Tóm tắt lý thuyết thức bất đẳng thức lớp 10
1. Định nghĩa bất đẳng thức
Cho $a,b$ là hai số thực. Các mệnh đề “a>b”, “a<b”, “a≥b”, “a ≤ b” được gọi là những bất đẳng thức.
- Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng)
- Với $A,B$ là mệnh đề chứa biến thì $A>B$ cũng là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức $A>B$ (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến $A>B$ đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó).
- Khi nói ta có bất đẳng thức $A>B$ mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
2. Tính chất của bất đẳng thức lớp 10
- $\begin{cases} a>b\\ b>c \end{cases}\Rightarrow a>c$
- $a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$
- $\begin{cases} a>b>0\\ c>d >0\end{cases} \Rightarrow ac>bd$
- $\begin{cases} a>b\\ c>d \end{cases} \Rightarrow a+c>b+d$
- Nếu $c>0$ thì $a>b\Leftrightarrow ac>bc$
- Nếu $c<0$ thì $a>b\Leftrightarrow ac<bc$
- $a>b\ge 0\Rightarrow \sqrt{a}>\sqrt{b}$
- $a\ge b\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2n}}\ge {{b}^{2n}}$, với mọi số tự nhiên dương $n$.
- $a>b \Leftrightarrow {{a}^{2n+1}}>{{b}^{2n+1}}$, với mọi số tự nhiên $n$.
3. Các bất đẳng thức thông dụng
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy)
a) Đối với hai số không âm
Cho \(a\ge 0,b\ge 0\), ta có $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$ Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
Hệ quả:
- Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
- Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
b) Đối với ba số không âm.
Cho $a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0$, ta có $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$$ Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\).
Bất đẳng thức Bunhia (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ và $b_1,b_2,\ldots ,b_n$, ta có $$\left(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2\right)\ge \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\right)^2.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}.$
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
- $-\left| a \right|\le a\le \left| a \right|$ với mọi số thực $a$ .
- $\left| x \right|<a\Leftrightarrow -a<x<a$ ( với $a>0$)
- $\left| x \right|>a\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x>a \\ & x<-a \\ \end{align} \right.$ ( với $a>0$)
Bất đẳng thức tam giác
\[|a|+|b| \geqslant |a\pm b| \geqslant \big| |a|-|b|\big|\]
Ngoài ra còn rất nhiều bất đẳng thức khác, mời các bạn xem trong bài Các bất đẳng thức thường sử dụng
