Quy tắc cộng xác suất

Tổng xác suất là xác suất của biến cố hợp. Để tính xác suất của biến cố hợp, ta cần đến quy tắc cộng xác suất sau đây:

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là

P(A∪B)=P(A)+P(B)

Nếu A, B là các biến cố bất kì thì

P(A∪B)=P(A)+P(B) – P(AB)

Nếu A, B, C là các biến cố bất kì thì

P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Ví dụ. Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Giải:

Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có ít nhất một thẻ chẵn.

Gọi A là biến cố “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố “Cả hai thẻ được rút là thẻ chẵn” thì biến cố “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là A ∪ B.

Do hai biến cố A và B xung khắc nên P(A∪B)=P(A)+P(B) – P(AB).

Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có: \[P\left( A \right) = \dfrac{{C_5^1.C_4^1}}{{C_9^2}} = \dfrac{{20}}{{36}}, P\left( B \right) = \dfrac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \dfrac{6}{{36}}.\]

Do đó: \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \dfrac{{20}}{{36}} + \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{{26}}{{36}} = \dfrac{{13}}{{18}}.\]

Tổng quát: Cho tập biến cố $ \{A_i\}, i = \overline{1,n} $, khi đó ta có: $$
\begin{aligned}
P\Bigg(\bigcup _{i=1}^n{A_i}\Bigg)
&= \sum _{i=1}^nP(A_i)
\\
\ &- \sum_{1 \le i_1 < i_2 \le n}P(A_{i_1}A_{i_2})
\\
\ &+ \sum_{1 \le i_1 < i_2 < i_3 \le n}P(A_{i_1}A_{i_2}A_{i_3})
\\
\ &- \ldots + (-1)^{n+1}P(A_1A_2 \ldots A_n)
\end{aligned}
$$

Hay viết gọn thành: $$P\Bigg(\bigcup_{i=1}^n{A_i}\Bigg) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \sum_{1 \le k_1 < \cdots < k_i \le n} P\Big(\bigcap_{j=1}^iA_{k_j}\Big)$$

Trong đó, tổng $\sum_{1 \le k_1 < \cdots < k_i \le n} P\Big(\bigcap_{j=1}^iA_{k_j}\Big)$ là tổng của tất cả các xác suất giao của tập con gồm $i$ phần từ tập $\\{1,2,…,n\\}$.

Từ công thức trên ta có thể thấy rằng:

$$P\Bigg(\bigcup A_{i=1}^n{A_i}\Bigg) \le \sum_{i=1}^nP(A_i) $$

Dấu bằng đạt được khi tập biến cố này xung khắc đôi một:

$$ P\Bigg(\bigcup_{i=1}^n{A_i}\Bigg) = \sum_{i=1}^nP(A_i). $$

Nếu các biến cố này tạo thành không gian biến cố $ \Omega $ thì:

$$ P(\Omega) = \sum_{i=1}^nP(A_i) = 1 $$

Do, $ A $ và $ \bar{A} $ tạo thành không gian biến cố nên ta có:
$$\begin{aligned}
\ &P(A) + P(\bar{A}) = 1 \\
\iff &P(A) = 1 – P(\bar{A}) \\
\iff &P(\bar{A}) = 1 – P(A)
\end{aligned}
$$

Xác suất có điều kiện

Là xác suất của một biến cố xảy ra khi biết xác suất của biến cố khác đã xảy ra. Xác suất của biến cố $ A $ khi biết $ B $ đã xảy ra được kí hiệu là $ P(A|B) $. Công thức tính xác suất của $ A $ được xác định như sau: $$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}, \forall P(B)>0 $$

Nếu $ A $ và $ B $ là độc lập, tức $ A $ không phụ thuộc vào $ B $ thì: $ P(A|B) = P(A) $ và $ P(B|A) = P(B) $.

Mời bạn xem thêm các ví dụ trong bài Xác suất có điều kiện – Công thức Bayes.

Xác suất có điều kiện cũng có các tính chất hệt như xác suất thông thường:

• $\displaystyle P\Bigg(\bigcup_{i=1}^n{A_i|B}\Bigg) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \sum_{k_1 \le \cdots \le k_i} P\Big(\bigcap_{j=1}^iA_{k_j}|B\Big) $
• $P(\bar{A}|B) = 1 – P(A|B)$

Quy tắc nhân xác suất

Tích xác suất là xác suất của biến cố giao. Từ công thức xác suất có điều kiện ta có thể tính được xác suất giao như sau:

P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)

Hai biến cố A,B được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của A không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B.

Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì 

P(AB) = P(A).P(B)

Ví dụ: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I chạy tốt là 0,8 và xác suất để động cơ II chạy tốt là 0,7. Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.

Giải:

Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”, B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”, C là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”.

Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và C = AB. Theo công thức nhân xác suất ta có:

P(AB) = P(A).P(B) = 0,8.0,7 = 0,56.

Trường hợp tổng quát, cho $\\{A_i\\}, i = \overline{1,n}$ thì tích xác suất của chúng được tính như sau:
$$P\Bigg(\bigcap_{i=1}^nA_i\Bigg) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)…P(A_n|A_1A_2…A_{n-1})$$
Hay viết gọn thành:
$$P\Bigg(\bigcap_{i=1}^nA_i\Bigg) = \prod_{i=1}^nP\Big(A_i|\bigcap_{j=1}^{i-1}A_j\Big)$$

Tích xác suất còn được gọi là quy tắc chuỗi xác suất bởi cách biểu diễn liên hoàn thành chuỗi như trên.

Nếu $\\{A_i\\}$ là độc lập từng đôi một thì ta có:

$$P\Big(\bigcap_{i=1}^nA_i\Big) = \prod_{i=1}^nP(A_i)$$

Do $0 \le P(A_i) \le 1$ nên xác suất của tích không thể nào lớn hơn xác suất thành phần được:

$$P\Bigg(\bigcap_{i=1}^nA_i\Bigg) \le \min\Big(P(A_i)\Big)$$

Xác suất hậu nghiệm – Bayes

Xác suất hậu nghiệm (tiếng Anh: posterior probability) của một biến cố ngẫu nhiên hoặc một mệnh đề không chắc chắn là xác suất có điều kiện mà nó nhận được khi một bằng chứng có liên quan được xét đến.

Từ công thức tính tích xác suất ta có $$P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$$

Từ đó, ta có thể tính xác suất của A khi biết B: $$ P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} $$

Trong đó:

• $ P(A|B) $: xác suất hậu nghiệm
• $ P(A) $: xác suất tiền nghiệm
• $ P(B) $: hằng số chuẩn hóa
• $ P(B|A) $: khả năng (likelihood)

Trường hợp mở rộng, cho hệ xác suất tiền nghiệm $ \\{A_i\\}, i = \overline{1,n} $, với mỗi biến cố $ B $ bất kì, vì $\displaystyle P\Big(\bigcup_{i=1}^nA_i\Big) = 1 $ ta có: \begin{aligned}
P(B) &= P\Big(B\bigcup_{i=1}^nA_i\Big) \\
\iff P(B) &= P\Big(\bigcup_{i=1}^nBA_i\Big) \\
\iff P(B) &= \sum_{i=1}^nP(BA_i) \\
\iff P(B) &= \sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)
\end{aligned}

Công thức trên được gọi là công thức xác suất đầy đủ. Nếu $ P(B) > 0 $ thì với bất kì $ A \in {A_i} $, ta tính được xác suất của $ A $ sau khi quan sát $ B $ như sau: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}$$

Công thức Bec-nu-li (Bernoulli)

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp trường hợp cùng một phép thử được lặp đi lặp lại nhiều lần. Trong mỗi phép thử có thể xảy ra hay không xảy ra một biến cố A nào đó và ta quan tâm đến tổng số lần xảy ra biến cố A trong dãy phép thử. Chẳng hạn, nếu tiến hành sản xuất hàng loạt một loại chi tiết nào đó ta thường quan tâm đến tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất. Bài toán này có thể giải quyết khá dễ dàng nếu các phép thử độc lập với nhau.

Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở phép thử khác hay không. Chẳng hạn: tung nhiều lần một đồng xu hoặc lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n sản phẩm từ một lô hàng sẽ tạo nên các phép thử độc lập.

Một phép thử mà kết quả chỉ có 2 biến cố là xảy ra A với xác suất P(A) = p hoặc không xảy ra A với xác suất $P(\bar{A}) = 1 – p = q$ được gọi là phép thử Bec-nu-li. Khi đó xác suất để xảy ra biến cố $A$ đúng $k$ lần được tính bằng công thức sau: $$P(A^k)=C_{n}^{k}p^kq^{n-k}$$

Chứng minh: Gọi Ai là biến cố “ở phép thử thứ i, A xảy ra” (i = 1, 2,…, n). Suy ra \(\overline {{A_i}}\) sẽ là biến cố “ở phép thử thứ i, A không xảy ra”. Gọi B là biến cố “trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần”. B có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, k phép thử đầu, A xảy ra, còn n-k phép thử sau A không xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích:

\[{A_1}.{A_2}….{A_k}.{\overline A _{k + 1}}.{\overline A _{k + 2}}…\overline {{A_n}}\]

Hoặc n-k phép thử đầu A không xảy ra, còn n-k phép thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích có dạng:

\[\overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} …{\overline A _{n – k}}.{\overline A _{n – k + 1}}…{A_n}\]

Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k phép thử để biến cố A xảy ra, tức bằng \(C_n^k\) và biến cố B chính là tổng của những biến cố tích ấy.

Đối với mỗi tích, ta thấy biến cố A xảy ra đúng k lần, còn \(\overline A\) xảy ra đúng (n- k) lần. Do đó xác suất của mỗi tích đều bằng \({p^k}{q^{n – k}}\).

Vì các biến cố tích là các biến cố xung khắc từng đôi, nên ta có:

\[{P_k}(A) = P(B) = C_n^k{p^k}{q^{n – k}}\]

Ví dụ: Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 5 sản phẩm để kiểm tra (lấy có hoàn lại). Tìm xác suất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra?

Giải: Ta coi việc kiểm tra một sản phẩm là thực hiện một phép thử. Vì kiểm tra 5 sản phẩm nên ta coi như thực hiện 5 phép thử độc lập.

Gọi A là biến cố “sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm”. Ta thấy trong mỗi phép thử chi có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc sản phẩm kiểm tra là phế phẩm (tức A xảy ra), hoặc sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt (tức A không xảy ra).

Xác suất để A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng 0,05. Vậy các điều kiện để áp dụng công thức Bernoulli đều thoả mãn. Vì vậy, xác suất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra là:

\[{P_2}\left( A \right){\rm{ }} = C_5^2{\left( {0,05} \right)^2}{\left( {0,95} \right)^3} = 0,0214\]

Phép thử Bec-nu-li được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế, ví dụ như bài toán phân lớp nhị phân (chỉ có 2 nhãn) thì ta có thể sử dụng công thức này để tính khả năng có bao nhiêu phân tử thuộc vào 1 nhãn nào đó.