O₂ Education

Tag: biến đổi tương đương

  • Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

    Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

    Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương là chúng ta sử dụng định nghĩa và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

    Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức (BĐT) A ≥ B ta có thể sử dụng các cách sau:

    • Ta đi chứng minh A-B ≥ 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A-B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
    • Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

    Ví dụ minh họa Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

    1. Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

    Ví dụ 1: Cho hai số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau:

    1. $ab\le \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}$
    2. $ab\le {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}$
    3. $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$
    4. ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}\ge 3\left( ab+bc+ca \right)$

    Lời giải

    1. Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{(a-b)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$. Đẳng thức$\Leftrightarrow a=b$.
    2. Bất đẳng thức tương đương với ${{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}-ab\ge 0$
      $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\ge 4ab\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng) ĐPCM.
      Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
    3. BĐT tương đương $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca$
      $\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng) ĐPCM.
      Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
    4. BĐT tương đương ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca\ge 3\left( ab+bc+ca \right)$
      $\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2\left( ab+bc+ca \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng) ĐPCM.
      Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

    Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là “bổ đề” trong chứng minh các bất đẳng thức khác.

    Ví dụ 2: Cho năm số thực $a,b,c,d,e$. Chứng minh rằng $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a(b+c+d+e)$$.

    Lời giải. Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}-a(b+c+d+e)=$
    $=(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ab+{{b}^{2}})+(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ac+{{c}^{2}})+(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ad+{{d}^{2}})+(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ae+{{e}^{2}})$
    $={{(\frac{a}{2}-b)}^{2}}+{{(\frac{a}{2}-c)}^{2}}+{{(\frac{a}{2}-d)}^{2}}+{{(\frac{a}{2}-e)}^{2}}\ge 0\Rightarrow $ đpcm.
    Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=c=d=e=\frac{a}{2}$.

    Ví dụ 3: Cho $ab\ge 1$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{b}^{2}}+1}\ge \frac{2}{1+ab}$$

    Lời giải. Ta có $\frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{b}^{2}}+1}-\frac{2}{1+ab}=(\frac{1}{{{a}^{2}}+1}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{{{b}^{2}}+1}-\frac{2}{1+ab})$
    $=\frac{ab-{{a}^{2}}}{({{a}^{2}}+1)(1+ab)}+\frac{ab-{{b}^{2}}}{({{b}^{2}}+1)(1+ab)}=\frac{a-b}{1+ab}(\frac{b}{1+{{b}^{2}}}-\frac{a}{1+{{a}^{2}}})=\frac{a-b}{1+ab}.\frac{b-a+{{a}^{2}}b-{{b}^{2}}a}{(1+{{b}^{2}})(1+{{a}^{2}})}$$=\frac{a-b}{1+ab}\frac{(a-b)(ab-1)}{(1+{{b}^{2}})(1+{{a}^{2}})}=\frac{{{(a-b)}^{2}}(ab-1)}{(1+ab)(1+{{b}^{2}})(1+{{a}^{2}})}\ge 0$ (Do $ab\ge 1)$.

    Nhận xét: Nếu $-1<b\,\le 1$ thì BĐT có chiều ngược lại: $\frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{b}^{2}}+1}\le \frac{2}{1+ab}$.

    Ví dụ 4: Cho số thực $x$. Chứng minh rằng

    1. ${{x}^{4}}+3\ge 4x$
    2. ${{x}^{4}}+5>{{x}^{2}}+4x$
    3. ${{x}^{12}}+{{x}^{4}}+1>{{x}^{9}}+x$

    Lời giải

    1. Bất đẳng thức tương đương với ${{x}^{4}}-4x+3\ge 0$
      $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\ge 0$
      $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]\ge 0$ (đúng với mọi số thực $x$ )
      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1$.
    2. Bất đẳng thức tương đương với ${{x}^{4}}-{{x}^{2}}-4x+5>0$
      $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}-4x+4>0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0$
      Ta có ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}\ge 0,\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0$
      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
      {{x}^{2}}-1=0 \\
      x-2=0 \\
      \end{matrix} \right.$ (không xảy ra)
      Suy ra ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0$ ĐPCM.
    3. Bất đẳng thức tương đương với ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$
      + Với $x<1$: Ta có ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{12}}+{{x}^{4}}\left( 1-{{x}^{5}} \right)+\left( 1-x \right)$
      Vì $x<1$ nên $1-x>0,\,\,1-{{x}^{5}}>0$ do đó ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$.
      + Với $x\ge 1$: Ta có ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{9}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+1$
      Vì $x\ge 1$ nên ${{x}^{3}}-1\ge 0$ do đó ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$.
      Vậy ta có ${{x}^{12}}+{{x}^{4}}+1>{{x}^{9}}+x$.

    Ví dụ 5: Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:

    1. ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}-4ab+2\ge 0$
    2. $2\left( {{a}^{4}}+1 \right)+{{\left( {{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}\ge 2{{\left( ab+1 \right)}^{2}}$
    3. $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-ab+4\ge 2\left( a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+b\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)$

    Lời giải

    1. BĐT tương đương với $\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)+\left( 2{{a}^{2}}{{b}^{2}}-4ab+2 \right)\ge 0$
      $\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{2}}+2{{\left( ab-1 \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng)
      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\pm 1$.
    2. BĐT tương đương với $2\left( {{a}^{4}}+1 \right)+\left( {{b}^{4}}+2{{b}^{2}}+1 \right)-2\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+2ab+1 \right)\ge 0$
      $\Leftrightarrow \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)+\left( 2{{a}^{2}}-4ab+2{{b}^{2}} \right)+\left( {{a}^{4}}-4{{a}^{2}}+1 \right)\ge 0$
      $\Leftrightarrow {{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}+2{{(a-b)}^{2}}+{{({{a}^{2}}-1)}^{2}}\ge 0$(đúng)
      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\pm 1$.
    3. BĐT tương đương với $6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-2ab+8-4\left( a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+b\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)\ge 0$
      $\Leftrightarrow \left[ {{a}^{2}}-4a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+4\left( {{b}^{2}}+1 \right) \right]+\left[ {{b}^{2}}-4b\sqrt{{{a}^{2}}+1}+4\left( {{a}^{2}}+1 \right) \right]+\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)\ge 0$
      $\Leftrightarrow {{\left( a-2\sqrt{{{b}^{2}}+1} \right)}^{2}}+{{\left( b-2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$(đúng)
      Đẳng thức không xảy ra.

    Ví dụ 6: Cho hai số thực $x,\,\,y$ thỏa mãn $x\ge y$. Chứng minh rằng:

    1. $4\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)\ge {{\left( x-y \right)}^{3}}$
    2. ${{x}^{3}}-3x+4\ge {{y}^{3}}-3y$

    Lời giải

    1. Bất đẳng thức tương đương $4\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-{{\left( x-y \right)}^{3}}\ge 0$
      $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left[ 4\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-{{\left( x-y \right)}^{2}} \right]\ge 0\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left[ 3{{x}^{2}}+3xy+{{y}^{2}} \right]\ge 0$
      $\Leftrightarrow 3\left( x-y \right)\left[ {{\left( x+\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4} \right]\ge 0$ (đúng với $x\ge y$) ĐPCM.
      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$.
    2. Bất đẳng thức tương đương ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}\ge 3x-3y-4$
      Theo câu a) ta có ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}\ge \frac{1}{4}{{\left( x-y \right)}^{3}}$, do đó ta chỉ cần chứng minh
      $\frac{1}{4}{{\left( x-y \right)}^{3}}\ge 3x-3y-4$ (*), Thật vậy,
      BĐT (*) $\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{3}}-12\left( x-y \right)+16\ge 0$
      $\Leftrightarrow \left( x-y-2 \right)\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}+2\left( x-y \right)-8 \right]\ge 0$
      $\Leftrightarrow {{\left( x-y-2 \right)}^{2}}\left( x-y+4 \right)\ge 0$ (đúng với$x\ge y$ )
      Đẳng thức xảy không xảy ra.

    2. Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh.

    Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt.

    Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng:

    • $a\in \left[ \alpha ;\beta \right]\Rightarrow \left( a-\alpha \right)\left( a-\beta \right)\le 0$ $\left( * \right)$
    • $a,b,c\in \left[ \alpha ;\beta \right]\Rightarrow \left( a-\alpha \right)\left( b-\alpha \right)\left( c-\alpha \right)+\left( \beta -a \right)\left( \beta -b \right)\left( \beta -c \right)\ge 0\left( ** \right)$

    Ví dụ 7: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<2(ab+bc+ca)$$

    Lời giải. Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:$$a+b>c\Rightarrow ac+bc>{{c}^{2}}$$ Tương tự $$bc+ba>{{b}^{2}}$$ $$ca+cb>{{c}^{2}}$$ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm.

    Nhận xét: Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.
    Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT $|a-b|<c$ rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.

    Ví dụ 8: Cho $a,b,c\in [0;1]$. Chứng minh: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$$
    Lời giải.

    Cách 1: Vì $a,b,c\in [0;1]\Rightarrow (1-{{a}^{2}})(1-{{b}^{2}})(1-{{c}^{2}})\ge 0$
    $\Leftrightarrow 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ (*)
    Ta có: ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 0;\text{ }{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}\le {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$ nên từ (*) ta suy ra
    ${{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$ đpcm.

    Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với ${{\text{a}}^{\text{2}}}\left( 1-b \right)+{{b}^{2}}\left( 1-c \right)+{{c}^{2}}\left( 1-a \right)\le 1$
    Mà $a,b,c\in \left[ 0;1 \right]$ $\Rightarrow {{a}^{2}}\le a,{{b}^{2}}\le b,{{c}^{2}}\le c$ do đó
    ${{a}^{2}}\left( 1-b \right)+{{b}^{2}}\left( 1-c \right)+{{c}^{2}}\left( 1-a \right)\le a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)$
    Ta chỉ cần chứng minh $a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1$
    Thật vậy: vì $a,b,c\in \left[ 0;1 \right]$ nên theo nhận xét $\left( ** \right)$ ta có
    $abc+\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)\left( 1-c \right)\ge 0$
    $\Leftrightarrow $$a+b+c-\left( ab+bc+ca \right)\le 1$
    $\Leftrightarrow $$a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1$
    vậy BĐT ban đầu được chứng minh.

    Ví dụ 9: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: ${{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Chứng minh: $$2(1+a+b+c+ab+bc+ca)+abc\ge 0$$
    Lời giải. Vì ${{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]$ nên ta có:$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge 0$$ Mặt khác: $$\frac{{{(1+a+b+c)}^{2}}}{2}\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\ge 0$$
    Cộng hai bất đẳng thức trên ta có đpcm.

    Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu $a\ge 4,b\ge 5,c\ge 6$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90$ thì $a+b+c\ge 16$.

    Lời giải. Từ giả thiết ta suy ra $a<9,b<8,c\le 7$ do đó áp dụng $\left( * \right)$ ta có
    $\left( a-4 \right)\left( a-9 \right)\le 0,\left( b-5 \right)\left( b-8 \right)\le 0,\left( c-6 \right)\left( c-7 \right)\le 0$ nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được:
    ${{\text{a}}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-13(a+b+c)+118\le 0$suy ra
    $a+b+c\ge \frac{1}{13}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+118 \right)=16$ vì ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90$
    vậy $a+b+c\ge 16$ dấu “=” xảy ra khi $a=4,b=5,c=7$.

    Ví dụ 11: Cho ba số $a,\,\,b,\,\,c$ thuộc $\left[ -1;1 \right]$ và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
    $\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 2$

    Lời giải. Vì ba số $a,\,\,b,\,\,c$ thuộc $\left[ -1;1 \right]$ nên $0\le {{a}^{2}},{{b}^{2}},{{c}^{2}}\le 1$
    Suy ra$(1-{{b}^{2}})(1+{{b}^{2}}-{{a}^{4}})\ge 0$$\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}\le 1$ (*)
    Mặt khác ${{a}^{4}}\ge {{a}^{2012}},\,{{b}^{4}}\ge {{b}^{2012}}$ đúng với mọi $a,\,\,b$ thuộc $\left[ -1;1 \right]$
    Suy ra ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}\ge {{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}$ (**)
    Từ (*) và (**) ta có ${{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}\le {{a}^{4}}{{b}^{2}}+1$ hay $\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{c}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$
    Tương tự ta có $\frac{{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{a}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$ và $\frac{{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{b}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$
    Cộng vế với ta được $\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 3$
    Hay $\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 2$ ĐPCM.

  • Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn thức, bất PT chứa căn (PT, BPT vô tỷ) ngoài cách nâng lên lũy thừa thì chúng ta còn có thể phân tích thành tích các nhân tử, mỗi nhân tử là một PT, BPT đơn giản hơn.

    Xem thêm:

    Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

    • $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
    • $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$

    Sau đây, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ.

    1. Ví dụ giải phương trình, bất phương trình chứa căn bằng phân tích thành tích

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    & \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
    \sqrt {x + 3} – 2x = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến PT đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = – 1
    \end{array} \right.$$ Đáp số $ x=0,x=-1. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:

    • $ x = 1 $ là nghiệm.
    • $ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
    • $x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
    \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
    \end{align*} Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

    Ví dụ 5. Giải phương trình $${{x}^{2}}-2x-3=\sqrt{x+3}$$ Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,{x^2} – x + \frac{1}{4} = x + 3 + \sqrt {x + 3} + \frac{1}{4}\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 3} + \frac{1}{2}} \right)^2}
    \end{array}\] Đến đây tách thành hai phương trình đơn giản hơn. Đáp số. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \vee x = 1 – \sqrt {13}$.

    Ví dụ 6. Giải phương trình $$x-2\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\left( x-1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}-x}=0$$ Hướng dẫn. Bình phương, biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,2x\sqrt {{x^2} – x} – 4\sqrt {{x^2} – x} + {x^3} – 4{x^2} + 6x – 4 = 0\\
    \Leftrightarrow (x – 2)(2\sqrt {{x^2} – x} + {x^2} – 2x + 2) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $x=2$.

    Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số $ m, $ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \[{{x}^{2}}+2x-8=\sqrt{m\left( x-2 \right)}\] Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 2$, do $ m > 0. $ PT tương đương với \[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right) = \sqrt {m\left( {x – 2} \right)} .\]Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT \[{x^3} + 6{x^2} – 32 = 0\,\,\,\,\,\,\,(*)\] có một nghiệm khác 2.

    Thật vậy, đặt $ f\left( x \right)={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-32,x\ge 2 $ thì ta có \[f(2) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = + \infty ,f’\left( x \right) = 3{x^2} + 12x > 0,\forall x \ge 2\] Suy ra $ f(x) $ là hàm liên tục trên $ \left[ 2;+\infty \right) $ và đồng biến trên khoảng đó. Do đó, với mọi $m>0$ phương trình (*) luôn có nghiệm $ x_0 $ mà $2 < x_0 <+\infty $.

    2. Bài tập phân tích thành tích giải phương trình, bất phương trình

    Giải các phương trình, bất phương trình sau:

    Bài 1. Giải phương trình $ (x+3)\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12 $
    Đáp số. $ x=-3 $

    Bài 2. Giải phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$
    Đáp số. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right]\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left[ 3;+\infty \right)$

    Bài 3. Giải bất phương trình $\left( x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\le {{x}^{2}}-9$
    Hướng dẫn. Xét ba trường hợp $ x=3, x>3 và x<3. $ Đáp số. $x<-\frac{5}{6}\vee x\ge 3$

    Bài 4. Giải BPT $ \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{x-11}\ge \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{2x-9} $
    Đáp số. $ -3;\left[-2,4\right] $

    Bài 5. Giải bất phương trình chứa căn $\frac{\sqrt{51-2x-{{x}^{2}}}}{1-x}<1$
    Hướng dẫn. Xét hai trường hợp của $ x-1. $ Đáp số. $1-\sqrt{52}\le x<-5\vee x>1$

    Bài 6. Giải BPT $\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+\sqrt{1+x} \right)}^{2}}}>x-4$
    Đáp số. $-1\le x<8$

    Bài 7. Giải PT $ \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^2+3x+2} $
    Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt[3]{x+1}-1\right) +\left(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x^2+3x+2}\right)=0$ rồi phân tích thành tích.
    Đáp số. $ x=0,x=-1 $

    Bài 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$
    Hướng dẫn. Nhận xét $ x=0 $ không là nghiệm, chia hai vế cho $ x $ được: $$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}+\sqrt[3]{x}=1+\sqrt[3]{x+1}$$ $$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)=0$$ Đáp số. $x=1$

    Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
    Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ và biến đổi \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\
    \Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\
    \Leftrightarrow x = 1.
    \end{array}\]

    Bài 10. Giải phương trình $ x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(x-1-2\sqrt{x-1}\right) +\left(2\sqrt{7-x}-\sqrt{(7-x)(x-1)}\right)=0$…
    Đáp số. $ x=5,x=4 $

    Bài 11. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6 $
    Hướng dẫn. $ \sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+7}-3\right)-2\left(\sqrt{x+7}-3\right)=0 $
    Đáp số. $ x=1,x=2 $

    Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+3x}+2 \sqrt{ x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5} $
    Hướng dẫn. \[\begin{array}{l}
    x\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – \sqrt {\frac{{(x + 2)(x + 3)}}{x}} + 2\sqrt {x + 2} – 2x = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt {x – 2} } \right)\left( {\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – 2} \right) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $ x=1,x=2 $

    Bài 13. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left( \sqrt{x+3}-2x \right)\left( \sqrt{x+1}-1 \right)=0 $
    Đáp số. $x=0,x=1$

    Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $
    Đáp số. $x= 1;x=2-\sqrt{2} $

    Bài 15. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
    Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ được $ \left( 1-\sqrt{\frac{4x}{x+3}} \right)^2=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 16. Giải phương trình $ 2 x^2-6x+10-5(x-2)\sqrt{x+1}=0 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    2{(x – 2)^2} + 2(x + 1) – 5(x – 2)\sqrt {x + 1} = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {2(x – 2) – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {(x – 2) – 2\sqrt {x + 1} } \right) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $ x=3,x=8 $

    Bài 17. Giải phương trình $ 4x^2+\sqrt{ 2x+3}=8x+1 $
    Hướng dẫn. $ 4x^2-6x+\frac{9}{4}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^2-2\sqrt{2x+3}+\frac{1}{4}$
    Đáp số. $x= \frac{5-\sqrt{21}}{4},x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} $

    Bài 18. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+x+2}=\frac{x^2+5x+2}{2x+2} $
    Hướng dẫn. Nhân chéo, nhóm thành $$ \left(\sqrt{x^2+x+2}\right)^2-2x\sqrt{x^2+x+2}-2\sqrt{x^2+x+2}+4x=0 $$
    Đáp số. $ x=1,x=-2 $

    Bài 19. Giải phương trình $ 2\sqrt{2x+3}-\frac{3}{x}=x+2 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \frac{1}{x}\left(x-\sqrt{2x+3}\right)^2=0 $
    Đáp số. $x=3$

    Bài 20. $ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[6]{x^5-2x^4+x^3} $
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left(1-\sqrt[3]{x-1}\right)(1-\sqrt{x})=0 $
    Đáp số. $x=1,x=2$

    Bài 21. Giải phương trình $ 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x^2+6x}=2\sqrt{2x}+\sqrt{x^2+4x+3} $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(\sqrt{ x+1}-\sqrt{ 2x}\right)\left(2-\sqrt{x+3}\right)=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 22. Giải phương trình $ 4x\sqrt{x+7}+3x\sqrt{7x-3}=6x^2+2\sqrt{ 7x^2 +46x-21} $
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$ \left(2x-\sqrt{7x-3}\right)\left(2\sqrt{x+7}-3x\right)=0 $$Đáp số. $x=1,x=2,x=\frac{3}{4}$

    Bài 23. Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }}
    \end{array}\] Đáp số. $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$

    Bài 24. Giải phương trình $2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành ${{\left( 1+\sqrt{3+x} \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}$
    Đáp số. $x=1,x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$

    Bài 25. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)^3=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 26. Giải phương trình $\sqrt[4]{x+1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[4]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$
    Đáp số. $x=0, x=1$

    Bài 27. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$Đáp số. $x=0, x=1$

    Bài 28. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
    Hướng dẫn. Sử dụng biến đổi $ a^3-b^3=0 \Leftrightarrow a=b$
    Đáp số. $x=1$

    Bài 29. Giải phương trình $4{{x}^{2}}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$\left( 4{{x}^{2}}-4x\sqrt{x+3}+x+3 \right)\left( 1-2\sqrt{2x-1}+2x-1 \right)=0$$Đáp số. $x=1$

    Bài 30. Giải phương trình $\frac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$
    Đáp số. $ x=1 $

    Bài 31. Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3x+3}+\sqrt{2x}=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2x}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$ Đáp số. $x=0$

  • Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn

    Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn

    Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức

    Thông thường, ý tưởng chung để giải bất cứ một phương trình bậc cao, phương trình vô tỷ là đều qui về các phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

    Trong bài viết này, O2 Education xin giới thiệu phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình chứa căn bậc hai. Cách giải các phương trình chứa căn bậc 2 cơ bản, xin mời bạn đọc xem tại đây Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn.

    Đối với phương pháp biến đổi tương đương, ta thường sử dụng những cách sau:

    1. Biến đổi tương đương bằng bình phương hai vế phương trình (nâng lên lũy thừa)

    Chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình rồi biến đổi, chú ý rằng trước khi bình phương hai vế phải đảm bảo điều kiện cả hai vế không âm. Một số dạng cơ bản (biến đổi tương đương luôn mà không cần tìm điều kiện riêng, vì đưa về hệ đã bao hàm cả điều kiện xác định trong đó rồi):

    • $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $ hoặc $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $
      (Tùy theo mức độ đơn giản của biểu thức $ A $ hay $ B $ mà ta lựa chọn cách biến đổi nào cho dễ dàng nhất)
    • $ \sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B^2 \end{array} \right. $
    • $ \sqrt A \le B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0\\ A \le {B^2} \end{array} \right. $
    • $ \sqrt A \ge B \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A \ge {B^2} \end{array} \right. \end{array} $

    Sau đây, mời các bạn theo dõi một số ví dụ cụ thể.

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}=x-1$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \[ \left\{ \begin{array}{l}
    x – 1 \ge 0\\
    {x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    x = 1
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1. \] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}=\sqrt{-2{{x}^{2}}-3x+12}$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
    {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}.$$

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-\frac{4}{3}. $

    Ví dụ 3. Giải bất phương trình $$x+1\ge \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}$$
    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với

    $$ \left\{ \begin{array}{l}
    x + 1 \ge 0\\
    {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    {x^2} – 2x – 3 \le 0\\
    {x^2} – 1 \ge 0
    \end{array} \right.$$ Từ đó tìm được tập nghiệm là $S=\left[ 1;3 \right]\cup \left\{ -1 \right\}$.

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$2x-5<\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}$$
    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với
    \[ \Bigg[ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 < 0\\ – {x^2} + 4x – 3 \ge 0\end{array} \right. & \left( 1 \right)\\
    \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 \ge 0\\ {\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3 \end{array} \right. & \left( 2 \right)
    \end{array}\]
    Giải từng hệ bất phương trình $ (1) $ và $ (2) $ rồi lấy hợp hai tập nghiệm, được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ 1;\frac{14}{5} \right)$.

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    & {\left( {1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 – x} } \right)^2}\\
    \Leftrightarrow\;& 4\left( {x – {x^2}} \right) – 6\sqrt {x – {x^2}} = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x – {x^2}} \left( {4\sqrt {x – {x^2}} – 6} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    \sqrt {x – {x^2}} = 0\\
    \sqrt {x – {x^2}} = \frac{3}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*}

    Ví dụ 6. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$$
    Hướng dẫn. Điều kiện ${{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 5x + \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2} \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = 1 – 3x
    \end{array} \right. \\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    \frac{1}{3} \ge x\\
    {x^3} + 2x + 1 = {\left( {1 – 3x} \right)^2}
    \end{array} \right. \\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    – 1 \le x \le \frac{1}{3}\\
    x = 0;x = 1;x = 8
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.
    \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x = 0. $

    Đôi khi, việc đặt điều kiện để bình phương khá phức tạp, ta sẽ bình phương để thu được phương trình hệ quả, sau đó thử lại nghiệm. Xét ví dụ sau:
    Ví dụ 7. Giải phương trình $$ \sqrt{1-x}+1-2x^2-2x\sqrt{1-x^2}=0 $$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \[ \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2} \]
    Bình phương thu được phương trình hệ quả, rút gọn được
    \[ x\left(4(1-2x^2)\sqrt{1-x^2}-1\right)=0 \] Giải phương trình này tìm được nghiệm $ x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} $.

    Ví dụ 8. [Đề thi ĐH khối A năm 2004] Giải bất phương trình \[\frac{{\sqrt {2({x^2} – 16)} }}{{\sqrt {x – 3} }} + \sqrt {x – 3} > \frac{{7 – x}}{{\sqrt {x – 3} }}\]
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 4. $ Biến đổi phương trình thành \[\sqrt {2({x^2} – 16)} > 10 – 2x \Leftrightarrow \Bigg[ {\begin{array}{l}
    {\left\{ {\begin{array}{l}
    {{x^2} – 16 \ge 0}\\
    {10 – 2x < 0}
    \end{array}} \right.}\\
    {\left\{ {\begin{array}{l}
    {10 – 2x \ge 0}\\
    {2({x^2} – 16) > {{(10 – 2x)}^2}}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}}\] Từ đó tìm được đáp số $ x > 10 – \sqrt {34}. $

    Ví dụ 9. Giải bất phương trình $$\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}}\le \frac{1}{\sqrt{5-2x}} $$
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in[-2,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},\frac{5}{2}). $ Ta xét hai trường hợp:

    • Với $-2\le x<\frac{1}{2}$ thì $\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}<0$ và $\sqrt{5-2x}>0$, nên bất phương trình đã cho luôn đúng.
    • Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$ thì phương trình đã cho tương đương với $ \sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}\ge \sqrt{5-2x}\Leftrightarrow 2\le x<\frac{5}{2}$

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ -2;\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 2;\frac{5}{2} \right)$

    Ví dụ 10. [Đề thi ĐH khối A năm 2010] Giải bất phương trình
    \[ \dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\ge 1 \]
    Hướng dẫn. Vì $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{x^2+(x-1)^2+1}>1 $ nên $ 1-\sqrt{2(x^2-x+1)}<0 $, do đó bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-\sqrt{x}\le 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} &(1)\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt{2(x^2-x+1)}\le 1-x+\sqrt{x} &
    \end{align*} Lại có $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{2(x-1)^2+2(\sqrt{x})^2}\ge 1-x+\sqrt{x} $. Do đó, bất phương trình $ (1) $ chỉ có thể xảy ra dấu bằng.
    \[ x-\sqrt{x}= 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} \] Từ đó tìm được đáp số: $ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}. $

    2. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về tích

    Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

    • $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
    • $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
    \sqrt {x + 3} – 2x = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*}
    Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = – 1
    \end{array} \right.$$
    Đáp số $ x=0,x=-1. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$

    Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:

    • $ x = 1 $ là nghiệm.
    • $ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
    • $x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.
      \end{itemize}

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
    \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
    \end{align*}
    Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

    3. Phương pháp nhân liên hợp

    Đôi khi, chúng ta còn nhân chia với biểu thức liên hợp để dễ dàng phương trình thành tích các nhân tử là phương trình, bất phương trình chứa căn đơn giản hơn. Riêng phương pháp này, chúng tôi xin hẹn ở một bài viết khác.

    Mời thầy cô và các em xem trong bài viết sau: Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp