

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm. Lấy $B_1$ đối xứng với $B$ qua $G$. $M$ là trung điểm $BC$. Hãy biểu diễn các véc tơ $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{C{{B}_{1}}},\overrightarrow{A{{B}_{1}}},\overrightarrow{M{{B}_{1}}}$ qua hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI = 3BI$ và $J$ thuộc $BC$ kéo dài sao cho $5JB = 2JC$.

    1. Tính $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$ theo hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$. Từ đó biểu diễn $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$.
    2. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác. Tính $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$.

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

    Phương pháp: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

    Lưu ý: $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{x}+n\overrightarrow{y},\overrightarrow{AC}=km\overrightarrow{x}+kn\overrightarrow{y}$ thì $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$.

    1. Gọi $P, Q$ là trung điểm $MN$ và $BC$. Chứng minh $A, P, Q$ thẳng hàng.
    2. Gọi $E, F$ thoả mãn: $\overrightarrow{ME}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Chứng minh $A, E, F$ thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, có $E$ là trung điểm $AB$ và $F$ thuộc đoạn $AC$ thoả mãn $AF = 2FC$.

    1. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là điểm thoả mãn $4EI = 3FI$. Chứng minh $A, M, I$ thẳng hàng.
    2. Lấy $N$ thuộc $BC$ sao cho $BN = 2 NC$ và $J$ thuộc $EF$ sao cho $2EJ = 3JF$. Chứng minh $A, J, N$ thẳng hàng.
    3. Lấy điểm $K$ là trung điểm $EF$. Tìm $P$ thuộc $BC$ sao cho $A, K, P$ thẳng hàng.

    Xem thêm tại Chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

    Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ và M, N, P là các điểm thoả mãn: $\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$, $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$, $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh rằng: $M, N, P$ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA},\text{ }\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$.

    Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ và $L, M, N$ thoả mãn $\overrightarrow{LB}=2\overrightarrow{LC},$$\overrightarrow{MC}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh $L, M, N$ thẳng hàng.

    Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm. $I, J$ thoả mãn: $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$, $2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{O}$.

    1. Chứng minh rằng: $M, N, J$ thẳng hàng với $M, N$ là trung điểm $AB$ và $BC$.
    2. Chứng minh rằng $J$ là trung điểm $BI$.
    3. Gọi $E$ là điểm thuộc $AB$ và thoả mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AB}$. Xác định $k$ để $C, E, J$ thẳng hàng.

    Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$. Gọi $I, J$ là hai điểm thoả mãn: $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}, 3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh đường thẳng $IJ$ đi qua $G$.

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ

    Đặt Vấn đề:  Cho hai điểm $A, B, C$ cố định.

    1. Nếu $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{O}$ thì $P$ là trung điểm của $AB$.
    2. Nếu $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{O}$ thì $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
    3. Nếu $P$ là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của $P$ hay không?

    Ví dụ 1.  Cho hai điểm $A,B$. Xác định vị trí điểm $I$ thoả mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{O}$.

    Nhận xét. Với hai điểm $A, B$ cho trước luôn xác định được điểm $I$ thoả mãn: $$m\overrightarrow{IA}+n\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{O}$$ Với điểm O bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}$.

    Ví dụ 2. Bài toán 3 điểm. Cho 3 điểm $A, B, C$. Tìm vị trí điểm $M$  sao cho:

    1. $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$
    2. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    3. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    4. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    5. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    6. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Tìm quĩ tích thoả mãn một đẳng thức véc tơ

    Một số quĩ tích cơ bản:

    1. $\left| \overrightarrow{MA} \right|=\left| \overrightarrow{MB} \right|$ thì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.
    2. $\left| \overrightarrow{MC} \right|=k\left| \overrightarrow{AB} \right|$, với $A, B, C$ cố định thì $M$ nằm trên đường tròn tâm $C$ bán kính $k.AB$.
    3. $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{BC}$ với $A, B, C$ cho trước:
      • $k > 0$ thì $M$ nằm trên nửa đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$ và theo hướng $\overrightarrow{BC}$.
      • $k< 0$
      • $k$ bất kì.

    Dạng 1. (Bài toán hai điểm)

    Ví dụ 1. Cho hai điểm $A,B$ cố định. Tìm quĩ tích điểm $M$ sao cho:

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=2\left| \overrightarrow{AB} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{AB} \right|$
    3. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=2\left| \overrightarrow{MA} \right|$
    4. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MA} \right|$
    5. $\left| 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|$

    Dạng 2. (Bài toán 3 điểm)

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$. Tìm quĩ tích điểm $M$ sao cho:

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\frac{3}{2}\left| \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|$
    3. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$
    4. $\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$

    Ví dụ 3. Tìm quĩ tích điểm $M$ sao cho:

    1. $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    2. $k\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}$
    3. $(1-k)\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Một số bài toán về khoảng cách

    Ví dụ 1 Cho hai điểm $A, B$ và đường thẳng $d$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất?

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$
    3. $\left| 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|$
    4. $\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$
    5. $\left| 2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB} \right|$

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $d$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất.

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    3. $\left| 3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    4. $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$

    Ví dụ 3. Cho tứ giác $ABCD$ và đường thẳng $d$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất.

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD} \right|$
    3. $\left| 3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \right|$
    4. $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \right|$
    5. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{AB} \right|$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định

    Ví dụ 1. (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm $A, B$ cố định. Hai điểm $M, N$ di động. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định nếu:

    • Với $I$ là trung điểm $AB$ thì: $$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$$
    • Nếu $M, I, N$ thẳng hàng thì khi đó: $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}$, hay nói cách khác là đường thẳng $MN$ đi qua điểm $I$ cố định.

    Từ đó dẫn dắt vào bài toán bằng cách thay điểm $I$ bằng điểm bất kì:

    1. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$
    2. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}$
    3. $\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$
    4. $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$

    Ví dụ 2. (Bài toán 3 điểm). Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định nếu (Xác định vị trí điểm cố định và điểm $N$ trong mỗi trường hợp)

    1. $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MN}$
    2. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    3. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    4. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    5. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    6. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$