Category: Tổ hợp – Xác suất

Bài tập Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Tiếp theo bài Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất, chúng tôi tiếp tục giới thiệu phần bài tập Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất trong đề cương của ĐH BKHN.

Xem thêm: 1000 bài toán Tổ hợp Xác Suất có lời giải.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài tập 2.1. Một chùm chìa khóa gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở được cửa. Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho đến khi mở được cửa. Gọi X là số lần thử.
1. Tìm phân phối xác suất của X;
2. Tìm kỳ vọng và phương sai của X;
3. Viết hàm phân phối xác suất của X.
Hướng dẫn. Gọi X là số lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nó nhận các giá trị X = 1, 2, 3, 4. Gọi X_ilà “mở được cửa ở lần thứ i” thì X₁, X₂, X₃, X₄tạo thành hệ đầy đủ.

Bài tập 2.2. Một xạ thủ có 5 viên đạn. Anh ta phải bắn vào bia với quy định khi nào có 2 viên trúng bia hoặc hết đạn thì dừng. Biết xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,4 và gọi X là số đạn cần bắn.
1. Tìm phân phối xác suất của X;
2. Tìm kỳ vọng, phương sai và viết hàm phân phối xác suất của X.
Bài tập 2.3. Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử tổng thống là 40%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho ông A trong 20 người đó.
1. Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn của X và modX.
2. Tìm P(X = 10).
Bài tập 2.4. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có 2 giá trị x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Xác suất để X nhận giá trị x₁ là 0,2. Tìm luật phân phối xác suất của X, biết kỳ vọng E(X) = 2, 6 và độ lệch tiêu chuẩn σ(X) = 0,8.

Bài tập 2.5. Mỗi khách uống cà phê tại quán cà phê mỗi ngày đều được phát ngẫu nhiên một vé bốc thăm, xác suất khách hàng trúng thăm là 0,1. Nếu khách hàng trúng thăm liên tục trong 5 ngày (từ thứ hai đến thứ sáu) sẽ nhận được 100₫, nếu không sẽ không được gì. An uống cà phê liên tục tại quán này 4 tuần liên tiếp. Gọi X₫ là số tiền An được thưởng khi bốc thăm trong 4 tuần đó. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.

Gọi X là số tiền An nhận được khi bốc thăm trong 4 tuần và Y là số tuần An được thưởng
thì khi đó

X = 100Y

và Y là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối nhị thức với n = 4 phép thử độc lập và p là xác
suất được thưởng trong 1 tuần bất kì. Dễ tính p = 0.1⁵
Suy ra E[X] = 100 E[Y] = 100 × 4 × 0.1⁵ = 0.004 và V[X] = 10⁴ V[Y]= 0.4

Bài tập 2.6. Tung đồng xu 10 lần. Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa như sau: (X = 1) nếu sự kiện đúng 3 lần ra mặt sấp xảy ra và (X = 0) trong trường hợp còn lại. Tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X).

Bài tập 2.7. Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và 1 phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt hai sản phẩm (lấy không hoàn lại).
1. Gọi X là “số chính phẩm gặp phải”. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính E(X) và V(X).
2. Gọi Y là “số phế phẩm gặp phải”. Lập hệ thức cho mối quan hệ giữa X và Y.
Bài tập 2.8. Người ta đặt ngẫu nhiên 10 thẻ (trong đó có 5 thẻ màu đỏ và 5 thẻ màu xanh) vào 10 phong bì (5 phong bì có màu đỏ và 5 phong bì có màu xanh), mỗi phong bì một thẻ. Gọi X là số phong bì có chứa một thẻ cùng màu. Tính giá trị:
1. P(X = 1).
2. E(X).
Bài tập 2.9. Có 2 kiện hàng. Kiện I có 3 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Kiện II có 2 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện I ra 2 sản phẩm và từ kiện II ra 1 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.

Bài tập 2.10. Có hai kiện hàng. Kiện thứ nhất có 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Kiện thứ hai có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện I bỏ sang kiện II. Sau đó từ kiện II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện II.

Bài tập 2.11. Gieo hai con xúc sắc đồng chất 5 lần, gọi X là số lần xuất hiện hai mặt 6.
1. Tính xác suất của sự kiện số lần xuất hiện hai mặt 6 ít nhất là 2.
2. Tính E(X), V(X).
3. Viết hàm phân phối F(x).
Bài tập 2.12. Một thanh niên nam vào cửa hàng thấy 5 máy thu thanh giống nhau. Anh ta đề nghị cửa hàng cho anh ta thử lần lượt các máy đến khi chọn được máy tốt thì mua, nếu cả 5 lần đều xấu thì thôi. Biết rằng xác suất để một máy xấu là 0,6 và các máy xấu tốt độc lập với nhau. Gọi X là số lần thử. Lập bảng phân phối xác suất của X.

Bài tập 2.13. Có hai hộp bi. Hộp I có 2 bi trắng, 3 bi đỏ. Hộp II có 2 bi trắng, 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, sau đó lại lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp II bỏ vào hộp I. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số bi trắng có mặt ở hộp I và hộp II sau khi đã chuyển xong.

Bài tập 2.14. Một người đi làm từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư. Xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5. Gọi X là số đèn đỏ mà người đó gặp phải trong một lần đi làm (giả sử 3 đèn giao thông ở ngã tư hoạt động độc lập với nhau).
1. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính kỳ vọng, phương sai của X. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
2. Hỏi thời gian trung bình phải ngừng trên đường là bao nhiêu biết rằng mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải đợi khoảng 3 phút.
Bài tập 2.15. Một người chơi trò chơi tung con xúc sắc cân đối đồng chất ba lần. Nếu cả ba lần đều xuất hiện mặt 6 thì thu về 36₫, nếu hai lần xuất hiện mặt 6 thì thu về 2,8₫, nếu một lần xuất hiện mặt 6 thì thu về 0,4₫. Biết rằng khi chơi người đó phải nộp x₫.
1. Tìm x sao cho trò chơi là vô thưởng vô phạt.
2. x bằng bao nhiêu thì trung bình mỗi lần chơi, người chơi mất 1₫?
Bài tập 2.16. Một kiện hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II. Khi bán được một sản phẩm loại I thì được lãi 50 ngàn đồng; còn nếu bán được một sản phẩm loại II thì được lãi 20 ngàn đồng. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 3 sản phẩm.
1. Tìm quy luật phân phối xác suất của số tiền lãi thu được do bán 3 sản phẩm đó; tính kỳ vọng, phương sai của số tiền lãi thu được do bán 3 sản phẩm đó.
2. Viết hàm phân phối, vẽ đồ thị hàm phân phối của số tiền lãi thu được khi bán 3 sản phẩm đó.
Bài tập 2.17. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 10 quả còn mới. Lần đầu ta lấy ra 3 quả để thi đấu, sau đó lại trả 3 quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra 3 quả. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số quả bóng mới trong 3 quả lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất, tính kì vọng, phương sai của X.

Bài tập 2.18. Một cơ sở thí nghiệm có 3 phòng thí nghiệm như nhau. Xác suất thực hiện thành công một thí nghiệm của các phòng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Một sinh viên chọn một phòng thí nghiệm bất kỳ và tiến hành 3 thí nghiệm độc lập. Gọi X là số thí nghiệm thành công.
1. Lập bảng phân phối xác suất của X, tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X).
2. Theo anh (chị) thì khả năng chắc chắn sẽ thành công mấy thí nghiệm?
2. Biến ngẫu nhiên liên tục

Bài tập 2.19. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[f(x)=\begin{cases} k\sin 3x, & x\in (0;\frac{\pi}{3})\\ 0, & x\not\in (0;\frac{\pi}{3})\end{cases}\]
1. Xác định k và hàm phân phối F(x).
2. Tính P(π/6 ≤ X < π/3).
Bài tập 2.20. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[f(x)=\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{a^2-x^2}},& x\in (-a;a)\\ 0, & x\not\in (-a;a)\end{cases}\] Xác định hằng số c, sau đó tính kỳ vọng và phương sai của X.

Bài tập 2.21. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[ f(x)=\frac{c}{e^x+e^-x}\]Xác định hằng số c và sau đó tính kỳ vọng của X.

Bài tập 2.22. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ là \(f(x) = ae^{-|x|}\), (−∞ < x < +∞).
1. Xác định a.
2. Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X; biến ngẫu nhiên Y = X².
3. Tìm E(X), V(X).
4. Tính xác suất để sau ba lần lặp lại phép thử một cách độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong (0; ln 3).
Bài tập 2.23. Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):\[f(x)=\begin{cases} k(30-x),& x\in (0;30)\\ 0, & x\not\in (0;30)\end{cases}\]
1. Tìm k.
2. Tìm hàm phân phối F(x).
3. Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó.
Bài tập 2.24. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất \[f(x)=\begin{cases} 0,& x\leqslant 0\\ 1/2-k\cos x, & 0<x \leqslant \pi \\ 1, & x>\pi\end{cases}\]
1. Tìm k.
2. Tìm P(0 < X < π/2 ).
3. Tìm E(X).
Bài tập 2.25. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất
1. Tìm A và B.
2. Tìm hàm mật độ xác suất f (x).
Bài tập 2.26. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng F(x) = a + b arctan x, (−∞ < x < +∞).
1. Tìm hệ số a và b.
2. Tìm hàm mật độ xác suất f (x).
3. Tìm xác suất để khi tiến hành 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (−1; 1).
Bài tập 2.27. Biến ngẫu nhiên X liên tục trên toàn trục số và có hàm phân phối xác suất F(x) = 1/2 + 1/π arctan(x/2). Tìm giá trị có thể có của x₁ thỏa mãn điều kiện P(X > x₁) = 1/4.

Bài tập 2.28. Thu nhập của dân cư tại một vùng là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất như sau:

Hãy xác định mức thu nhập sao cho lấy ngẫu nhiên một người ở vùng đó thì thu nhập của người này vượt quá mức trên với xác suất 0,5.

Bài tập 2.29. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng tại một cửa hàng ăn nhanh là biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật lũy thừa với hàm mật độ xác suất \[ f(x)=\begin{cases} 5e^{-5x},& x>0\\ 0,& x \leqslant 0 \end{cases}\] với x được tính bằng phút/khách hàng.
1. Tìm xác suất để thời gian phục vụ một khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng (0, 4; 1)(phút).
2. Tính thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.
3. Một số luật phân phối xác suất thông dụng

Bài tập 2.30. Bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy.

Bài tập 2.31. Xác suất để một sinh viên chậm giờ thi là 0,02. Tìm số sinh viên chậm giờ thi có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 sinh viên dự thi.

Bài tập 2.32. Một ga ra cho thuê ôtô thấy rằng số người đến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần là một biến ngẫu nhiên có phân bố Poát-xông với tham số λ = 2. Giả sử gara có 4 chiếc ôtô.
1. Tìm xác suất để tất cả 4 ôtô đều được thuê vào thứ 7.
2. Tìm xác suất gara không đáp ứng được yêu cầu (thiếu xe cho thuê) vào thứ 7.
3. Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê vào ngày thứ 7?
Bài tập 2.33. Gọi biến ngẫu nhiên Y là tỷ lệ người trong 1000 người Mỹ xác nhận rằng có uống nhiều hơn 5 cốc bia mỗi ngày. Giả sử rằng tỷ lệ đúng là 10% trên toàn bộ dân số Mỹ. Tính E(Y), D(Y).

Bài tập 2.34. Giả sử X là biến ngẫu hiên có phân phối chuẩn với trung bình là 3 và phương sai là 0,16.
1. Hãy tính P(X > 3), P(X > 3, 784).
2. Tìm c sao cho P(3 − c < X < 3 + c) = 0,9.
Bài tập 2.35. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm 2006 được coi như một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì với xác suất 0,1587 cho lãi suất lớn hơn 20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng đầu tư mà không bị lỗ là bao nhiêu?

Bài tập 2.36. Tung một đồng xu vô hạn lần, xác suất thu được mặt ngửa mỗi lần là p.
1. Gọi X là số lần tung đến khi xuất hiện mặt ngửa lần đầu tiên (tại lần tung thứ X). Tính E(X).
2. Tính xác suất xuất hiện đúng 6 lần ngửa trong 10 lần tung.
3. Tính xác suất để lần xuất hiện mặt ngửa thứ 6 rơi vào lần tung thứ 10.
Bài tập 2.37. Lấy ngẫu nhiên một điểm M trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2a. Biết rằng xác suất điểm M rơi vào cung CD bất kì của nửa đường tròn AMB chỉ phụ thuộc vào độ dài cung CD.
1. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y chỉ diện tích tam giác AMB.
2. Tìm giá trị trung bình của diện tích tam giác ấy.
Bài tập 2.38. Từ điểm A(0, −a) (a > 0) trong nửa mặt phẳng tọa độ xOy phần x ≥ 0, người ta kẻ ngẫu nhiên một tia At hợp với tia Oy một góc ϕ. Biết ϕ là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trong khoảng (0, π/4). Tia At cắt Ox tại điểm M.
1. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ diện tích tam giác AOM.
2. Tìm giá trị trung bình của diện tích trên.
Bài tập 2.39. Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định sẽ áp dụng một trong hai phương án kinh doanh: Phương án 1: Gọi X₁ (triệu đồng/tháng) là lợi nhuận thu được. X₁ có phân phối chuẩn (140; 2500). Phương án 2: Gọi X₂ (triệu đồng/tháng) là lợi nhuận thu được. X₂có phân phối chuẩn (200; 3600). Biết rằng công ty tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ mặt hàng A phải đạt ít nhất 80 triệu đồng/tháng. Hỏi nên áp dụng phương án nào để rủi ro thấp hơn.

Bài tập 2.40. Trọng lượng của một loại trái cây có quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 250g, độ lệch chuẩn về trọng lượng là 5g. Trái cây loại I là trái cây có trọng lượng không nhỏ hơn 260g.
1. Một người lấy 1 trái từ trong sọt trái cây Tính xác suất người này lấy được trái cây loại I.
2. Nếu lấy được trái loại I thì người này sẽ mua sọt đó. Người ngày kiểm tra 100 sọt. Tính xác suất người này mua được 6 sọt.
Bài tập 2.41. Một dây chuyền tự động khi hoạt động bình thường có thể sản xuất ra phế phẩm với xác suất p = 0,001 và được điều chỉnh ngay lập tức khi phát hiện có phế phẩm. Tính số trung bình các sản phẩm được sản xuất giữa 2 lần điều chỉnh.

Bài tập 2.42. Trong một kỳ thi điểm số của các sinh viên có trung bình là 80 và độ lệch chuẩn là 10. Giả sử phân phối của điểm thi xấp xỉ phân phối chuẩn.
1. Nếu giáo viên muốn 25% số sinh viên đạt điểm A (nhóm điểm cao nhất) thì điểm số thấp nhất để đạt điểm A là bao nhiêu?
2. Chọn ngẫu nhiên 50 sinh viên, tính xác suất trong đó có nhiều hơn 10 sinh viên đạt điểm A (điểm A lấy ở câu (a)).
Bài tập 2.43. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kì vọng 20mm, phương sai 0,04mm. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một chi tiết có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm.

Bài tập 2.44. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 160cm và độ lệch chuẩn là 6cm. Tìm xác suất để đo ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất một người có chiều cao nằm trong khoảng (158–162)cm.

Bài tập 2.45. Dùng hai phương pháp để tính sai số của một biến ngẫu nhiên. Phương pháp 1: Cho sai số đó bằng 2X với X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 25). Phương pháp 2: Cho sai số đó bằng tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập Y = Y₁ + Y₂ trong đó E(Y₁) = E(Y₂) = 0 và σ(Y₁) = σ(Y₂) = 5. Hỏi phương pháp nào được ưa dùng hơn?
02/11/2021
Bài tập Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
Bài tập Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Chúng tôi xin giới thiệu Bài tập Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất của ĐH Bách Khoa Hà Nội để bạn đọc tham khảo.

1. Giải tích tổ hợp. Sự kiện ngẫu nhiên. Định nghĩa xác suất.

Bài tập 1.1. Một hộp có 10 quả cầu cùng kích cỡ được đánh số từ 0 đến 9. Từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên 1 quả ra và ghi lại số của quả đó, sau đó trả lại vào trong hộp. Làm như vậy 5 lần ta thu được một dãy số có 5 chữ số.
1. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó?
2. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó sao cho các chữ số trong đó là khác nhau?
Hướng dẫn.
1. Số kết quả cho dãy đó là 10^5.
2. Số kết quả cho dãy có các chữ số khác nhau là 10.9.8.7.6 = 30240.
Bài tập 1.2. Có 6 bạn Hoa, Trang, Vân, Anh, Thái, Trung ngồi quanh một bàn tròn để uống cà phê, trong đó bạn Trang và Vân không ngồi cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế là không phân biệt?
2. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế có phân biệt?
Hướng dẫn.
1. Số cách xếp để Trang và Vân không ngồi cạnh nhau là 5! – 2.4! = 72.
2. Số cách xếp nếu các ghế có phân biệt là 6! – 6.2.4! = 432.
Bài tập 1.3. Từ một bộ bài tú lơ khơ 52 cây rút ngẫu nhiên và không quan tâm đến thứ tự 4 cây. Có bao nhiêu khả năng xảy ra trường hợp trong 4 cây đó:
1. 4 cây đều là át;
2. có duy nhất 1 cây át;
3. có ít nhất 1 cây át;
4. có đủ 4 loại rô, cơ, bích, nhép.
Hướng dẫn.
1. Chỉ có 1 khả năng do một bộ bài chỉ có 4 con át.
2. Có 4 cách lấy ra 1 con át, có 40C3 cách chọn 3 lá bài còn lại. Như vậy, số cách lấy ra 4 lá để có duy nhất 1 con át là 4×48C3=69184
3. Số cách chọn ra 4 lá từ bộ bài là 52C3. Số cách để chọn ra 4 lá bài trong đó không có cây át nào là 48C3 (không xét thứ tự). Suy ra số khả năng là 52C3 – 48C3 = 76145.
4. Số cách lấy 1 lá bài cơ là 13C1 = 13. Tương tự với các loại rô, bích, nhép. Suy ra số khả năng là 13^4 = 28561.
Bài tập 1.4. Có 20 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 sinh viên (không xét tới tính thứ tự) tham gia câu lạc bộ Văn và 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán trong trường hợp:
1. một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ;
2. một sinh viên có thể tham gia cả hai câu lạc bộ.
Hướng dẫn.
1. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có 20C4 cách. Do 1 sinh viên không thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán là C16 4 . Số khả năng là 20C4×16C4 = 8817900
2. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có 20C4 cách. Do 1 sinh viên có thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên
  tham gia câu lạc bộ Toán là 20C4. Số khả năng là 20C4×20C4= 23474025.
Bài tập 1.5. Cho phương trình x + y + z = 100. Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm:
1. nguyên dương;
2. nguyên không âm.
Hướng dẫn.
1. Ta đánh dấu trên trục số từ số 1 đến 100 bởi 100 số 1 cách đều nhau 1 đơn vị. Khi đó, ta có 99 khoảng giữa 2 số 1 liên tiếp. Nếu chia đoạn thẳng [1, 100] này bởi 2 điểm chia nằm trong đoạn thì ta sẽ có 3 phần có độ dài ít nhất là 1.
  Có thể thấy rằng ta có song ánh giữa bài toán chia đoạn này với bài toán tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 100.
  Như vậy, số nghiệm của phương trình này bằng số cách chia, và bằng 99C2.
2. Sử dụng phàn trên, a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1 thì a, b, c là số nguyên dương và a+b+c=103. Do đó, số nghiệm của nguyên không âm là 102C2.
Bài tập 1.6. Thực hiện một phép thử tung 2 con xúc xắc, rồi ghi lại số chấm xuất hiện trên mỗi con. Gọi x, y là số chấm xuất hiện tương ứng trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai. Ký hiệu không gian mẫu Ω = {(x, y) : 1 ≤ x, y ≤ 6}. Hãy liệt kê các phần tử của các sự kiện sau:
1. A : “tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 8”;
2. B : “có ít nhất một con xúc xắc ra mặt 2 chấm”;
3. C : “con xúc xắc thứ nhất có số chấm lớn hơn 4”;
4. A + B, A + C, B + C, A + B + C, sau đó thể hiện thông qua sơ đồ Venn;
5. AB, AC, BC, ABC, sau đó thể hiện thông qua sơ đồ Venn.
Hướng dẫn.
1. A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
2. B = {(2, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}
3. C = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
4. A + B, A + C, B + C, A + B + C
5. AB = ⌀
  AC = {(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
  BC = {(5, 2), (6, 2)}
  ABC = ⌀
Bài tập 1.7. Số lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:
1. một nhân viên trong độ tuổi 30 – 40;
2. một nam nhân viên trên 40 tuổi;
3. một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống.
Bài tập 1.8. Một kiện hàng có 24 sản phẩm, trong số đó có 14 sản phẩm loại I, 8 sản phẩm loại II và 2 sản phẩm loại III. Người ta chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất trong 4 sản phẩm đó:
1. có 3 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II;
2. có ít nhất 3 sản phẩm loại I;
3. có ít nhất 1 sản phẩm loại III.
Bài tập 1.9. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để:
1. tất cả tấm thẻ đều mang số chẵn;
2. có đúng 5 số chia hết cho 3;
3. có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một số chia hết cho 10.
Bài tập 1.10. Việt Nam có 64 tỉnh thành, mỗi tỉnh thành có 2 đại biểu quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 64 đại biểu quốc hội để thành lập một ủy ban. Tính xác suất để:
1. trong ủy ban có ít nhất một người của thành phố Hà Nội;
2. mỗi tỉnh có đúng một đại biểu trong ủy ban.
Bài tập 1.11. Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ sân ga lên tàu. Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để:
1. toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người;
2. một toa có 3 người, một toa 2 người, một toa có 1 người;
3. mỗi toa có ít nhất 1 người.
Bài tập 1.12. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Một con xúc xắc có số chấm các mặt là 1, 2, 3, 4, 5, 6, con xúc xắc còn lại có số chấm các mặt là 2, 3, 4, 5, 6, 6. Tính xác suất:
1. có đúng 1 con xúc xắc ra mặt 6 chấm;
2. có ít nhất 1 con xúc xắc ra mặt 6 chấm;
3. tổng số chấm xuất hiện bằng 7.
Bài tập 1.13. Trong một thành phố có 5 khách sạn. Có 3 khách du lịch đến thành phố đó, mỗi người chọn ngẫu nhiên một khách sạn. Tìm xác suất để:
1. mỗi người ở một khách sạn khác nhau;
2. có đúng 2 người ở cùng một khách sạn.
Bài tập 1.14. Một lớp có 3 tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người và tổ III có 15 người. Chọn hú họa ra một nhóm sinh viên gồm 4 người.
1. Tính xác suất để trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I.
2. Biết trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I, tính xác suất để trong nhóm đó có đúng một sinh viên tổ III.
Bài tập 1.15. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa chén và giả sử ba người này đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất để:
1. chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén;
2. một trong ba người đánh vỡ 3 chén;
3. một trong ba người đánh vỡ cả 4 chén.
Bài tập 1.16. Đội A có 3 người và đội B có 3 người tham gia vào một cuộc chạy thi, 6 người có khả năng như nhau và xuất phát cùng nhau. Tính xác suất để 3 người đội A về vị trí nhất, nhì, ba.

Bài tập 1.17. Phân phối ngẫu nhiên n viên bi vào n chiếc hộp (biết rằng mỗi hộp có thể chứa cả n viên bi). Tính xác suất để:
1. Hộp nào cũng có bi;
2. Có đúng một hộp không có bi.
Bài tập 1.18. Hai người hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 5h00 đến 6h00 để cùng đi tập thể dục. Hai người quy ước ai đến không thấy người kia sẽ chỉ chờ trong vòng 10 phút. Giả sử rằng thời điểm hai người đến công viên là ngẫu nhiên trong khoảng từ 5h00 đến 6h00. Tính xác suất để hai người gặp nhau.

Bài tập 1.19. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10cm. Lấy một điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng đó. Tính xác suất chênh lệch độ dài giữa hai đoạn thẳng AC và CB không vượt quá 4cm.

Bài tập 1.20. Cho đoạn thẳng AB độ dài 10cm. Lấy hai điểm C, D bất kỳ trên đoạn AB (C nằm giữa A và D). Tính xác suất độ dài AC, CD, DB tạo thành 3 cạnh một tam giác.

2. Công thức cộng và nhân xác suất, công thức Becnulli

Bài tập 1.21. Cho các sự kiện \(A, B\) với \(P(A) = P(B) = 1/2; P(A\overline{B}) = 1/8\). Tìm:
- \(P(\overline{A} + \overline{B})\);
- \(P(\overline{A}B), P(A + \overline{B})\).
Bài tập 1.22. Cho các sự kiện \(A, B, C\) thỏa mãn:
- \(P(A) = 0{,}3\),
- \(P(B|A) = 0{,}75\),
- \(P(B|\overline{A}) = 0{,}2\),
- \(P(C|AB) = 0{,}2\),
- \(P(C|\overline{AB}) = 0{,}15\),
- \(P(C|A\overline{B}) = 0{,}8\),
- \(P(CAB) = 0, 9\).
Tính \(P(ABC), P(\overline{B}C), P(C), P(A|\overline{B}C)\).

Bài tập 1.23. Trong cùng một phép thử, A và B là các sự kiện thỏa mãn P(A) = 1/4, P(B) = 1/2. Tính xác suất để A không xảy ra nhưng B xảy ra trong các trường hợp sau:
1. A và B xung khắc;
2. A suy ra B;
3. P(AB) = 1/8.
Bài tập 1.24. Cho hai sự kiện A và B trong đó P(A) = 0, 4 và P(B) = 0, 7. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P(AB) và P(A + B) và điều kiện đạt được các giá trị đó.

Bài tập 1.25. Ba người A, B và C lần lượt tung một đồng xu. Giả sử rằng A tung đồng xu đầu tiên, B tung thứ hai và thứ ba C tung. Quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi ai thắng bằng việc trở thành người đầu tiên thu được mặt ngửa. Xác định khả năng mà mỗi người sẽ giành chiến thắng.

Bài tập 1.26. Trong một thùng kín có 6 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả cầu cho đến khi lấy được cầu đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để:
1. Lấy được 2 cầu trắng, 1 cầu vàng.
2. Không có quả cầu trắng nào được lấy
Bài tập 1.27. Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng bắn súng vào bia. Xác suất bắn trúng bia của 3 người A, B và C tương ứng là 0,7, 0,6 và 0,9. Tính xác suất để:
1. có duy nhất một xạ thủ bắn trúng bia;
2. có đúng hai xạ thủ bắn trúng bia;
3. có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia;
4. xạ thủ A bắn trúng bia biết rằng có hai xạ thủ bắn trúng bia.
Bài tập 1.28. Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập. Hệ thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi hệ thống được xem như độc lập. Tính xác suất để trong 18 giờ thắp sáng liên tục:
1. cả hai hệ thống bị hỏng;
2. chỉ có một hệ thống bị hỏng.
Bài tập 1.29. Một máy bay ném bom một mục tiêu phải bay qua ba tuyến phòng thủ. Xác suất để mỗi tuyến phòng thủ tiêu diệt được máy bay là 0,8.
1. Tìm xác suất máy bay rơi trước khi đến mục tiêu.
2. Giả sử máy bay bị rơi, tìm xác suất để tuyến I bắn rơi.
3. Muốn bảo vệ mục tiêu với xác suất 99,99% cần tổ chức bao nhiêu tuyến phòng thủ.
Bài tập 1.30. Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Bắn hú họa bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Điều gì có khả năng xảy ra lớn hơn: bắn bằng khẩu súng mới hay bắn bằng khẩu súng cũ?

Bài tập 1.31. Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là 0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa.

Bài tập 1.32. Một hộp chứa a quả bóng màu đỏ và b quả bóng màu xanh. Một quả bóng được chọn ngẫu nhiên và quan sát màu sắc của nó. Sau đó bóng được trả lại cho vào hộp và k bóng cùng màu cũng được thêm vào hộp. Một quả bóng thứ hai sau đó được chọn một cách ngẫu nhiên, màu sắc của nó được quan sát, và nó được trả lại cho vào hộp với k bóng bổ sung cùng một màu. Quá trình này được lặp đi lặp lại 4 lần. Tính xác suất để ba quả bóng đầu tiên sẽ có màu đỏ và quả bóng thứ tư có màu xanh.

Bài tập 1.33. Một cửa hàng sách ước lượng rằng: trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này:
1. không thực hiện cả hai điều trên;
2. không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng.
Bài tập 1.34. Một cuộc khảo sát 1000 người về hoạt động thể dục thấy có 80% số người thích đi bộ và 60% thích đạp xe vào buổi sáng và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người hoạt động thể dục. Nếu gặp được người thích đi xe đạp thì xác suất mà người đó không thích đi bộ là bao nhiêu?

Bài tập 1.35. Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi. Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ:
1. được vào đội tuyển;
2. bị loại ở vòng thứ ba;
3. bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.
Bài tập 1.36. Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết sự kiện khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.

Bài tập 1.37. Một tổ có 15 sinh viên trong đó có 5 sinh viên học giỏi môn “Xác suất thống kê”. Cần chia làm 5 nhóm, mỗi nhóm 3 sinh viên. Tính xác suất để nhóm nào cũng có một sinh viên học giỏi môn “Xác suất thống kê”.

Bài tập 1.38. Hai vận động viên bóng bàn A và B đấu một trận gồm tối đa 5 ván (không có kết quả hòa sau mỗi ván và trận đấu sẽ dừng nếu một người nào đó thắng trước 3 ván). Xác suất để A thắng được ở một ván là 0,7.
1. Tính các xác suất để A thắng sau x ván (x = 3, 4, 5).
2. Tính xác suất để trận đấu kết thúc sau 5 ván.
Bài tập 1.39. Một bài thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Giả sử một câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa câu trả lời. Tìm xác suất để:
1. Học sinh đó được 13 điểm.
2. Học sinh đó bị điểm âm.
Bài tập 1.40. Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0,2. Tìm xác suất để:
1. người đó bán được hàng ở 2 nơi;
2. người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi.
Bài tập 1.41. Một người có hai bao diêm trong túi, mỗi bao có n que. Mỗi khi cần diêm anh ta rút hú họa ra một bao. Tính xác suất sao cho người đó lần đầu rút phải bao rỗng thì bao kia còn đúng k que k = 1, 2, . . . , n.

Bài tập 1.42. Xác suất trúng đích của một lần bắn là 0,4. Cần phải bắn bao nhiêu phát đạn để xác suất có ít nhất một viên bắn trúng sẽ lớn hơn 0,95?

Bài tập 1.43. Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 2 lần vào rổ. Xác suất ném trúng rổ của mỗi cầu thủ theo thứ tự lần lượt là 0,6 và 0,7. Tìm xác suất để
1. số lần ném trúng rổ của hai người bằng nhau;
2. số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ hai.
Bài tập 1.44. Xác suất sản xuất ra phế phẩm của một máy là 0,005. Tìm xác suất để trong 800 sản phẩm của máy đó có đúng 3 phế phẩm.

Bài tập 1.45. Một công nhân đứng máy 1000 ống sợi. Xác suất mỗi ống bị đứt trong vòng một giờ là 0,005. Tính xác suất để trong vòng một giờ:
1. 40 ống sợi bị đứt;
2. không quá 40 ống sợi bị đứt.
Bài tập 1.46. Xác suất ném trúng rổ của một cầu thủ là 0,8. Tìm xác suất để trong 100 lần cầu thủ đó:
1. ném trúng 75 lần;
2. ném trúng không ít hơn 75 lần.
3. Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Bạn đọc tham khảo các ví dụ trong bài Xác suất có điều kiện – Công thức Bayes

Bài tập 1.47. Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng.
1. Tìm xác suất nó là phế phẩm.
2. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.
Bài tập 1.48. Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi.
1. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ.
2. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba.
Bài tập 1.49. Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi.
1. Tính xác suất để viên bi rút ra sau cùng màu đỏ.
2. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II.
Bài tập 1.50. Trong một kho rượu, số lượng rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai và đưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất đoán đúng của mỗi người là 0,8. Có 3 người kết luận rượu loại A, 2 người kết luận rượu loại B. Hỏi khi đó xác suất chai rượu đó thuộc loại A là bao nhiêu?

Bài tập 1.51. Có 3 hộp đựng bóng. Hộp I chứa 2 bóng xanh và 5 bóng đỏ. Hộp II chứa 5 bóng xanh và 3 bóng đỏ. Hộp III đựng 4 bóng đỏ và 4 bóng xanh. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất một lần: nếu thu được mặt một chấm thì lấy ngẫu nhiên ra một bóng từ hộp I, nếu số chấm thu được là 2, 3, 4 thì lấy ngẫu nhiên ra một bóng từ hộp II và nếu số chấm là 5, 6 thì lấy ngẫu nhiên một bóng từ hộp III. Tính xác suất quả bóng đỏ được lấy ra.

Bài tập 1.52. Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm 3 phế phẩm; lô II có 6 chính phẩm 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô I sang lô II, sau đó từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm được 2 chính phẩm. Tính xác suất để 2 chính phẩm lấy ra sau cùng là của lô I.

Bài tập 1.53. Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.

Bài tập 1.54. Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là 18, 16, 12. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất.

Bài tập 1.55. Có 10 sinh viên đi thi trong đó có 3 sinh viên thuộc loại giỏi, 4 sinh viên thuộc loại khá và 3 sinh viên thuộc loại trung bình. Trong phiếu thi thi có 20 câu hỏi. Sinh viên loại giỏi trả lời được cả 20 câu, loại khá trả lời được 16 câu và loại trung bình trả lời được 10 câu. Gọi ngẫu nhiên 1 sinh viên. Sinh viên đó trả lời được 3 câu hỏi trong phiếu thi. Tính xác suất đó là sinh viên thuộc loại trung bình.

Bài tập 1.56. Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là 30%. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là 60%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là 40%.
1. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
2. Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
Bài tập 1.57. Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.

Bài tập 1.58. Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là 0,8. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để
1. chẩn đoán có bệnh;
2. chẩn đoán đúng;
Bài tập 1.59. Tại một bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A là 10%. Để chẩn đoán xác định người ta làm phản ứng miễn dịch, nếu không bị bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 10%, nếu bị bệnh thì phản ứng dương tính là 95%.
1. Tìm xác suất dương tính của phản ứng.
2. Tìm xác suất chẩn đoán đúng của phản ứng.
Bài tập 1.60. Một hãng hàng không cho biết rằng 5% số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được 50 khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%.

Bài tập 1.61. Một trạm chỉ phát hai loại tín hiệu A và B với xác suất tương ứng là 0,84 và 0,16. Do có nhiễu trên đường truyền nên 1/6 tín hiệu A bị méo và được thu như là tín hiệu B, còn 1/8 tín hiệu B bị méo thành tín hiệu A.
1. Tìm xác suất thu được tín hiệu A;
2. Giả sử thu được tín hiệu A, tìm xác suất để thu được đúng tín hiệu lúc phát.
Bài tập 1.62. Lớp học phần “Xác suất thống kê” có 50 sinh viên, trong đó có 18 sinh viên thuộc nhóm I và 32 sinh viên thuộc nhóm II. Xác suất để một sinh viên trong nhóm I, II đạt điểm giỏi tương ứng là 0,8; 0,7.
1. Gọi ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp, tính xác suất để sinh viên đó đạt điểm giỏi.
2. Gọi ngẫu nhiên hai sinh viên trong lớp thì xác suất để cả hai sinh viên đó đạt điểm giỏi là bao nhiêu?
Bài tập 1.63. Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở mỗi chỗ tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8. Biết rằng đến một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cá. Tính xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất.

Bài tập 1.64. Trong học kỳ I năm học 2018-2019, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.

Bài tập 1.65. Ba người thợ cùng may một loại áo với xác suất may được sản phẩm chất lượng cao tương ứng là 0,9; 0,9 và 0,8. Biết một người khi may 8 áo thì có 6 sản phẩm chất lượng cao. Tìm xác suất để người đó may 8 áo nữa thì có 6 áo chất lượng cao.
01/11/2021
Xác suất có điều kiện – Công thức Bayes
Xác suất có điều kiện – Công thức Bayes

Công thức tính Xác suất có điều kiện và định lý Bayes (Bayes’ Theorem) là các công cụ mạnh mẽ để tính xác suất xảy ra của một sự kiện (biến cố – event) ngẫu nhiên A khi biết sự kiện liên quan B đã xảy ra.

Mời xem thêm bài tập xác suất thống kê của ĐH Bách Khoa HN:
1. Xác suất có điều kiện

1.1. Ví dụ về xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện (Conditional probability) là xác suất của một biến cố $ A$ nào đó khi biết rằng một biến cố $ B$ khác xảy ra. Ký hiệu $ \mathrm{P}(A|B)$, và đọc là “xác suất của $ A$, biết $ B$”.

Chẳng hạn, rút một lá bài từ một bộ bài có $52$ lá, xác suất để lấy được một lá Át là $ 1/52$. Nhưng nếu người chơi đã rút được lá Át rồi, nếu tiếp tục rút thêm một lá bài nữa thì thì để nhận được một lá Át nữa, xác suất chỉ còn là $ 1/51.$

Để hiểu rõ hơn, chúng ta xét tiếp các ví dụ nữa.

Ví dụ 1. Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai.

Hướng dẫn. Gọi $ A$ là biến cố: “Lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ hai”. Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2. Do đó, xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}(A)=\frac{2}{4}=0{,}5. $$

Ví dụ 2. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để lần đầu gieo được mặt 1 chấm biết rằng tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3.

Hướng dẫn. Không gian mẫu là $$ \Omega=\big\{\left(i, j\right): 1\leqslant i, j\leqslant 6\big\}, $$ trong đó cặp số $ \left(i, j\right)$ thể hiện việc lần gieo đầu xuất hiện mặt $ i$ chấm, lần sau xuất hiện mặt $ j$ chấm. Không gian mẫu có tất cả $6\times 6=36$ phần tử.

Gọi $ A$ là biến cố: “Lần đầu gieo xuất hiện mặt 1 chấm”, $ B$ là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3”. Chúng ta dễ dàng liệt kê được các phần tử thuận lợi cho từng biến cố là
\begin{align}
A=&\big\{\left(1, 1\right), \left(1, 2\right), \left(1, 3\right), \left(1, 4\right), \left(1, 5\right), \left(1, 6\right)\big\},\\
B=&\big\{\left(1, 1\right), \left(1, 2\right), \left(2, 1\right)\big\},\\
AB=&\big\{\left(1, 1\right), \left(1, 2\right)\big\}.
\end{align}

Dễ dàng đếm được số phần tử của $A,B,AB$ lần lượt là $6$, $3$, $2$. Do đó, theo định nghĩa cổ điển của xác suất thì ta có

$$ \mathrm{P}(A)=\frac{6}{36}, \quad \mathrm{P}(B)=\frac{3}{36},\quad \mathrm{P}(AB)=\frac{2}{36} .$$

Nếu biết rằng $ B$ đã xảy ra thì $ A$ xảy ra khi một trong hai kết quả $ \left(1, 1\right)$ và $ \left(1, 2\right)$ xảy ra. Do đó, xác suất của $ A$ với điều kiện $ B$ là $$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{2}{3}. $$ Nhận xét rằng $$ \frac{2}{3}=\frac{{2}/{36}}{{3}/{36}}=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)} $$ hay chính là $$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}. $$ Từ đó, chúng ta có công thức tính xác suất có điều kiện như sau đây.

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205 215 033 513. Xin cảm ơn!

1.2. Công thức tính xác suất có điều kiện

Giả sử số các kết quả đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó là $ N$, số kết quả thuận lợi cho biến cố $ B$ là $ m$ và số kết quả thuận lợi cho biến cố $ AB$ là $n $.

Theo định nghĩa cổ điển của xác suất thì $$ \mathrm{P}(B)=\frac{m}{N}, \mathrm{P}(AB)=\frac{n}{N}. $$

Khi biến cố $ B$ đã xảy ra thì số các kết quả đồng khả năng của phép thử có thể xảy ra đối với biến cố $ A$ là $ m$, trong đó có $ n$ kết quả thuận lợi cho $ A$ xảy ra. Do đó, xác suất của biến cố $ A$ khi biết $ B$ đã xảy ra là
$$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{n}{m}=\frac{n/N}{m/N}=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}. $$

Từ đó, chúng ta có công thức tính xác suất có điều kiện như sau:

Xác suất có điều kiện của biến cố $ A$ với điều kiện $ B$ là một số được ký hiệu là $ \mathrm{P}(A | B)$ xác định bởi công thức $$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}, \mathrm{P}(B)>0. $$

Từ định nghĩa trên ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của xác suất có điều kiện:
- $ \mathrm{P}(A | B)\geqslant 0.$
- $ \mathrm{P}\left(\Omega | B\right)=\mathrm{P}\left(B | B\right)=1.$
- Nếu $ A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là $ A_iA_j=\varnothing$ với mọi $ i\neq j$, ta có $$ \mathrm{P} \left( \left(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i \right) \Bigg| B \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\mathrm{P}\left(A_i | B\right). $$
Ví dụ 3. Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con bằng 8 biết rằng ít nhất có một con xuất hiện mặt 5 chấm.

Hướng dẫn. Không gian mẫu gồm các phần tử $$ \Omega=\big\{\left(i, j, k\right): 1\leqslant i, j, k\leqslant 6\big\}, $$ trong đó bộ số $ \left(i, j, k\right)$ kí hiệu cho việc “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt $ i$ chấm, con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt $ j$ chấm và con xúc xắc thứ ba xuất hiện mặt $ k$ chấm”.

Gọi $ A$ là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 8”, $ B$ là biến cố: “Ít nhất một con xúc xắc ra 5 chấm”. Ta có $$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}. $$

Vì $ B$ là biến cố: “Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm” nên $ \overline{B}$ là biến cố: “Không có con xúc xắc nào xuất hiện mặt 5 chấm”, do đó $$ \overline{B}=\big\{\left(i, j, k\right): 1\leqslant i, j, k\leqslant 6, i, j, k\neq 5\big\}. $$

Suy ra $$ \mathrm{P}(\overline{B})=\frac{|\overline{B}|}{|\Omega|}=\frac{5^3}{6^3}. $$

Do đó $$ \mathrm{P}(B)=1-\mathrm{P}(\overline{B})=1-\frac{5^3}{6^3}=\frac{91}{216}. $$

Ta thấy $ AB$ là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 8 và ít nhất một con xúc xắc ra 5 chấm”, do đó $$ AB=\big\{\left(1, 2, 5\right), \left(1, 5, 2\right), \left(2, 1, 5\right), \left(2, 5, 1\right), \left(5, 1, 2\right),\left(5, 2, 1\right)\big\}. $$

Suy ra $$ \mathrm{P}(AB)=\frac{|AB|}{|\Omega|}=\frac{15}{6^3}=\frac{15}{216}. $$

Vậy xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}=\frac{{15}/{216}}{{91}/{216}}=\frac{15}{91}. $$

Ví dụ 4. Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Chúng ta có các nhận xét sau:
- Xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau và bằng $ 1/2$.
- Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.
Lời giải. Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng:

(trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).

Gọi $ A$ là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái” và $ B$ là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái” thì có $$ \mathrm{P}(A)=\frac{1}{4},\quad \mathrm{P}(B)=\frac{3}{4}. $$
Do nếu xảy ra $ A$ thì đương nhiên sẽ xảy ra $ B$ nên ta có: $$ \mathrm{P}(AB) = \mathrm{P}(A) =\frac{1}{4}. $$
Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là
$$\mathrm{P}(A | B) = \dfrac{\mathrm{P}\left(A,B\right)}{\mathrm{P}(B)} = \dfrac{{1}/{4}}{{3}/{4}} = \frac{1}{3}.$$
Bằng trực quan ta cũng có thể nhìn ra xác suất này. Khi biết một đứa trẻ là gái, giới tính của 2 đứa trẻ sẽ có 3 khả năng: (trai, gái), (gái, trai), (gái, gái).

Ví dụ 5. Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi trắng. Xác định xác suất
lần thứ 2 bốc được bi đỏ.

Hướng dẫn. Gọi $ B$ là biến cố lần 1 bốc được bi trắng, $ A$ là biến cố lần 2 bốc được bi đỏ. Xác suất lần 2 bốc được bi đỏ khi lần 1 đã bốc được bi trắng là $$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}=\frac{8/10\times 2/9}{8/10}=\frac{2}{9}. $$

2. Công thức nhân xác suất

2.1. Công thức nhân xác suất

Từ công thức tính xác suất có điều kiện $$ \mathrm{P}(A | B)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}, \quad \mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(A)},$$ ta suy ra công thức nhân xác suất $$ \mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A | B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}\left(B | A\right), $$ với $ \mathrm{P}(A)>0{,} \mathrm{P}(B)>0$.

Công thức nhân xác suất sử dụng trong một số trường hợp, khi mà chúng ta có thể biết ngay xác suất $ \mathrm{P}\left(B | A\right)$ hoặc $ \mathrm{P}(A | B)$ thì sẽ tính được xác suất $ \mathrm{P}(AB)$.

Ví dụ 1. Trong hộp có 20 nắp chai bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai bia, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.

Hướng dẫn. Gọi $ A$ là biến cố “nắp chai bia thứ nhất trúng thưởng”, $ B$ là biến cố “nắp chai bia thứ hai trúng thưởng”, $ C$ là biến cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”.

Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng nên $$ \mathrm{P}(A)=\frac{2}{20}. $$

Khi biến cố $ A$ đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng. Do đó $$ \mathrm{P}\left(B/A\right) = \frac{1}{19}. $$
Suy ra, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là $$ \mathrm{P}\left(C\right) = \mathrm{P}(A). \mathrm{P}\left(B/A\right) = \frac{2/20}{1/19} = \frac{1}{190} \approx 0{,}0053. $$

Ví dụ 2. Một bình đựng 5 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai.

Hướng dẫn. Gọi $ A$ là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”, $ B$ là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”. Chúng ta cần tính xác suất $ \mathrm{P}(AB)$.

Theo công thức nhân xác suất $$ \mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}\left(B | A\right). $$
Vì có 3 viên bi xanh trong tổng số 5 viên bi nên $$ \mathrm{P}(A)=\frac{3}{5}=0{,}6. $$
Nếu $ A$ đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi trắng là 2, do đó $$ \mathrm{P}\left(B | A\right)=\frac{2}{4}=0{,}5. $$
Vậy xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}\left(B | A\right)=0{,}6\times 0{,}5=0{,}3. $$

2.2. Công thức nhân xác suất tổng quát

Bằng phương pháp quy nạp, ta có công thức nhân xác suất tổng quát sau:

Giả sử $ n\geqslant 2$ và $ A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố sao cho $ \mathrm{P}\left(A_1A_2\ldots A_{n-1}\right)>0$. Khi đó ta có $$ \mathrm{P}\left(A_1A_2\ldots A_{n}\right)=\mathrm{P}\left(A_1\right)\mathrm{P}\left(A_2 | A_1\right)\mathrm{P}\left(A_3 | A_1A_2\right)\ldots\mathrm{P}\left(A_n | A_1A_2\ldots A_{n-1}\right). $$

Ví dụ 3. Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài giống hệt nhau trong đó chỉ có hai chiếc mở được cửa kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không đúng thì bỏ ra khỏi chùm chìa khóa). Tìm xác suất để lần thử thứ ba thì anh ta mới mở được cửa.

Hướng dẫn. Gọi $ A_1$ là biến cố: “Không mở được cửa ở lần thử thứ 1”, $ A_2$ là biến cố: “Không mở được cửa ở lần thử thứ 2” và $ A_3$ là biến cố: “Mở được cửa ở lần thử thứ 3”. Ta phải tìm $ \mathrm{P}\left(A_1A_2A_3\right)$. Theo công thức nhân xác suất ta có $$ \mathrm{P}\left(A_1A_2A_3\right)=\mathrm{P}\left(A_1\right)\mathrm{P}\left(A_2|A_1\right)\mathrm{P}\left(A_3|A_1A_2\right). $$

Ta có $$ \mathrm{P}\left(A_1\right)=\frac{7}{9}, \mathrm{P}\left(A_2|A_1\right)=\frac{6}{8}, \mathrm{P}\left(A_3|A_1A_2\right)=\frac{2}{7}. $$

Do đó $$ \mathrm{P}\left(A_1A_2A_3\right)=\frac{7}{9}\times\frac{6}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{1}{6}. $$

Ví dụ 4. Một người săn thỏ trong rừng, khả năng anh ta bắn trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn. Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách 20 m với xác suất trúng thỏ là 0,5, nếu bị trượt anh ta bắn viên thứ 2 ở khoảng cách 30 m, nếu lại trượt anh ta bắn viên thứ 3 ở khoảng cách 50 m. Tính xác suất để người thợ săn bắn được thỏ.

Hướng dẫn. Gọi $ A_k$ là biến cố “Người thợ săn bắn trúng thỏ ở lần thứ $ k$” với $ k=1,2,3.$ Theo đề bài, chúng ta có
\begin{align}
\mathrm{P}\left(A_1\right)&=0{,}5,\\
\mathrm{P}\left(A_2|\overline{A_1}\right)&=\frac{20\times 0{,}5}{30}=\frac{1}{3},\\
\mathrm{P}\left(A_3|\overline{A_1}.\overline{A_2}\right)&=\frac{20\times 0{,}5}{50}=\frac{1}{5}.
\end{align}
Gọi $ A$ là biến cố “Người thợ săn bắn trúng thỏ” thì $$ A=A_1\cup \overline{A_1}A_2\cup \overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3. $$
Vì các biến cố $ A_1, \overline{A_1}A_2, \overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3$ xung khắc từng đôi một, nên ta có
$$ \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}\left(A_1\right)+\mathrm{P}\left(\overline{A_1}A_2\right)+\mathrm{P}\left(\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3\right) $$
Theo công thức nhân xác suất thì
$$ \mathrm{P}\left(\overline{A_1}A_2\right) = \mathrm{P}\left(\overline{A_1}\right)\mathrm{P}\left(A_2|\overline{A_1}\right)=\left(1-0{,}5\right)\times \mathrm{P}\left(A_2|\overline{A_1}\right)=\frac{1}{6}. $$
$$ \mathrm{P}\left(\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3\right)= \mathrm{P}\left(\overline{A_1}\right) \mathrm{P}\left(\overline{A_2}|\overline{A_1}\right)\mathrm{P}\left(A_3|\overline{A_1}.\overline{A_2}\right)=\left(1-0{,5}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{5} =\frac{1}{15}.$$
Do đó, xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}(A)=0{,}5+\frac{1}{6}+\frac{1}{15}=\frac{11}{15}. $$

3. Công thức xác suất đầy đủ

3.1. Hệ đầy đủ các biến cố

Hệ các biến cố $ \big\{B_1, B_2,\ldots, B_n\big\}$ được gọi là đầy đủ nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
- $ B_1, B_2,\ldots, B_n$ là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là $ B_iB_j=\varnothing$ với mọi $ i\neq j$,
- $ \Omega=B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n$.
Nhận xét rằng, hệ $ \big\{B, \overline{B}\big\}$ là một hệ đầy đủ, trong đó $ B$ là một biến cố bất kỳ.

3.2. Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử $ \big\{B_1, B_2,\ldots, B_n\big\}$ là hệ đầy đủ các biến cố với $ \mathrm{P}\left(B_i\right)>0,\,\forall i=1,2,\ldots,n$. Khi đó với bất kỳ biến cố $ A$, ta có $$ \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A | B_1\right)+\mathrm{P}\left(B_2\right)\mathrm{P}\left(A | B_2\right)+\cdots+\mathrm{P}\left(B_n\right)\mathrm{P}\left(A | B_n\right). $$

Ví dụ 1. Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm, hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.

Hướng dẫn. Ký hiệu $ B_k$ là biến cố: “Sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ $ k$”, $ k=1, 2, 3$ và $ A$ là biến cố: “Lấy được chính phẩm”. Chúng ta có ngay $ \big\{B_1, B_2, B_3\big\} $là hệ đầy đủ các biến cố và
- $ \mathrm{P}\left(B_1\right)=\frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(B_2\right)=\frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(B_3\right)=\frac{1}{3},$
- $ \mathrm{P}\left(A | B_1\right)=\frac{6}{10}, \mathrm{P}\left(A | B_2\right)=\frac{10}{15}, \mathrm{P}\left(A | B_3\right)=\frac{15}{20}.$
Theo công thức xác suất đầy đủ $$ \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A | B_1\right)+\mathrm{P}\left(B_2\right)\mathrm{P}\left(A | B_2\right)+\mathrm{P}\left(B_3\right)\mathrm{P}\left(A | B_3\right) $$

Thay các giá trị tính được ở trên vào công thức này ta thu được $$ \mathrm{P}(A)=\frac{1}{3}\times \frac{6}{10}+\frac{1}{3}\times \frac{10}{15}+\frac{1}{3}\times \frac{15}{20}=\frac{31}{45} $$
Vậy xác suất để lấy được chính phẩm là $ {31}/{45}$.

Ví dụ 2. Từ một hộp chứa $ m$ quả cầu trắng và $ n$ quả cầu đen, người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một hai lần. Tính xác suất để quả lấy lần thứ hai là trắng.

Hướng dẫn. Ký hiệu $ A$ là biến cố: “Lần thứ hai rút được quả cầu trắng”, $ B_1$ là biến cố: “Lần thứ nhất rút được quả cầu trắng”, $ B_2$ là biến cố: “Lần thứ nhất rút được quả cầu đen”.

Ta có
- $ \mathrm{P}\left(B_1\right)=\frac{m}{m+n}, \mathrm{P}\left(B_2\right)=\frac{n}{m+n},$
- $ \mathrm{P}\left(A|B_1\right)=\frac{m-1}{m+n-1}, \mathrm{P}\left(A|B_2\right)=\frac{m}{m+n-1}.$
Vì $ \big\{B_1, B_2\big\}$ là một hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất đầy đủ, chúng ta có \begin{align}
\mathrm{P}(A)&=\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A|B_1\right)+\mathrm{P}\left(B_2\right)\mathrm{P}\left(A|B_2\right)\\
=&\frac{m}{m+n}\times\frac{m-1}{m+n-1}+\frac{n}{m+n}\times\frac{m}{m+n-1}\\
=&\frac{m\left(m-1\right)+mn}{\left(m+n\right)\left(m+n-1\right)}
=&\frac{m\left(m+n-1\right)}{\left(m+n\right)\left(m+n-1\right)}
=&\frac{m}{m+n}.
\end{align}
Vậy xác suất để quả lấy lần thứ hai là trắng là$ \frac{m}{m+n}$.

Ví dụ 3. Có 10 chiếc túi đựng bi như sau:
- 4 túi loại 1, trong mỗi túi loại 1 chứa 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen,
- 2 túi loại 2, trong mỗi túi loại 2 chứa 3 viên bi trắng và 7 viên bi đen,
- 1 túi loại 3, trong mỗi túi loại 3 chứa 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen,
- 3 túi loại 4, trong mỗi túi loại 4 chứa 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen.
Chọn ngẫu nhiên 1 chiếc túi rồi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu.

Hướng dẫn. Ký hiệu $ B_k$ là biến cố “chọn được túi loại $ k$”, $ k=1, 2, 3, 4$ và $ A$ là biến cố “lấy được hai viên bi cùng màu”.

Ta có $ \big\{B_1, B_2, B_3, B_4\big\} $ là hệ đầy đủ các biến cố và

\begin{align}
\mathrm{P}\left(B_1\right)=\frac{4}{10}, \mathrm{P}\left(B_2\right)=\frac{2}{10},\\
\mathrm{P}\left(B_3\right)=\frac{1}{10}, \mathrm{P}\left(B_4\right)=\frac{3}{10},\\
\mathrm{P}\left(A | B_1\right)=\frac{C_6^2+C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{21}{45},\mathrm{P}\left(A | B_2\right)=\frac{C_3^2+C_7^2}{C_{10}^2}=\frac{24}{45},\\
\mathrm{P}\left(A | B_3\right)=\frac{C_7^2+C_3^2}{C_{10}^2}=\frac{24}{45}, \mathrm{P}\left(A | B_4\right)=\frac{C_4^2+C_6^2}{C_{10}^2}=\frac{21}{45}.
\end{align}

Theo công thức xác suất đầy đủ
$$ \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A | B_1\right)+\mathrm{P}\left(B_2\right)\mathrm{P}\left(A | B_2\right)+\mathrm{P}\left(B_3\right)\mathrm{P}\left(A | B_3\right)+\mathrm{P}\left(B_4\right)\mathrm{P}\left(A | B_4\right) $$

Suy ra $$ \mathrm{P}(A)=\frac{4}{10}\times \frac{21}{45}+\frac{2}{10}\times \frac{24}{45}+\frac{1}{10}\times \frac{24}{45}+\frac{3}{10}\times \frac{21}{45} =\frac{219}{450}. $$

Vậy xác suất cần tìm là $ \frac{219}{450}$.

Ví dụ 4. Có hai cái hộp. Hộp thứ nhất có 4 bi trắng và 5 bi đen. Hộp thứ hai có 5 bi trắng và 4 bi đen. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó chọn ngẫu nhiên một viên bi ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được bi trắng từ hộp thứ hai.

Hướng dẫn. Gọi $ A$ là biến cố: “Lấy được bi trắng từ hộp thứ hai”, $ B_k$ là biến cố: “Trong 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có $ k$ bi trắng”, $ k=0, 1, 2, 3$.

Khi đó $ \big\{B_0{,} B_1, B_1, B_3\big\} $ là hệ đầy đủ các biến cố và ta có
\begin{align}
\mathrm{P}\left(B_0\right)&=\frac{C_5^3}{C_9^3}=\frac{10}{84},\\
\mathrm{P}\left(B_1\right)&=\frac{C_4^1C_5^2}{C_9^3}=\frac{40}{84},\\
\mathrm{P}\left(B_2\right)&=\frac{C_4^2C_5^1}{C_9^3}=\frac{30}{84},\\
\mathrm{P}\left(B_3\right)&=\frac{C_4^3}{C_9^3}=\frac{4}{84}.
\end{align}

Theo công thức xác suất đầy đủ
$$ \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}\left(B_0\right)\mathrm{P}\left(A | B_0\right)+\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A | B_1\right)+\mathrm{P}\left(B_2\right)\mathrm{P}\left(A | B_2\right)+\mathrm{P}\left(B_3\right)\mathrm{P}\left(A | B_3\right). $$

Dễ thấy
\begin{align}
\mathrm{P}\left(A | B_0\right)=\frac{5}{12},\quad & \mathrm{P}\left(A | B_1\right)=\frac{6}{12},\\
\mathrm{P}\left(A | B_2\right)=\frac{7}{12},\quad & \mathrm{P}\left(A | B_3\right)=\frac{8}{12}.
\end{align}

Thay các giá trị này vào công thức xác suất đầy đủ ta được $$ \mathrm{P}(A)=\frac{10}{84}\times\frac{5}{12}+\frac{40}{84}\times\frac{6}{12}+\frac{30}{84}\times\frac{7}{12}+\frac{4}{84}\times\frac{8}{12} =\frac{532}{1008} =\frac{19}{36}. $$

Vậy xác suất cần tìm là $ {19}/{36}$.

Ví dụ 5. Trong một cái hộp có $ n$ sản phẩm, ta bỏ vào cái hộp đó một sản phẩm tốt sau đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là tốt nếu mọi giả thiết về trạng thái cấu thành ban đầu của hộp là đồng xác suất.

Hướng dẫn. Gọi $ A$ là biến cố: “Lấy được sản phẩm tốt”, $ B_i$ là biến cố: “Lúc ban đầu hộp có $ i$ sản phẩm tốt”, $ i=0,1,\ldots,n$. Khi đó $ \big\{B_0{,} B_1,\ldots, B_n\big\} $ là hệ đầy đủ các biến cố.

Theo giả thiết $$ \mathrm{P}\left(B_i\right)=\frac{1}{n+1}, i=0,1,\ldots,n.$$

Ta có $ \mathrm{P}\left(A | B_i\right)=\frac{i+1}{n+1}$ với mọi $ i=0,1,\ldots,n$. Theo công thức xác suất đầy đủ

$$ \mathrm{P}(A)=\sum\limits_{i=0}^{n}\mathrm{P}\left(B_i\right)\mathrm{P}\left(A | B_i\right). $$

Thay vào ta được
\begin{align}
\mathrm{P}(A)&=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{i+1}{\left(n+1\right)^2}\\
&=\frac{1+2+\cdots+\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)^2}\\
&=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2\left(n+1\right)^2}\\
&=\frac{n+2}{2\left(n+1\right)}.
\end{align}

4. Công thức Bayes – Định lý Bayes

Giả sử $ \mathrm{P}(A)>0$ và $ \big\{B_1, B_2,\ldots, B_n\big\} $ là hệ đầy đủ các biến cố với $ \mathrm{P}\left(B_k\right)>0$ với mọi $ k=1,2,\ldots,n$. Khi đó với mọi $ k=1,2,\ldots,n$, ta có $$ \mathrm{P}\left(B_k | A\right)=\frac{\mathrm{P}\left(B_k\right)\mathrm{P}\left(A | B_k\right)}{\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A | B_1\right)+\mathrm{P}\left(B_2\right)\mathrm{P}\left(A | B_2\right)+\cdots+\mathrm{P}\left(B_n\right)\mathrm{P}\left(A | B_n\right)}. $$

Ví dụ 1. Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết. Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.

Hướng dẫn. Gọi $ A$ là biến cố: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn”, $ B_1$ là biến cố: “Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất” và $ B_2$ là biến cố: “Chi tiết do máy thứ hai sản xuất”. Ta cần tính xác suất $ \mathrm{P}\left(B_1|A\right)$.

Theo công thức Bayes $$ \mathrm{P}\left(B_1|A\right)=\frac{\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A|B_1\right)}{\mathrm{P}\left(B_1\right)\mathrm{P}\left(A|B_1\right)+\mathrm{P}\left(B_2\right)\mathrm{P}\left(A|B_2\right)}. $$

Theo điều kiện bài toán $$ \mathrm{P}(B_1)=0{,}6; \mathrm{P}(B_2)=0{,}4; $$
$$ \mathrm{P}(A|B_1)=0{,}9; \mathrm{P}(A|B_2)=0{,}85. $$

Thay vào ta có $$ \mathrm{P}\left(B_1|A\right)=\frac{0{,}6\times 0{,}9}{0{,}6\times 0{,}9+0{,}4\times 0{,}85}=0{,}614. $$

Sau đây là một bài toán khá nổi tiếng trong xác suất thống kê, được giải theo nhiều cách khác nhau. Ta hãy thử giải bài toán này bằng định lý Bayes.
Ví dụ 2.[Bài toán Tuesday Child] Một gia đình có hai đứa trẻ. Biết có ít nhất có một đứa trẻ là con gái và sinh vào thứ 3. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Chúng ta có nhận xét sau:
- Xác suất để một đứa trẻ sinh vào một ngày nhất định trong tuần là $ 1/7$.
- Giới tính của đứa trẻ và ngày sinh của nó là 2 sự kiện không liên quan đến nhau.
Ta ký hiệu các biến cố như sau:
- $ B$ là biến cố “Ít nhất 1 đứa trẻ là con gái sinh ra vào thứ 3”,
- $ A$ là biến cố “Cả 2 đứa trẻ đều là con gái”, xác suất là $ \mathrm{P}(A)=1/4$,
- $ A_1$ là biến cố “Chỉ một trong 2 đứa trẻ là con gái”, $ \mathrm{P}(A_1)=1/2$,
- $ C $ là biến cố “Đứa trẻ sinh ra vào thứ 3”, $ \mathrm{P}(C)=1/7$,
- $ \overline{C} $ là biến cố “Đứa trẻ sinh ra vào thứ 3”, $ \mathrm{P}(\overline{C})=6/7$.
Để sử dụng định lý Bayes tính $ \mathrm{P}(A | B)$ ta cần tính được $ \mathrm{P}(B|A)$ và $ \mathrm{P}(B)$.

$ \mathrm{P}(B|A)$ được hiểu là xác suất ít nhất 1 đứa trẻ là con gái sinh ra vào thứ 3 nếu biết trước 2 đứa trẻ là con gái.
Ta sẽ tính xác suất phần bù $ \mathrm{P}(\overline{B}|A)$, đây là xác suất để không có đứa trẻ nào sinh ra vào thứ 3.
$$ \mathrm{P}(\overline{B}|A) = \mathrm{P}(\overline{C}) \mathrm{P}(\overline{C}) = \dfrac{6}{7} \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{36}{49} $$
Như vậy ta có
$$ \mathrm{P}(B|A) = 1 – \mathrm{P}(\overline{B}|A) = \dfrac{13}{49} $$
$ \mathrm{P}(B)$ là xác suất sự ít nhất 1 đứa trẻ là con gái sinh ra vào thứ 3. Sự kiện này bao gồm 2 khả năng:
- Cả 2 đứa trẻ đều là con gái $ A$,
- Chỉ 1 đứa trẻ là con gái $ A_1$.
Ta có \begin{align}
\mathrm{P}(B) &= \mathrm{P}(BA) + \mathrm{P}(BA_1) \\
&= \mathrm{P}(B|A)\mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B|A_1)\mathrm{P}(A_1)\\
&= \dfrac{13}{49} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{7} \times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{27}{196}
\end{align}

Thay vào định lý Bayes, ta tính được
$$ \mathrm{P}(A | B) = \dfrac{\mathrm{P}(B|A)\times \mathrm{P}(A)}{\mathrm{P}(B)} = \dfrac{\tfrac{13}{49} \times \tfrac{1}{4}}{\tfrac{27}{196}} = \dfrac{13}{27} \approx 0{,}481 $$
Chúng ta có thể minh họa bằng hình vẽ sau đây, xác suất cần tìm chính bằng số ô màu xanh chia cho tổng số ô màu vàng và xanh.

Ta dùng một đoạn code Python nho nhỏ để kiểm tra thử kết quả vừa tính được.
```
import random

def random_kid():
   gender = random.choice(["boy", "girl"])
   birth_date = random.choice(["mon", "tue", "wed", "thu", "fri", "sat", "sun"])
   return (gender, birth_date)

both_girls = 0
tuesday_girl = 0

random.seed(0)
total = 100000
for _ in range(total):
   first_child = random_kid()
   second_child = random_kid()

if first_child == ("girl", "tue") or second_child == ("girl", "tue"):
   tuesday_girl += 1
if first_child[0] == "girl" and second_child[0] == "girl":
   both_girls += 1

print("both_girls = ", both_girls)
print("tuesday_girl = ", tuesday_girl)
print("P(both_girls|tuesday_girl) = ", both_girls / tuesday_girl)
```
Đoạn code trên thực hiện random 100K dữ liệu. Thu được kết quả in ra như sau
```
both_girls = 6506
tuesday_girl = 13637
P(both_girls|tuesday_girl) = 0.4770844027278727
```
Xác suất tính ra tương đối sát với con số ta tính bằng định lý Bayes ở trên.

Bài viết tổng hợp từ https://1upnote.me/post/2018/11/ds-ml-bayes-theorem/ và https://math4rum.wordpress.com/2013/04/01/bai-1-5-cong-thuc-xac-suat-day-du-cong-thuc-bayes/
02/08/2020
1000 bài toán Tổ hợp Xác Suất có lời giải
1000 Bài Tổ hợp Xác suất có lời giải

O2 Education xin giới thiệu cùng thầy cô và các em học sinh 1000 bài tập tổ hợp xác suất có lời giải. Các bài toán được chúng tôi sưu tầm từ các đề thi HSG, đề thi ĐHCĐ, đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG và đề thi thử của các trường trên cả nước.

Các đề bài được chúng tôi cập nhật thường xuyên, một số câu hỏi do chưa có thời gian nên chúng tôi sẽ bổ sung lời giải sau.

Mời thầy cô và các em học sinh xem thêm
- Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp
- Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton
Câu 1. [SGD Hà Nam 2018] Xếp ngẫu nhiên 3 quả cầu màu đỏ khác nhau và 3 quả cầu màu xanh giống hệt nhau vào một giá chứa đồ nằm ngang có 7 ô trống, mỗi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để 3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Phép thử chính là việc “chọn 3 trong 7 vị trí để sắp xếp các quả cầu màu đỏ khác nhau, rồi chọn 3 trong bốn vị trí còn lại để đặt các quả cầu màu xanh giống nhau”, nên không gian mẫu có số phần tử là
\[ n(\Omega)=A^3_7\cdot C^3_4 \] Gọi $ A $ là biến cố “3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau”. Khi đó, ta coi “3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau” chỉ là 1 phần tử, và “3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau” cũng là một phần tử. Bài toán trở thành sắp xếp hai phần tử khác nhau này vào hai trong ba vị trí, nên có $ A^2_3 $ cách. Tuy nhiên, vì các quả cầu màu đỏ khác nhau nên khi hoán vị chúng, ta được các kết quả khác nhau. Do đó, số phần tử thuận lợi của biến cố $ A $ là \[ n(A)=A^2_3\cdot 3! \] Từ đó tìm được xác suất $ P=\frac{3}{70}. $

Câu 2. [SGD Nam Định 2018] Một nhóm có 7 học sinh trong đó có 3 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh trên thành một hàng ngang sao cho các học sinh nữ đứng cạnh nhau?

Hướng dẫn. Coi như bốn học sinh nữ ngồi chung một ghế, còn ba học sinh nam mỗi em ngồi một ghế. Ta thực hiện hai bước như sau:
- Sắp xếp 4 học sinh nữ vào một ghế, có $ 4!=24$ cách.
- Sắp xếp bốn chiếc ghế, một chiếc của nhóm học sinh nữ và ba chiếc của ba học sinh nam, có $ 4!=24$ cách.
Theo quy tắc nhân, có tất cả $ 24\cdot 24=576$ cách.

Câu 3. [SGD Thanh Hóa 2019] Gọi $ S $ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số$ 1,2,3,4,5,6,7,8,9. $ Lấy ngẫu nhiên một số thuộc $ S $. Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho $ 11 $ và tổng bốn chữ số của nó cũng chia hết cho $ 11 $.

Hướng dẫn. Không gian mẫu có $ \mathrm{A}^4_9=3024 $ phần tử. Giả sử số cần lập là $ \overline{abcd}$ thì ta có \begin{align}
\overline{abcd}&=1000a+100b+10c+d\\
& =\left(1001a+99b+11c\right) -a+b-c+d
\end{align} Chú ý rằng $ \left(1001a+99b+11c\right) $ chia hết cho $ 11 $ nên $ \overline{abcd} $ chia hết cho $ 11 $ khi và chỉ khi $ \left(-a+b-c+d\right) $ phải chia hết cho $ 11 $.

Nhưng theo giả thiết thì $ a+b+c+d $ cũng chia hết cho $ 11 $. Từ đây suy ra cả $ a+c $ và $ b+d $ cùng chia hết cho $ 11. $

Mà, các cặp có tổng chia hết cho $ 11 $ là $(2 ; 9),(3 ; 8),(4 ; 7) ;(5 ; 6)$. Suy ra, số phần tử thuận lợi là $$n(A)=4 \cdot 3 \cdot 2 ! \cdot 2 !=48$$ Từ đó tìm được xác suất là $ \frac{1}{63}. $

Câu 4. Từ các chữ số $ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 $ có thể lập được bao nhiêu nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng $ \overline{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ sao cho $ a_1<a_2<a_3<a_4<a_5. $

Hướng dẫn. Rõ ràng, với mỗi cách lấy ra $ 5 $ chữ số bất kì từ $ 9 $ chữ số đã cho, chúng ta chỉ có duy nhất một cách sắp xếp chúng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, tức là không tính các hoán vị của $ 5 $ chữ số này. Đương nhiên, mỗi cách sắp xếp đó ta thu được một số thỏa mãn yêu cầu. Do đó, có tất cả \[ \mathrm{C}^5_9=126 \] số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 5. Từ các chữ số $ 0,1,2,3,4,5,6,7 $ có thể lập được bao nhiêu nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng $ \overline{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ sao cho $ a_1<a_2<a_3<a_4<a_5. $

Hướng dẫn. Nhận xét rằng $ a_1 $ phải là số bé nhất và khác $ 0, $ nên bài toán tương đương với việc lập số từ tập gồm $ 7 $ chữ số $ 1,2,3,4,5,6,7 $. Với mỗi cách lấy ra $ 5 $ chữ số bất kì từ $ 7 $ chữ số đã cho, chúng ta chỉ có duy nhất một cách sắp xếp chúng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, tức là không tính các hoán vị của $ 5 $ chữ số này. Đương nhiên, mỗi cách sắp xếp đó ta thu được một số thỏa mãn yêu cầu. Do đó, có tất cả \[ \mathrm{C}^5_7=21 \] số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 6. [Chuyên Thái Nguyên Lần 1 năm 2019] Gọi $ S $ là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số không nhất thiết khác nhau, được lập từ các chữ số $ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 $. Chọn ngẫu nhiên một số $ \overline{abc} $ từ $ S $. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn $ a \leqslant b \leqslant c. $

Hướng dẫn. Tập $ S $ gồm các số từ $ 100 $ đến $ 999 $ nên có $ 900 $ phần tử. Phép thử là chọn một số tự nhiên từ tập $ S $ nên số phần tử của không gian mẫu là \[ |\Omega|=\mathrm{C}^1_{900}=900 \] Gọi $ A $ là biến cố cần tính xác suất, đặt $ b’=b+1, c’=c+2 $ thì yêu cầu bài toán tương đương với việc chọn ra ba số $ 1 \leqslant a < b'<c’ \leqslant 11 $ rồi sắp xếp ba số này theo thứ tự từ bé đến lớn, nên số phần tử thuận lợi là \[ |A|= \mathrm{C}^3_{11}=165\] Xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}(A)=\frac{165}{900}=\frac{11}{60}. $

Bài tập trên cũng có thể làm bằng cách chia bốn trường hợp, $ a<b<c, a=b<c, a<b=c $ và $ a=b=c. $

Câu 7. [Chuyên Vĩnh Phúc — L3 2019] Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $ 4 $ chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $ \overline{abcd} $, trong đó $ 1 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant 9 $.

Hướng dẫn. Có tất cả $ 9000$ số tự nhiên có bốn chữ số. Phép thử là “chọn một số tự nhiên từ $ 9000$ số tự nhiên có bốn chữ số”, nên số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^1_{9000}=9000. $$ Sử dụng tính chất của hai số tự nhiên, $ m \leqslant n \Leftrightarrow m < n+1$, chúng ta có điều kiện $ 1 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant 9 $ tương đương với
\[ 1 \leqslant a < b+1<c+2<d+3 \leqslant 12. \] Đặt $ a’=a, b’=b+1, c’=c+2, d’=d+3 $ thì yêu cầu bài toán trở thành lấy bốn số tự nhiên khác nhau $ a’,b’,c’,d’ $ từ các số $ 1,2,3,\dots,12 $ và sắp xếp chúng theo một thứ tự duy nhất từ nhỏ đến lớn, tức là không tính các hoán vị. Do đó, số cách chọn là
\[ \mathrm{C}^4_{12}=495. \] Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}=\frac{495}{9000}\approx 0.055 $$

Câu 8. [SGD Nam Định — HK2 2018] Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $ \overline{abcde} $ sao cho $ 1 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e \leqslant 9. $

Hướng dẫn. Không gian mẫu có số phần tử là \[ \big|\Omega\big| = 9\cdot 10^4=90000.\] Sử dụng tính chất của hai số tự nhiên, $ m \leqslant n \Leftrightarrow m < n+1$, chúng ta có điều kiện $ 1 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e \leqslant 9 $ tương đương với \[ 1 \leqslant a < b+1<c+2<d+3<e+4 \leqslant 13. \] Đặt $ a’=a, b’=b+1, c’=c+2, d’=d+3, e’=e+4 $ thì yêu cầu bài toán trở thành lấy năm số tự nhiên khác nhau $ a’,b’,c’,d’,e’ $ từ các số $ 1,2,3,\dots,13 $ và sắp xếp chúng theo một thứ tự duy nhất từ nhỏ đến lớn, tức là không tính các hoán vị. Do đó, số cách chọn là \[ \mathrm{C}^5_{13}=1287. \] Xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}(A)=\frac{143}{10000}. $

Câu 9. [Chuyên Quang Trung — Bình Phước 2018] Cho $ A $ là tập hợp gồm các số tự nhiên có $ 9 $ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $ A $. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số $ 0; 1; 2; 3; 4 $ mà các chữ số $ 1; 2; 3; 4 $ sắp theo thứ tự tăng dần.

Hướng dẫn. Tập $ A $ có tất cả $ 9\cdot \mathrm{A}^8_9=3265920 $ số. Phép thử là “chọn ngẫu nhiên một số từ $ 2903040 $ số của tập $ A $”, nên số phần tử của không gian mẫu là \[ \big|\Omega\big| =\mathrm{C}^1_{3265920}=3265920.\] Giả sử có một bảng gồm một hàng có $ 9 $ ô trống cạnh nhau, để tạo thành một số tự nhiên có $ 9 $ chữ số ta lần lượt lựa chọn và viết các chữ số trong các chữ số từ $ 0 $ đến $ 9 $ vào các ô trống này.

Gọi $ E $ là biến cố cần tính xác suất. Biến cố $ E $ xảy ra, ta phải thực hiện các bước sau:
- Chọn một trong tám ô trống, vì ô đầu tiên không thể là $ 0 $, để viết chữ số $ 0 $; có $ 8 $ cách.
- Chọn bốn trong tám ô trống còn lại, và viết các chữ số $ 1,2,3,4 $ theo thứ tự từ trái qua phải vào các ô trống đó; có tất cả $ \mathrm{C}^4_8 $ cách.
- Chọn bốn trong năm chữ số $ 5,6,7,8,9 $, và sắp xếp các hoán vị của chúng vào bốn ô trống còn lại; có $ \mathrm{A}^4_5 $ cách.
Theo quy tắc nhân, số phần tử thuận lợi cho biến cố $ E $ là \[ \big|E\big| =8\cdot \mathrm{C}^4_8\cdot \mathrm{A}^4_5=67200.\] Xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}=\frac{67200}{3265920}=\frac{5}{243}. $

Câu 10. [Cụm trường chuyên đồng bằng sông Hồng L1 2019] Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có $ 5 $ chữ số đôi một khác nhau, sao cho mỗi số đó nhất thiết phải có mặt chữ số $ 0 $.

Hướng dẫn. Gọi số tự nhiên cần lập là $ \overline{abcde} $ trong đó $ a\ne0,e $ chẵn và phải có mặt chữ số $ 0 $. Ta xét hai trường hợp:
- Nếu $ e=0 $ thì $ e $ chỉ có một cách chọn. Tiếp theo ta chọn 4 chữ số từ 9 chữ số $ 1,2,\dots,9 $ và sắp xếp vào bốn vị trí còn lại, có $ \mathrm{A}^4_9 $ cách. Trường hợp này có tất cả $ 1\cdot \mathrm{A}^4_9=3024 $ số.
- Nếu $ e\ne 0 $ thì $ e $ có 4 cách chọn, từ các chữ số $ 2,4,6,8 $. Tiếp theo, ta chọn vị trí cho chữ số $ 0 $, có 3 cách vì không thể ở vị trí của $ a $ hoặc $ e $. Cuối cùng, ta chọn 3 chữ số từ 8 chữ số còn lại và sắp xếp vào ba vị trí còn lại, có $ \mathrm{A}^3_8 $ cách. Trường hợp này có tất cả $ 4\cdot 3\cdot \mathrm{A}^3_8= 4032 $ số.
Theo quy tắc cộng, có tất cả $ 3024+4032=7056 $ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 11. [Nguyễn Thị Minh Khai — Hà Tĩnh L1 2019] Gọi $ S $ là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số được lập từ các chữ số $ 1,2,3,4,5 $. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $ S $. Tính xác suất để lây được số thỏa mãn điều kiện: các chữ số $ 1,2,3,4 $ có mặt đúng hai lần; chữ số $ 5 $ có mặt đúng một lần và các chữ số lẻ nằm ở vị trí lẻ, tính từ trái qua phải.

Hướng dẫn. Tập $ S$ có tất cả $ 5^9=1953125$ phần tử. Số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|= \mathrm{C}^1_{1953125}=1953125$$ Gọi $ A$ là biến cố lấy được số thỏa mãn yêu cầu. Để biến cố $ A$ xảy ra chúng ta thực hiện các bước sau:
- Chọn vị trí cho chữ số $ 5$, vì $ 5$ là số lẻ nên chỉ có thể chọn các vị trí thứ nhất, thứ ba, thứ năm, thứ bảy và thứ chín. Tóm lại, có $ 5$ cách chọn vị trí cho chữ số $ 5$.
- Sắp xếp hai chữ số $ 1$ và hai chữ số $ 3$ vào bốn vị trí lẻ còn lại, số cách sắp xếp là $$ \frac{4!}{2!\cdot 2!} =6$$
- Sắp xếp hai chữ số $ 2$ và hai chữ số $ 4$ vào bốn vị trí chẵn, số cách sắp xếp là $$ \frac{4!}{2!\cdot 2!} =6$$
Suy ra, số phần tử thuận lợi cho $ A$ là $$ 5\cdot 6\cdot 6 =180 $$ Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}(A)=\frac{180}{5^9}. $$

Câu 12. Có bao nhiêu số có $ 10 $ chữ số được tạo thành từ ba chữ số $ 1,2,3 $ sao cho hai chữ số bất kỳ nào đứng cạnh nhau đều hơn kém nhau một đơn vị.

Hướng dẫn. Nhận xét rằng hai số hơn kém nhau $ 1 $ đơn vị thì tính chẵn lẻ đối lập nhau. Trong ba chữ số $ 1,2,3 $ thì chỉ có $ 2 $ là số chẵn. Do đó, gọi các số thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng $ \overline{a_1a_2a_3…a_{10}} $ thì ta xét hai trường hợp:
- Chữ số $ 2 $ chiếm các vị trí chẵn $ a_2,a_4,…,a_{10} $. Lúc này, điền các chữ số $ 1 $ hoặc $ 3 $ vào các vị trí lẻ thì có $ 2^5=32 $ cách, nên có tất cả $ 32 $ số.
- Chữ số $ 2 $ chiếm các vị trí lẻ $ a_1,a_3,…,a_9 $. Và, ta viết các chữ số $ 1 $ hoặc $ 3 $ vào các vị trí chẵn thì có $ 2^5=32 $ cách, nên có tất cả $ 32 $ số.
Theo quy tắc cộng, có tất cả $ 64 $ số thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 13. [Lê Văn Thịnh — Bắc Ninh 2019] Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.

Hướng dẫn. Phép thử là “lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách từ 9 quyển sách” nên số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^3_9=84 $$ Vì đề bài xuất hiện cụm từ ít nhất, nên chúng ta sử dụng biến cố đối. Giả sử $ A$ là biến cố “trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán” thì $ \overline{A}$ là biến cố “trong ba quyển sách lấy ra có không có sách toán”.

Biến cố $ \overline{A}$ xảy ra khi và chỉ khi lấy được 3 quyển chỉ gồm sách lý và hóa. Số phần tử thuận lợi của biến cố $ \overline{A}$ là $$ \mathrm{C}^3_5 =10$$ Xác suất cần tìm là \begin{align}
\mathrm{P}(A)&=1-\mathrm{P}(\overline{A})\\
&=1-\frac{10}{84}=\frac{37}{42}
\end{align}

Câu 14. [Chuyên Bắc Giang 2/2019] Lớp 11A có 2 tổ. Tổ I có 5 bạn nam, 3 bạn nữ và tổ II có 4 bạn nam, 4 bạn nữ. Lấy ngẫu nhiên mỗi tổ 2 bạn đi lao động. Tính xác suất để trong các bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ.

Hướng dẫn. Phép thử: “Lấy ngẫu nhiên mỗi tổ 2 bạn đi lao động”, tức là lấy từ tổ I hai bạn và tổ II hai bạn. Số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|= \mathrm{C}^2_8\cdot \mathrm{C}^2_8=784.$$ Để trong các bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ, chúng ta xét hai trường hợp:
- Chọn từ tổ I hai bạn nữ và tổ II một nam một nữ. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^2_{3}\cdot \mathrm{C}^1_4\cdot \mathrm{C}^1_4=48 $$
- Chọn từ tổ I một nam một nữ và tổ hai hai bạn nữ. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^1_5\cdot \mathrm{C}^1_3\cdot \mathrm{C}^2_{4}=90 $$
Theo quy tắc cộng, có tất cả $ 48+90=138$ cách chọn.

Xác suất cần tính là $$ \mathrm{P}=\frac{138}{784}=\frac{69}{392}$$

Câu 15. [Chuyên Bắc Ninh L1 2019] Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, các bông hồng khác nhau từng đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu.

Hướng dẫn. Lấy 3 bông hồng có đủ ba màu đồng nghĩa với lấy được 1 bông hồng đỏ, 1 bông hồng trắng và 1 bông hồng vàng. Số cách lấy thỏa mãn yêu cầu là $$ \mathrm{C}^1_7\cdot \mathrm{C}^1_8\cdot \mathrm{C}^1_{10}=560. $$

Câu 16. [Chuyên Bắc Ninh L1 2019] Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp đó. Gọi P là xác suất để tổng các số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Phép thử là “Lấy ngẫu nhiên $ 4$ thẻ từ $ 11$ thẻ”. Suy ra không gian mẫu có số phần tử là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^4_{11}=330.$$ Trong $ 11$ tấm thẻ, có $ 6$ ghi số lẻ là $\{1,3,5,7,9,11\}$ và $ 5$ thẻ ghi số chẵn là $ \{2,4,6,8,10\}$.

Để tổng các số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ thì ta có các trường hợp sau:
- Chọn 1 thẻ lẻ và 3 thẻ chẵn. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^1_6\cdot \mathrm{C}^3_{5}=60 $$
- Chọn 3 thẻ lẻ và 1 thẻ chẵn. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^3_6\cdot \mathrm{C}^1_{5}=100 $$
Theo quy tắc cộng, số phần tử thuận lợi là $$ 60+100=160 $$ Xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}=\frac{160}{330}=\frac{16}{33}$.

Câu 17. [THTT 2/2019] Tại Giải vô địch bóng đá AFF Suzuki Cup 2019 có 10 đội tuyển tham dự, trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Malaysia. Ở vòng bảng, Ban tổ chức chia ngẫu nhiên 10 đội thành 2 bảng, bảng A và bảng B, mỗi bảng có 5 đội. Giả sử khả năng xếp mỗi đội vào mỗi bảng là như nhau. Tính xác suất đề đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Malaysia được xếp trong cùng một bảng.

Hướng dẫn. Không gian mẫu có số phần tử là $$ \mathrm{C}^5_{10}\cdot \mathrm{C}^5_5=252.$$ Để xếp được đội Việt Nam và Malaysia ở cùng một bảng ta thực hiện hai bước:
- Chọn một bảng, có thể là bảng A hoặc bảng B, để xếp hai đội Việt Nam và Malaysia thì có 2 cách chọn. Khi đó, ở bảng này còn thiếu 3 đội nữa, nên có $ \mathrm{C}^3_8 $ cách chọn 3 đội từ 8 đội còn lại cho đủ 5 đội của bảng đó.
- Tiếp theo, đương nhiên chỉ có $ \mathrm{C}^5_5 $ cách chọn 5 đội vào bảng còn lại.
Theo quy tắc nhân, có $ 2\cdot \mathrm{C}^3_8\cdot \mathrm{C}^5_5=112 $ cách. Do đó, xác suất cần tìm là \[ \mathrm{P}=\frac{112}{252}=\frac{4}{9}. \]

Câu 18. [Cụm trường chuyên đồng bằng sông Hồng L1 2019] Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 8 đội tham gia, trong đó có hai đội của Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Xác suất để hai đội của Việt Nam nằm ở hai bảng khác nhau bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Số phần tử của không gian mẫu là \[ |\Omega|=\mathrm{C}^4_8\cdot \mathrm{C}^4_4=70. \] Ở đây không có sự phân biệt giữa hai bảng, tức là không nói rõ bảng A và bảng B chẳng hạn, nên ta xét bảng thứ nhất.
- Chọn một trong hai đội của Việt Nam vào bảng này, có $ \mathrm{C}^1_2 $ cách. Chọn tiếp ba trong sáu đội nước ngoài để xếp vào bảng đó, có $ \mathrm{C}^3_6 $ cách. Theo quy tắc nhân, bước này có $ \mathrm{C}^1_2\cdot \mathrm{C}^3_6=40 $ cách.
- Xếp bốn đội còn lại vào bảng thứ hai, có 1 cách duy nhất.
Như vậy, số phần tử thuận lợi của không gian mẫu là $ 40\cdot 1=40 $. Xác suất cần tìm là \[ \mathrm{P}=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}. \]

Câu 19. [HSG 12 Bắc Giang năm học 2015-2016] Một công ty nhận được 30 hồ sơ của 30 người muốn xin việc vào công ty, trong đó có 15 người biết tiếng Anh, 8 người biết tiếng Pháp và 14 người không biết tiếng Anh và tiếng Pháp. Công ty cần tuyển 5 người biết ít nhất tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Tính xác suất để trong 5 người được chọn có 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp.

Hướng dẫn. Số người biết cả hai tiếng Anh và Pháp là \[ 15+8+14-30=7. \] Phép thử: “Chọn 5 người trong 16 người không phân biệt nhiệm vụ” nên không gian mẫu có số phần tử là \[ |\Omega|=\mathrm{C}^5_{16}=4368. \]
Gọi $ A $ là biến cố “trong 5 người được chọn có 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp” thì $ A $ xảy ra khi và chỉ khi:
- Chọn được 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 2 người chỉ biết tiếng Anh và 0 người chỉ biết tiếng Pháp. Trường hợp này có $\mathrm{C}^3_7\cdot \mathrm{C}^2_8\cdot \mathrm{C}^0_1 $ cách chọn.
- Chọn được 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 1 người chỉ biết tiếng Anh và 1 người chỉ biết tiếng Pháp. Trường hợp này có $ \mathrm{C}^3_7\cdot \mathrm{C}^1_8\cdot \mathrm{C}^1_1 $ cách chọn.
Suy ra, số phần tử thuận lợi cho $ A $ là \[ |A|=\mathrm{C}^3_7\cdot \mathrm{C}^2_8\cdot \mathrm{C}^0_1 + \mathrm{C}^3_7\cdot \mathrm{C}^1_8\cdot \mathrm{C}^1_1 = 1260.\] Xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}(A)=\frac{1260}{4268}=\frac{15}{52}. $

Câu 20. [HSG Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017] Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Văn, 5 cuốn sách Sử và 6 cuốn sách Địa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn.

Hướng dẫn. Phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách trong 15 cuốn sách” nên số phần tử của không gian mẫu là\[ |\Omega|=\mathrm{C}^8_{15}=6435. \] Gọi $ A $ là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn”. Suy ra $ \overline{A} $ là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn”. Vì số cuốn sách mỗi môn đều ít hơn 7, nên nếu còn lại 7 cuốn sách thì phải gồm từ 2 môn trở lên. Do đó, biến cố $ \overline{A} $ xảy ra có 3 trường hợp:
- 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Sử. Số cách chọn là $ \mathrm{C}^7_9. $
- 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Địa. Số cách chọn là $ \mathrm{C}^7_{10}. $
- 7 cuốn sách còn lại chỉ có Địa và Sử. Số cách chọn là $ \mathrm{C}^7_{11}. $
Suy ra, số phần tử thuận lợi cho $ \overline{A} $ là \[ |\overline{A}|=\mathrm{C}^7_9+\mathrm{C}^7_{10}+\mathrm{C}^7_{11}=486. \] Xác suất cần tìm là \[ \mathrm{P}(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{486}{6435}=\frac{661}{715}. \]

Câu 21. [A Hải Hậu — Nam Định L1 2019] Trong một buổi dạ hội có 10 thành viên nam và 12 thành viên nữ, trong đó có 2 cặp vợ chồng. Ban tổ chức muốn chọn ra 7 đôi, mỗi đôi gồm 1 nam và 1 nữ để tham gia trò chơi. Tính xác suất để trong 7 đôi đó, có đúng một đôi là cặp vợ chồng. Biết rằng trong trò chơi, người vợ có thể ghép đôi với một người khác chồng mình và người chồng có thể ghép đôi với một người khác vợ mình.

Hướng dẫn. Để chọn ra 7 đôi, mỗi đôi gồm 1 nam và 1 nữ ta thực hiện các bước:
- Chọn ra 7 nam từ 10 nam, có $ \mathrm{C}^7_{10} $ cách.
- Chọn ra 7 nữ từ 12 nữ, có $ \mathrm{C}^7_{12} $ cách.
- Sắp xếp thành 7 đôi, có $ 7! $ cách.
Do đó, không gian mẫu có $ \mathrm{C}^7_{10} \cdot \mathrm{C}^7_{12}\cdot 7!$ phần tử.

Để chọn được 7 đôi sao cho có đúng 1 đôi là cặp vợ chồng, ta thực hiện như sau:
- Chọn ra 1 đôi là vợ chồng trong 2 cặp vợ chồng, có $ \mathrm{C}^1_2 $ cách.
- Chọn ra 6 đôi từ 9 nam và 11 nữ còn lại, có $ \mathrm{C}^6_{9} \cdot \mathrm{C}^6_{11}\cdot 6! $. Nhưng trong số những cách này đã bao gồm cả những cách có cả hai đôi là vợ chồng, do đó phải trừ đi $ \mathrm{C}^1_1\cdot \mathrm{C}^5_{8} \cdot \mathrm{C}^5_{10}\cdot 5!$. Như vậy, bước này có $ \mathrm{C}^6_{9} \cdot \mathrm{C}^6_{11}\cdot 6! – C^1_1\cdot \mathrm{C}^5_{8} \cdot \mathrm{C}^5_{10}\cdot 5!$ cách.
Theo quy tắc nhân, có tất cả \[ \mathrm{C}^1_2\left(\mathrm{C}^6_{9} \cdot \mathrm{C}^6_{11}\cdot 6! – C^1_1\cdot \mathrm{C}^5_{8} \cdot \mathrm{C}^5_{10}\cdot 5!\right). \] Xác suất cần tìm là
\[ \mathrm{P}= \frac{\mathrm{C}^1_2\left(\mathrm{C}^6_{9} \cdot \mathrm{C}^6_{11}\cdot 6! – C^1_1\cdot \mathrm{C}^5_{8} \cdot \mathrm{C}^5_{10}\cdot 5!\right) }{\mathrm{C}^7_{10} \cdot \mathrm{C}^7_{12}\cdot 7!}=\frac{217}{1980}.\]

Câu 22. [Lương Thế Vinh — HN L1 2019] Cho đa giác đều có $ 2018 $ đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có $ 4 $ đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho?

Hướng dẫn. Vì đa giác đều nên có tâm đường tròn ngoại tiếp, giả sử là tâm $ O $, nó có $ 2018 $ đỉnh thì có $ 1009 $ đường chéo đi qua $ O $. Cứ $ 2 $ trong số $ 1009 $ đường chéo này thì sẽ tạo thành một hình chữ nhật, đo đó có tất cả $ \mathrm{C}^2_{1009} $ hình chữ nhật.

Câu 23. Cho đa giác đều $ 54 $ cạnh. Gọi $ S $ là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $ S $. Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Đa giác đều có $ 54 $ cạnh thì có $ 54 $ đỉnh. Mỗi tứ giác có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều là một tổ hợp chập 4 của 54 phần tử, nên số phần tử của tập $ S $ là $$ \mathrm{C}^4_{54}=316251 $$ Phép thử là “chọn một tứ giác trong $ 316251 $ tứ giác của tập $ S $” nên số phần tử của không gian mẫu là \[ |\Omega|=\mathrm{C}^1_{316251}=316251. \] Gọi $ A $ là biến cố “chọn được một hình chữ nhật”. Vì đa giác đều nên có tâm đường tròn ngoại tiếp, giả sử là tâm $ O $, nó có $ 54 $ đỉnh thì có $ 27 $ đường chéo đi qua $ O $. Cứ $ 2 $ trong số $ 27 $ đường chéo này thì sẽ tạo thành một hình chữ nhật, đo đó số phần tử thuận lợi là \[ |A|=\mathrm{C}^2_{27}=351 \] Xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}(A)=\frac{351}{316251}=\frac{1}{901}. $

Câu 24. [Chuyên Hùng Vương — Gia Lai L1 2019] Cho một hình vuông, mỗi cạnh của hình vuông đó được chia thành $ n $ đoạn bằng nhau bởi $ (n-1) $ điểm chia, không tính hai đầu mút mỗi cạnh. Xét các tứ giác có $ 4 $ đỉnh là $ 4 $ điểm chia trên $ 4 $ cạnh của hình vuông đã cho. Gọi $ a $ là số các tứ giác tạo thành và $ b $ là số các hình bình hành trong số đó. Giá trị $ n $ thỏa mãn $ a=9b $ là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Mỗi tứ giác được tạo thành bằng cách chọn 4 đỉnh trên 4 cạnh. Số cách chọn một đỉnh trên một cạnh là $ (n-1) $ nên có tất cả $ a=(n-1)^4 $ tứ giác.

Dễ thấy rằng nếu tứ giác $ MNPQ $ là hình bình hành thì $ M $ và $ P,N $ và $ Q $ đối xứng nhau qua tâm của hình vuông. Nên ta chỉ cần chọn đỉnh $ M $ rồi lấy đối xứng qua tâm hình vuông thì được đỉnh $ P $, chọn đỉnh $ N $ rồi lấy đối xứng qua tâm hình vuông được đỉnh $ Q $. Suy ra một hình bình hành được hoàn toàn xác định bằng cách chọn 2 đỉnh liên tiếp trên hai cạnh liên tiếp của hình vuông. Nên có tất cả $ b=(n-1)^2 $ hình bình hành.

Do đó, yêu cầu bài toán tương đương với tìm số tự nhiên $ n $ thỏa mãn $$(n-1)^{4}=9(n-1)^{2}$$ Giải phương trình này tìm được đáp số $ n=4. $

Câu 25. [Nguyễn Thị Minh Khai — Hà Tĩnh L1 2019] Cho một đa giác đều $ 10 $ cạnh nội tiếp đường tròn $(O)$. Hỏi có bao nhiêu hình thang cân có bốn đỉnh là đỉnh của đa giác đều đó?

Hướng dẫn. Đa giác đều có $ 10 $ cạnh nên có $ 5 $ đường chéo đi qua tâm $ O $. Mỗi hình thang cân có bốn đỉnh là đỉnh của đa giác đều đó thì đều có trục đối xứng. Ta xét hai trường hợp:
- Trục đối xứng của hình thang cân là một trong 5 đường chéo đi qua tâm nói trên. Xét một đường kính bất kì, chẳng hạn $ A_1A_6 $, thì số hình thang nhận $ A_1A_6 $ làm trục đối xứng là \[\mathrm{C}^2_4=6 \]Vậy trường hợp này có tất cả $ 5\cdot6=30 $ hình thang cân.
- Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng vuông góc với hai cạnh đối nhau của đa giác đều. Số hình thang cân là\[ 5\cdot \mathrm{C}^2_5=50 \]
Tuy nhiên, trong số các hình thang cân này thì các hình chữ nhật đã được đếm hai lần, do đó số hình thang cân cần tìm là \[ 30+50-\mathrm{C}^2_5=70 \]

Câu 26. Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập $A$. Tính xác suất để chọn được một số thuộc $A$ và số đó chia hết cho $3$.

Hướng dẫn. Trước tiên, ta tính số phần tử của tập hợp $A$. Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có $9$ cách chọn và có $\mathrm{A}_9^8$ cách sắp xếp cho tám vị trí còn lại. Do đó, số phần tử của tập hợp $ A $ là
$$|A| = 9\cdot\mathrm{A}_9^8=3265920.$$ Phép thử là “chọn một số tự nhiên từ $ 3265920 $ số tự nhiên của tập $ A $” nên không gian mẫu có số phần tử là \[ |\Omega|=\mathrm{C}^1_{3265920}=3265920. \] Giả sử $B = \{0;1;2; \ldots ;9\}$. Ta thấy tổng các phần tử của $B$ bằng $45 \mathrel{\vdots} 3$ nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho $3$ sẽ được tạo thành từ chín chữ số của các tập $B \setminus \{0\}$, $B \setminus \{3\}$, $B \setminus \{6\}$, $B \setminus \{9\}$. Do đó, số phần tử thuận lợi là $$9! + 3\cdot 8 \mathrm{A}_8^8.$$ Xác suất cần tìm là $\mathrm{P} = \frac{9! + 3 \cdot 8 \mathrm{A}_8^8}{9\mathrm{A}_9^8} = \frac{11}{27}$.

Câu 27. [Hải Hậu A — Nam Định L1 2019] Có bao nhiêu cách chia hết $ 4 $ chiếc bánh khác nhau cho 3 em nhỏ, biết rằng mỗi em nhận được ít nhất $ 1 $ chiếc.

Hướng dẫn. Giả sử ba em nhỏ là Xuân, Hạ, Thu. Vì mỗi em nhận được ít nhất $ 1 $ chiếc nên sẽ chỉ có thể xảy ra khả năng, một em nhận được 2 chiếc, hai em còn lại mỗi em nhận được 1 chiếc. Ta xét ba trường hợp:
- Xuân nhận được 2 chiếc bánh, Hạ được 1 chiếc, Thu được 1 chiếc. Số cách chia là \[ \mathrm{C}^2_4\cdot \mathrm{C}^1_2\cdot \mathrm{C}^1_1=12 \]
- Hai trường hợp còn lại, làm tương tự, mỗi trường hợp cũng có $ 12 $ cách chia bánh.
Theo quy tắc cộng, có tất cả $ 36 $ cách chia bánh thỏa mãn yêu cầu.

Câu 28. [Cù Huy Cận — Hà Tĩnh L1 2019] Một lớp có 36 ghế đơn được xếp thành hình vuông $ 6\times 6 $. Giáo viên muốn xếp 36 học sinh, trong đó có hai anh em là Kỷ và Hợi. Tính xác suất để hai anh em Kỷ và Hợi luôn được ngồi cạnh nhau theo chiều dọc hoặc ngang.

Hướng dẫn. Mỗi một cách sắp xếp chỗ ngồi cho $ 36 $ học sinh là một hoán vị của tập gồm $ 36 $ phần tử, nên không gian mẫu có $ 36! $ phần tử.

Để hai anh em Kỷ và Hợi ngồi cạnh nhau theo chiều ngang, ta thấy có 6 trường hợp:
- Kỷ và Hợi ngồi cạnh nhau ở hàng thứ nhất, có $ 2!\cdot 5\cdot 34! $ cách.
- Tương tự cho các trường hợp ngồi ở hàng thứ hai, thứ ba… cho đến hàng thứ sáu.
Vậy nếu ngồi cạnh nhau theo chiều ngang thì có tất cả \[ 2!\cdot 5\cdot 34!\cdot 6\text{ cách.} \] Tương tự, nếu ngồi cạnh nhau theo chiều dọc thì cũng có $ 2!\cdot 5\cdot 34!\cdot 6 $ cách. Do đó, xác suất cần tìm là \[ \mathrm{P}= \frac{2!\cdot 5\cdot 34!\cdot 6\cdot 2}{36!}=\frac{2}{21}.\]

Câu 29. [HSG Thanh Hóa lớp 12 năm học 2015 – 2016] Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường , một trường THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lí, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm phần thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật lí, Hóa học đều giống nhau. Mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 cuốn sách khác thể loại. Trong số 9 học sinh trên có hai học sinh tên là An và Bình. Tìm xác suất để hai học sinh An và Bình có phần thưởng giống nhau.

Hướng dẫn. Gọi $ x,y,z $ lần lượt là số học sinh nhận được phần thưởng là hai cuốn sách Toán và Lý, Toán và Hoá, Lý và Hoá thì ta có hệ phương trình \[ \begin{cases} x+y=7\\ y+z=6\\ z+x=5 \end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases} x=4\\ y=3 \\ z=2 \end{cases} \] Phép thử là “Trao phần thưởng cho 9 học sinh”. Nghĩa là, chọn ra 5 trong 9 học sinh để trao sách Toán và Lý; sau đó chọn tiếp 3 trong 5 học sinh còn lại để trao sách Toán và Hoá; cuối cùng chọn 2 học sinh còn lại để trao sách Lý và Hoá. Do đó, không gian mẫu có $ |\Omega|=\mathrm{C}^4_9\cdot \mathrm{C}^3_5\cdot \mathrm{C}^2_2=1260 $ phần tử.

Xét biến cố $ A $ là “An và Bình có phần thưởng giống nhau.” Biến cố $ A $ xảy ra khi và chỉ khi
- An và Bình cùng nhận được sách Toán và Lý, có $ \mathrm{C}^2_7\cdot \mathrm{C}^3_5\cdot \mathrm{C}^2_2 $ cách.
- An và Bình cùng nhận được sách Toán và Hoá, có $ \mathrm{C}^1_7\cdot \mathrm{C}^4_6\cdot \mathrm{C}^2_2 $ cách.
- An và Bình cùng nhận được sách Lý và Hoá, có $ \mathrm{C}^0_7\cdot \mathrm{C}^4_7\cdot \mathrm{C}^3_3 $ cách.
Như vậy, số phần tử thuận lợi cho $ A $ là $$ |A|= \mathrm{C}^2_7\cdot \mathrm{C}^3_5\cdot \mathrm{C}^2_2 + \mathrm{C}^1_7\cdot \mathrm{C}^4_6\cdot \mathrm{C}^2_2 + \mathrm{C}^0_7\cdot \mathrm{C}^4_7\cdot \mathrm{C}^3_3 =350$$

Suy ra, xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}(A)=\frac{350}{1260}=\frac{5}{18}. $

Câu 30. [Liên trường TP Vinh — L1 2019] Có 3 quyển sách toán, 4 quyển sách lí và 5 quyển sách hóa khác nhau được sắp xếp ngẫu nhiên lên một giá sách gồm có 3 ngăn, các quyển sách được sắp dựng đứng thành một hàng dọc vào một trong ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất cả quyển sách). Tính xác suất để không có bất kì hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn. Mỗi cách sắp xếp các cuốn sách lên giá sách có ba ngăn là một hoán vị của tập 14 phần tử gồm 12 cuốn sách và hai vách ngăn giữa ba ngăn của giá sách. Do đó, không gian mẫu có $ 14! $ phần tử.

Để sắp xếp thỏa mãn yêu cầu các cuốn sách toán không xếp cạnh nhau, ta thực hiện hai bước:
- Bước 1. Sắp xếp 11 phần tử gồm 4 cuốn sách lí, 5 cuốn sách hóa và 2 vách ngăn, thì có $ 11! $ cách.
- Bước 2. Chọn 3 trong 12 vị trí, gồm có 10 vị trí là các khoảng trống giữa 11 phần tử ở bước 1 cộng thêm 2 vị trí đầu tiên và cuối cùng, rồi sắp xếp các cuốn sách toán vào. Có tất cả $ \mathrm{C}^3_{12}\cdot 3! $ cách.
Theo quy tắc nhân, có tất cả $ 11!\cdot \mathrm{C}^3_{12}\cdot 3! $ cách. Xác suất cần tìm là \[ \mathrm{P}=\frac{11!\cdot \mathrm{C}^3_{12}\cdot 3!}{14!}=\frac{55}{91}. \]

Câu 31. [Chuyên KHTN HN năm 2020] Giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham gia trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu A ,B ,C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội Việt Nam nằm ở 3 bảng khác nhau.
Hướng dẫn. Việc chia bảng được thực hiện như sau:
Chọn $ 4$ đội vào bảng A, có $ \mathrm{C}^4_{12}$ cách. Còn lại $ 8$ đội, chọn tiếp $ 4$ đội vào bảng B, có $\mathrm{C}^4_8 $ cách. Cuối cùng, chọn $ 4$ đội vào bảng $ C$, có $ \mathrm{C}^4_4$ cách. Suy ra, số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|= \mathrm{C}^4_{12}\cdot \mathrm{C}^4_{8}\cdot \mathrm{C}^4_{4} = 34650.$$
Để 3 đội của Việt Nam nằm ở 3 bảng khác nhau thì mỗi bảng gồm 1 đội Việt Nam và 2 đội nước ngoài. Số phần tử thuận lợi là $$ \mathrm{C}^1_3\cdot\mathrm{C}^3_{9}\cdot \mathrm{C}^1_2\cdot \mathrm{C}^3_{6}\cdot\mathrm{C}^1_1 \cdot\mathrm{C}^3_{3}=10080 $$ Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}=\frac{10080}{34650}=\frac{16}{55} $$

Câu 32. [Chuyên KHTN — HN 2020] Từ một hộp chứa $ 19$ tấm thẻ đánh số từ $ 1$ đến $ 19$, chọn ngẫu nhiên hai thẻ. Tính xác suất để chọn được hai thẻ mà tích của hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn.

Hướng dẫn. Phép thử là “chọn ngẫu nhiên hai thẻ từ $ 19$ thẻ” nên số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^2_{19} =171$$ Trong $ 19$ thẻ này có $ 10$ thẻ ghi số lẻ và $ 9$ thẻ ghi số chẵn. Để tích hai thẻ là một số chẵn thì ta xét hai trường hợp:
- Chọn được hai thẻ chẵn từ $ 10$ thẻ ghi số chẵn, số cách chọn là $$ \mathrm{C}^2_{10}=45 $$
- Chọn được một thẻ chẵn từ $ 10$ thẻ ghi số chẵn và một thẻ lẻ từ $ 9$ thẻ ghi số lẻ. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^1_{10}\cdot \mathrm{C}^1_{9}=90 $$
Suy ra, số phần tử thuận lợi là $$ 45+90=135 $$ Xác suất cần tìm là $ \mathrm{P}=\frac{135}{171}=\frac{15}{19}.$

Câu 33. [Lương Thế Vinh — HN 2020] Một em bé có một bộ 6 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ T, một thẻ chữ N, một thẻ chữ H và một thẻ chữ P. Em bé đó xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành một hàng ngang. Tính xác suất em bé xếp được thành dãy TNTHPT

Hướng dẫn. Không gian mẫu có $ 6!=720$ phần tử.

Để xếp được chữ TNTHPT thì em bé có tất cả $3!=6$ cách. Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}=\frac{6}{720}=\frac{1}{120}$$

Câu 34. [Trần Phú — Hà Tĩnh 2020] Một nhóm có 12 học sinh, trong đó có 10 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm xếp ngẫu nhiên 12 học sinh đó thành một hàng dọc. Tính xác suất để hai học sinh nữ không đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn. Số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=12! $$ Số cách sắp xếp để hai học sinh nữ đứng cạnh nhau là $$ 2!\cdot 11! $$ Suy ra, xác suất cần tính là $$ \mathrm{P}=1-\frac{2!\cdot 11!}{12!}=\frac{1}{6} $$

Câu 35. Cho $ S=\{1,2,3,4,5,6\}$. Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các chữ số thuộc $ S$. Tính xác suất để lấy được số mà chỉ có đúng 3 chữ số khác nhau.

Hướng dẫn. Có tất cả $ 6^5=7776$ số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ tập $ S$. Lấy ngẫu nhiên một số trong $ 7776$ số này, nên số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^1_{7776}=7776$$ Số được lấy có đúng ba chữ số khác nhau, chúng ta có hai trường hợp:
- Số được tạo thành từ năm chữ số có dạng $ a,a,a,b,c$. Chọn $ 3$ trong $ 6$ chữ số, có $ \mathrm{C}^3_6$ cách. Chọn chữ số $ a$ trong 3 chữ số vừa lấy, có $ \mathrm{C}^1_3$ cách. Sắp xếp 5 số vào 5 vị trí có $ 5!$ cách. Tuy nhiên, chữ số $ a$ đã được hoán vị $ 3!$ lần, nên thực tế chỉ có $ \frac{5!}{3!}$ cách. Do đó, số phần tử của trường hợp này là $$ \mathrm{C}^3_6\cdot \mathrm{C}^1_3\cdot\frac{5!}{3!}=1200$$
- Số được tạo thành từ năm chữ số có dạng $ a,a,b,b,c$. Chọn $ 3$ trong $ 6$ chữ số, có $ \mathrm{C}^3_6$ cách. Chọn chữ số $a$ và $ b$ trong 3 chữ số vừa lấy, có $ \mathrm{C}^2_3$ cách. Sắp xếp 5 số vào 5 vị trí có $ 5!$ cách. Tuy nhiên, chữ số $ a$ đã được hoán vị $ 2!$ lần, chữ số $ b$ cũng được hoán vị $ 2!$ lần nên thực tế chỉ có $ \frac{5!}{2!2!}$ cách. Do đó, số phần tử của trường hợp này là $$ \mathrm{C}^3_6\cdot \mathrm{C}^2_3\cdot\frac{5!}{2!2!}=1800$$
Tóm lại, số phần tử thuận lợi là $ 1200+1800=3000$. Xác suất cần tính là $$ \mathrm{P}=\frac{3000}{7776}=\frac{125}{324}.$$

Câu 36. [AMS HK2 2020] Một nhóm nhảy có 3 học sinh lớp 12A, 4 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ nhóm trên để biễu diễn vào ngày bế giảng. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn, mỗi lớp A,B, C có ít nhất một học sinh là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Tổng số học sinh của nhóm nhảy là $$ 3+4+5=12$$ Số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^4_{12}=495 $$ Để mỗi lớp được họn có ít nhất một học sinh, chúng ta có ba trường hợp:
- Nhóm gồm 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^2_3\cdot \mathrm{C}^1_4\cdot \mathrm{C}^1_5= 60$$
- Nhóm gồm 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^1_3\cdot \mathrm{C}^2_4\cdot \mathrm{C}^1_5= 90$$
- Nhóm gồm 1 học sinh lớp A, một học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C. Số cách chọn là $$ \mathrm{C}^1_3\cdot \mathrm{C}^1_4\cdot \mathrm{C}^2_5= 120$$
Suy ra, có tất cả $ 60+90+120=270$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu. Xác suất cần tính là $$ \mathrm{P}=\frac{270}{495}=\frac{6}{11}. $$

Câu 37. [SGD Vĩnh Phúc — 2020] Gọi $ S$ là tập các số tự nhiên có sáu chữ số trong đó có đúng ba chữ số $ 1$, ba chữ số còn lại khác nhau và khác $ 0$. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $ S$. Xác suất để lấy được số mà trong đó không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Để lập được các số tự nhiên của tập $ S$, ta thực hiện các bước sau:
- Chọn 3 trong 6 vị trí để viết chữ số $ 1$.
- Chọn 3 trong 8 chữ số từ 2 đến 9 và sắp xếp vào 3 vị trí còn lại.
Suy ra, số phần tử của tập $ S$ là $ \mathrm{C}^3_6\cdot \mathrm{A}^3_8=6720$. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^1_{6720}=6720 $$ Để lấy được số mà không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau thì số được chọn phải có dạng $ \overline{1*1*1*}$ hoặc $ \overline{1*1**1}$ hoặc $ \overline{1**1*1}$ hoặc $ \overline{*1*1*1}$. Số cách chọn trong mỗi trường hợp là $$ \mathrm{A}^3_8=336 $$

Do đó, số phần tử thuận lợi là $ 4\cdot 336=1344$. Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}=\frac{1344}{6720}=\frac{1}{5} $$

Câu 38. [SGD Bắc Ninh — 2020] Gọi $ A$ là tập tất cả các số tự nhiên có $ 8$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $ A$. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho $ 25$.

Hướng dẫn. Vì số tự nhiên có $ 8$ chữ số nên chữ số đứng ở vị trí đầu tiên phải khác $ 0$. Số phần tử của tập $ A$ là $$ \mathrm{A}^8_{10}-\mathrm{A}^7_{9}=1632960 $$ Để một số tự nhiên chia hết cho $ 25$ thì hai chữ số tận cùng phải chia hết cho $ 25$, tức là tận cùng chỉ có thể là $$ 00, 25, 50, 75 $$ Nhưng vì các chữ số của số tự nhiên trong tập $ A$ phải khác nhau nên loại trường hợp tận cùng là $ 00$. Do đó, chúng ta chỉ còn ba trường hợp sau:
- Số tự nhiên lấy được tận cùng là $ 50$. Khi đó, mỗi cách chọn và sắp xếp $ 6$ chữ số còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập $ 6$ của $ 8$ phần tử. Trường hợp này lập được tất cả $$ \mathrm{A}^6_8=20160$$ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.
- Số tự nhiên lấy được tận cùng là $ 25$. Chọn chữ số đầu tiên có $ 7$ cách, vì phải khác $ 0,2,5$. Chọn và sắp xếp $5 $ chữ số còn lại, có $ \mathrm{A}^5_7$ cách. Suy ra, trường hợp này có tất cả $$ 7\cdot \mathrm{A}^5_7=17640 $$ số thỏa mãn yêu cầu.
- Số tự nhiên lấy được tận cùng là $ 75$. Làm tương tự như trường hợp tận cùng là $ 25$, cũng tìm được $17640 $ số thỏa mãn yêu cầu.
Tóm lại, có tất cả $ 20160+2\cdot 17640=55440$ số tự nhiên chia hết cho $ 25$. Xác suất cần tìm là $$ P= \frac{55440}{1632960}=\frac{11}{324}$$

Câu 39. [SGD Hưng Yên 2020]\index{chia hết} Có 40 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^3_{40}=9880 $$
Các 40 thẻ từ 1 đến 40 được chia thành ba loại:
- Các thẻ chia hết cho $ 3$, có $ 13$ thẻ là các thẻ $$ A=\{3,6,9,…,39\} $$
- Các thẻ chia cho $ 3$ dư $ 1$, có $ 14$ thẻ là các thẻ $$ B=\{1,4,7,…,38,40\} $$
- Các thẻ chia cho $ 3$ dư $ 2$, có $ 13$ thẻ là các thẻ $$ C=\{2,5,8,…,37\} $$
Để rút được 3 thẻ chia hết cho $ 3$ thì có các trường hợp sau:
- Rút được 3 thẻ từ tập $ A$, số cách là $$ \mathrm{C}^3_{13}=286 $$
- Rút được 3 thẻ từ tập $ B$, số cách là $$ \mathrm{C}^3_{14}=364 $$
- Rút được 3 thẻ từ tập $ C$, số cách là $$ \mathrm{C}^3_{13}=286 $$
- Rút được 1 thẻ từ tập $ A$, 1 thẻ từ tập $ B$ và 1 thẻ từ tập $ C$, số cách là $$ \mathrm{C}^1_{13}\cdot \mathrm{C}^1_{14}\mathrm{C}^1_{13}=2366 $$
Tóm lại, có tất cả $ 286+364+286+2366=3302$ cách lấy ra 3 thẻ thỏa mãn yêu cầu. Xác suất cần tính là $$ \mathrm{P}=\frac{3302}{9880}=\frac{127}{380}. $$

Câu 40. [Chuyên Thái Bình — Lần 4 năm 2020] Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa (các quyển sách cùng môn đôi một khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quyển sách sao cho có ít nhất một quyển sách toán?

Hướng dẫn. Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách từ 9 quyển sách trên giá là $$ \mathrm{C}^3_9=84 $$ Để lấy được ít nhất một quyển sách toán thì ta sẽ đếm số cách lấy mà không có quyển sách toán nào. Để làm được như vậy thì ta phải lấy được 3 quyển sách chỉ gồm lý và hóa, có tất cả $ \mathrm{C}^3_5=10 $ cách.

Suy ra, số cách lấy được ít nhất một quyển sách toán là $$ 84-10=74. $$

Câu 41. [SGD Thái Nguyên 2020] Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ ngồi vào hai dãy ghế sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.

Hướng dẫn. Sắp xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào 10 ghế nên không gian mẫu có số phần tử là $$ |\Omega|=10! $$ Để sắp xếp mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ, ta thực hiện như sau:
- Chọn 1 trong 10 chỗ cho học sinh nam thứ nhất, có 10 cách.
- Chọn 1 trong 5 học sinh nữ để ngồi đối diện với học sinh nam thứ nhất, có 5 cách.
- Chọn 1 trong 8 ghế còn lại cho học sinh nam thứ hai, có 8 cách.
- Chọn 1 trong 4 học sinh nữ còn lại để ngồi đối diện với học sinh nam thứ hai, có 4 cách.
Tương tự như thế, ta được số cách sắp xếp chỗ ngồi là $$ 10\cdot 5\cdot 8 \cdot 4\cdot 6 \cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot 2\cdot 1 =460800 $$ Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}=\frac{460800}{10!}=\frac{8}{63}. $$

Câu 42. [Chuyên Lê Hồng Phong — Nam Định 2020] Gọi $ S$ là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập $ S$. Tính xác suất lấy được ít nhất một số chia hết cho $ 3$.

Hướng dẫn. Số phần tử của tập $ S$ là $$ 9\cdot \mathrm{A}^8_9=3265920. $$ Trong $ 3265920$ số này, chúng ta xem có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $ 3$.

Nhận xét rằng tổng của $ 10$ chữ số từ $ 0$ đến $ 9$ là $$ 0+1+2+\cdots+9=45 $$ là một số chia hết cho $ 3$. Nên để có được số tự nhiên chia hết cho $ 3$ mà có $ 9$ chữ số thì chúng ta lập từ các chữ số thuộc tập sau \begin{align*}
\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\},\,& \{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}\\
\{0,1,2,3,4,5,7,8,9\},\, & \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}
\end{align*}
Đối với trường hợp đầu tiên, có $ 9!$ số. Ba trường hợp còn lại, mỗi trường hợp có $8\cdot 8! $ cách. Tóm lại, số lượng các số trong tập $ A$ mà chia hết cho $ 3$ là $$ 9!+3\cdot 8\cdot 8!=1330560. $$ Và hiển nhiên, tập $ A$ có $ 3265920-1330560=1935360$ số không chia hết cho $ 3$.

Phép thử là “lấy ngẫu nhiên hai số từ tập $ S$” nên số phần tử của không gian mẫu là $$ \Omega|=\mathrm{C}^2_{3265920} $$ Để lấy được ít nhất một số chia hết cho $ 3$ thì có hai trường hợp:
- Lấy được cả hai số chia hết cho $ 3$. Có $ \mathrm{C}^2_{1330560}$ cách.
- Lấy được một số chia hết cho $ 3$ và một số không chia hết cho $ 3$, có $ 1330560\cdot 1935360$ cách.
Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}=\frac{\mathrm{C}^2_{1330560}+1330560\cdot 1935360}{\mathrm{C}^2_{3265920}}\approx 0{,}65. $$

Câu 43. [Đề thi ĐH Khối A năm 2014] Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.

Hướng dẫn.
- Phép thử là chọn ngẫu nhiên 4 thẻ trong 16 thẻ nên ta có $|\Omega|=C_{16}^4=1820$.
- Gọi $A$ là biến cố “4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn”, ta có $$|\Omega_A|=C_{8}^4=70$$
- Vậy xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn là $$\mathrm{P}(A)=\dfrac{|\Omega_A|}{|\Omega|}=\dfrac{1}{26}$$
Câu 44. Một nhóm học tập gồm 7 nam và 5 nữ, trong đó có bạn nam $A$ và bạn nữ $B$. Chọn ngẫu nhiên 6 bạn để lập một đội tuyển thi học sinh giỏi. Tính xác suất để đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặc bạn nam $A$, hoặc bạn nữ $B$ nhưng không có cả hai.

Hướng dẫn.
- Phép thử là chọn 6 học sinh trong tổng số 12 học sinh nên số phần tử của không gian mẫu là $$|\Omega|=C_{12}^6=924$$
- Gọi $A$ là biến cố “đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặc bạn nam $A$, hoặc bạn nữ $B$ nhưng không có cả hai”. Số phần tử thuận lợi là $$C_6^2.C_4^3+C_6^3.C_4^2 = 180$$
- Xác suất cần tìm là $$\mathrm{P}(A) = \frac{{180}}{{924}} = \frac{{15}}{{77}}$$
Câu 45. Ba xạ thủ cùng bắn độc lập vào bia, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất bắn trúng của từng xạ thủ lần ượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia.

Hướng dẫn.
- Gọi $A_i\ (i=\overline{1,3})$ là biến cố “người thứ $i$ bắn trúng bia”.
- Ta có $P(A_1)=0,6;P(A_2)=0,7;P(A_3)=0,8$. Suy ra $$P(\overline{A_1})=0,4;P(\overline{A_2})=0,3;P(\overline{A_3})=0,2$$
- Gọi $A$ là biến cố “ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia”, ta có $\overline{A}$ “cả ba xạ thủ không bắn trúng bia”.
- Khi đó $\overline{A}=\overline{A_1}.\overline{A_2}.\overline{A_3}$ nên suy ra $$\mathrm{P}(\overline{A})=0,4\times 0,3\times 0,2=0,024$$
- Xác suất cần tìm là $\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(\overline{A})=1-0,024=0,976$.
Câu 46. [Đề ĐH Khối B năm 2013] Có hai chiếc hộp đựng bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.

Hướng dẫn.
- Phép thử là lấy mỗi hộp một viên bi nên ta có $|\Omega|=C_7^1\times C_6^1=42$.
- Gọi $A$ là biến cố “hai viên bi lấy ra có cùng màu”. Số phần tử thuận lợi là $$C_4^1.C_2^1+C_3^1.C_4^1=20$$
- Xác suất cần tìm là $$\mathrm{P}(A)=\dfrac{20}{42}=\dfrac{10}{21}$$
Câu 47. [Đề thi ĐH Khối B năm 2012] Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

Hướng dẫn.
- Phép thử là chọn 4 học sinh bất kỳ lên bảng nên ta có $|\Omega|=C_{25}^4=12650$.
- Gọi $A$ là biến cố “chọn 4 học sinh có cả nam và nữ”. Số phần tử thuận lợi là $$C_{15}^3.C_{10}^1+C_{15}^2.C_{10}^2+C_{15}^1.C_{10}^3=11075$$
- Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ là $$\mathrm{P}(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{11075}}{{12650}} = \frac{{443}}{{506}}$$
Câu 48. [Chuyên Hùng Vương — Gia Lai 2020] Cho một đa giác đều có $ 18$ đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm $ O$. Gọi $ X$ là tập hợp các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập $ X$ là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.

Hướng dẫn.
- Số phần tử của không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^3_{18}=816. $$
- Xét một đỉnh bất kỳ của đa giác, gọi là $ A$ chẳng hạn, thì qua đường thẳng $ AO$ sẽ có $ 8$ cặp đỉnh đa giác đối xứng với nhau.
  Do đó, ứng với mỗi đỉnh của đa giác thì có tất cả $ 8$ tam giác cân tại đỉnh đó. Trong $ 8$ tam giác cân này thì lại có một tam giác là tam giác đều, nên suy ra số tam giác cân mà không phải tam giác đều là $ 7$.
- Như vậy có tất cả $ 18\cdot 7 =126 $ tam giác cân nhưng không phải tam giác đều và xác suất cần tìm là $$ P=\frac{126}{816} =\frac{21}{136}$$
Câu 49. [Liên trường Nghệ An 2020] Gọi $ S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $ 4$ chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các chữ số $ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $ S$. Tính xác suất để số được chọn có đúng hai chữ số chẵn.

Hướng dẫn. Số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số $ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ là $$ \mathrm{A}^4_8-\mathrm{A}^3_7= 1470$$ Phép thử là “chọn ngẫu nhiên một số từ 1470 số của tập $ S$” nên số phần tử không gian mẫu là $$ |\Omega|=\mathrm{C}^1_{1470}=1470. $$ Để số được chọn có đúng hai chữ số chẵn, ta xét hai trường hợp:
- TH1. Hai chữ số chẵn đều khác $ 0$.
  - Chọn hai chữ số chẵn từ các chữ số $ 2,4,6$, có $ \mathrm{C}^2_3=3$ cách.
  - Chọn hai chữ số lẻ từ các chữ số $ 1,3,5,7$, có $ \mathrm{C}^2_4=6$ cách.
  - Sắp xếp bốn chữ số này vào bốn vị trí, có $ 4!$ cách.
Suy ra, số lượng các số tự nhiên của trường hợp này là $ 3\cdot 6\cdot 4!=432$ số.
- TH2. Hai chữ số chẵn có bao gồm chữ số $ 0$.
  - Chọn vị trí cho chữ số 0, có $ 3$ vị trí vì chữ số 0 không thể đứng đầu.
  - Chọn một chữ số chẵn từ $ 2,4,6$, có $ \mathrm{C}^1_3=3$ cách.
  - Chọn hai chữ số lẻ từ các chữ số $ 1,3,5,7$, có $ \mathrm{C}^2_4=6$ cách.
  - Sắp xếp ba chữ số này vào ba vị trí còn lại, có $ 3!$ cách.
Suy ra, trường hợp này có tất cả $ 3\cdot 3\cdot 6\cdot 3!=324 $ số.

Tóm lại, số phần tử thuận lợi là $ 432+324=756$. Xác suất cần tìm là $$ \mathrm{P}=\frac{756}{1470}=\frac{18}{35}. $$

Câu 50. Cho tập \(X = \left\{ {0;1;2;4;6;7} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số được lập X. Tính xác suất để số được chọn có một chữ số xuất hiện đúng hai lần và các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.

Hướng dẫn. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có bốn chữ số được lập từ \(X = \left\{ {0;1;2;4;6;7} \right\}\). Số phần tử không gian mẫu: \(\left| \Omega \right| = {5.6^3} = 1080.\)

Gọi \(A\)là biến cố cần tìm xác suất. Ta có các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Chữ số \(0\)xuất hiện 2 lần.
  - Có \(C_3^2\)cách chọn 2 vị trí cho chữ số $0$.
  - Có \(A_5^2\)cách xếp 2 chữ số trong 5 chữ số vào 2 vị trí còn lại.
  - Suy ra trường hợp này có: \(C_3^2.A_5^2 = 60\)số thỏa mãn.
- Trường hợp 2: Chữ số \(x\) (khác 0) xuất hiện 2 lần và \(x\) ở vị trí hàng nghìn.
  - Có 5 cách chọn \(x\)từ tập \(X\).
  - Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho \(x\).
  - Có \(A_5^2\)cách xếp 2 chữ số trong 5 chữ số vào 2 vị trí còn lại.
  - Suy ra trường hợp này có \(5.3.A_5^2 = 300\)số thỏa mãn.
- Trường hợp 3: Chữ số \(x\) (khác 0) xuất hiện 2 lần và \(x\)không nằm ở vị trí hàng nghìn.
  - Có 5 cách chọn \(x\).
  - Có \(C_3^2\)cách chọn vị trí cho chữ số\(x\).
  - Có 4 cách chọn một chữ số (khác \(0\)và khác \(x\))vào vị trí hàng nghìn.
  - Có 4 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại.
  - Suy ra: trường hợp này có \(5.4.4.C_3^2 = 240\)số thỏa mãn.
Do đó, theo quy tắc cộng có \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 60 + 300 + 240 = 600.\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\): \(P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{600}}{{1080}} = \frac{5}{9}.\)

Câu 51. Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút. Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Gọi$A$ là biến cố: “ 5 bút được chọn có đúng hai màu”.

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{15}^5$.

Vì 5 bút được chọn có đúng hai màu nên có 3 trường hợp:

TH1: Có đúng hai màu xanh và đen:
- Chọn 5 bút trong hai màu xanh, đen (có 9 bút), có $C_9^5$ cách chọn.
- Trong $C_9^5$ cách chọn 5 bút trên, có $C_5^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đen và không có cách chọn nào để cả 5 bút đều màu xanh.
Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu xanh và đen bằng $C_9^5 – C_5^5$.

TH2: Có đúng hai màu đen và đỏ:
- Chọn 5 bút trong hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có $C_{11}^5$ cách chọn.
- Trong $C_{11}^5$ cách chọn 5 bút trên, có $C_5^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đen và $C_6^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ.
Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và đen bằng $C_{11}^5 – C_5^5 – C_6^5$.

TH3: Có đúng hai màu đỏ và xanh:
- Chọn 5 bút trong hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có $C_{10}^5$ cách chọn.
- Trong $C_{10}^5$ cách chọn 5 bút trên, có $C_6^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ và không có cách chọn cả 5 bút đều màu xanh.
Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và xanh bằng $C_{10}^5 – C_6^5$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{\left( {C_9^5 – C_5^5} \right) + \left( {C_{11}^5 – C_5^5 – C_6^5} \right) + \left( {C_{10}^5 – C_6^5} \right)}}{{C_{15}^5}} = \frac{{118}}{{429}}$.

Câu 52. Một hộp đựng thẻ được đánh số từ 1, 2, 3,…, 8. Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một thẻ và nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là

A.$\frac{3}{{14}}$. B. $\frac{{25}}{{36}}$. C. $\frac{1}{2}.$ D.$\frac{{11}}{{14}}$.

Hướng dẫn. Chọn D

Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 8 \times 7 = 56$.

Gọi $\bar A$ là biến cố: “tích nhận được là số lẻ”.

\(n\left( {\bar A} \right) = 4 \times 3 = 12\).

$ \Rightarrow n(A) = 56 – 12 = 44$.

Suy ra xác suất biến cố $A$: $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{44}}{{56}} = \frac{{11}}{{14}}.$

Câu 53. Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT gồm 15 HS, trong đó có 4 HS khối 12, 5 HS khối 11 và 6 HS khối 10. Chọn ngẫu nhiên 6 HS đi thực hiện nhiệm vụ. Tính xác suất để 6 HS được chọn có đủ 3 khối.

A. $\frac{{4248}}{{5005}}.$ B. $\frac{{757}}{{5005}}.$ C. $\frac{{151}}{{1001}}.$ D. \(\frac{{850}}{{1001}}.\)

Hướng dẫn. Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = C_{15}^6 = 5005$.

Gọi A là biến cố: “6 HS được chọn có đủ 3 khối”.

Xét các trường hợp của biến cố \(\overline A \)
- Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 10 và 11: $C_{11}^6 – C_6^6$
- Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 10 và 12: $C_{10}^6 – C_6^6$
- Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 11 và 12: $C_9^6$
- Số cách chọn được 6 HS khối 10: $C_6^6$
Vậy $n\left( {\overline A } \right) = C_{11}^6 + C_{10}^6 + C_9^6 – C_6^6 = 755 \Rightarrow n\left( A \right) = 5005 – 755 = 4250$

Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{4250}}{{5005}} = \frac{{850}}{{1001}}.$

Câu 54. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất để số được chọn có hai chữ số giống nhau.

Hướng dẫn. Số phần tử trong không gian mẫu là $n(\Omega ) = 90$.

Gọi A là biến cố “số được chọn có 2 chữ số giống nhau” A= $\left\{ {11;22;33;44;55;66;77;88;99} \right\}$ ; $n(A) = 9$

Do đó xác suất để số được chọn có hai chữ số giống nhau là $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{9}{{90}} = 0,1$.

Câu 55. Một hộp đựng thẻ được đánh số từ $1, 2, 3,…, 9$. Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một thẻ và nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 9 \times 8 = 72$.

Gọi $\bar A$ là biến cố: “tích nhận được là số lẻ” thì \(n\left( {\bar A} \right) = 5 \times 4 = 20\).

Suy ra $ n(A) = 72 – 20 = 52$. Xác suất của biến cố $A$ là $$P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{52}}{{72}} = \frac{{13}}{{18}}.$$

Câu 56. Một hộp kín có 5 bút bi màu xanh khác nhau và 10 bút bi màu đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 bút bi. Xác suất để lấy được 1 bút bi xanh và 2 bút bi đỏ là…

Hướng dẫn. Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = C_{15}^3$.

Gọi A là biến cố lấy được 1 bút bi xanh và 2 bút bi đỏ $ \Rightarrow n\left( A \right) = C_5^1.C_{10}^2$.

Xác suất của biến cố A là $P\left( A \right) = \frac{{C_5^1.C_{10}^2}}{{C_{15}^3}} = \frac{{45}}{{91}}$

Câu 57. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số khác nhau đôi một. Xác suất để số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?

Hướng dẫn. Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 9.A_9^4$.

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau”.

Có $C_5^3$cách chọn 3 chữ số chẵn, có $A_5^2$ cách chọn 2 chữ số lẻ và xếp chúng kề nhau, có 4! Cách xếp sao cho 2 chữ số lẻ đứng kề nhau. Suy ra có $C_5^3.A_5^2.4!$ cách xếp thoả mãn (kể cả chữ số 0 đứng đầu).

Ta tính số các số thoả mãn đề mà có số chữ số 0 đứng đầu, ta xét 4 chữ số cuối: Có $C_4^2$ cách chọn 2 chữ số trong 4 chữ số chẵn, có $C_5^2$ cách chọn 2 chữ số lẻ, coi 2 chữ số lẻ là một nhóm ta có số các số là $C_4^2.C_5^2.2!.3!$.

Suy ra số các số thoả mãn đề bài là: $n\left( A \right) = C_5^3.A_5^2.4! – C_4^2.C_5^2.2!.3! = 4080$.

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{4080}}{{9.A_9^4}} = \frac{{85}}{{567}}$.

Câu 58. Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút. Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là bao nhiêu?

Hướng dẫn. Gọi$A$ là biến cố: “ 5 bút được chọn có đúng hai màu”.

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{15}^5$.

Vì 5 bút được chọn có đúng hai màu nên có 3 trường hợp:

TH1: Có đúng hai màu xanh và đen:
- Chọn 5 bút trong hai màu xanh, đen (có 9 bút), có $C_9^5$ cách chọn.
- Trong $C_9^5$ cách chọn 5 bút trên, có $C_5^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đen và không có cách chọn nào để cả 5 bút đều màu xanh.
Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu xanh và đen bằng $C_9^5 – C_5^5$.

TH2: Có đúng hai màu đen và đỏ:
- Chọn 5 bút trong hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có $C_{11}^5$ cách chọn.
- Trong $C_{11}^5$ cách chọn 5 bút trên, có $C_5^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đen và $C_6^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ.
Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và đen bằng $C_{11}^5 – C_5^5 – C_6^5$.

TH3: Có đúng hai màu đỏ và xanh:
- Chọn 5 bút trong hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có $C_{10}^5$ cách chọn.
- Trong $C_{10}^5$ cách chọn 5 bút trên, có $C_6^5$ cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ và không có cách chọn cả 5 bút đều màu xanh.
Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và xanh bằng $C_{10}^5 – C_6^5$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{\left( {C_9^5 – C_5^5} \right) + \left( {C_{11}^5 – C_5^5 – C_6^5} \right) + \left( {C_{10}^5 – C_6^5} \right)}}{{C_{15}^5}} = \frac{{118}}{{429}}$.

Câu 59. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A.\(\frac{{13}}{{27}}\) B. \(\frac{{14}}{{27}}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{{365}}{{729}}\)

Hướng dẫn. Chọn A

Gọi A là tập tất cả các số nguyên dương đầu tiên, \(A = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,……;\,\,26;\,\,27} \right\}\)

Chọn hai số khác nhau từ A có: \(n\left( \Omega \right) = C_{27}^2 = 351\). Tổng hai số là số chẵn khi cả hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ. Do đó:

Chọn hai số chẵn khác nhau từ tập A có: \(C_{13}^2 = 78\)

Chọn hai số lẻ khác nhau từ tập A có: \(C_{14}^2 = 91\)

Số cách chọn là: \(78 + 91 = 169\)

Xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{169}}{{351}} = \frac{{13}}{{27}}\)

Câu 60. Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;…;100} \right\}$. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của $A$. Xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử từ tập $A \Rightarrow $ Không gian mẫu là $\left| \Omega \right| = C_{100}^3$.

Gọi biến cố A:“Ba phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng”.

Cách 1. Giả sử 3 phần tử đó là $x;x + d;x + 2d$.
- Với $x = 1$ thì ta có $x + 2d \le 100 \Leftrightarrow d \le \frac{{99}}{2} \Rightarrow d \in \left\{ {1;2;…;49} \right\} \Rightarrow $ có 49 bộ ba số thỏa mãn.
- Với $x = 2$ thì ta có $x + 2d \le 100 \Leftrightarrow d \le \frac{{98}}{2} \Rightarrow d \in \left\{ {1;2;…;49} \right\} \Rightarrow $ có 49 bộ ba số thỏa mãn.
- Với $x = 3$ thì ta có $x + 2d \le 100 \Leftrightarrow d \le \frac{{97}}{2} \Rightarrow d \in \left\{ {1;2;…;48} \right\} \Rightarrow $ có 48 bộ ba số thỏa mãn.
- …
- Với $x = 97$ thì ta có $x + 2d \le 100 \Leftrightarrow d \le \frac{3}{2} \Rightarrow d \in \left\{ 1 \right\} \Rightarrow $ có 1 bộ ba số thỏa mãn.
- Với $x = 98$ thì ta có $x + 2d \le 100 \Leftrightarrow d \le 1 \Rightarrow d \in \left\{ 1 \right\} \Rightarrow $ có 1 bộ ba số thỏa mãn.
- Với $x = 99$ thì ta có $x + 2d \le 100 \Leftrightarrow d \le \frac{1}{2} \Rightarrow d \in \emptyset \Rightarrow $ không có bộ ba số thỏa mãn.
Do đó ta thấy có tất cả $2\left( {49 + 48 + 47 + … + 2 + 1} \right) = 2.\frac{{49\left( {49 + 1} \right)}}{2} = 2450$ bộ ba số thỏa mãn.

Cách 2. Giả sử 3 phần tử đó là $a;b;c$ với $a,b,c \in A$.
- Trong tập $A$ có 50 số lẻ, 50 số chẵn.
- Do $a,b,c$ lập thành một CSC nên $a + c = 2b$ là một số chẵn.
- Do đó hai số $a,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
- Đồng thời ứng với 1 cách chọn hai số $a,c$ thì xác định được duy nhất 1 số $b$.
- Tổng số bộ ba số $a,b,c$ là $C_{50}^2 + C_{50}^2 = 2450$ (bộ ba).
Vậy xác suất của biến cố A là $P = \frac{{2450}}{{C_{100}^3}} = \frac{1}{{66}}$.

Câu 61. Cho tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Tính xác suất biến cố chọn được số tự nhiên có \(3\) chữ số khác nhau lập từ tập A, sao cho tổng \(3\) chữ số bằng \(9\).

Hướng dẫn. Gọi \(A\) là biến cố “số tự nhiên 3 chữ số khác nhau, có tổng \(3\) chữ số bằng\(9\)”.
- Số số tự nhiên có \(3\) chữ số khác nhau có thể lập được là: $A_6^3 = 120$. Suy ra không gian mẫu có số phần tử là:$$\left| \Omega \right| = 120$$
- Ta có $1 + 2 + 6 = 9;1 + 3 + 5 = 9;2 + 3 + 4 = 9$.
  - Số số tự nhiên có \(3\) chữ số khác nhau có tổng bằng \(9\) là:$3! + 3! + 3! = 18.$
  - $n\left( A \right) = 18.$
Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{18}}{{120}} = \frac{3}{{20}}$.

Câu 62. Có $60$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $50$. Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$.

Hướng dẫn. Số phần tử không gian mẫu: $\left| \Omega \right| = C_{50}^3 = 19600$.

Gọi $A$ là tập các thẻ đánh số $a$ sao cho $1 \le a \le 50$ và $a$ chia hết cho $3$. $A = \left\{ {3;6;…;48} \right\} \Rightarrow \left| A \right| = 16$.

Gọi $B$ là tập các thẻ đánh số $b$ sao cho $1 \le b \le 50$ và $b$ chia $3$ dư $1$. $B = \left\{ {1;4;…;49} \right\} \Rightarrow \left| B \right| = 17$.

Gọi $C$ là tập các thẻ đánh số $c$ sao cho $1 \le c \le 50$ và $c$ chia $3$ dư $2$. $C = \left\{ {2;5;…;59} \right\} \Rightarrow \left| C \right| = 17$.

Với $D$ là biến cố: “Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ được đánh số từ $1$ đến $50$ sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”. Ta có $4$ trường hợp xảy ra:
- Trường hợp 1: Rút $3$ thẻ từ $A$: Có $C_{16}^3$ (cách).
- Trường hợp 2: Rút $3$ thẻ từ $B$: Có $C_{17}^3$ (cách).
- Trường hợp 3: Rút $3$ thẻ từ $C$: Có $C_{17}^3$ (cách).
- Trường hợp 4: Rút mỗi tập $1$ thẻ: Có $16.17.17 = 4624$ (cách).
Suy ra $\left| D \right| = 2.C_{17}^3 + C_{16}^3 + 4624 = 6544$.

Vậy xác suất cần tìm $P = \frac{{\left| D \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{6544}}{{19600}} = \frac{{409}}{{1225}}$.

Câu 63. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp \(A.\) Tính xác suất để số đó chia hết cho 5.

Hướng dẫn. Gọi số tự nhiên có 3 chữ số có dạng \(\overline {abc} \)

Vì \(\overline {abc} \) là số tự nhiên chẵn nên \(c \in \left\{ {0,2,4,6,8} \right\}\)

TH1: \(c = 0\). Ta có \(A_9^2 = 72\) số tự nhiên chẵn

TH2: \(c = 2,4,6,8\). Ta có \(4\left( {A_9^2 – A_8^1} \right) = 256\) số tự nhiên chẵn.

Vậy, số phần tử trong tập hợp A là: 328 số tự nhiên chẵn, suy ra \(\left| \Omega \right| = 328\)

Gọi X là biến cố số lấy ngẫu nhiên ra từ A chia hết cho 5, suy ra \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 72\)

Vậy, xác suất xảy ra biến cố A là \({P_A} = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{72}}{{328}} = \frac{9}{{41}}\)

Câu 64. Một người đang đứng tại gốc $O$ của trục tọa độ $Oxy$. Do say rượu nên người này bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước bằng 1 đơn vị. Xác suất để sau $10$ bước người này quay lại đúng gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Mỗi bước người này có $2$ lựa chọn sang trái hoặc phải nên số phần tử không gian mẫu là ${2^{10}}$.

Để sau đúng $10$ bước người này quay lại đúng gốc tọa độ $O$ thì người này phải sang trái $5$ lần và sang phải $5$ lần, do đó số cách bước trong $10$ bước này là $C_{10}^5$.

Xác suất cần tính bằng $\frac{{C_{10}^5}}{{{2^{10}}}} = \frac{{63}}{{256}}$.

Câu 65. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ bằng?

Hướng dẫn. Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega ) = 9 \times 9 \times 8 = 648.$

Gọi A là biến cố: “tổng các chữ số là số lẻ ”. Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$:

Th1: ba chữ số $a,b,c$ đều lẻ có $5 \times 4 \times 3 = 60$ số.

Th 2: hai chữ số chẵn một chữ số lẻ có:
- $a$ chẵn,$b$chẵn, $c$lẻ có $4 \times 4 \times 5 = 80$ số.
- $a$ chẵn,$b$lẻ, $c$chẵn có $4 \times 5 \times 4 = 80$ số.
- $a$ lẻ,$b$chẵn, $c$chẵn có $5 \times 5 \times 4 = 100$ số.
Suy ra $ n(A) = 60 + 80 + 80 + 100 = 320$.

Suy ra xác suất biến cố $A$: $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{320}}{{648}} = \frac{{40}}{{81}}.$

Câu 66. Cho tập hợp \(S = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,…..;\,17} \right\}\) gồm 17 số. Chọn ngẫu nhiên một tập con có ba phần tử của tập \(S\). Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3.

A.\(\frac{{27}}{{34}}\). B.\(\frac{{23}}{{68}}\). C.\(\frac{9}{{34}}\). D.\(\frac{9}{{12}}\).

Hướng dẫn. Chọn B

Tập hợp các số từ tập \(S\)chia hết cho \(3\)là \(\left\{ {3;6;9;12;15} \right\}\).

Tập hợp các số từ tập \(S\)chia cho \(3\) dư 1 là \(\left\{ {1;4;7;10;13;16} \right\}\).

Tập hợp các số từ tập \(S\)chia cho \(3\) dư 2 là \(\left\{ {2;5;8;11;14;17} \right\}\).
- TH1: Ba số lấy từ tập \(S\)đều chia hết cho \(3\): Có \(C_5^3\) cách chọn.
- TH2: Ba số lấy từ tập \(S\)đều chia \(3\) dư 1: Có \(C_6^3\) cách chọn.
- TH3: Ba số lấy từ tập \(S\)đều chia 3 dư 2: Có \(C_6^3\) cách chọn.
- TH4: Một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2: Có \(C_5^1.C_6^1.C_6^1\)cách chọn.
Vậy số phần tử của biến cố \(A\): “ Chọn được ba số có tổng chia hết cho 3” là:

\(n\left( A \right) = C_5^3 + C_6^3 + C_6^3 + C_5^1.C_6^1.C_6^1 = 230\).

Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{17}^3\).

Xác suất của biến cố \(A\)là \(P\left( A \right) = \frac{{230}}{{C_{17}^3}} = \frac{{23}}{{68}}\).

Câu 67. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn ${a_1} > {a_2} > {a_3} > {a_4} > {a_5} > {a_6}.$

A.\(\frac{{35}}{{34020}}\) B.\(\frac{{37}}{{34020}}\). C.\(\frac{{37}}{{3402}}\). D.\(\frac{{74}}{{34020}}\).

Hướng dẫn. Chọn B

Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn ${a_1} > {a_2} > {a_3} > {a_4} > {a_5} > {a_6}$”. Khi đó: \(n\left( M \right) = 9.A_9^5\) (số có sáu chữ số đôi một khác nhau thì \({a_1}\) có chín cách chọn, $\overline {{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $ là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử nên có \(A_9^5\)).
- TH1: ${a_6} = 0$thì $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ có $C_9^5$ cách chọn.
- TH2: ${a_6} = 2$thì $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ có $C_7^5$ cách chọn.
- TH3: ${a_6} = 4$thì $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ có $C_5^5$ cách chọn.
Suy ra $n\left( A \right) = C_9^5 + C_7^5 + C_5^5 = 148$

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{148}}{{9.A_9^5}} = \frac{{37}}{{34020}}\).

Câu 68. Cho tập hợp A ={1; 2; 3; 4; 5}. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập#A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10.

Hướng dẫn. Số phần tử của tập $n\left( S \right) = A_5^3 + A_5^4 + {P_5} = 300$

Các bộ số có tổng 10: $\left\{ {\left( {2,3,5} \right);\left( {1,4,5} \right);(1,2,3,4)} \right\}$

$n\left( B \right) = 2{P_3} + {P_4} = 36 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( S \right)}} = \frac{{36}}{{300}} = \frac{3}{{25}}$

Câu 69. Có $60$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $50$. Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$.

Hướng dẫn. Số phần tử không gian mẫu: $\left| \Omega \right| = C_{50}^3 = 19600$.

Gọi $A$ là tập các thẻ đánh số $a$ sao cho $1 \le a \le 50$ và $a$ chia hết cho $3$.

$A = \left\{ {3;6;…;48} \right\} \Rightarrow \left| A \right| = 16$.

Gọi $B$ là tập các thẻ đánh số $b$ sao cho $1 \le b \le 50$ và $b$ chia $3$ dư $1$. $B = \left\{ {1;4;…;49} \right\} \Rightarrow \left| B \right| = 17$.

Gọi $C$ là tập các thẻ đánh số $c$ sao cho $1 \le c \le 50$ và $c$ chia $3$ dư $2$. $C = \left\{ {2;5;…;59} \right\} \Rightarrow \left| C \right| = 17$.

Với $D$ là biến cố: “Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ được đánh số từ $1$ đến $50$ sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”. Ta có $4$ trường hợp xảy ra:
- Trường hợp 1: Rút $3$ thẻ từ $A$: Có $C_{16}^3$ (cách).
- Trường hợp 2: Rút $3$ thẻ từ $B$: Có $C_{17}^3$ (cách).
- Trường hợp 3: Rút $3$ thẻ từ $C$: Có $C_{17}^3$ (cách).
- Trường hợp 4: Rút mỗi tập $1$ thẻ: Có $16.17.17 = 4624$ (cách).
Suy ra $\left| D \right| = 2.C_{17}^3 + C_{16}^3 + 4624 = 6544$.

Vậy xác suất cần tìm $P = \frac{{\left| D \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{6544}}{{19600}} = \frac{{409}}{{1225}}$.

Câu 70. Trên mặt phẳng $Oxy,$ta xét một hình chữ nhật $ABCD$với các điểm $A\left( { – 2;0} \right),$$B\left( { – 2;2} \right),$$C\left( {4;2} \right),$$D\left( {4;0} \right)$ (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm $M\left( {x;y} \right)$ mà $x + y < 2.$

Hướng dẫn. Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là $7.3 = 21$ điểm vì $$\left\{ \begin{array}{l} x \in \left\{ { – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}\\ y \in \left\{ {0;1;2} \right\} \end{array} \right.$$ Để con châu chấu đáp xuống các điểm $M\left( {x,y} \right)$ có $x + y < 2$ thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu vực hình thang $BEIA.$ Để $M\left( {x,y} \right)$có tọa độ nguyên thì $$\left\{ \begin{array}{l} x \in \left\{ { – 2; – 1;0;1;2} \right\}\\ y \in \left\{ {0;1;2} \right\} \end{array} \right.$
- Nếu $x \in \left\{ { – 2; – 1} \right\}$thì $y \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow $có $2.3 = 6$ điểm.
- Nếu $x = 0$ thì $y \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow $ có 2 điểm.
- Nếu $x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow $có 1 điểm.
Suy ra, có tất cả $6 + 2 + 1 = 9$ điểm thỏa mãn.

Vậy xác suất cần tính $P = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7}.$

Câu 71. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega ) = 9.9.8 = 648\)

A: “Số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ”
- Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số lẻ. Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số lẻ là \(A_5^3\).
- Trường hợp 2: Số được chọn gồm có 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ.
  - Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số chẵn và 1 chữ số là số lẻ là \(C_5^2.C_5^1.3!\)
  - Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số chẵn và 1 chữ số lẻ có số 0 đứng đầu là \(C_4^1.C_5^1.2!\)
Vậy nên số số thỏa biến cố A là: \(C_5^2.C_5^1.3! – C_4^1.C_5^1.2! = 260\).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(n(A) = 60 + 260 = 320\)

Vậy \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{320}}{{648}} = \frac{{40}}{{81}}\).

Câu 72. Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp X. Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ số 1, có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau. Xác suất của biến cố A bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Ta có: $n(\Omega ) = {9^8}.$

TH1: Xếp bất kỳ
- Xếp hai chữ số 1, hai chữ số 2 bất kỳ và 4 chữ số còn lại: Có \(C_8^2.C_6^2.A_7^4 = 352.800\) (cách).
TH2: Số các cách xếp sao cho không thỏa mãn yêu cầu bài toán
- Xếp hai chữ số 1 đứng liền nhau: $7.C_6^2.A_7^4$ cách.
- Xếp hai chữ số 2 đứng liền nhau: $7.C_6^2.A_7^4$ cách.
- Số các cách xếp thuộc cả hai trường hợp trên:
  - Coi hai chữ số 1 đứng liền nhau là nhóm X, hai chữ số 2 đứng liền nhau là nhóm Y
  - Xếp X, Y và 4 số còn lại có: $C_7^4.6!$ (cách)
Vậy số cách xếp không thỏa mãn yêu cầu là: \(2.7.C_6^2.A_7^4 – C_7^4.6! = 151200\)(cách)

Vậy $n(A) = 352.800 – 151.200 = 201.600 \Rightarrow p(A) = \frac{{201600}}{{{9^8}}}$, chọn D.

Câu 73. Có \(3\) quyển sách Văn học khác nhau, \(4\) quyển sách Toán học khác nhau và \(7\) quyển sách Tiếng Anh khác nhau được xếp lên một kệ ngang. Tính xác suất để hai cuốn sách cùng môn không ở cạnh nhau.

Hướng dẫn.

T.A T.A T.A T.A T.A T.A T.A

1 2 3 4 5 6 7 8

Gọi $\Omega $ là biến cố “xếp \(14\) quyển sách lên kệ sách một cách tùy ý” $ \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 14!$.

Gọi $A$ là biến cố “xếp \(14\) cuốn sách lên kệ sách sao cho hai cuốn sách cùng môn không ở cạnh nhau”.

– Xếp \(7\) quyển sách Tiếng Anh vào kệ có $7!$ cách.

– \(7\) quyển sách Tiếng Anh tạo ra \(8\) chỗ trống (gồm \(6\) chỗ trống ở giữa và \(2\) chỗ trống trước sau).

Đánh số từ \(1\) đến \(8\), từ trái sang phải cho các chỗ trống. Khi đó ta xét các trường hợp:

TH1: Xếp sách Văn hoặc Toán vào vị trí từ \(1\) đến \(7\) có $7!$ cách.

TH2: Xếp sách Văn hoặc Toán vào vị trí từ \(2\) đến \(8\) có $7!$ cách.

TH3: Xếp \(1\) cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn \(2\), các ngăn \(3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7\) xếp tùy ý số sách còn lại. Ta có:

+ Số cách chọn \(1\) cặp sách Văn – Toán: $3.4$ cách.

+ Vị trí \(2\) cuốn sách trong cặp sách: $2!$ cách.

+ Xếp các sách còn lại vào các ngăn \(3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7\) có $5!$ cách.

Vậy ta có số cách xếp \(1\) cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn \(2\), các ngăn \(3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7\) xếp tùy ý số sách còn lại là $3.4.2!.5!$ cách.

Tương tự cho xếp cặp sách Văn – Toán lần lượt vào các ngăn \(3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7\).

Số trường hợp thuận lợi của biến cố là $n\left( A \right) = 7!\left( {2.7! + 3.4.2.6.5!} \right)$

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{19}}{{12012}}$.

Câu 74. Xếp ngẫu nhiên bốn bạn nam và năm bạn nữ ngồi vào chín ghế kê theo hàng ngang. Xác suất để có được năm bạn nữ ngồi cạnh nhau bằng?

Hướng dẫn. Ta có: \(n\left( \Omega \right) = 9! = 362880\)

Gọi biến cố \(A:\) “Xếp năm bạn nữ ngồi cạnh nhau” \( \Rightarrow n\left( A \right) = C_5^1 \times 5! \times 4! = 14400\)

Khi đó: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{14400}}{{362880}} = \frac{5}{{126}} \).
20/06/2020
Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp
Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp

Để giải quyết các bài toán đếm, ngoài 3 quy tắc đếm cơ bản, chúng ta còn cần thêm một số kiên thức nữa mới giúp việc trình bày lời giải một cách ngắn gọn, đơn giản. Chẳng hạn, các bài toán sau đều cần sử dụng công thức về hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp:

Các bạn Xuân, Hạ, Thu, Đông đi chụp ảnh kỉ niệm, ông thợ ảnh sắp xếp bốn bạn thành một hàng ngang. Hỏi ông ta có mấy cách sắp xếp?
Lớp 11A có 40 học sinh. Cô chủ nhiệm muốn chọn ra 5 học sinh để làm ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó lao động, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó văn nghệ và 1 thủ quỹ. Hỏi cô có bao nhiêu cách chọn?
Vẫn lớp 11A đó, cô giáo muốn chọn ra 5 học sinh để đi dự lễ kỉ niệm ngày Quốc khánh. Hỏi cô có bao nhiêu cách?

Xem thêm 1000 bài toán Đại số Tổ hợp – Xác Suất có lời giải

1. Khái niệm Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp

1.1. Hoán vị

Cho tập hợp $ A $ gồm $ n $ phần tử $ (n\ge 1) $. Mỗi cách sắp xếp thứ tự $ n $ phần tử của tập hợp $ A $ được gọi là một hoán vị của $ n $ phần tử đó.

Gọi $ P_n $ là số các hoán vị của tập gồm $ n $ phần tử thì ta có \[ P_n=n!=n(n-1)(n-2)….3.2.1 \]

1.2. Chỉnh hợp.

Cho tập hợp $ A $ gồm $ n $ phần tử $ (n\ge 1) $. Mỗi bộ gồm $ k $ phần tử $ (0\le k\le n) $ sắp thứ tự của tập hợp $ A $ được gọi là chỉnh hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử đã cho. Gọi $ A^k_n $ là số chỉnh hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử, thì ta có \[ A^k_n=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} \]

1.3. Tổ hợp.

Mỗi tập con gồm $ k $ phần tử của tập hợp $ A $ được gọi là một tổ hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử đã cho. Gọi $ C^k_n $ là số tổ hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử, thì ta có \[ C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{A^k_n}{k!} \]

1.4. Các tính chất của hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
- $ n!=n\cdot (n-1)! $
- $ C^k_n=C^{n-k}_n $
- $ C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1} $
1.5. Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Hoán vị và chỉnh hợp có phân biệt thứ tự, vị trí, chức năng, vai trò, nhiệm vụ… giữa các phần tử được chọn ra; còn tổ hợp thì không!

Để chọn ra các chỉnh hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử có thể hiểu là gồm hai bước:
- Bước 1. Chọn ra $ k $ phần tử của $ n $ phần tử, nên có $ C^k_n $ cách.
- Bước 2. Ứng với mỗi $ k $ phần tử được chọn, ta đem sắp xếp cả $ k $ phần tử này vào các thứ tự (nhiệm vụ…) khác nhau nên bước này có $ k! $ cách.
Như vậy, theo quy tắc nhân có $ k!C^k_n $ cách, nghĩa là $ A^k_n=k!C^k_n $ hay $ C^k_n=\frac{A^k_n}{k!} $

2. Các dạng toán về hoán vị – tổ hợp – chỉnh hợp

2.1. Bài toán đếm

Để giải quyết các bài toán đếm, ta có hai cách làm: đếm trực triếp (hỏi gì đếm nấy) và đếm gián tiếp (đây chính là sử dụng nguyên lý bù trừ đã nói ở bài 3 quy tắc đếm cơ bản và bài tập vận dụng, tức là đếm phần dễ đếm để suy ra phần cần đếm). Chúng ta sẽ lần lượt xét hai cách đó qua các ví dụ sau. Đầu tiên là phương pháp đếm trực tiếp:

Ví dụ 1. Từ 5 chữ số $ 1, 2, 3, 4, 5 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

Hướng dẫn. Mỗi cách sắp xếp bộ 5 chữ số $ 1,2,3,4,5 $ cho ta một số tự nhiên. Nói cách khác, mỗi một số tự nhiên cần lập tương ứng với một hoán vị của 5 phần tử đã cho. Do đó, có tất cả $ 5!=120 $ số.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng, bao nhiêu véctơ được tạo thành từ 5 điểm đó?

Hướng dẫn. Mỗi một đoạn thẳng tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử, nên có $ C^2_5=10 $ đoạn thẳng.

Mỗi một véctơ tương ứng với một chỉnh hợp chập hai của 5 phần tử, nên có $ A^2_5= 20$ véctơ.

Ví dụ 3. Từ các chữ số $ 0, 1, 2, 3, 4 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

Hướng dẫn. Giả sử số cần lập là $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5} $ trong đó $ a_1\ne 0 $ và $ a_i\ne a_j. $ Để tạo thành số thỏa mãn yêu cầu ta phải trải qua hai bước:
- Bước 1. Chọn $ a_1\ne 0 $ nên có 4 cách chọn, sau bước này còn lại $ 4 $ số chưa được chọn.
- Bước 2. Sắp xếp bốn chữ số còn lại vào bốn vị trí còn lại, có $ 4!=24 $ cách.
Như vậy, theo qui tắc nhân, ta có $ 4.24=96 $ số thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 4. [CĐ KTKT 2006] Cho tập $ E=\{1,2,3,4,5,6,7\} $. Từ tập $ E $ lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

Hướng dẫn. Giả sử số cần lập là $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5} $ trong đó $a_i\in E, a_1\ne 0 $ và $ a_i\ne a_j,a_5 $ chẵn. Để lập được số thỏa mãn yêu cầu ta tiến hành hai bước:
- Chọn $ a_5 $ chẵn từ các số $ 2,4,6 $: Có 3 cách.
- Còn lại 6 chữ số chưa được chọn. Mỗi cách chọn có phân biệt thứ tự bộ 4 số $ a_1,a_2,a_3,a_4 $ từ 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập $ 4 $ của 6 phần tử. Do đó, có $ A^4_6=360 $ cách.
Theo quy tắc nhân, có $ 3.360=1080 $ số thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 5. [CĐ2007] Từ các chữ số $ 0,1,2,3,4,5 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
Hướng dẫn. Gọi số cần lập là $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5} $ với $ a_i\ne a_j, a_1\ne 0, (a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) $ chia hết cho 3.

Có 6 chữ số tất cả, mà lập số có 5 chữ số khác nhau nên số cần lập được tạo thành từ các chữ số: $ 0,1,2,3,4 $ hoặc $ 0,1,2,3,5 $ hoặc $ 0,1,2,4,5 $ hoặc $ 0,1,3,4,5$ hoặc $ 0,2,3,4,5 $ hoặc $ 1,2,3,4,5. $

Trong 6 trường hợp này, chỉ có hai trường hợp thỏa mãn yêu cầu $ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 $ chia hết cho 3. Do đó ta xét hai trường hợp:
- TH1. Số cần lập được tạo thành từ các chữ số $ 1,2,3,4,5 $. Mỗi số cần lập tương ứng với một hoán vị của 5 phần tử, nên có $ 5!=120 $ số.
- TH2. Số cần lập được tạo thành từ các chữ số $ 0,1,2,4,5 $. Ta tiến hành 2 bước:
  - Bước 1. Chọn $ a_1\ne 0 $: Có 4 cách chọn.
  - Sắp xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: Có $ 4!=24 $ cách.
    Theo qui tắc nhân, TH2 có $ 4.24=96 $ số.
Vậy, có tất cả $ 120+96=216 $ số thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 6. [CĐ SPTW 2007] Một tổ học sinh 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra nhóm 5 người để làm trực nhật mà nhóm đó có không quá một nữ?

Hướng dẫn. Vì nhóm đó có không quá một nữ nên ta xét hai phương án:
- Phương án 1: Nhóm gồm 1 nữ và 4 nam. Việc lập nhóm gồm 2 bước:
  - Chọn 1 nữ từ 4 nữ, có $ C^1_4=4 $ cách.
  - Sau đó, chọn 4 nam từ 6 nam, có $ C^4_6=15 $ cách.
Theo quy tắc nhân, phương án 1 có $ 4.15=60 $ cách.
- Phương án 1: Nhóm gồm 0 nữ và 5 nam. Chọn 5 học sinh nam từ nhóm 6 học sinh nam, nên có $ C^5_6=6 $ cách.
Theo quy tắc cộng, ta có $ 60+6=66 $ cách chọn nhóm 5 người thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 7. [ĐHY 2000] Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác có 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?

Hướng dẫn. Xét ba trường hợp:
- Có 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý: $C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1}$
- Có 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý: $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}$
- Có 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý: $C_{3}^{1}.C_{4}^{2}$
Vậy có $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}+C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1}+C_{3}^{1}.C_{4}^{2}=90$ cách.

Ví dụ 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, chia hết cho 2 mà chữ số đầu tiên của nó cũng là số chẵn?

Hướng dẫn.

Vì đề bài không có yêu cầu các chữ số phải khác nhau nên chúng ta chọn thoải mái.
- Bước 1. Chọn chữ số đứng đầu tiên, chữ số này phải khác $0$ và chẵn, nên có $4$ cách chọn (một trong các chữ số $2,4,6,8$).
- Bước 2. Chọn chữ số đứng thứ hai là một trong các chữ số $0,1,2,…,9$ nên có $10$ cách.
- Bước 3. Chọn chữ số đứng thứ ba là một trong các chữ số $0,1,2,…,9$ nên có $10$ cách.
- Bước 4. Chọn chữ số đứng thứ tư là một trong các chữ số $0,1,2,…,9$ nên có $10$ cách.
- Bước 5. Chọn chữ số đứng cuối cùng là một chữ số chẵn $0,2,4,6,8$ nên có $5$ cách.
Theo quy tắc nhân, có $ 4\times 10^3\times 5=20000 $ số.

Ví dụ 9. [B2005]Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam 1 nữ.

Hướng dẫn. Việc phân công đội thanh niên tình nguyện về ba tỉnh gồm các bước:
- Phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất: Có $C_{3}^{1}C_{12}^{4}$ cách.
- Phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai: Có $C_{2}^{1}C_{8}^{4}$ cách.
- Phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba: Có $C_{1}^{1}C_{4}^{4}$ cách.
Theo quy tắc nhân, có có: $C_{3}^{1}C_{12}^{4}$.$C_{2}^{1}C_{8}^{4}$.$C_{1}^{1}C_{4}^{4}$=207900 cách phân công đội thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 10. [B2004] Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Hướng dẫn. Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên ta có ba phương án:
- Đề có 2 câu dễ, 02 câu trung bình, 01 câu khó, thì có số cách chọn là: $C_{15}^{2}.C_{10}^{2}.C_{5}^{1}=23625$
- Đề có 2 câu dễ, 01 câu trung bình, 02 câu khó, thì có số cách chọn là: $C_{15}^{2}.C_{10}^{1}.C_{5}^{2}=10500$
- Đề có 3 câu dễ, 01 câu trung bình, 01 câu khó, thì có số cách chọn là: $C_{15}^{3}.C_{10}^{1}.C_{5}^{1}=22750$
Theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra có thể lập được là: $ 23625+10500+22750=56875. $

Ví dụ 11. [CĐ2004] Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 3 học sinh làm nhiệm vụ trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?

Hướng dẫn. Chọn 3 học sinh, để đảm bảo luôn có cán bộ lớp ta xét 3 trường hợp:
- Có 1 cán bộ lớp: Có $ C^1_3.C^2_{27}=1053 $ cách.
- Có 2 cán bộ lớp: Có $ C^2_3.C^1_{27}=81 $ cách.
- Có 3 cán bộ lớp: Có $ C^3_3=1 $ cách.
Theo quy tắc cộng, ta có $ 1053+81+1=1135 $ cách chọn 3 học sinh thỏa mãn yêu cầu.

Khi bài toán xuất hiện các cụm từ: {có ít nhất, luôn có…} ta thường dùng {phương pháp đếm gián tiếp!} Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 12. [CĐ2004] Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 3 học sinh làm nhiệm vụ trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?

Hướng dẫn. Chúng ta sẽ giải lại bài toán này theo phương pháp đếm gián tiếp.
- Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ lớp có 30 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử. Do đó có $ C^3_{30}=4060 $ cách.
- Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh không có cán bộ lớp là một tổ hợp chập 3 của 27 phần tử còn lại. Do đó có $ C^3_{27}=2925 $ cách.
- Suy ra số cách chọn 3 học sinh luôn có cán bộ lớp là $ 4060-2925=1135 $ cách.
Để thấy tính hiệu quả của phương pháp này ta xét tiếp các ví dụ sau:
Ví dụ 13. Một nhóm 15 học sinh có 7 nam và 8 nữ. Chọn ra 5 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách?

Hướng dẫn. Nếu chọn cách tính trực tiếp, chia thành các trường hợp có 1 nữ, 2 nữ, 3 nữ… 5 nữ thì sẽ rất cồng kềnh, phức tạp. Nhưng nếu chọn phương pháp tính gián tiếp, ta xem có bao nhiêu cách chọn {không có học sinh nữ } nào thì lời giải sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
- Chọn 5 học sinh từ 15 học sinh, có $ C^{5}_{15}=3003 $ cách.
- Chọn 5 học sinh không có nữ thì có $C^5_7=21 $ cách.
Do đó, số cách chọn 5 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ là $ 3003-21=2982 $ cách.

Ví dụ 14. [CĐ SPHN 2005] Trong một tổ học sinh của lớp 12A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật trong đó có ít nhất 1 học sinh nam. Hỏi thầy có bao nhiêu cách chọn?

Hướng dẫn. Có $ C^3_{12}-C^3_4=216 $ cách.

Ví dụ 15.[D2006] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Hướng dẫn. Số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh là $C_{12}^{4}=495$.

Số cách chọn 4 em học sinh mà mỗi lớp ít nhất 01 em là:
- Lớp A có 2 học sinh, lớp B và C có 01 học sinh: $C_{5}^{2}.C_{4}^{1}.C_{3}^{1}=120$
- Lớp B có 2 học sinh, lớp A và C có 01 học sinh: $C_{5}^{1}.C_{4}^{2}.C_{3}^{1}=90$
- Lớp C có 2 học sinh, lớp B và A có 01 học sinh: $C_{5}^{1}.C_{4}^{1}.C_{3}^{2}=60$
Số cách chọn 4 em mà mỗi lớp ít nhất một em là: $ 120+90+60=270 $.

Vậy số cách chọn phải tìm là: $ 495-270=225 $.

Ví dụ 16. [Chuyên Nguyễn Huệ L3 2015] Một hoppj đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn không có đủ ba màu?

Hướng dẫn. Nếu tính trực tiếp thì phải chia rất nhiều trường hợp! Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 18 viên bi, có $ C^4_{18}=3060 $ cách. Để chọn đủ ba màu ta xét 3 trường hợp:
- 1 đỏ, 1 trắng và 2 vàng: Có $ C^1_5.C^1_6.C^2_7=630 $ cách.
- 1 đỏ, 2 trắng và 1 vàng: Có $ C^1_5.C^2_6.C^1_7=525 $ cách.
- 2 đỏ, 1 trắng và 1 vàng: Có $ C^2_5.C^1_6.C^1_7=420 $ cách.
Do đó, số cách chọn {không đủ ba màu là}: $ 3060-630-525-420=1485 $ cách.

2.2. Chứng minh các đẳng thức tổ hợp

Trong phần này, chúng ta chủ yếu sử dụng các công thức tính số tổ hợp, số hoán vị và 3 công thức sau:
- $ n!=n\cdot (n-1)! = n(n-1)\cdot (n-1)!=… $
- $ C^k_n=C^{n-k}_n $
- $ C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1} $
Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
- $A=\dfrac{3!.7!}{4!.6!}$
- $ B=\dfrac{(m+1)!}{m!}-\dfrac{(m+2)!}{(m+1)!}$
- $C=\dfrac{6!}{3!.2!}\left( {{P}_{4}}+{{P}_{3}}{{P}_{5}}-{{P}_{2}}{{P}_{6}} \right)$
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
- $ P_n – P_{n-1} = (n – 1)P_{n-1} $
- $\frac{1}{A_{n}^{2}}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
- $\frac{{{n}^{2}}}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{(n-2)!}$
- ${{P}_{n}}=(n-1)\left( {{P}_{n-1}}+{{P}_{n-2}} \right)$
- $k.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}$
- $A_{n}^{k}=k!.C_{n}^{k}$
- $C_{n+1}^{p}=\frac{n+1}{p}C_{n}^{p-1}$
- $A_{n+k}^{n+2}+A_{n+k}^{n+1}={{k}^{2}}.A_{n+k}^{n}$
- $\frac{A_{n+4}^{n}}{{{P}_{n+2}}}-\frac{143}{4{{P}_{n}}}=\frac{4{{n}^{2}}+28n-95}{4.n!}$
Ví dụ 3. Chứng minh rằng
- $ P_k.A^2_{n+1}.A^2_{n+3}.A^2_{n+5}=n.k!.A^5_{n+5} $
- $k(k-1)C_{n}^{k}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2},\;( 2 < k < n)$
- $C_{n}^{k}+3C_{n}^{k-1}+3C_{n}^{k-2}+C_{n}^{k-3}=C_{n+3}^{k},\; (3 \le k \le n)$
- $C_{n}^{k}+4C_{n}^{k-1}+6C_{n}^{k-2}+4C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4}=C_{n+4}^{k},\;(4 \le k \le n)$
- $\frac{1}{A_{2}^{2}}+\frac{1}{A_{3}^{2}}+…+\frac{1}{A_{n}^{2}}=\frac{n-1}{n},\; n\ge 1$
2.3. Phương trình, bất phương trình tổ hợp

Chú ý khi giải phương trình, bất phương trình chứa các biểu thức công thức hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp cần có điều kiện xét trên tập số nguyên.

Ví dụ 1. [CĐ GTVT 2007] Giải phương trình $ P_xC^2_x+36=6(P_x+C^2_x)$

Hướng dẫn. Điều kiện: $ x\ge 2, x\in \mathbb{N}. $ Phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
& x!\frac{x(x-1)}{2}+36=6(x!+\frac{x(x-1)}{2})\\
\Leftrightarrow\;& (x!-6)(x^2-x-12)=0\\
\Leftrightarrow\;& x=3,x=4.
\end{align*}
So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình đã cho là $ x=3,x=4. $

Ví dụ 2. Giải các phương trình
- (CĐSP TP HCM 99) $C_{14}^{x}+C_{14}^{x+2}=2C_{14}^{x+1}$
- $4.C_{n}^{3}=5.C_{n+1}^{2}$
- $30{{P}_{n}}=14{{P}_{n-1}}+7A_{n+1}^{n-1}$
- (ĐHNN HN 99) $C_{n}^{1}+6C_{n}^{2}+C_{n}^{3}=9{{n}^{2}}-14n$
- $\frac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{n-4}}=\frac{24}{23}$
- $C_{x}^{1}+C_{x}^{2}+C_{x}^{3}=\frac{7}{2}x$
Ví dụ 3. [D2005] Giải phương trình $ C^2{n+1}+2C^2{n+2}+2C^2{n+3}+C^2{n+4}=149 $

Hướng dẫn. Biến đổi thành $ n^2+4n-45=0. $ Đáp số $ n=5. $

Ví dụ 4. [BKHN-2000] Giải bất phương trình: $$\frac{1}{2}A_{2x}^{2}-A_{x}^{2}\le \frac{6}{x}C_{x}^{3}+10 $$

Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in \mathbb{N} $ và $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&\frac{\left( 2x-1 \right)2x}{2}-\left( x-1 \right)x\le \frac{6\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)}{3!x}+10 \\
\Leftrightarrow\;& 2x\left( 2x-1 \right)-x\left( x-2 \right)\le \left( x-2 \right)\left( x-1 \right)+10 \\
\Leftrightarrow \;& x\le 4
\end{align*}
Kết hợp điều kiện, tìm được $ x=3 $ và $ x=4. $

Ví dụ 5. [ĐH SP Tiền Giang 2006] Giải bất phương trình $ A^2_x+C^2_{x+1}\le 20 $

Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 2, x\in \mathbb{N}. $ Với điều kiện đó, bất phương trình tương đương với
\begin{align*}
& x(x-1)+\frac{(x+1)x}{2}\le 20\\
\Leftrightarrow\;& 3x^2-x-40\le 0\\
\Leftrightarrow\;& \frac{1-\sqrt{481}}{6}\le x\le \frac{1+\sqrt{481}}{6}
\end{align*}
Kết hợp điều kiện được đáp số $ x=2,x=3. $

Ví dụ 6. Giải các bất phương trình
- $14{{P}_{3}}.C_{n-1}^{n-3}<A_{n+1}^{4}$
- $14{{P}_{3}}<\frac{A_{x+1}^{4}}{C_{x-1}^{x-3}}$
- $\frac{A_{x+4}^{4}}{(x+2)!}<\frac{15}{(x-1)!}$
- $\frac{1}{2}A_{2n}^{2}-A_{n}^{2}-\frac{6}{n}C_{n}^{3}\le 10$
- (ĐHHH 99) $\frac{C_{n-1}^{n-3}}{A_{n+1}^{4}}<\dfrac{1}{14{{P}_{3}}}$
- (TN04-05) $ C^n_{n+3}>\frac{5}{2}A^2_n $
Ví dụ 7. [TN2003-2004] Giải bất phương trình $ \frac{P_{n+5}}{(n-k)!}\le 60A^{k+2}_{n+3} $

Hướng dẫn. Điều kiện $ n\ge k\ge -2; n,k\in \mathbb{Z}. $ Biến đổi bất phương trình thành \[ (n+5)(n+4)(n-k+1)\le 60 \]
- Với $ n\ge 4 $ bất phương trình vô nghiệm.
- Với $ n\in\{0,1,2,3\} $ tìm được các nghiệm $ (n,k) $ của bất phương trình là $ (0,0), (1,0),(1,1),(2,2),(3,3). $
Ví dụ 8. Giải các hệ phương trình
- $\left\{ \begin{array}{l} 3C_{{x}}^{y}=C_{x+2}^{y} \\ 24C_{x}^{y}=A_{x}^{y} \end{array} \right.$
- (BK01)$\left\{ \begin{array}{l} 2A_{x}^{y}+5C_{x}^{y}=90 \\ 5A_{x}^{y}-2C_{x}^{y}=80\end{array} \right.$
- $\left\{ \begin{array}{l} 5C_{x+1}^{y}=6C_{x}^{y+1} \\ C_{x+1}^{y}=3C_{x}^{y-1} \end{array} \right.$
Một số tài liệu tiếng Anh về Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp hay:
- https://www.whitman.edu/mathematics/cgt_online/cgt.pdf
- https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter3.pdf
04/06/2020
3 quy tắc đếm cơ bản và bài tập vận dụng
3 quy tắc đếm cơ bản, 3 nguyên lý của bài toán đếm
Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng 3 quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân và quy tắc bù trừ) để giải quyết các bài toán có dạng như sau:
- Bạn Nam có 2 hòn bi đen, 3 hòn bi trắng. Cần chọn một viên bi, màu gì cũng được. Hỏi có mấy cách chọn?
- Bạn Nam cần đi từ Nam Định đến Hà Nội nhưng bắt buộc phải đi qua Phủ Lý. Biết rằng từ Nam Định đến Phủ Lý có 2 cách chọn đường đi, từ Phủ Lý đến Hà Nội có 3 cách chọn đường đi. Hỏi bạn Nam có mấy cách chọn đường đi từ Nam Định đến Hà Nội?
1. Các quy tắc đếm cơ bản

1.1. Quy tắc cộng (nguyên lý cộng)

Giả sử một công việc được thực hiện theo một trong hai phương án (hướng, trường hợp, khả năng) $ A $ hoặc $ B $.
- Phương án $ A $ có thể thực hiện theo $ n $ cách.
- Phương án $ B $ có thể thực hiện theo $ m $ cách.
Khi đó, để hoàn thành công việc có thể thực hiện theo $ n + m $ cách.

Quy tắc cộng có thể mở rộng trong trường hợp tổng quát, khi công việc có nhiều hướng để xử lý không chỉ là $ A $ hoặc $ B $ nữa mà có thể là $ A $ hoặc $ B $ hoặc $C$ hoặc $D$… Lúc đó, chúng ta cộng tất cả các cách của từng trường hợp $A,B,C,D…$ này lại.

1.2. Quy tắc nhân (nguyên lý nhân)

Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn (giai đoạn, bước) 1 và 2.
- Công đoạn 1: có thể thực hiện theo $ n $ cách
- Công đoạn 2: có thể thực hiện theo $ m $ cách.
Khi đó, để hoàn thành được công việc có thể thực hiện theo $ n.m $ cách.

Quy tắc nhân có thể được mở rộng ra cho công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn.

1.3. Quy tắc bù trừ (nguyên lý bù trừ)

Tư tưởng của nguyên lí này là hãy đếm phần dễ đếm để suy ra phần khó đếm nhưng lại phải đếm.

Chẳng hạn, ở một ngôi làng có 100 thanh niên trai tráng, cần chọn ra 2 người trong số họ để lên đường đi giết rồng lửa cứu dân làng. Thì, số cách chọn ra 2 người đó cũng chính bằng số cách chọn ra 98 người để ở nhà. Vì nếu chọn được 98 người ở nhà thì đương nhiên 2 người còn lại sẽ là 2 người đi giết rồng.

Dấu hiện để nhận biết khi nào sử dụng nguyên lý bù trừ là đề bài xuất hiện các cụm từ luôn có, ít nhất, có đủ, có nhiều nhất, có ít nhất.

2. Các ví dụ về quy tắc đếm

Ví dụ 1. Trong kì thi THPTQG 2015, trường Xuân Trường B có kết quả xuất sắc nên được chọn một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên từ các lớp 12A1,12A2 hoặc 12A3. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 12A1 có 5 học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên, lớp 12A2 có 4 học sinh và lớp 12A3 có 3 học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên.

Hướng dẫn. Để chọn một học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên, chúng ta có thể chọn:
- Chọn học sinh lớp 12A1: có 5 cách.
- Chọn học sinh lớp 12A2: có 4 cách.
- Chọn học sinh lớp 12A3: có 3 cách.
Theo quy tắc cộng, có tất cả \( 5+4+3=12 \) cách chọn,

Ví dụ 2. Có 8 bông hoa hồng khác nhau và 6 bông hoa cúc khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 bông hoa?

Hướng dẫn. Để chọn một bông hoa, chúng ta có các hướng sau:
- Chọn hoa hồng: có 8 cách chọn,
- Chọn hoa cúc: có 6 cách chọn.
Theo quy tắc cộng, có tất cả 8+6=14 cách chọn một bông hoa.

Ví dụ 3. Trên kệ sách có 12 quyển sách tham khảo Toán 11 và 6 quyển sách tham khảo Lý 11. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách trong hai loại sách nói trên?

Hướng dẫn. Để chọn một cuốn sách, học sinh có thể
- Chọn sách Toán: có 12 cách
- Chọn sách Lý: có 6 cách
Theo Quy tắc cộng, học sinh có 12+6=18 cách chọn một cuốn sách.

Ví dụ 4. Một em bé có thể mang họ cha là Nguyễn, hoặc họ mẹ là Lê; tên đệm có thể là Văn, Hữu hoặc Đình; tên có thể là Nhân, Nghĩa, Trí hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé?

Hướng dẫn. Việc đặt tên cho bé phải trải qua ba bước:
- Bước 1, lựa chọn họ: có 2 cách.
- Bước 2, lựa chọn tên đệm: có 3 cách.
- Bước 3, lựa chọn tên: có 4 cách.
Theo quy tắc nhân, có tất cả $ 2.3.4=24 $ cách đặt tên cho bé.

Ví dụ 5. Một lớp học có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban điều hành lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụ.

Hướng dẫn. Để chọn một ban điều hành lớp, cô giáo phải thực hiện 3 bước:
- Bước 1, chọn lớp trưởng: có 40 cách (vì ai cũng có khả năng làm lớp trưởng)
- Bước 2, chọn lớp phó: có 39 cách (vì một học sinh đã được chọn làm lớp trưởng, nên chỉ còn 39 học sinh có thể làm lớp phó)
- Bước 3, chọn thủ quỹ: còn lại 38 học sinh nên có 38 cách chọn
Theo quy tắc nhân, có $ 40\cdot 39 \cdot 38 = 58280 $ cách chọn.

Ví dụ 6. Từ các chữ số $ 1, 2, 3,4 $ có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số?

Hướng dẫn. Để lập được số có hai chữ số, chúng ta thực hiện hai bước:
- Bước 1, chọn chữ số hàng chục: có 4 cách chọn (chọn một trong bốn chữ số đã cho)
- Bước 2, chọn chữ số hàng đơn vị: cũng có 4 cách chọn vì không yêu cầu phải khác chữ số hàng chục.
Theo Quy tắc nhân, có thể lập được tất cả $ 4^2= 16$ số.

Ví dụ 7. Từ các chữ số $ 1, 2, 3,4 $ có thể lập được bao nhiêu số gồm hai chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?

Hướng dẫn. Tương tự ví dụ trươc, nhưng ở bước 2, chọn chữ số hàng đơn vị chỉ có 3 cách vì phải chọn chữ số khác với chữ số đã được chọn làm hàng chục.

Đáp số: Có $ 4.3= 12$ số.

Ví dụ 8. Cho tập $ E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. $ Từ các phần tử của $ E $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Hướng dẫn. Để chọn được số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu, chúng ta giả sử số đó là $\overline{abcd}$. Việc lập số được thực hiện qua 4 bước:
- Bước 1: Chọn chữ số $d$ chẵn, có 4 cách chọn (chọn một trong bốn chữ số $2,4,6,8$)
- Bước 2: Chọn chữ số $a$, có 8 cách (vì có tất cả 9 chữ số nhưng một số đã chọn viết vào vị trí $d$ nên chỉ còn lại 8 chữ số)
- Bước 3: Chọn chữ số $b$, có 7 cách (phải chọn chữ số khác chữ số $a$ và $d$)
- Bước 4: Chọn chữ số $c$, có 6 cách (khác $a,b,d$)
Theo Quy tắc nhân, có tất cả $1344$ số.

Ví dụ 9. Cần sắp xếp ba người $ A, B, C $ lên hai toa tàu (mỗi toa có thể chứa được 3 người). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Hướng dẫn.
- Lời giải sai: Toa tàu thứ nhất có 3 cách chọn người, toa thứ hai có 3 cách chọn người. Do đó có 3.3 = 9 cách. Sai ở chỗ là toa thứ nhất có nhiều cách chọn (không chọn ai cả hoặc chọn 1 người, 2 người, cả 3 người) đồng thời khi chọn người A thì toa thứ hai không thể chọn người A được nữa!
- Lời giải đúng: Việc xếp ba người lên tàu gồm 3 bước: Chọn toa cho người A, có 2 cách; sau đó chọn toa cho người B, cũng có 2 cách; và bước cuối cùng, chọn toa cho người C, có 2 cách. Vậy có $ 2.2.2=8 $ cách sắp xếp ba người lên hai toa tàu.
Ví dụ 10. Trong vòng đấu loại của giải cờ vua “Master Chess 2016”, trường Xuân Trường B có 36 ứng viên tham gia. Mỗi người bốc thăm và chơi đúng 1 ván với một người khác. Mr Ban Ban cần biết có bao nhiêu trận đấu để xếp lịch, hãy tính giúp ông ấy!

Hướng dẫn. Xét 18 đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn).
- Người thứ 1 có 35 cách chọn đối thủ, còn lại 34 người chưa thi đấu.
- Người thứ 2 có 33 cách chọn đối thủ, còn lại 32 người chưa thi đấu.
- Người thứ 3 có 30 cách chọn đối thủ, còn lại 28 người chưa thi đấu.
- …
- Người thứ 18 có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại.
Theo quy tắc nhân có tất cả $ 35.33.31.29….3.1 $ trận đấu.

Đôi khi, để giải quyết nhiều bài toán, chúng ta phải phối hợp sử dụng cả 2 quy tắc đếm một cách linh hoạt.

Ví dụ 11. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Hướng dẫn. Ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0. Khi đó, chữ số thỏa mãn yêu cầu được thành lập qua các bước:
  - Chọn chữ số hàng đơn vị: chỉ có 1 cách chọn (là số 0).
  - Chọn chữ số hàng nghìn: có 9 cách chọn.
  - Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
  - Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $ 1\cdot 9\cdot 8\cdot 7=504 $ số thỏa mãn yêu cầu.
- Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0. Khi đó, chữ số thỏa mãn yêu cầu được thành lập qua các bước:
  - Chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn một trong các số 2,4,6,8.
  - Chọn chữ số hàng nghìn: có 8 cách chọn, vì phải khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị vừa được chọn.
  - Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
  - Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $ 4\cdot 8\cdot 8\cdot 7= 1792 $ số thỏa mãn yêu cầu.

Như vậy, tổng hợp cả hai trường hợp ta có $ 504+1792=2296 $ số thỏa mãn yêu cầu.

Các bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ, xin đón xem ở bài viết https://o2.edu.vn/hoan-vi-to-hop-chinh-hop

Xem thêm: Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton
04/06/2020
Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton điển hình trong đề thi ĐH, THPTQG 2020.

Mục lục Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

1 Ba quy tắc cơ bản của bài toán đếm 2
1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 1. Dùng qui tắc cộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 2. Dùng qui tắc nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 8
2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Dạng 1. Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Dạng 3. Phương trình, bất phương trình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Xác suất 22
3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 1. Phép thử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3 3. Xác suất của một biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Dạng 1. Tính xác suất bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Dạng 2. Các qui tắc tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Nhị thức Newton 32
4.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 Dạng 1. Khai triển nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 Dạng 2. Số hạng trong khai triển nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.3 Dạng 3. Hệ số lớn nhất trong khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.4 Dạng 4. Khai triển tam thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.5 Dạng 5. Sử dụng nhị thức Newton để tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Tải tại đây https://o2.edu.vn/wp-content/uploads/2020/01/To-Hop-Xac-Suat-Nhi-Thuc-Newton.pdf

18/01/2020