Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Xem thêm:

• Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số
• Đề cương ôn tập Toán 10 Giữa kì 1 năm 2020

1. Hàm số chẵn hàm số lẻ là gì?

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathcal{D}. $

• Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  • Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  • $ f(-x)=f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
• Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  • Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  • $ f(-x)=-f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $

Chú ý:

• Một tập $\mathcal{D}$ thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $ được gọi là một tập đối xứng.
• Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng (ví dụ hàm số $y=x^2$ là hàm số chẵn); đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng (ví dụ hàm số $y=x$ là hàm số lẻ).

• Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

2. Các ví dụ Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số được thực hiện qua 3 bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Kiểm tra
   • Nếu $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$ thì chuyển qua bước tiếp theo.
   • Nếu $ \exists x_0\in \mathbb{D} $ mà $ -x_0\not\in \mathbb{D}$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
3. Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$ để kết luận:
   • Nếu $f(-x) = f(x)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
   • Nếu $f(-x)=-f(x)$ thì kết luận hàm số là lẻ.
   • Nếu tồn tại một giá trị  $ x_0\in \mathbb{D}$ mà $f(-x_0)\ne \pm f(x_0)$ thì kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = f(x) = x^3 + x$.

Lời giải. 

• TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
• Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn)
• Với mọi  $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -( x^3 + x)= -f(x).$$ Kết luận: Hàm số $y = f(x) = x^3 + x$ là hàm số lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = x^4 + 2$.

Lời giải.

• TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
• Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn).
• Với mọi  $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^4+2 = x^4+2=f(x).$$ Suy ra, hàm sốđã cho là hàm số chẵn.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=\sqrt{x+1}+2$.

Lời giải.

• Điều kiện xác định: $$x+1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -1$$ Suy ra, TXĐ: $\mathcal{D}= [-1; +\infty)$$
• Tập $\mathcal{D} $ này không thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$. Thật vậy, xét số $x_0=5$ thuộc vào $\mathcal{D}$ nhưng $-x_0$ là $-5$ lại không thuộc $\mathcal{D}$.
• Kết luận: Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Ví dụ 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$.

Hướng dẫn.

• Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5]$.
• Với mọi $x \in  [-5;5]$ ta có $-x \in [-5;5]$.
• Có $f(-x)=\sqrt{(-x)+5}+\sqrt{5-(-x)}=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=f(x)$.
• Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$.

Hướng dẫn.

• Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5)$.
• Với mọi $x \in  [-5;5]$ thì ta không có $-x \in [-5;5]$. Thật vậy, xét một số $x_0=-5\in [-5;5)$ nhưng $-x_0=-(-5)=5$ lại không thuộc $[-5;5)$.
• Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.

3. Bài tập Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Bài 1. Hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ, vì sao”

1. $ f(x)=x+\frac{1}{x}$
2. $ f(x)=\frac{1}{|x|+1}+x^2$
3. $ f(x)=\sqrt{x-3}+5$
4. $ f(x)=x^4+x^6+|x|$
5. $ f(x)=|x-2|$

Bài 2. Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

1. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
2. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
3. $f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}.$
4. $f\left( x \right)=\frac{x-5}{x-1}.$
5. $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
6. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}.$
7. $f(x)=\frac{\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|}{\left| 2x-1 \right|+\left| 2x+1 \right|}.$
8. $f(x)=\frac{\left| x+2 \right|+\left| x-2 \right|}{\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|}$

Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$$

Bài 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1}} $$

Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x+2} $$

Bài 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x} $$

Bài 7. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}} $$

Bài 8. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:

• Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
• Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

Bài 9. Tìm $m$ để hàm số: $y=f\left( x \right)$ $=\frac{x\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.

Bài 10. Chứng minh rằng với hàm số $f(x)$ bất kỳ, $ f(x)$ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.