Phép thử là gì?
Phép thử là một thí nghiệm (hành động, thử nghiệm) mà kết quả xảy ra có tính ngẫu nhiên, không đoán trước được. Nhưng, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó thì lại hoàn toàn xác định được. Phép thử là cách gọi tắt của “phép thử ngẫu nhiên”.
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử nào đó, được gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Không gian mẫu thường được kí hiệu là Ω.
Ví dụ về phép thử
Ví dụ, tung một con xúc xắc 6 mặt được coi là một phép thử, kết quả thu được là xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm,… 6 chấm. Nếu kí hiệu i là mặt i chấm xuất hiện, thì không gian mẫu có thể viết là
Ω = { i | i ∈ N, 1 ≤ i ≤ 6}
Bắn một phát súng vào một cái bia, tung một đồng xu 1 lần, tung một đồng xu 2 lần,… đều là những phép thử.
Biến cố là gì?
Một tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố (sự kiện – event). Ví dụ, với phép thử gieo xúc xắc ở trên thì biến cố “xuất hiện mặt chẵn” là một tập con của không gian mẫu, nếu kí hiệu biến cố đó là A thì
A = {2, 4, 6}
Ví dụ, tung một đồng xu hai lần thì không gian mẫu là
Ω = {SS;SN;NS;NN}.
Có các loại biến cố nào?
Các biến cố có thể chia thành 3 loại chính sau:
- Biến cố chắc chắn (Ω): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là Omega.
- Biến cố không thể (bất khả): là biến cố không bao giờ xảy ra, thường kí hiệu bằng ∅. Như vậy “biến cố không thể” không bao hàm một biến cố sơ cấp nào, nghĩa là không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố không thể.
- Biến cố sơ cấp: là biến cố không thể phân tích được nữa.
- Biến cố ngẫu nhiên: là biến có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Phép thử mà các biến cố của nó là các biến cố ngẫu nhiên gọi là phép thử ngẫu nhiên. Ta thường dùng các chữ cái A, B, C,.. để kí hiệu cho biến cố ngẫu nhiên.
- Biến cố xung khắc: hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ví dụ, khi tung một đồng tiền, biến cố “xuất hiện mặt sấp” và biến cố “xuất hiện mặt ngửa” là 2 biến cố xung khắc.
Ví dụ, xét phép thử là “tung một con xúc xắc 6 mặt” nói ở trên thì:
- Biến cố chắc chắc: “xuất hiện mặt có số chấm từ 1 đến 6”, “xuất hiện mặt có số chấm là một số tự nhiên”, “xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7″…
- Biến cố không thể: “xuất hiện mặt có số chấm bằng 7”, “xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 9”,…
Xét phép thử “tung một đồng xu 2 lần”, biến cố A: “cả 2 lần xuất hiện mặt sấp” và biến cố B: “cả hai lần xuất hiện mặt ngửa” gọi là các biến cố sơ cấp. Còn biến cố C: “tung được hai mặt giống nhau” không là biến cố sơ cấp vì C có thể phân tích thành A⋃B.
Mối quan hệ giữa các biến cố
Hai biến cố đối nhau
Biến cố đối nhau là 2 biến cố không xảy ra đồng thời. Biến cố đối của biến cố $A$ được kí hiệu là $\overline{A}$. biến cố này còn được gọi là biến cố bù của $A$ và được kí hiệu là $A^C$.
Hai biến cố tương đương
Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương (ký hiệu là A = B). Nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.
Ví dụ, khi tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố “xuất hiện mặt 6 chấm“, B là biến cố “xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 4“. Ta thấy nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra. Vậy A = B.
Biến cố tổng (biến cố hợp)
Biến cố hợp: là biến cố xảy ra khi có ít nhất một trong những biến cố thành phần xảy ra. biến cố hợp của $A$ và $B$ được kí hiệu là $A \cup B$ hoặc $A+B$.
Ví dụ, chọn ngẫu nhiên từ 2 lớp Lý A, B mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “bạn chọn từ lớp A là nam” , B là biến cố “ bạn chọn từ lớp B là nam” và C là biến cố “chọn được sinh viên nam”. Rõ ràng biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Vậy C = A + B.
Tổng quát, hợp của các biến cố $\{A_i\},i=\overline{1,n}$ là $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n{A_i}$ hoặc $\displaystyle\sum_{i=1}^n{A_i}$.
Biến cố tích (biến cố giao)
Biến cố giao: là biến cố xảy ra khi tất cả các biến cố thành phần cùng xảy ra. Giao của 2 biến cố $ A $ và $ B $ được kí hiệu là $A \cap B$ hoặc $AB$.
Ví dụ, hai lớp A, B đều có sinh viên sống tại Đà Lạt. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Đà Lạt ở lớp A”, B là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Đà Lạt ở lớp A”, C là biến cố “cả hai sinh viên sống ở Đà Lạt”. Rõ ràng C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. Vậy C = A.B
Tổng quát, giao của các biến cố $\{A_i\},i=\overline{1,n}$ là $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{A_i}$ hoặc $\displaystyle\prod_{i=1}^n{A_i}$.
Biến cố xung khắc
Biến cố xung khắc là các biến cố không đồng thời xảy ra. Các biến cố $\{A_i\},i=\overline{1,n}$ xung khắc đôi một khi và chỉ khi $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{A_i}=\emptyset$.
Biến cố độc lập
Biến cố độc lập: các biến cố được gọi là độc lập khi và chỉ khi việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng tới việc xảy ra tập biến cố còn lại. Như vậy có thể thấy nếu hai biến cố $ A, B $ là độc lập thì $ A,\bar{B} $;$ \bar{A},B $; $\bar{A},\bar{B} $ cũng là độc lập.
Nhóm biến cố đầy đủ
Các biến cố A_{1}, A_{2}, …, A_{n} được gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn (không gian biến cố, không gian mẫu).
Lưu ý rằng, các phép toán quan hệ của các biến cố trên là giống như các phép toán trong đại số Boole, nên mọi tính chất và hệ quả của đại số Boole đều có thể áp dụng cho các biến cố.