Năm 1858, một cụ già đưa tới viện hàn lâm khoa học Pháp một ảo thuật toán học mang tên “mặt một phía” nhưng bị lãng quên trong kho lưu trữ. Về sau tác giả tự công bố công trình của mình và đó là một trong những ví dụ đầu tiên cho ngành toán học hiện đại: TOPO HỌC. Mô hình ảo thuật như sau:

Lấy một băng giấy hình chữ nhật ABCD, sau khi vặn xoắn dải băng180 độ rồi bôi hồ và dán điểm C trùng với A, D trùng với B, ta được mặt một phía. Dải băng này được gọi là dải Mobius.

Nếu cũng từ băng giấy đó ta dán C trùng với B, D trùng với A thì được một vòng giấy bình thường như mọi người vẫn làm để trang trí. Dải giấy này có hai mặt phân biệt: mặt trong và mặt ngoài, còn dải Mobius thì chỉ có một mặt.

Đối với dải băng bình thường, một chú kiến bò ở mặt ngoài thì bò mãi vẫn là ở mặt ngoài, muốn vào mặt trong phải bò vượt qua mép, muốn bò từ điểm M một vòng rồi trở về điểm M thì chỉ bò với quãng đường bằng chu vi dải giấy giả sử nó bò cách đều mép giấy). Các nhà toán học gọi các dải giấy bình thường là “mặt hai phía”. Nó có hai phía phân biệt: phía trong và phía ngoài.

Còn đối với dải Mobius thì một con kiến sẽ bò mãi mãi trên một mặt và khi bò trở về điểm xuất phát, con kiến đã đi được quãng đường dài gấp đôi so với dải băng bình thường.

Nếu ta dùng kéo cắt theo đường kiến bò thì ta được hai vòng giấy thông thường. Ở vòng giấy “mặt một phía” thì nếu ta dùng kéo cắt theo đường kiến bò thì sẽ được một dải giấy “mặt một phía” nhưng có chu vi gấp đôi chu vi dải giấy khi chưa cắt.

Nếu bạn tiếp tục cắt như vậy sẽ thấy nhiều điều thú vị nữa. Chẳng hạn nếu cắt dọc như vậy nữa sẽ được hai dải giấy “mặt một phía” lồng vào nhau. Trên dải giấy “mặt một phía” chú kiến bò thoải mái từ trong ra ngoài, từ ngoài vào trong mà không cần phải vượt qua mép. Trên dải giấy này, nếu chú kiến bò từ điểm N muốn trở lại điểm N thì phải bò quãng đường ít nhất bằng hai lần chu vi dải giấy.

Ứng dụng tính chất này người ta đã xây dựng tiết mục xiếc đi xe đạp từ trong ra ngoài rồi lại từ ngoài vào trong mà không cần phải vượt qua mép. Đây là một tiết mục hấp dẫn và hồi hộp.

Giá mà các nhà thiết kế hệ thống đường bộ tạo được các mặt một phía tại các ngã tư thì những người tham gia giao thông sẽ không bị ùn tắc.

Người đã tạo ra “mặt một phía” là nhà thiên văn August ferdinand Mobius (17.11.1790-26.9.1868) người Đức, lúc ông 68 tuổi (chính là cụ già nói ở trên). Mặt này về sau được mang tên ông, gọi là dải Mobius và ông được coi là một trong những người khởi xướng ra topo học.

Dải Mobius có tính chất topo rõ rệt. Sau đây là một số tính chất rất kì lạ:

• Một số vấn đề không thể giải quyết được trên mặt phẳng nhưng lại được giải quyết trên dải Mobius một cách không thể tưởng tượng được!

• Một vấn đề khác không có cách gì thực hiện được trong không gian thông thường là “đổi chỗ găng tay” găng tay phải và găng tay trái tuy rất giống nhau nhưng lại có sự khác nhau về bản chất. Ta không thể lấy găng tay trái xỏ đúng vào găng tay phải được, cũng không thể lấy găng tay phải xỏ đúng vào găng tay trái được. Dù bạn có xoay đi xoay lại thế nào thì găng tay trái luôn luôn là găng tay trái và găng tay phải luông luôn là găng tay phải.

Trong tự nhiên có rất nhiều vật tương tự như găng tay, bản thân chúng có các bộ phận đối xứng hoàn toàn giống nhau, nhưng một cái là bên trái, cái kia là bên phải thì giữa chúng có cái khác nhau rất lớn. Điển hình là đôi giày của bạn, bạn không thể đổi chổ chân trái đi chiếc giày bên phải được.

Bây giờ các bạn hãy hình dung: Vẽ một con mèo dẹt lên mặt giấy. Quy định là con mèo này phải dán chặt trên mặt giấy. Giả sử đầu con mèo này đang quay về bên phải. Bạn đọc dễ hình dung là chỉ cần con mèo này dán chặt vào mặt giấy thì dù đi như thế nào đầu của nó chỉ có thể quay về bên phải. Cho nên chúng ta gọi nó là mèo dẹt bên phải. Đầu mèo dẹt bên phải sở dĩ luôn quay về bên phải là vì nó không thể rời mặt giấy. Giả sử cho phép nó chạy vào trong không gian thì bất cứ bạn đọc nào cũng có thể dễ dàng lật nó lại rồì đặt vào mặt giấy, biến thành mèo dẹt bên trái đầu quay về bên trái.

Bây giờ chúng ta hãy xem trên dải Mobius, cảnh ngộ của mèo dẹt như thế nào? Chăc chắn một lúc nào đó mèo dẹt bên trái nó trở thành mèo dẹt bên phải.

Câu chuyện “mèo dẹt” gợi ý cho ta rằng: Trên một mặt đã bị vặn, vật thể bên phải và bên trái có thể thực hiện chuyển đổi. Bạn hãy tưởng tượng không gian của chúng ta ở rìa mép nào đó của vũ trụ, hiện ra sự uốn cong của dải Mobius thì chắc hẳn có một sớm mai nào đó nhà du hành vũ trụ giữa các vì sao xuất phát mang theo trái tim bên lồng ngực trái, lại trở về trái đất với trái tim ở bên lồng ngực phải.

Sau đây là câu chuyện lý thú khác:

Đồn rằng thời cổ đại có một vị vương quốc già có 5 người con trai. Trước khi lâm chung, quốc vương để lại một bản di chúc, yêu cầu chia đất nước ra làm 5 miền, mỗi người con trai được một miền. Nhưng mỗi miền phải liền với 4 miền còn lại, để cho người ở trên mỗi miền đất đều có thể đến bất cứ miền nào mà không phải qua miền đất thứ ba. Còn về độ rộng lớn của mỗi miền đất thì do các con tự bàn bạc giải quyết.
Sau khi quốc vương băng hà, các vương tử không thể làm cách nào để thực hiện được bản di chúc của phụ vương. Ẩn ý của quốc vương là muốn 5 người con đoàn kết, nhất trí, giúp đỡ nhau. Thế nhưng với điều kiện của di chúc thì không có cách nào thực hiện trên đất. Bạn có thể biết lý do tại sao không? Giả sử đất nước trong di chúc ở trong dải Mobius thần kì thì bạn có thể giúp các vị vương tử này thực hiện được bản di chúc của quốc vương không?