O₂ Education

Tag: đồ thị hàm số

  • Hệ số góc là gì?

    Hệ số góc là gì?

    Hệ số góc là gì?

    Hệ số góc là gì?

    Hệ số góc của đường thẳng $d$ có phương trình $y=ax+b$ chính là hệ số $a$.

    Ví dụ, đường thẳng $y = -x + 4$ thì hệ số góc của nó bằng $-1$, đường thẳng $y=2x$ thì có hệ số góc là $2$.

    • Hệ số góc $a$ được tính bằng $\tan \alpha$ trong đó $\alpha$ chính là góc tạo bởi chiều dương trục $Ox$ và đường thẳng $d$ lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (xem hình vẽ).

    hệ số góc là gì, hệ số góc của đường thẳng là gì

    • Cụ thể hơn, chúng ta gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=ax+b$ với trục $Ox$, $B$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$ và nằm phía trên trục $Ox$. Khi đó $\alpha=\widehat{BAx}$ được gọi là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$.

    Phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc

    Đường thẳng đi qua điểm $M\left ( x_{0};y_{0} \right )$  và có hệ số góc $k$ thì có phương trình là $$y-y_0=k(x-x_{0})$$

    Ví dụ. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;5)$ và có hệ số góc $k=-2$ thì có phương trình $$y-5=-2(x-3)$$ hay $y=-2x-1$.

    Các tính chất của hệ số góc

    • Cho hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a’x+b’$:
      • song song hoặc trùng nhau sẽ có cùng hệ số góc ($a=a’$)
      • cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a’$
      • vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a\cdot a’=-1$
    • Cho đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc là $a$:
      • Nếu $a> 0$ thì góc $\alpha$ là góc nhọn, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
      • Nếu $a<0$ thì góc $\alpha$ là góc tù, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
      • Nếu $a= 0$ thì hàm số là hàm hằng trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

    Xem thêm các dạng toán về đồ thị hàm số bậc nhất Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

    Hệ số góc của đường thẳng $ax+by+c=0$

    Trong hình học lớp 10, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $ax+by+c=0$. Để tìm hệ số góc của đường thẳng này, chúng ta xét các khả năng:

    • Nếu $b\neq 0$ thì ta chuyển đường thẳng về dạng $y=kx+m$ bằng cách chia hai vế cho $b$ $$y=\frac{-a}{b}x-\frac{c}{b}$$ Như vậy, hệ số góc của đường thẳng đã cho là $k=\frac{-a}{b}$.
    • Nếu $b=0$ thì đường thẳng không có hệ số góc. Lúc đó đường thẳng vuông góc với trục hoành $Ox$.

  • Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

    1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

    Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

    Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:

    • Nếu $\Delta’ >0 $ thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là \[y=kx+m,\] trong đó $kx+m$ là phần dư khi chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho $3ax^2+2bx+c$ (tức là phần dư khi chia $y$ cho $y’$).

    Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\).

    Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\]

    Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$.

    Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\)  đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.

    2. Ví dụ minh hoạ

    Đề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\).

    Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

    Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

    Chú ý. Nếu phương trình $y’=0$ có hai nghiệm đẹp thì ta dễ dàng tìm được toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và do đó việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này khá dễ dàng.

    Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng