Hệ số góc của đường thẳng $d$ có phương trình $y=ax+b$ chính là hệ số $a$.
Ví dụ, đường thẳng $y = -x + 4$ thì hệ số góc của nó bằng $-1$, đường thẳng $y=2x$ thì có hệ số góc là $2$.
Hệ số góc $a$ được tính bằng $\tan \alpha$ trong đó $\alpha$ chính là góc tạo bởi chiều dương trục $Ox$ và đường thẳng $d$ lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (xem hình vẽ).
Cụ thể hơn, chúng ta gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=ax+b$ với trục $Ox$, $B$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$ và nằm phía trên trục $Ox$. Khi đó $\alpha=\widehat{BAx}$ được gọi là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$.
Phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
Đường thẳng đi qua điểm $M\left ( x_{0};y_{0} \right )$ và có hệ số góc $k$ thì có phương trình là $$y-y_0=k(x-x_{0})$$
Ví dụ. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;5)$ và có hệ số góc $k=-2$ thì có phương trình $$y-5=-2(x-3)$$ hay $y=-2x-1$.
Các tính chất của hệ số góc
Cho hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a’x+b’$:
song song hoặc trùng nhau sẽ có cùng hệ số góc ($a=a’$)
cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a’$
vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a\cdot a’=-1$
Cho đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc là $a$:
Nếu $a> 0$ thì góc $\alpha$ là góc nhọn, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Nếu $a<0$ thì góc $\alpha$ là góc tù, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Nếu $a= 0$ thì hàm số là hàm hằng trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
Trong hình học lớp 10, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $ax+by+c=0$. Để tìm hệ số góc của đường thẳng này, chúng ta xét các khả năng:
Nếu $b\neq 0$ thì ta chuyển đường thẳng về dạng $y=kx+m$ bằng cách chia hai vế cho $b$ $$y=\frac{-a}{b}x-\frac{c}{b}$$ Như vậy, hệ số góc của đường thẳng đã cho là $k=\frac{-a}{b}$.
Nếu $b=0$ thì đường thẳng không có hệ số góc. Lúc đó đường thẳng vuông góc với trục hoành $Ox$.
