dàn âm thanh hội trường, âm thanh lớp học, âm thanh phòng họp, loa trợ giảng

Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

Bài viết này tổng hợp các dạng toán về căn bậc hai trong chương trình Toán 9. Gồm các dạng toán sau:

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ
  • Khái niệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$,
  • Các phép tính về căn thức bậc hai,
  • Các phép biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai,
  • Phương trình chứa căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết các bài tập sẽ được cập nhật sau, mời thầy cô và các em học sinh đón đọc.

Xem thêm Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

Đối với các em học sinh lớp 10, xin mời xem bài Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

1: CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

Bài 1: Viết các biểu thức sau thành nhân tử:

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

a) $36{{x}^{2}}-5$
b) $25-3{{x}^{2}}$
c) $x-4$ với $x>0$
d) $11+9x$ với $x<0$
e) $31+7x$ với $x<0$

Bài 2: So sánh các số sau:

a) $1+\sqrt{2}$ và $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
b) $5+\sqrt{3}$ và $\sqrt{34-10\sqrt{3}}$
c) $\frac{1}{\sqrt{15}}$ và $\frac{1}{4}$
d) $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ và $\frac{1}{\sqrt{37}}$

Bài 3: Rút gọn biểu thức $$\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 4: Chứng minh đẳng thức $$\left( \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}} \right)-\left( \sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}} \right)=0$$

Bài 5: Giải phương trình:

a) $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}=6$
b) $\sqrt{4+4x+{{x}^{2}}}=x-2$

Bài 6:

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $y = \sqrt { – {x^2} + 2x + 2} $.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = 5 + \sqrt {2{x^2} – 8x + 9} $
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 10} $

2: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI

Bài 1: Giải các phương trình:

a) $\dfrac{{\left( {5 – x} \right)\sqrt {5 – x} + \left( {x – 3} \right)\sqrt {x – 3} }}{{\sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 3} }} = 2$
b) $\sqrt {x – 5} – \dfrac{{x – 14}}{{3 + \sqrt {x – 5} }} = 3$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của $$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$$ Từ đó giải phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}={{x}^{2}}-6x+11$$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 3: Tính:

a) $\dfrac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}$
b) $\left( 7\sqrt{3}-3\sqrt{7} \right):\sqrt{21}$
c) $\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ với $x>0;y>0;x\ne y$
d) $\left( x-2y \right)\sqrt{\dfrac{xy}{{{\left( x-2y \right)}^{2}}}}$ với $xy\ge 0$

Bài 4: Rút gọn các biểu thức:

A=$\sqrt{2}\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)$
B=$\sqrt{2-\sqrt{3}}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 5: So sánh các sốsau đây:

a) $2+\sqrt{3}$ và $\sqrt{5+4\sqrt{3}}$
b) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{15}}$
c) $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$ với $0$

Bài 6: Rút gọn biểu thức:
$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Bài 7: Rút gọn biểu thức:
$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 8: Giải phương trình: $\sqrt {x – \frac{1}{x}} + \sqrt {1 – \frac{1}{x}} = 0$

Bài 9: Cho biểu thức $$A=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$$

a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $A$ có nghĩa.
b) Tìm GTLN và GTNN của $A$.

Bài 10: Tính: $$X=\frac{{{\left( \sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}} \right)}^{2}}}{\sqrt{29+8\sqrt{13}}}$$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M=\sqrt {{x^2} – 4x + 4} + x – 3$$

3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Bài 1: Tính:

a) $\sqrt{125}-4\sqrt{45}+3\sqrt{20}-\sqrt{80}$
b) $2\sqrt{\frac{27}{4}}-\sqrt{\frac{48}{9}}-\frac{2}{5}\sqrt{\frac{75}{16}}$
c) $\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}$ với $x>0;y>0$

Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

a) $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$
b) $\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}}$
c) $\sqrt{{{a}^{3}}b}+\sqrt{a{{b}^{3}}}+\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}}$

Bài 3: Giải các phương trình:

a) $\sqrt{4x-8}+5\sqrt{x-2}-\sqrt{9x-18}=20$
b) $5\sqrt{x-1}-\sqrt{36x-36}+\sqrt{9x-9}=\sqrt{8x+12}$

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
b) $\dfrac{2}{2\sqrt{2}-1}$
c) $\dfrac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$
d) $\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Bài 5: Cho biểu thức: $$\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{a}^{3}}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}+\sqrt{ax} \right)\left( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} \right)$$ Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức.

Bài 6: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $\left( 2-a \right)\sqrt{\frac{2a}{a-2}}$ với $a>2$
b) $\left( x-5 \right)\sqrt{\frac{x}{25-{{x}^{2}}}}$ với $0<x<5$
c) $\left( a-b \right)\sqrt{\frac{3a}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}$ với $0<a<b$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 7: Tính:

a) $\left( 3-\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3+\sqrt{5}} \right)+\left( 3+\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)$
b) $\left( 2\sqrt{8}+3\sqrt{5}-7\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{72}-5\sqrt{20}-2\sqrt{2} \right)$

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:

$A=\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ với $x=6+4\sqrt{2};y=5-2\sqrt{6}$
$B=\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ với $a,b\ge 0;a\ne b$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 9: Giải các phương trình:

a) $\sqrt {4x + 12} + \sqrt {x + 3} – \frac{1}{4}\sqrt {16x + 48} = 6$
b)$\sqrt {20x} – 3\sqrt {5x} = 10 – \sqrt {45x} $
c) $\sqrt {{x^2} – 3x – 2} = x – 2$
d) $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}=3$
e) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$

Bài 10: Cho biểu thức: $$A=\left( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1+x} \right)\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}-\frac{1}{x} \right)$$

a) Tìm điều kiện để biểu thức $A$ xác định.
b) Rút gọn biểu thức $A$.
c) Tính giá trị của $A$ khi $x=\frac{1}{2}$, $x=-\frac{1}{2}$.

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của $$A=\sqrt{x-2011}+\sqrt{2012-x}$$

Bài 12: Đơn giản biểu thức $$M=\frac{\sqrt{a}+1}{a\sqrt{a}+a+\sqrt{a}}:\frac{1}{{{a}^{2}}-\sqrt{a}}$$ với $a>0\ne 1$.

4: BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC BA.

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}$
b) $\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{-54}-\sqrt[3]{128}$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 2: Giải các phương trình:

a) $\left( 2\sqrt[3]{x}+5 \right)\left( 2\sqrt[3]{x}-5 \right)=-21$
b) $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x-2} \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4$

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4}}$
b) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{5}}$
c) $\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{5}}$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{21}$; $3-\sqrt[3]{3}$; $\sqrt[3]{{{a}^{2}}x}+\sqrt[3]{{{b}^{2}}x}$
b) $\sqrt[3]{6{{a}^{2}}b}-\sqrt[3]{9a{{b}^{2}}}$; $a-b-\sqrt[3]{a-b}$
c) $\sqrt[3]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}-\sqrt[3]{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$

Bài 5: So sánh các số sau:

a) $2\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{25}$
b) $2\sqrt[3]{3}$ và $3\sqrt[3]{2}$
c) $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ và $2\sqrt{5}$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:

a) A=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}}$
b) B=$\sqrt[3]{72-32\sqrt{5}}.\sqrt{7+3\sqrt{5}}$

Bài 7: Chứng minh các đẳng thức:

a) $\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25} \right)\left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5} \right)=7$
b) $\left( \sqrt[3]{{{m}^{2}}}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{{{n}^{2}}} \right)\left( \sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n} \right)=m-n$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 8: Rút gọn các biểu thức:

a) $\dfrac{a}{2}\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\dfrac{b}{3{{a}^{2}}}\sqrt{\dfrac{15a}{{{b}^{2}}}}-\dfrac{4a}{5b}\sqrt[3]{\dfrac{b}{2{{a}^{2}}}} \right):\dfrac{2{{a}^{3}}}{15{{b}^{2}}}\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{2b}}$
b) $\left[ \left( \dfrac{1}{a}-\sqrt[6]{\dfrac{1}{a}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right)+\left( \dfrac{a}{{{a}^{2}}}\sqrt[6]{{{a}^{5}}}-\dfrac{3}{a}\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right) \right]a\sqrt[3]{a}$
c) $\sqrt{{{a}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{2}}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}$

Bài 9: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}+1}$
b) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}}$
c) $\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{4}}$
d) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Bài 7: Cho $a, b, c$ là các số thực dương, từng đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$
b) $\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 9abc$

Bài 8: Rút gọn biểu thức $$\frac{a+b}{a-b}\sqrt[3]{\frac{a{{\left( a-b \right)}^{6}}}{{{\left( a+b \right)}^{3}}}}$$

5: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn, còn được gọi là phương trình chứa căn thức.

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{7-x}=2$
b) $3{x^2} + 21x + 18 + 2\sqrt {{x^2} + 7x + 7} = 2$
c) $\dfrac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{x} = 2$
d) $\sqrt{81{{\left( 2-x \right)}^{2}}}-3=0$
e) $\dfrac{1}{11}\left( 17-3\sqrt{x-1} \right)=\dfrac{1}{15}\left( 23-4\sqrt{x-1} \right)$
f) $\sqrt {2 – y} = \sqrt {4 + y} $
g) $\sqrt {{z^2} – 1} = 1 – z$
h) $\sqrt {4 – 2z – {z^2}} = z – 2$
i) $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$
k) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}=4-2x$
l) $\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=1$
m) $2\sqrt[3]{2x-1}={{x}^{3}}+1$
n) $\sqrt[3]{\dfrac{{{x}^{3}}-3x-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2}}=2-\sqrt{3}$
o) $\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}=1$
p) $\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}=2$
q) $\sqrt{{{x}^{2}}-3x+5}=\sqrt{x+5}$
r) $2\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=3$
s) $\dfrac{\sqrt{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}}{\sqrt{x-1}}=x-2$


Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *