Bài tập Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Tiếp theo bài Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất, chúng tôi tiếp tục giới thiệu phần bài tập Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất trong đề cương của ĐH BKHN.

Xem thêm: 1000 bài toán Tổ hợp Xác Suất có lời giải.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài tập 2.1. Một chùm chìa khóa gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở được cửa. Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho đến khi mở được cửa. Gọi X là số lần thử.

  1. Tìm phân phối xác suất của X;
  2. Tìm kỳ vọng và phương sai của X;
  3. Viết hàm phân phối xác suất của X.

Hướng dẫn. Gọi X là số lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nó nhận các giá trị X = 1, 2, 3, 4. Gọi Xi là “mở được cửa ở lần thứ i” thì X1, X2, X3, X4 tạo thành hệ đầy đủ.

Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Bài tập 2.2. Một xạ thủ có 5 viên đạn. Anh ta phải bắn vào bia với quy định khi nào có 2 viên trúng bia hoặc hết đạn thì dừng. Biết xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,4 và gọi X là số đạn cần bắn.

  1. Tìm phân phối xác suất của X;
  2. Tìm kỳ vọng, phương sai và viết hàm phân phối xác suất của X.

Bài tập 2.3. Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử tổng thống là 40%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho ông A trong 20 người đó.

  1. Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn của X và modX.
  2. Tìm P(X = 10).

Bài tập 2.4. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có 2 giá trị x1 và x2 (x1 < x2). Xác suất để X nhận giá trị x1 là 0,2. Tìm luật phân phối xác suất của X, biết kỳ vọng E(X) = 2, 6 và độ lệch tiêu chuẩn σ(X) = 0, 8.

Bài tập 2.5. Mỗi khách uống cà phê tại quán cà phê mỗi ngày đều được phát ngẫu nhiên một vé bốc thăm, xác suất khách hàng trúng thăm là 0,1. Nếu khách hàng trúng thăm liên tục trong 5 ngày (từ thứ hai đến thứ sáu) sẽ nhận được 100₫, nếu không sẽ không được gì. An uống cà phê liên tục tại quán này 4 tuần liên tiếp. Gọi X₫ là số tiền An được thưởng khi bốc thăm trong 4 tuần đó. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.

Bài tập 2.6. Tung đồng xu 10 lần. Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa như sau: (X = 1) nếu sự kiện đúng 3 lần ra mặt sấp xảy ra và (X = 0) trong trường hợp còn lại. Tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X).

Bài tập 2.7. Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và 1 phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt hai sản phẩm (lấy không hoàn lại).

  1. Gọi X là “số chính phẩm gặp phải”. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính E(X) và V(X).
  2. Gọi Y là “số phế phẩm gặp phải”. Lập hệ thức cho mối quan hệ giữa X và Y.

Bài tập 2.8. Người ta đặt ngẫu nhiên 10 thẻ (trong đó có 5 thẻ màu đỏ và 5 thẻ màu xanh) vào 10 phong bì (5 phong bì có màu đỏ và 5 phong bì có màu xanh), mỗi phong bì một thẻ. Gọi X là số phong bì có chứa một thẻ cùng màu. Tính giá trị:

  1. P(X = 1).
  2. E(X).

Bài tập 2.9. Có 2 kiện hàng. Kiện I có 3 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Kiện II có 2 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện I ra 2 sản phẩm và từ kiện II ra 1 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.

Bài tập 2.10. Có hai kiện hàng. Kiện thứ nhất có 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Kiện thứ hai có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện I bỏ sang kiện II. Sau đó từ kiện II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện II.

Bài tập 2.11. Gieo hai con xúc sắc đồng chất 5 lần, gọi X là số lần xuất hiện hai mặt 6.

  1. Tính xác suất của sự kiện số lần xuất hiện hai mặt 6 ít nhất là 2.
  2. Tính E(X), V(X).
  3. Viết hàm phân phối F(x).

Bài tập 2.12. Một thanh niên nam vào cửa hàng thấy 5 máy thu thanh giống nhau. Anh ta đề nghị cửa hàng cho anh ta thử lần lượt các máy đến khi chọn được máy tốt thì mua, nếu cả 5 lần đều xấu thì thôi. Biết rằng xác suất để một máy xấu là 0,6 và các máy xấu tốt độc lập với nhau. Gọi X là số lần thử. Lập bảng phân phối xác suất của X.

Bài tập 2.13. Có hai hộp bi. Hộp I có 2 bi trắng, 3 bi đỏ. Hộp II có 2 bi trắng, 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, sau đó lại lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp II bỏ vào hộp I. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số bi trắng có mặt ở hộp I và hộp II sau khi đã chuyển xong.

Bài tập 2.14. Một người đi làm từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư. Xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5. Gọi X là số đèn đỏ mà người đó gặp phải trong một lần đi làm (giả sử 3 đèn giao thông ở ngã tư hoạt động độc lập với nhau).

  1. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính kỳ vọng, phương sai của X. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
  2. Hỏi thời gian trung bình phải ngừng trên đường là bao nhiêu biết rằng mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải đợi khoảng 3 phút.

Bài tập 2.15. Một người chơi trò chơi tung con xúc sắc cân đối đồng chất ba lần. Nếu cả ba lần đều xuất hiện mặt 6 thì thu về 36₫, nếu hai lần xuất hiện mặt 6 thì thu về 2,8₫, nếu một lần xuất hiện mặt 6 thì thu về 0,4₫. Biết rằng khi chơi người đó phải nộp x₫.

  1. Tìm x sao cho trò chơi là vô thưởng vô phạt.
  2. x bằng bao nhiêu thì trung bình mỗi lần chơi, người chơi mất 1₫?

Bài tập 2.16. Một kiện hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II. Khi bán được một sản phẩm loại I thì được lãi 50 ngàn đồng; còn nếu bán được một sản phẩm loại II thì được lãi 20 ngàn đồng. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 3 sản phẩm.

  1. Tìm quy luật phân phối xác suất của số tiền lãi thu được do bán 3 sản phẩm đó; tính kỳ vọng, phương sai của số tiền lãi thu được do bán 3 sản phẩm đó.
  2. Viết hàm phân phối, vẽ đồ thị hàm phân phối của số tiền lãi thu được khi bán 3 sản phẩm đó.

Bài tập 2.17. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 10 quả còn mới. Lần đầu ta lấy ra 3 quả để thi đấu, sau đó lại trả 3 quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra 3 quả. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số quả bóng mới trong 3 quả lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất, tính kì vọng, phương sai của X.

Bài tập 2.18. Một cơ sở thí nghiệm có 3 phòng thí nghiệm như nhau. Xác suất thực hiện thành công một thí nghiệm của các phòng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Một sinh viên chọn một phòng thí nghiệm bất kỳ và tiến hành 3 thí nghiệm độc lập. Gọi X là số thí nghiệm thành công.

  1. Lập bảng phân phối xác suất của X, tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X).
  2. Theo anh (chị) thì khả năng chắc chắn sẽ thành công mấy thí nghiệm?

2. Biến ngẫu nhiên liên tục

Bài tập 2.19. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[f(x)=\begin{cases} k\sin 3x, & x\in (0;\frac{\pi}{3})\\ 0, & x\not\in (0;\frac{\pi}{3})\end{cases}\]

  1. Xác định k và hàm phân phối F(x).
  2. Tính P(π/6 ≤ X < π/3).

Bài tập 2.20. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[f(x)=\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{a^2-x^2}},& x\in (-a;a)\\ 0, & x\not\in (-a;a)\end{cases}\] Xác định hằng số c, sau đó tính kỳ vọng và phương sai của X.

Bài tập 2.21. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[ f(x)=\frac{c}{e^x+e^-x}\]Xác định hằng số c và sau đó tính kỳ vọng của X.

Bài tập 2.22. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ là \(f(x) = ae^{-|x|}\), (−∞ < x < +∞).

  1. Xác định a.
  2. Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X; biến ngẫu nhiên Y = X2.
  3. Tìm E(X), V(X).
  4. Tính xác suất để sau ba lần lặp lại phép thử một cách độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong (0; ln 3).

Bài tập 2.23. Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):\[f(x)=\begin{cases} k(30-x),& x\in (0;30)\\ 0, & x\not\in (0;30)\end{cases}\]

  1. Tìm k.
  2. Tìm hàm phân phối F(x).
  3. Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó.

Bài tập 2.24. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất \[f(x)=\begin{cases} 0,& x\leqslant 0\\ 1/2-k\cos x, & 0<x \leqslant \pi \\ 1, & x>\pi\end{cases}\]

  1. Tìm k.
  2. Tìm P(0 < X < π/2 ).
  3. Tìm E(X).

Bài tập 2.25. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất

biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

  1. Tìm A và B.
  2. Tìm hàm mật độ xác suất f (x).

Bài tập 2.26. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng F(x) = a + b arctan x, (−∞ < x < +∞).

  1. Tìm hệ số a và b.
  2. Tìm hàm mật độ xác suất f (x).
  3. Tìm xác suất để khi tiến hành 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (−1; 1).

Bài tập 2.27. Biến ngẫu nhiên X liên tục trên toàn trục số và có hàm phân phối xác suất F(x) = 1/2 + 1/π arctan(x/2). Tìm giá trị có thể có của x1 thỏa mãn điều kiện P(X > x1) = 1/4.

Bài tập 2.28. Thu nhập của dân cư tại một vùng là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất như sau:

biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Hãy xác định mức thu nhập sao cho lấy ngẫu nhiên một người ở vùng đó thì thu nhập của người này vượt quá mức trên với xác suất 0,5.

Bài tập 2.29. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng tại một cửa hàng ăn nhanh là biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật lũy thừa với hàm mật độ xác suất \[ f(x)=\begin{cases} 5e^{-5x},& x>0\\ 0,& x \leqslant 0 \end{cases}\] với x được tính bằng phút/khách hàng.

  1. Tìm xác suất để thời gian phục vụ một khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng (0, 4; 1)(phút).
  2. Tính thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.

3. Một số luật phân phối xác suất thông dụng

Bài tập 2.30. Bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy.

Bài tập 2.31. Xác suất để một sinh viên chậm giờ thi là 0,02. Tìm số sinh viên chậm giờ thi có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 sinh viên dự thi.

Bài tập 2.32. Một ga ra cho thuê ôtô thấy rằng số người đến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần là một biến ngẫu nhiên có phân bố Poát-xông với tham số λ = 2. Giả sử gara có 4 chiếc ôtô.

  1. Tìm xác suất để tất cả 4 ôtô đều được thuê vào thứ 7.
  2. Tìm xác suất gara không đáp ứng được yêu cầu (thiếu xe cho thuê) vào thứ 7.
  3. Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê vào ngày thứ 7?

Bài tập 2.33. Gọi biến ngẫu nhiên Y là tỷ lệ người trong 1000 người Mỹ xác nhận rằng có uống nhiều hơn 5 cốc bia mỗi ngày. Giả sử rằng tỷ lệ đúng là 10% trên toàn bộ dân số Mỹ. Tính E(Y), D(Y).

Bài tập 2.34. Giả sử X là biến ngẫu hiên có phân phối chuẩn với trung bình là 3 và phương sai là 0,16.

  1. Hãy tính P(X > 3), P(X > 3, 784).
  2. Tìm c sao cho P(3 − c < X < 3 + c) = 0,9.

Bài tập 2.35. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm 2006 được coi như một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì với xác suất 0,1587 cho lãi suất lớn hơn 20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng đầu tư mà không bị lỗ là bao nhiêu?

Bài tập 2.36. Tung một đồng xu vô hạn lần, xác suất thu được mặt ngửa mỗi lần là p.

  1. Gọi X là số lần tung đến khi xuất hiện mặt ngửa lần đầu tiên (tại lần tung thứ X). Tính E(X).
  2. Tính xác suất xuất hiện đúng 6 lần ngửa trong 10 lần tung.
  3. Tính xác suất để lần xuất hiện mặt ngửa thứ 6 rơi vào lần tung thứ 10.

Bài tập 2.37. Lấy ngẫu nhiên một điểm M trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2a. Biết rằng xác suất điểm M rơi vào cung CD bất kì của nửa đường tròn AMB chỉ phụ thuộc vào độ dài cung CD.

  1. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y chỉ diện tích tam giác AMB.
  2. Tìm giá trị trung bình của diện tích tam giác ấy.

Bài tập 2.38. Từ điểm A(0, −a) (a > 0) trong nửa mặt phẳng tọa độ xOy phần x ≥ 0, người ta kẻ ngẫu nhiên một tia At hợp với tia Oy một góc ϕ. Biết ϕ là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trong khoảng (0, π/4). Tia At cắt Ox tại điểm M.

  1. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ diện tích tam giác AOM.
  2. Tìm giá trị trung bình của diện tích trên.

Bài tập 2.39. Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định sẽ áp dụng một trong hai phương án kinh doanh: Phương án 1: Gọi X1 (triệu đồng/tháng) là lợi nhuận thu được. X1 có phân phối chuẩn (140; 2500). Phương án 2: Gọi X2 (triệu đồng/tháng) là lợi nhuận thu được. X2 có phân phối chuẩn  (200; 3600). Biết rằng công ty tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ mặt hàng A phải đạt ít nhất 80 triệu đồng/tháng. Hỏi nên áp dụng phương án nào để rủi ro thấp hơn.

Bài tập 2.40. Trọng lượng của một loại trái cây có quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 250g, độ lệch chuẩn về trọng lượng là 5g. Trái cây loại I là trái cây có trọng lượng không nhỏ hơn 260g.

  1. Một người lấy 1 trái từ trong sọt trái cây Tính xác suất người này lấy được trái cây loại I.
  2. Nếu lấy được trái loại I thì người này sẽ mua sọt đó. Người ngày kiểm tra 100 sọt. Tính xác suất người này mua được 6 sọt.

Bài tập 2.41. Một dây chuyền tự động khi hoạt động bình thường có thể sản xuất ra phế phẩm với xác suất p = 0,001 và được điều chỉnh ngay lập tức khi phát hiện có phế phẩm. Tính số trung bình các sản phẩm được sản xuất giữa 2 lần điều chỉnh.

Bài tập 2.42. Trong một kỳ thi điểm số của các sinh viên có trung bình là 80 và độ lệch chuẩn là 10. Giả sử phân phối của điểm thi xấp xỉ phân phối chuẩn.

  1. Nếu giáo viên muốn 25% số sinh viên đạt điểm A (nhóm điểm cao nhất) thì điểm số thấp nhất để đạt điểm A là bao nhiêu?
  2. Chọn ngẫu nhiên 50 sinh viên, tính xác suất trong đó có nhiều hơn 10 sinh viên đạt điểm A (điểm A lấy ở câu (a)).

Bài tập 2.43. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kì vọng 20mm, phương sai 0,04mm. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một chi tiết có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm.

Bài tập 2.44. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 160cm và độ lệch chuẩn là 6cm. Tìm xác suất để đo ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất một người có chiều cao nằm trong khoảng (158–162)cm.

Bài tập 2.45. Dùng hai phương pháp để tính sai số của một biến ngẫu nhiên. Phương pháp 1: Cho sai số đó bằng 2X với X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 25). Phương pháp 2: Cho sai số đó bằng tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập Y = Y1 + Y2 trong đó E(Y1) = E(Y2) = 0 và σ(Y1) = σ(Y2) = 5. Hỏi phương pháp nào được ưa dùng hơn?