Tag: đường tròn

ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9
ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

I. ĐỀ BÀI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

Dạng 1. Giải hệ phương trình
1. \(\left\{ \begin{align} & x-4y=3 \\ & 2x-y=4 \\ \end{align} \right.\).
2. \(\left\{ \begin{align} & \frac{x+y}{2}=\frac{x-y}{4} \\ & \frac{x}{3}=\frac{y}{5}+1 \\ \end{align} \right.\)
3. \(\left\{ \begin{align} & \left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=xy-1 \\ & \left( x-3 \right)\left( y-3 \right)=xy-3 \\ \end{align} \right.\)
4. \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{2x-1}+\frac{4}{y+5}=3 \\ & \frac{3}{2x-1}-\frac{2}{y+5}=-5 \\ \end{align} \right.\)
5. \(\left\{ \begin{align} & \left| x+5 \right|-\frac{2}{\sqrt{y}-2}=4 \\ & \left| x+5 \right|+\frac{1}{\sqrt{y}-2}=3 \\ \end{align} \right.\)
6. \(\left\{ \begin{align} & \frac{x-1}{2x+1}-\frac{y-2}{y+2}=1 \\ & \frac{3x-3}{2x+1}+\frac{2y-4}{y+2}=3 \\ \end{align} \right.\)
7. \(\left\{ \begin{align} & 2\left( x+2 \right)-3\left( x-3y \right)=4 \\ & 3\left( x+2 \right)+\left( x-3y \right)=6 \\ \end{align} \right.\)
8. \(\left\{ \begin{align} & 2\left( x+y \right)+\sqrt{x+2}=7 \\ & 5\left( x+y \right)-2\sqrt{x+2}=4 \\ \end{align} \right.\)
9. \(\left\{ \begin{align} & 2\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}=4 \\ & 6\sqrt{x-1}-2\sqrt{y+2}=2 \\ \end{align} \right.\)
10. \(\left\{ \begin{align} & \frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 2y-1 \right|}=5 \\ & \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 1-2y \right|}=3 \\
  \end{align} \right.\)
11. \(\left\{ \begin{align} & \frac{x}{\sqrt{2x+3}}-2\sqrt{y+1}=3 \\ & \frac{2x}{\sqrt{2x+3}}+\sqrt{y+1}=4 \\ \end{align} \right.\)
12. \(\left\{ \begin{align} & \frac{2y-5x}{3}+5=\frac{y+27}{4}-2x \\ & \frac{x+1}{3}+y=\frac{6y-5x}{7} \\
  \end{align} \right.\)
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bài 1. Cho hệ phương trình $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x + my = 2m – 1}\\ {mx – y = {m^2} – 2} \end{array}} \right.$$
1. Giải hệ phương trình khi $m=1$.
2. Chứng minh hệ PT có nghiệm duy nhất với mọi $m$.
3. Với $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa $x$, $y$ không phụ thuộc vào $m$.
4. Gọi $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
  1. $\sqrt{2 x+1}=y$
  2. $\left| x \right|=2\left| y \right|$
  3. Biểu thức $P=xy$ đạt giá trị lớn nhất.
  4. $x-y<0$
Bài 2. Cho hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & mx+4y=m+2 \\ & x+my=m \\ \end{align} \right.$$
1. Giải hệ phương trình với $m=-3$
2. Với $\left( x;y \right)$là nghiệm duy nhất hệ phương trình, tìm hệ thức $x;y$ không phụ thuộc vào $m$.
3. Gọi $\left( x,y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
  1. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ iii) Biểu thức $P=x-2{{y}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất
  2. $\left| 1-x \right|+y=3$ iv) $x+y=\frac{2m}{m-4}$
Dạng 3. Giải toán bằng cách lập hệ phương trình.

Em nào chưa nắm vững dạng toán này có thể tham khảo thêm trong bài Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Toán tìm số

Bài 1. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng $19$và tổng các bình phương của chúng bằng $185$.

Bài 2. Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng là $2216$ và nếu lấy số lớn chia cho $9$thì được thương là số kia và dư là $56$.

Bài 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng $13$. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là $25$. Tìm số đã cho.

Bài 4. Tổng ba lần chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là $14$. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là $18$ đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.

Toán làm chung, làm riêng

Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau $1$ giờ $20$ giờ sẽ đầy bể. Nếu để vòi $1$hảy một mình trong $10$phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi $2$chảy trong $12$phút thì cả hai vòi chảy được $\frac{2}{15}$bể. Tính thời gian mỗi vòi chảu một mình đầy bể ?

Bài 2. Để hoàn thành một công việc, hai tổ làm chung và dự kiến hoàn thành sau 6 giờ. Trên thực tế, sau 2 giờ hai tổ làm chung, tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình mà đầy bể?

Toán chuyển động

Bài 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sơm hơn dự định 3 giờ; còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB?

Bài 2. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km. Một lần khác cũng trong 7 giờ ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km.Tính vận tốc nước chảy và vận tốc canô lúc nước yên lặng?

Bài 3. Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5km?

Bài 4. Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(38km\). Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau \(4\) giờ. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai \(2km\).

Toán liên quan tới yếu tố hình học

Bài 1. Một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm \(2m\) và tăng chiều rộng \(3m\) thì diện tích tăng \(100{{m}^{2}}\). Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng \(2m\) thì diện tích giảm \(68{{m}^{2}}\). Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Bài 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là \(720{{m}^{2}}\), nếu tăng chiều dài thêm \(6m\) và giảm chiều rộng đi \(4m\) thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn.

Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(90m\). Nếu giảm chiều rộng đi \(4m\) và giảm chiều dài \(20%\) thì chu vi mảnh đất giảm đi \(18m\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu?

Bài 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(28m\) và độ dài đường chéo bằng \(10m\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Toán phần trăm

Câu 1. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 12%, xí nghiệp 2 vượt mức 10% do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ của mỗi xí nghiệp phải làm.

Câu 2. Hai trường A, B có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10 đạt tỉ lệ trúng tuyển 84%. Biết số học sinh đỗ của trường A chiếm 80%, số học sinh đỗ của trường B chiếm 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.

Câu 3. Trong tuẩn đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ 2, tổ 1 vượt mức 25%, tổ 2 giảm mức 18% nên trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ quần áo. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo?

Dạng 4. Hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$. Phương trình bậc hai một ẩn

Câu 1. Cho hàm số $y={{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x+2$ có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$.
1. Chứng minh $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
2. Hãy xác định tọa độ các giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$.
3. Tính diện tích của tam giác $OAB$ ($O$ là gốc tọa độ).
Bài 2: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$có đồ thị là Parabol (P)
1. Xác định $a$biết Parabol (P) đi qua điểm $M\left( -1;1 \right)$
2. Vẽ đồ thị hàm số $y=a{{x}^{2}}$với $a$vừa tìm được ở câu trên.
3. Cho đường thẳng $\left( d \right):y=2x+3$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$với hệ số $a$ tìm được.
4. Tính diện tích tam giác $AOB$với $A,B$ là các giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$
Bài 3: Cho hàm số $y=-{{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x-2$có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$. Gọi $A,B$là giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$. Tính diện tích tam giác $AOB$

Bài 4: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị là Parabol (P)và đường thẳng $\left( d \right):y=-2x+3$
1. Xác định hệ số $a$ biết rằng $\left( P \right)$đi qua điểm $\left( -2;4 \right)$
2. Gọi $A,B$là hai giao điểm của $\left( P \right),\left( d \right)$, $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác $AHKB$.
Câu 5. Giải phương trình bậc hai
1. (2{{x}^{2}}-3x-5=0\)
2. \({{x}^{2}}-6x+8=0\)
3. \(9{{x}^{2}}-12x+4=0\)
4. \(-3{{x}^{2}}+4x-4=0\)
Câu 6. Cho phương trình \(\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2mx+m-3=0\) (\(m\) là tham số)
1. Giải phương trình với \(m=2\).
2. Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 7. Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m-6=0\) (\(m\) là tham số)
1. Giải phương trình với \(m=-5\).
2. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).
Câu 8. Cho phương trình \(m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3=0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình:
1. Có hai nghiệm phân biệt
2. Có nghiệm kép
3. Vô nghiệm
4. Có nghiệm.
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(\left( P \right):\,y={{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,y=mx+3\).
1. Chứng tỏ \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
2. Tìm tọa độ các giao điểm \(A\,,\,B\) của Parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) khi \(m=2\). Tính diện tích \(\Delta AOB\).
Dạng 5: Góc với đường tròn

Mời các em xem lại kiến thức và bài tập mẫu tại đây:
- Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
- TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
Câu 1. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và điểm \(A\) cố định ngoài đường tròn. Qua \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) tới đường tròn (\(M,N\) là hai tiếp điểm). Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O;R \right)\) tại \(B\) và \(C\)\(\left( AB<AC \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\).
1. Chứng minh năm điểm \(A,M,N,O,I\) thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh \(A{{M}^{2}}=AB.AC\).
3. Đường thẳng qua \(B\)song song với \(AM\) cắt \(MN\) tại \(E\). Chứng minh \(IE\text{//}MC\).
4. Chứng minh khi \(d\) thay đổi quay quanh điểm \(A\) thì trọng tâm \(G\) của tam giác \(MBC\) luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Câu 2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MC\) cắt \(BC\) tại \(E\). Nối \(BM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\), \(AN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\). Lấy \(I\) đối xứng với \(M\) qua \(A\), \(K\) đối xứng với \(M\) qua \(E\).
1. Chứng minh \(BANC\) là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\).
3. Chứng minh \(ABED\) là hình thang.
4. Tìm vị trí \(M\) để đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BIK\) có bán kính nhỏ nhất.
Câu 3. Cho hai số thực $x,\,\,y$thỏa mãn điều kiện \(xy=1\) và $x>y$. Chứng minh rằng $A=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x-y}\ge 2\sqrt{2}$

Câu 4. Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+\frac{y}{\sqrt{{{y}^{2}}+3}}+\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+3}}$

II. LỜI GIẢI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

Mời thầy cô và các em xem trong file sau: DC-GK2-TOAN 9
07/02/2022
TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG

Cung và dây cung có mối liên hệ như thế nào? Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 9. Mời các em cùng tham khảo:
- Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
  1. Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
  2. Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
2. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
  1. Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
  2. Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
4. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
5. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
6. Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O;R \right),\text{ }\left( AB\text{ }<\text{ }BC \right)\). Vẽ dây $BD$ của \(\left( O \right)\) và \(BD\bot OA\). So sánh \(\overset\frown{AD}\) và \(\overset\frown{BC}\).

Lời giải

Ta có $BD\bot OA$ nên $OB=OD$.
Tam giác $ABD$ có $OA$ vừa là đường cao và là đường trung tuyến nên cân tại $A$.
Suy ra $AD=AB$.
Mà $AB<BC$ (gt). Suy ra $AD<BC\Rightarrow \overset\frown{AD}<\overset\frown{BC}$.

Ví dụ 2. Cho \(\left( O;R \right)\) và \(~A,\text{ }B\) thuộc \(\left( O \right)\) sao cho sđ\(\overset\frown{AB}=120{}^\circ \), \(C\)là điểm thuộc \(AB\) sao cho \(AC=R\). Chứng minh rằng \(OC\bot AB\).

Lời giải

Tam giác $OAC$ có $OA=OB=AC=R$ nên là tam giác đều. Suy ra $\widehat{AOC}=60{}^\circ $. Mà sđ\(\overset\frown{AB}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ \).

Suy ra $\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}\Rightarrow $$OC$ là phân giác $\widehat{AOB}$.

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OC$ là phân giác nên cũng là đường cao. Suy ra $OC\bot AB$.

2. BÀI TẬP CUNG VÀ DÂY CUNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN

Bài 6. Cho \(\Delta ABC\)cân tại A nội tiếp \(\left( O;R \right)\), có \(\widehat{A}=80{}^\circ \). So sánh các cung:

\(\overset\frown{AB}\), \(\overset\frown{BC}\),\(\overset\frown{CA}\).

Lời giải

Vì $\Delta ABC$cân tại $A$ nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=50{}^\circ \). Vì $\widehat{BAC}$ chắn \(\overset\frown{BC}\), $\widehat{ABC}$ chắn cung \(\overset\frown{CA}\) và $\widehat{ACB}$ chắn cung \(\overset\frown{AB}\) nên ta có \(\overset\frown{AB}\) = \(\overset\frown{CA}\) ; \(\overset\frown{BC}>\overset\frown{AB}\) ; \(\overset\frown{BC}\) > \(\overset\frown{CA}\).

Bài 7. Cho \(AB\) là dây cung của đường tròn \(\left( O;R \right)\text{ (AB}\ne \text{2R)}\). Vẽ \(OH\bot AB\)tại \(H\). Tia \(OH\) cắt đường tròn \((O)\) ở \(C\). Vẽ dây \(AD\) của (O) và $AD\,\text{//}\,BC$. Chứng minh rằng \(AC=\text{ }BC=\text{ }BD.\)

Lời giải

Nhận thấy $OC$ nằm trên đường kính của đường tròn $\left( O \right)$, mặt khác $OC$ lại đi qua trung điểm $H$của dây cung $AB$ và vuông góc với $AB$. Suy ra $OC$đi qua điểm chính giữa của cung $\overset\frown{AB}$,từ đó suy ra $\overset\frown{AC}=\overset\frown{BC}$. Vì hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên suy ra $AC=BC$ (1) .
Mặt khác trong một đường tròn hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau nên từ $AD\,\text{//}\,BC$ suy ra $AC=BD$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC=\text{ }BC=\text{ }BD.\)

Bài 8. Cho nửa đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$. Các điểm $M,N$ thuộc đường kính $BC$ sao cho $BM=MN=NC$. Các điểm $D,E$ thuộc $\overset\frown{BC}$ sao cho $BD=DE=EC$. Gọi $A$ là giao điểm của $DM$và $EN$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.

Lời giải

Nối $DO$, ta dễ dàng chứng minh được $DOCE$ là hình thoi. Suy ra $DE=OC=R$.
Vì $MN=\frac{BC}{3}=\frac{2R}{3}$ nên ta có $\frac{MN}{DE}=\frac{2R}{3}:R=\frac{2}{3}$.
Mặt khác $MN//DE$ nên $\frac{MA}{DA}=\frac{MN}{DE}=\frac{2}{3}$.
Từ đó suy ra $\Delta MDB\backsim \Delta MCA$ (c.g.c) $\Rightarrow $$AC=2BD=2R$. (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có $AB=2R$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta ABC$có $AB=AC=BC$ nên $\Delta ABC$đều.

Bài 9. Cho nửa đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$, đường kính $AB=4cm$. Dây $CD\,\text{//}\,AB$ ($D$thuộc $\overset\frown{AC}$). Cho biết chu vi của hình thang $ABCD$ bằng $10cm$. Tính độ dài các cạnh của hình thang $ABCD$.

Lời giải

Vì $CD\,\text{//}\,AB$nên $\overset\frown{AD}=\overset\frown{CB}$$\Rightarrow $$AD=CB$. Gọi $AD=CB=x$$\left( x>0 \right)$ thì ta có $CD=10-2x-4=6-2x$.
Từ $D$ và $C$ dựng các đường thẳng vuông góc với $AB$ lần lượt tại $E$ và \(F\).
Suy ra $BF$= $\frac{AB-DC}{2}=\frac{2x-2}{2}$.
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu vào tam giác $ACB$vuông tại $C$ ta có: $AB.BF=B{{C}^{2}}$ $\Leftrightarrow $$4.\frac{2x-2}{2}={{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow $${{x}^{2}}-4x+4=0$$\Leftrightarrow $${{\left( x-2 \right)}^{2}}=0$$\Leftrightarrow $$x=2$.
Suy ra $CD=6-2.2=2cm$.
Vậy $AD=BC=CD=2cm$.

Bài 10. Cho nửa đường tròn \(\left( O;R \right)\) \(\left( AB\ne 2R \right)\), \(I\)là trung điểm của dây \(AB\); tia \(OI\) cắt \(\left( O \right)\)ở \(C\).

a) So sánh \(\overset\frown{AC}\) và \(\overset\frown{BC}\)
b) Vẽ dây \(MN\)qua \(I\). So sánh \(\overset\frown{MN}\) và \(\overset\frown{AB}\)

Lời giải

a) Có \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(AB\) là dây cung \((AB\ne 2R)\). Suy ra \( OI\bot AB\) tại \(I\) (đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Mà: \(OA=OB\)
\(AI=IB\)(gt)
\(OI\bot AB\)(cmt)
\(\Rightarrow OC\)là đường trung trực của \(AB\)
\(\Rightarrow AC=BC\Rightarrow \overset\frown{AC}=\overset\frown{BC}\)
b) Kẻ \(OH\bot MN\)
\(\Rightarrow \Delta OHI\) vuông tại H nên \(OH<OI\) Mà \(OH,OI\) lần lượt là các khoảng cách từ \(O\) đến hai dây \(MN\) và \(AB\) \(\Rightarrow MN>AB\)\(\Rightarrow \overset\frown{MN}>\overset\frown{AB}\)

Bài 11. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nội tiếp \(\left( O\,;\,R \right)\). Qua \(B\) vẽ dây cung \(BD\parallel AC\). Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Lời giải

Xét đường tròn \((O)\) có
- \(BD\parallel AC\)(gt)
- \(AC\bot AB\)( vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))
\(\Rightarrow BD\bot AB\Rightarrow \widehat{ABD}=90{}^\circ \)

Xét \(\Delta BCD\) có \(D\in (O)\)

Suy ra \(\Delta BCD\) vuông tại \(D\). Do đó, \(BD\bot DC\Rightarrow \widehat{BDC}=90{}^\circ \)

Xét tứ giác \(ABCD\) có:
\(\begin{align}
& \widehat{ABD}=90{}^\circ \\
& \widehat{BDC}=90{}^\circ \\
& \widehat{BAC}=90{}^\circ \\
\end{align}\)
\(\Rightarrow \)Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật

Bài 12. Cho điểm \(A\) cố định nằm trong đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$ $\left( A\ne O \right)$. \(BC\) là dây cung di động qua \(A\). Xác định vị trí của dây \(BC\) để cung \(BC\) nhỏ nhất.

Lời giải

Giả sử dây \(BC\)đi qua \(A\)và \(BC\bot OA\)tại \(A\)
Vẽ dây cung \(MN\) đi qua \(A\) \(\left( M,N\ne B,C \right)\)
Kẻ \(OH\bot MN\)
Xét \(\Delta OHA\) vuông tại \(H\)\(\Rightarrow OA>OH\)\(\Rightarrow d(O,BC)>d(O,MN)\Rightarrow BC<MN\)
Vậy dây \(BC\)nhỏ nhất khi đi qua \(A\)là dây vuông góc với \(OA\)
07/02/2022
Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn là một kiến thức hình học quan trọng của lớp 9, thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Mời các em tham khảo thêm một số dạng toán thường xuất hiện trong kì thi vào 10:
1. Lý thuyết góc ở tâm, số đo cung

Góc ở tâm là gì?

Trong đường tròn, góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

$\widehat{AOB}$: góc ở tâm của $\left( O \right)$

Số đo cung trong đường tròn

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó $\left( \widehat{AOB}=sđ\overset\frown{AB} \right)$.
1. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ $ và số đo của cung nhỏ.
2. Số đo của nửa đường tròn bằng $180^\circ $.
Chú ý: Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^\circ $, cung lớn có số đo lớn hơn $180^\circ $.

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
1. Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
2. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$ thì $$sđ\overset\frown{AB}=sđ\overset\frown{AC}+sđ\overset\frown{CB}$$

Ví dụ. Cho đường tròn $\left( O\,;R \right)$, trên$\left( O \right)$ lấy các điểm $A,\,B,\,C$sao cho $AB=R$, $BC=R\sqrt{2}$, tia $BO$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BC$.
1. Tính số đo $\widehat{BOC}$.
2. Tính số đo các cung $\overset\frown{AB}\,,\,\overset\frown{AC},\,\overset\frown{BC}$.
3. Cho điểm $D$ là điểm nằm trên cung lớn $AC$sao cho $sđ\overset\frown{CD}=120^\circ $. Tính số đo cung $AD$.
Lời giải

a) Xét \(\Delta OBC\) cân tại $O$ ($OB=OC=R$), ta có #$CB^{2}={{\left( R\sqrt{2} \right)}^{2}}=2{{R}^{2}};\,\,O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}={{R}^{2}}+{{R}^{2}}=2{{R}^{2}}$$ Suy ra $O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta OBC$ vuông cân tại $O$.

Như vậy $\widehat{COB}=90^\circ $.

b) Ta có $\widehat{COB}=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{CB}=90^\circ $
Tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{AOB}=60^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AB}=60^\circ $
$\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=150^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AC}=150^\circ $.

c) $\widehat{DOA}=360^\circ -\left( \widehat{AOC}+\widehat{COD} \right)=360^\circ -\left( 150^\circ +120^\circ \right)=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{DA}=90^\circ $.

2. Bài tập Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

Bài 1. Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat{A}=70^\circ \). Vẽ đường tròn \(\left( A;AB \right)\), \(D\) là điểm trên \(\left( A \right)\) sao cho sđ\(\overset\frown{CD}=30^\circ \). Tính số đo \(\widehat{BAD}\).

Lời giải

TH1: Điểm $D$ nằm trong cung lớn $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{1}}$
\(\widehat{BA{{D}_{1}}}=\widehat{BAC}+\widehat{CA{{D}_{1}}}=70^\circ +30^\circ =100^\circ \)
TH2: Điểm $D$ nằm trong cung nhỏ $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{2}}$
\(\widehat{BA{{D}_{2}}}=\widehat{BAC}-\widehat{{{D}_{2}}AC}=70^\circ -30^\circ =40^\circ \)

Bài 2. Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(OA=2R\). Vẽ \(AB,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\). Tính sđ\(\overset\frown{BC}\), độ dài cạnh \(BC\) theo \(R\).

Lời giải

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $B$ có $AO=2BO$ nên $\widehat{OAB}=30^\circ,\,\,\widehat{AOB}=60^\circ $
$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{BOA}=60^\circ \Rightarrow \widehat{BOC}=120^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{BC}=120^\circ $.

Bài 3. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(AB\) là dây cung \(\left( AB\ne 2R \right)\). Trên cung nhỏ \(AB\) lấy các điểm \(E,\,F\)sao cho \(\overset\frown{AE}=\overset\frown{EF}=\overset\frown{FB}\). Bán kính \(OE,\,OF\) cắt \(AB\) lần lượt tại \(C\) và \(D\). Chứng minh rằng \(AC=BD>CD\).

Lời giải

Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OBD}$.
Khi đó: $\widehat{OAC}=\widehat{OBD};OA=OB;\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$
\(\Rightarrow \Delta OCA=\Delta ODB\,\)(g-c-g).
$\Rightarrow AC=BD$.
Xét $\Delta OBC$ có phân giác $OD$ $\Rightarrow \frac{OC}{OB}=\frac{DC}{DB}$.
Mà $OC<OB\Rightarrow CD<BD$.

Bài 4. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(AB\) là dây cung \(\left( AB\ne 2R \right)\). Trên dây \(AB\) lấy hai điểm \(C\) và \(D\) sao cho \(AC=CD=DB\). Vẽ bán kính \(OE\) qua \(C\), bán kính \(OF\) qua \(D\). Chứng minh rằng:
a) \(\overset\frown{AE}=\overset\frown{BF}\).
b) \(\overset\frown{AE}<\overset\frown{EF}\).

Lời giải

a) Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}$.
Khi đó: $AC=BD;\widehat{A}=\widehat{B};OA=OB\Rightarrow \Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOD}$.

b) Từ câu a ta có $\Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow OC=OD$$\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại $O$.
khi đó $\widehat{CDO}<90^\circ \Rightarrow \widehat{CDF}>90^\circ $ ($\widehat{CDF}+\widehat{CDO}=180^\circ $)
$\Rightarrow CF>CD$ hay $CF>AC$ ($AC=CD$).
Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OCF$ có $OA=OF$; $OC$ chung và $CF>AC$ $\Rightarrow \widehat{COF}>\widehat{COA}$.

Bài 5. Cho \(\Delta ABC\) đều. Về phía ngoài \(\Delta ABC\) vẽ nửa đường tròn\(\left( O \right)\) đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\)lấy các điểm \(M,\,N\) sao cho \(\overset\frown{BM}=\overset\frown{MN}=\overset\frown{NC}\), \(AM\) và \(AN\) cắt \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Chứng minh: \(BE=BF=FC\).
Lời giải
$OB=OM;\widehat{BOM}=60^\circ $ $\Rightarrow \Delta OBM$ đều.
$AB=AC;\widehat{ABM}=\widehat{ACN}=120^\circ ;BM=CN$$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$(c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAN}$.
$\widehat{BAE}=\widehat{CAF};AB=AC;\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=60^\circ \Rightarrow \Delta ABE=\Delta ACF$ (g-c-g)
$\Rightarrow BE=CF$ (1).

$\Delta OBM$ đều nên $AC=2BO=2BM\Rightarrow \frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$.
Xét $\Delta EBM;\Delta ECA$ có $\widehat{BEM}=\widehat{CEA};\widehat{MBE}=\widehat{ACE}=60^\circ $
$\Rightarrow \Delta EBM\backsim \Delta ECA$$\Rightarrow \frac{EB}{EC}=\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$; $BE=CF$
$\Rightarrow BE=EF$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $BE=EF=FC$.
07/02/2022
Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị
Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

Sử dụng sự tương giao của đường tròn và đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chúng ta có thể dễ dàng Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số.

Xem thêm:
- Toán 10 – Mệnh đề toán học
- Toán 10 – Tập hợp và các phép toán tập hợp
1. Lý thuyết biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

Nhắc lại rằng, đối với hệ phương trình hai ẩn, hệ bất phương trình hai ẩn $ x,y$ thì mỗi nghiệm của nó là một cặp số $ (x;y)$ thỏa mãn hệ đã cho. Mỗi cặp số $ (x;y)$ này chính là tọa độ của một điểm ở trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$.
Để biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình đã cho, chúng ta biểu diễn các phương trình, bất phương trình của hệ bởi những đường thẳng, đường tròn hoặc miền mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng. Khi đó, số nghiệm của hệ phương trình, của hệ bất phương trình chính bằng số điểm chung của các đường thẳng và đường tròn này.
- Trong mặt phẳng $ Oxy$, phương trình đường thẳng có dạng tổng quát $$ ax+by+c=0 $$
- Phương trình đường tròn tâm $ I(a,b)$ bán kính $ R$ là $$ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 $$
- Khoảng cách từ điểm $ M(x_0;y_0)$ tới đường thẳng $ \Delta:ax+by+c=0$ là
  $$ d(M,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
- Vị trí tương đối của đường thẳng $ \Delta$ và đường tròn tâm $ I$, bán kính $ R$:
  - có một điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)=R$
  - có hai điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)<R$
  - có không điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)>R$
2. Các ví dụ Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

Bài 1: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {y^2} – 2x \le 2&(1)\\
x – y + a = 0&(2)
\end{array} \right.$$
Lời giải: Ta có bất phương trình (1) tương đương với $$ {(x – 1)^2} + {y^2} \le 3$$ Bất phương trình này biểu diễn hình tròn $ (C)$ có tâm $ I(1;0)$ bán kính $R=\sqrt 3 $ trên mặt phẳng tọa độ $ Oxy$. Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng $ \Delta:x-y+a=0$. Để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng phải tiếp xúc với đường tròn. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
\begin{align*}
d\left( {I,\Delta } \right) &= R\\
\Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 0 – a} \right|}}{{\sqrt 2 }}& = \sqrt 3
\end{align*}
Giải hệ này, tìm được đáp số $ a = – 1 – \sqrt 6 ;a = – 1 + \sqrt 6 $.

Bài 2: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + \sqrt {2xy + m} \ge m\\
x + y \le 1
\end{array} \right.$$

Lời giải: Hệ bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2xy + m} \ge 1 – \left( {x + y} \right)\\
x + y \le 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
2xy + m \ge {\left( {1 – \left( {x + y} \right)} \right)^2}\\
x + y \le 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{lr}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le m + 1&\left( 3 \right)\\
x + y \le 1&\left( 4 \right)
\end{array} \right.
\end{align*}
- Với $m+1 \le 0$ hay $m \le -1$ thì hệ vô nghiệm.
- Với $ m+1 > 0$ hay $ m>-1$, thì bất phương trình (3) biểu diễn hình tròn $ (C)$ có tâm $ I(1;1)$ và bán kính $R=\sqrt {m + 1} $ trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Bất phương trình (4) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $ x+y=1$. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng $ x+y=1$ tiếp xúc với đường tròn $ (C)$. Điều kiện cần và đủ là
  $$d(I,\Delta)=R \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {m + 1} \Leftrightarrow m = – \frac{1}{2}$$
Bài 3: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm: $$\left\{ \begin{array}{l}
4x – 3y + 2 \ge 0\\
{x^2} + {y^2} = a
\end{array} \right.$$
Lời giải:
- Nếu $ a\le 0$ hệ vô nghiệm.
- Nếu $ a> 0$ thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn bởi bất phương trình $4x-3y+2 \le 0$ và đường tròn tâm $ O(0;0)$ bán kính $R=\sqrt a $. Do đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi $$\sqrt a \ge OH \Leftrightarrow a \ge \frac{4}{{25}},$$ trong đó, $ H$ là chân đường vuông góc hạ từ $ O$ xuống đường thẳng $ 4x-3y+2= 0$.
Bài 4: Cho hệ bất phương trình $$\left\{ \begin{array}{lr}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le 2&(5)\\
x – y + m = 0&(6)
\end{array} \right.$$
Xác định $ m$ để hệ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$.

Lời giải: Tập hợp các điểm $ (x;y)$ thỏa mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường tròn $${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2$$
Đường tròn này có tâm $ I(1;1)$ và bán kính $R = \sqrt 2 $. Tập hợp các điểm $ (x;y)$ thỏa mãn (6) là các điểm nằm trên đường thẳng $\Delta $ có phương trình $x-y+m=0.$
Gỉa sử điểm $A \in \Delta $ sao cho ${x_A} = 0$ thì tọa độ của $ A$ là $ (0;m)$; $B \in \Delta $ sao cho ${x_B} = 2$ thì $ B(2;2+m)$.

Hệ có nghiệm với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$ khi và chỉ khi đoạn thẳng $ AB$ nằm trong đường tròn $ (I;R)$. Lúc đó
$$\left\{ \begin{array}{l} IA \le R\\ IB \le R
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {0 – 1} \right)^2} + {\left( {m – 1} \right)^2} \le 2\\
{\left( {2 – 1} \right)^2} + {\left( {2 + m – 1} \right)^2} \le 2
\end{array} \right. $$
Giải hệ này tìm được $ m = 0$

Bài 5: Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {y^2} – x = 0&(7)\\
x + ay – a = 0&(8)
\end{array} \right.$$
Tìm $ a$ để hệ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải: Phương trình (7) tương đương với $$ {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$$
Đây là một đường tròn tâm $I\left( {\frac{1}{2};0} \right)$ bán kính $R=\frac{1}{2}$. Tập nghiệm của phương trình (8) là tọa độ những điểm nằm trên đường thẳng $ x+ay-a=0$. Họ đường thẳng này luôn di qua điểm $ A(0;1)$ cố định.
Nhận xét điểm $ A$ nằm ngoài đường tròn $ (I;R)$, nên từ $ A$ kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn $ (I;R)$.

Phương trình tiếp tuyến đó là: $ x=0$ và $x + \frac{4}{3}y – \frac{4}{3} = 0$.

Để hệ có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng $ x+ay-a=0$ phải cắt đường tròn (I;R) tại hai điểm phân biệt. Vậy đường thẳng $ x+ay-a=0$ phải nằm giữa hai tiếp tuyến trên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $0 <a < \frac{4}{3}$.

Bài 6: Tìm $ m$ để phương trình sau có nghiệm: $$\sqrt {1 – {x^2}} = m – x$$
Lời giải: Đặt $y = \sqrt {1 – {x^2}} $, điều kiện$y \ge 0$ thì phương tương đương với hệ bất phương trình
$$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {y^2} = 1&(2)\\
x + y – m = 0&(3)
\end{array} \right.$$
Gọi hai đường thẳng song song với đường thẳng $ d:x+y-m=0$ và tiếp xúc với đường tròn $ {x^2} + {y^2} = 1$ là $d_1, d_2$. Chúng ta viết được phương trình của chúng là $$ x+y-1=0,\, x+y+\sqrt{2}=0 $$

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng $ d$ phải nằm giữa hai đường thẳng $ d_1$ và $ d_2$. Điều kiện cần và đủ là
$ – 1 \le m \le \sqrt 2 $.

Bài 7: Tìm GTLN của hàm số: $$y = x + \sqrt {a – {x^2}} (a > 0)$$

Lời giải: Đặt $t = \sqrt {{a^2} – {x^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {t^2} = {a^2}$ và $ x+t-y=0$. Chúng ta cần tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm
$$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {t^2} = {a^2}&(1)\\
x + t – y = 0&(2)
\end{array} \right.$$

Bài 8: Hãy biện luận số nghiệm của hệ sau theo $ m$. $$\left\{ \begin{array}{lr}
x + y = 4(1)&\\
{x^2} + {y^2} = {m^2}&(2)
\end{array} \right.$$

Lời giải.
- Nếu $ m=0$ thì hệ vô nghiệm.
- Nếu $m \ne 0$ thì số nghiệm của hệ chính bằng số giao điểm của đường tròn ${x^2} + {y^2} = {m^2}$ và đường thẳng $\Delta 😡 + y = 4$
  Điều kiện cần và đủ là $$ d(O,\Delta)= \frac{{\left| { – 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 $$
Vậy ta có:
- Nếu $\left| m \right| < 2\sqrt 2 $ hệ vô nghiệm.
- Nếu $m = \pm 2\sqrt 2 $ thì hệ có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2\\ y = 2 \end{array} \right.$
- Nếu $\left| m \right| > 2\sqrt 2 $ thì hệ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Tìm $ a$ để bất phương trình sau có nghiệm $$\sqrt {a – x} + \sqrt {x + a} > a(a > 0)$$
Lời giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \sqrt {a + x} \\
v = \sqrt {a – x}
\end{array} \right.$ với điều kiện $u,v \ge 0$. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
$$\left\{ \begin{array}{lr}
u + v > a&(1)\\
{u^2} + {v^2} = 2a&(2)
\end{array} \right.$$
Làm tương tự các bài toán trước, đáp số là $ 0 < a < 4$.
13/07/2020