Mời thầy cô và các em học sinh tham khảo 50 đề Toán 12 học kì 2 file word chương trình GDPT 2018 theo cấu trúc mới của BGD. Tham khảo thêm 50 đề Toán 12 học kì 1 chương trình mới file word
Tag: toán 12
-
50 đề Toán 12 học kì 1 chương trình mới file word
Mời thầy cô và các em học sinh tham khảo 50 đề Toán 12 học kì 1 chương trình GDPT 2018 theo cấu trúc mới file word. Tham khảo thêm 50 đề Toán 12 học kì 2 file word cấu trúc mới
-
Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
1. Khái niệm sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Để có kế hoạch, định hướng đúng đắn trong cuộc sống nhiều khi chúng ta phải biết được tốc độ tăng trưởng của một đại lượng nào đó, ví dụ, thị trường chứng khoán TQ mới bị khủng hoảng, suy thoái mà nếu theo dõi các bảng tin thời sự, tin tài chính ta sẽ thấy chỉ số của các sàn giao dịch được mô tả bằng các đường gấp khúc; theo chiều từ trái qua phải, nếu hướng lên là tăng, hướng xuống là giảm… (hoặc các biểu đồ giá vàng, USD, theo dõi nhiệt độ của các bệnh nhân, lượng mưa của một địa điểm, tốc độ tăng trưởng GDP, nợ công của VN…)
- Hàm số $ y=f(x) $ được gọi là tăng (đồng biến) trên $ \mathbb{K} $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in \mathbb{K} $: $$x_1<x_2 \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2) $$
- Hàm số $ y=f(x) $ được gọi là giảm (nghịch biến) trên $ \mathbb{K} $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in \mathbb{K} $: $$x_1<x_2 \Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2) $$
2. Định lý về tính đơn điệu của hàm số
2.1. Mối quan hệ giữa đạo hàm và tính đồng biến nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{K} $:
- Nếu $ f'(x)>0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ thì hàm số $ f(x) $ đồng biến trên $ \mathbb{K}. $
- Nếu $ f'(x)<0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ thì hàm số $ f(x) $ nghịch biến biến trên $ \mathbb{K}. $
- Nếu $ f'(x)=0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ thì hàm số $ f(x) $ không đổi (là hàm hằng) trên $ \mathbb{K}. $
Em nào quên cách tính đạo hàm của hàm số, có thể xem lại tại Tính đạo hàm của hàm số
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số $ y=3x+1 $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số $ y=-x^3-5x $ nghịch biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $ y = 2x + \cos x $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $ y=x^2-3x+1 $.
Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: $ y = -x^3 + 3x^2 $, $ y = \frac{{x + 1}}{{2x-3}} $?
Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số $ y=\frac{4}{3}x^3-2x^2+x-3. $
Hướng dẫn. Bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ sau:
Như vậy, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $ (-\infty,\frac{1}{2}) $ và $ (\frac{1}{2},+\infty) $. Nhưng tại $ x=\frac{1}{2} $ hàm số liên tục, nên ta có thể gộp lại, kết luận rằng hàm số đồng biến trên toàn bộ tập $ \mathbb{R}. $
Chú ý.
- Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{K} $:
- Nếu $ f'(x)\geqslant 0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số $ f(x) $ đồng biến trên $ \mathbb{K}. $
- Nếu $ f'(x)\leqslant 0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số $ f(x) $ nghịch biến biến trên $ \mathbb{K}. $
- Lưu ý, nếu hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $ [a,b] $ thì hàm số đồng biến trên đoạn $ [a,b] $ khi và chỉ khi hàm số đồng biến trên khoảng $ (a,b) $, tức là chỉ cần điều kiện $f'(x)\geqslant 0 $ với mọi $ x\in (a,b). $
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số $ y=\sqrt{3x+1} $ luôn đồng biến trên tập xác định.
- Tập xác định $ \mathbb{D}=[-\frac{1}{3},+\infty) $.
- Ta có, đạo hàm của hàm số là $$ y’=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}} >0,\;\forall x\in (-\frac{1}{3},+\infty) $$
- Mà hàm số liên tục trên $ [-\frac{1}{3},+\infty) $ nên hàm số luôn đồng biến trên $ [-\frac{1}{3},+\infty) $.
Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số $ y=\sqrt{1-x^2} $.
Hướng dẫn. Chúng ta lập được bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có, hàm số $ y=\sqrt{1-x^2} $ đồng biến trên khoảng $ (-1,0) $ và nghịch biến trên khoảng $ (0,1) $.
3. Các dạng toán đồng biến nghịch biến của hàm số
3.1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Bài toán. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $f(x)$ (tức là tìm các khoảng mà hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến).
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm $f'(x)$ và lập bảng xét dấu của nó.
- Bước 3. Căn cứ vào bảng xét dấu để kết luận.
Dạng toán này đã xét kỹ ở phần 2, nên ở đây O2 Education xin đề nghị một ví dụ.
Ví dụ. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:
- $y=3x^{3}+2x^{2}-5x+2$
- $y=x+\frac{1}{x} $
- $ y=\sqrt{2x-1} $
- $y=\sqrt{x^{2}+2x-3}$
3.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng lập bảng biến thiên
Trước tiên ta phải hiểu thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
Xét hàm số $ y=f(x) $ xác định trên tập $ \mathbb{K} $.
- Nếu $ f(x)\leqslant M $ với mọi $ x\in \mathbb{K} $ và tồn tại $ x_0 $ thuộc $ \mathbb{K} $ sao cho $ f(x_0)=M $ thì $ M $ được gọi là giá trị lớn nhất\index{giá trị lớn nhất} của hàm số trên $ \mathbb{K}. $ Kí hiệu là $ \max\limits_{x\in \mathbb{K}}f(x) $.
- Nếu $ f(x)\geqslant m $ với mọi $ x\in \mathbb{K} $ và tồn tại $ x_0 $ thuộc $ \mathbb{K} $ sao cho $ f(x_0)=m $ thì $ m $ được gọi là giá trị nhỏ nhất\index{giá trị nhỏ nhất} của hàm số trên $ \mathbb{K}. $ Kí hiệu là $ \min\limits_{x\in \mathbb{K}}f(x) $.
Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=f(x) $ trên tập $ \mathbb{K}. $
Phương pháp. Ta thực hiện ba bước sau.
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $ \mathbb{K} $
- Tính các giá trị đầu và cuối mũi tên (có thể phải sử dụng giới hạn)
- Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=3x+5 $ trên đoạn $ [2;7] $
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x)=x+\frac{4}{x} $ trên đoạn $ [1,3]. $
Ví dụ 3. [DB2015] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x)=x^3 +3x^2-9x+3 $ trên đoạn $ [0,2] $.
Đáp số $ \max\limits_{x\in[0,2]}f(x)=f(2)=5,\min \limits_{x\in[0,2]}f(x)=f(1)=-2 $.
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
- $ f(x)=1+8x-x^2 $ trên $ [-1,3] $
- $ g(x) = {x^3} – 3{x^{2 }} +1 $ trên ${\left[ { – 2,3} \right]}$
- $ h(x) = x – 5 + \frac{1}{x} $ trên $\left( {0, + \infty } \right) $
Ví dụ 5. [B2003] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = x + \sqrt {4 – {x^2}} $
3.3. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu
Bài toán. Tìm điều kiện của tham số $ m $ để hàm số $ y=f(x) $ đồng biến trên $ \mathbb{K}. $
Phương pháp. Ta thực hiện các bước sau:
- Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số.
- Khẳng định: Hàm số $ y=f(x) $ đồng biến trên $ \mathbb{K} \Leftrightarrow f'(x) \geqslant 0 $ với mọi $ x\in \mathbb{K}. $
- Xét các tình huống:
- Nếu $ \mathbb{K} $ là $ \mathbb{R} $ và $ f'(x) $ là tam thức bậc hai thì sử dụng \emph{định lí về dấu tam thức bậc hai}.
- Nếu cô lập được tham số $ m $ đưa điều kiện $ f'(x) \geqslant 0, \forall x\in \mathbb{K} $ về một trong hai điều kiện:
- $ m\geqslant g(x), \forall x\in \mathbb{K} \Leftrightarrow m\geqslant \max\limits_{x\in \mathbb{K}} g(x) $
- $ m\leqslant g(x), \forall x\in \mathbb{K} \Leftrightarrow m\leqslant \min\limits_{x\in \mathbb{K}} g(x) $
- Các tình huống còn lại, ta lập bảng biến thiên và biện luận.
Tương tự đối với bài toán tìm điều kiện để hàm số $ y=f(x) $ nghịch biến trên $ \mathbb{K}. $
Ví dụ 1. Tìm $ m $ để hàm số $ y = -x^3 + (m – 1)x^2 – (m – 1)x + 9 $ luôn nghịch biến trên $ \mathbb{R}. $
- Tập xác định $\mathbb{D}=\mathbb{R}. $
- Đạo hàm $ y’=-3x^2+2(m-1)x-m+1 $ có $ \Delta’=m^2-5m+4. $
- Hàm số luôn nghịch biến trên $ \mathbb{R} \Leftrightarrow y’\leqslant 0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ khi và chỉ khi\[ \begin{cases} a<0\\ \Delta’\leqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow m\in [1,4]\]
Vậy với $ m\in [1,4] $ thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 2. Tìm $ m $ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2$ luôn đồng biến trên tập xác định.
Hướng dẫn. Đạo hàm $ y’ $ có $ \Delta=36{{m}^{2}}-6=6\left( 6{{m}^{2}}-1 \right)$. Đáp số $-\frac{1}{\sqrt{6}}\leqslant m\leqslant \frac{1}{\sqrt{6}}$.
Ví dụ 3. Tìm $ m $ để hàm số $ y = mx^3 + (3 – m)x^2 + 2x + 2 $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Hướng dẫn. Tập xác định $\mathbb{D}=\mathbb{R}. $
Ta xét hai trường hợp:
- Khi $ m=0 $ thì $ y=3x^2+2x+2 $ là một parabol nên không thể luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
- Khi $ m\ne0 $ thì $ y’=3mx^2+2(3-m)x+2 $ có $ \Delta’=m^2-12m+9. $ Do đó, hàm số luôn đồng biến trên $ \mathbb{R} $ khi và chỉ khi \[ \begin{cases} a>0\\\Delta’\leqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow 6-3\sqrt{3}\leqslant m\leqslant 6+3\sqrt{3}\]
\end{itemize}
Vậy với $ 6-3\sqrt{3}\leqslant m\leqslant 6+3\sqrt{3} $ thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 4. Cho hàm số $ y=\frac{1-m}{3}{{x}^{3}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+2\left( 2-m \right)x+5 $.
- Tìm $ m $ để hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
- Tìm $ m $ để hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
Chú ý dấu bằng trong điều kiện $ y’\geqslant 0 $ hoặc $ y’\leqslant 0 $, cụ thể ta đi xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 5. Tìm $ m $ để hàm số $ y=\frac{mx-2}{x+m-3} $ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{3-m\}. $ Đạo hàm $ y’=\frac{m^2-3m+2}{(x+m-3)^2} $.
- Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi $$ y'<0, \forall x\in \mathbb{D} \Leftrightarrow m^2-3m+2<0 \Leftrightarrow 1<m<2$$
Vậy với $ m\in (1; 2) $ thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Ví dụ 6. Tìm $ m $ để hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trong khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$.
Hướng dẫn. Có $ y’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}$ nên hàm số nghịch biến trong khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ khi và chỉ khi
$$\begin{cases}
{{m}^{2}}-4<0 \\
\left( -\infty ;-1 \right) \subset (-\infty,m)
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
-2<m<2 \\
-m\geqslant -1
\end{cases} \Leftrightarrow -2<m\leqslant 1$$
Vậy với $ -2<m\leqslant 1 $ thì hàm số đã cho nghịch biến trong $ (-\infty,-1). $Ví dụ 7. Tìm $ m $ để hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + \left( {m + 3} \right)x+5$ đồng biến trên $ [1;3] $.
Hướng dẫn.
- Tập xác định: $ \mathbb{D}=\mathbb{R}. $
- Đạo hàm: $ y’= -x^2+2x+m+3$
- Hàm số đã cho đồng biến trên $ [1;3] $ khi và chỉ khi
\begin{align*}
y’&\geqslant 0,\;\forall x\in[1;3]\\
\Leftrightarrow -x^2+2x+m+3&\geqslant 0,\;\forall x\in[1;3]\\
\Leftrightarrow m&\geqslant x^2-2x-3,\;\forall x\in[1;3]\\
\Leftrightarrow m&\geqslant \max\limits_{x\in[1;3]}(x^2-2x-3)
\end{align*}
Xét hàm số $ f(x)= x^2-2x-3$ trên $ [1;3] $ ta có bảng biến thiên sau:
Suy ra $ \max\limits_{x\in[1;3]}f(x)=0 $ và do đó điều kiện cần tìm là $m \geqslant 0. $
Ví dụ 8. [A2013] Tìm $ m $ để hàm số $ y = -x^3+3x^2+3mx-1 $ nghịch biến trên $ \left( {0;+\infty} \right) $.
Hướng dẫn. Hàm số nghịch biến trên $ \left( {0;+\infty} \right) $ khi và chỉ khi $ y’\leqslant 0,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right)$ khi và chỉ khi
\begin{align*}
-3x^2+6x+3m&\geqslant 0,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right) \\
\Leftrightarrow m&\leqslant x^2-2x, \forall x\in \left( {0;+\infty} \right)\\
\Leftrightarrow m&\leqslant x^2-2x, \forall x\in \left[{0;+\infty} \right) \text{ (vì đạo hàm liên tục trên $ \left[{0;+\infty} \right) $) }\\
\Leftrightarrow m&\leqslant \min\limits_{x\in[0,+\infty)}\left( x^2-2x\right)
\end{align*}
Xét hàm số $ f(x)=x^2-2x $ trên $ \left[ {0;+\infty} \right) $ có $ f'(x)=2x-2; f'(x)=0\Leftrightarrow x=1. $ \\
Ta có bảng biên thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $ \min\limits_{x\in[0,+\infty)}f(x)=-1. $ Do đó, $ m\leqslant -1. $
Chú ý rằng, khi cô lập $ m, $ nếu phải chia cho biểu thức chứa $ x $ ta phải xét xem biểu thức đó âm hay dương trên tập đang xét! Cụ thể qua hai ví dụ sau đây.
Ví dụ 9. Tìm $ m $ để hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x – 4$ đồng biến trên $ [0,3] $.
Ví dụ 10. Tìm $ m $ để hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x – 4$ đồng biến trên $ [-4,-1] $.
Ví dụ 11. Cho hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+m-2. $ Tìm $ m $ để hàm số đồng biến trên $ (1,3)? $
Xem thêm Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng
-
ĐỀ THI TOÁN 12 HỌC KÌ II 2020 XUÂN TRƯỜNG B
ĐỀ THI TOÁN 12 HỌC KÌ II 2020 XUÂN TRƯỜNG B
Ngày 12/6/2020, trường THPT Xuân Trường B đã tổ chức thi Khảo sát học kì 2 năm học 2019-2020 các môn Toán, Văn, Anh và tổ hợp KHTN, KHXH. Chúng tôi xin giới thiệu đề thi Toán 12 học kì II gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm theo cấu trúc ma trận đề minh họa tốt nghiệp 2020. File word đề thi và đáp án, xin mời thầy cô và các em học sinh tải ở cuối bài viết.
Xem thêm:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian
- Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm
- Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp
1. Đề thi toán 12 học kì II Mã đề 132
Câu 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right).$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\varphi ={{60}^{0}}.$
B. $\varphi ={{30}^{0}}.$
C. $\sin \varphi =\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
D. $\sin \varphi =\frac{\sqrt{5}}{5}.$Câu 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=1.$
B. Hàm số $y=f(x)$ không đạt cực trị tại $x=-1.$
C. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=-2.$
D. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=-1.$Câu 3: Thu gọn số phức $z=\left( 2+3i \right)\left( 2-3i \right)$ ta được
A. $z=13.$
B. $z=-9i.$
C. $z=4-9i.$
D. $z=4.$Câu 4: Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm dương của phương trình $f\left( x \right)=1$ là
A. $2.$
B. $3.$
C. $1.$
D. $0.$Câu 5: Môđun của số phức $z=4-2i$ bằng
A. $\sqrt{12}.$
B. $20.$
C. $2.$
D. $2\sqrt{5}.$Câu 6: Trong không gian $Oxyz,$ phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;\,2;\,-3)$ là
A. $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=2+2t \\& z=3-3t \\ \end{align} \right..$
B. $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=2+2t \\& z=-3+3t \\ \end{align} \right..$
C. $x+2y-3z+4=0.$
D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{3}.$Câu 7: Bất phương trình ${{\log }_{3}}3x>2$ có tập nghiệm là
A. $\left( -\infty ;3 \right).$
B. $\left( -\infty ;0 \right).$
C. $\left( 3;+\infty \right).$
D. $\left( 0;+\infty \right).$Câu 8: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2{{z}^{2}}+\sqrt{3}z+3=0.$ Khi đó, giá trị của $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ bằng
A. $9.$
B. $4.$
C. $\frac{-9}{4}.$
D. $\frac{9}{4}.$Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\cos x.$
A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\cos 2x+\text{C}.$
B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\sin x+\text{C}.$
C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=-\sin x+\text{C}.$
D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}x+\text{C}.$Câu 10: Cho số thực $a>0,\,\,a\ne 1$ và các số thực dương $x,\,\,y$ bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y.$
B. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x.{{\log }_{a}}y.$
C. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y.$
D. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}=\frac{{{\log }_{a}}x}{{{\log }_{a}}y}.$Câu 11: Phương trình ${{4}^{3x-2}}=16$ có nghiệm là
A. $x=\frac{3}{4}.$
B. $x=\frac{4}{3}.$
C. $x=2.$
D. $x=4.$Câu 12: Xét $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{10}}\text{d}x},$ nếu đặt $u=2x-1$ thì $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{10}}\text{d}x}$ bằng
A. $\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
B. $2\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
C. $\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
D. $\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}x}.$Câu 13: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm ${f}’\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2-x \right).$ Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ là
A. $6.$
B. $2.$
C. $1.$
D. $3.$Câu 14: Đường thẳng có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?
A. $y=\frac{1+x}{1-x}.$
B. $y=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{2-x}.$
C. $y=\frac{x-2}{x+2}.$
D. $y=\frac{1+{{x}^{2}}}{1+x}.$Câu 15: Đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số sau đây luôn nằm dưới trục hoành?
A. $y=-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-1.$
B. $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+3.$
C. $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2.$
D. $y=-{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1.$Câu 16: Cho số phức $z=6+7i$ có số phức liên hợp là $\overline{z}.$ Trên mặt phẳng toạ độ, điểm biểu diễn của số phức $\overline{z}$ là điểm nào dưới đây?
A. $P\left( -6;7 \right).$
B. $Q\left( -6;-7 \right).$
C. $M\left( 6;7 \right).$
D. $N\left( 6;-7 \right).$Câu 17: Tìm tập xác định của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( x-2 \right).$
A. $\left( 2;\,\,+\infty \right).$
B. $\left[ 2;\,\,+\infty \right).$
C. $\left( 0;+\infty \right).$
D. $\left( -\infty ;\,\,2 \right).$Câu 18: Trong không gian $Oxyz,$ mặt cầu tâm $I\left( 2;-1;2 \right)$ và đi qua điểm$A\left( 2;0;1 \right)$có phương trình là
A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2.$
B. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2.$
C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\sqrt{2}.$
D. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1.$Câu 19: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x+y-z-3=0$ và các điểm $M\left( 1;\,\,0;\,\,-1 \right)$,$N\left( 3;\,\,1;\,\,-1 \right)$, $P\left( 1;\,\,1;\,-1 \right),\,\,Q\left( 3;\,\,1;\,\,1 \right).$ Trong các điểm $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,$ số điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ là
A. $3.$
B. $4.$
C. $1.$
D. $2.$Câu 20: Trong mặt phẳng, cho $6$ điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập 6 điểm đã cho?
A. $120.$
B. $20.$
C. $15.$
D. $60.$Câu 21: Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i,{{z}_{2}}=2-3i.$ Phần ảo của số phức $3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ bằng
A. $11.$
B. $12.$
C. $10.$
D. $0.$Câu 22: Cho cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$ có ${{a}_{3}}=8$ và ${{a}_{6}}=64.$ Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó.
A. ${{a}_{10}}=2048.$
B. ${{a}_{10}}=1024.$
C. ${{a}_{10}}=-1024.$
D. ${{a}_{10}}=512.$Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+2}{x+1}$trên $\left[ \frac{-1}{2};2 \right]$ bằng
A. $2.$
B. $\frac{10}{3}.$
C. $3.$
D. $\frac{8}{3}.$Câu 24: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(3;+\infty ).$
B. $(-1;2).$
C. $(1;3).$
D. $(-\infty ;1).$Câu 25: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\frac{3{{a}^{3}}}{8}.$
D. $\frac{3{{a}^{3}}}{6}.$Câu 26: Một khối nón có góc ở đỉnh bằng ${{60}^{0}}$ và diện tích đáy bằng $9\pi .$ Thể tích của khối nón bằng
A. $9\pi \sqrt{3}.$
B. $6\pi \sqrt{3}.$
C. $12\pi \sqrt{3}.$
D. $8\pi \sqrt{3}.$Câu 27: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $y=F\left( x \right).$ Với $a,\,b\in \mathbb{R},$ khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)+F\left( a \right).$
B. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)F\left( a \right).$
C. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( a \right)-F\left( b \right).$
D. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)-F\left( a \right).$Câu 28: Cho khối cầu $\left( S \right)$ có thể tích bằng $\frac{500}{3}\pi .$ Tính diện tích của mặt cầu $\left( S \right).$
A. $25\pi .$
B. $50\pi .$
C. $75\pi .$
D. $100\pi .$Câu 29: Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau đây?A. $y=\frac{2x+1}{x+1}.$
B. $y=\frac{1-2x}{x+1}.$
C. $y=\frac{2x+1}{x-1}.$
D. $y=\frac{2x-1}{x+1}.$Câu 30: Thể tích $V$ của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
A. $V=\frac{1}{3}Bh.$
B. $V=Bh.$
C. $V=\frac{1}{2}Bh.$
D. $V=\frac{4}{3}Bh.$Câu 31: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sin x,\,\,x=0,\,\,x=\frac{\pi }{4}$ và trục hoành.
A. $S=\sqrt{2}-1.$
B. $S=\frac{\sqrt{2}}{2}-1.$
C. $S=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $S=1+\frac{\sqrt{2}}{2}.$Câu 32: Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 1;\,\,-2;\,\,5 \right),\,B\left( -3;\,\,4;\,-1 \right).$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ là
A. $2x-3y+3z-1=0.$
B. $2x-3y-3z-1=0.$
C. $-2x+3y+3z-1=0.$
D. $2x-3y+3z+1=0.$Câu 33: Trong không gian $Oxyz,$ cho 3 điểm $A\left( 1;\,\,2;\,\,-1 \right),\,\,B\left( -1;\,\,2;\,\,-1 \right),\,\,C\left( 2;\,\,0;\,\,-1 \right).$ Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
A. $D\left( 0;\,\,0;\,\,-1 \right).$
B. $D\left( 4;\,\,0;\,\,-1 \right).$
C. $D\left( -4;\,\,0;\,\,1 \right).$
D. $D\left( -4;\,0;\,\,-1 \right).$Câu 34: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và thiết diện qua trục của nó là một hình vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.
A. $5\pi {{R}^{2}}.$
B. $2\pi {{R}^{2}}.$
C. $6\pi {{R}^{2}}.$
D. $3\pi {{R}^{2}}.$Câu 35: Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( 2;\,\,0;\,\,1 \right)$ lên đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{align}
& x=1+t \\
& y=2t \\
& z=2+t \\
\end{align} \right.$ là điểmA. $P\left( 0;\,\,-2;\,\,1 \right).$
B. $Q\left( 1;\,\,0;\,\,2 \right).$
C. $E\left( -1;\,\,0;\,\,-2 \right).$
D. $F\left( 0;\,\,-2;\,\,-1 \right).$Câu 36: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cùng một cường độ âm và cùng một tần số. Khi một ca sĩ hát thì mức cường độ âm là $67dB.$ Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là $80dB.$Biết mức cường độ âm $L$ được tính theo công thức $L=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}},$ trong đó $I$ là cường độ âm và ${{I}_{0}}$ là cường độ âm chuẩn. Số ca sĩ trong ban hợp ca đó gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 20 người.
B. 19 người.
C. 16 người.
D. 18 người.Câu 37: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+ax^2+b$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $a<0,\text{ }b<0.$
B. $a>0,\text{ }b<0.$
C. $a>0,\text{ }b>0.$
D. $a<0,\text{ }b>0.$Câu 38: Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h=20\,cm,$ bán kính đáy $r=25\,cm.$ Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm $O$ của đáy bằng $12\,cm.$ Khi đó diện tích thiết diện của khối nón được cắt bởi $\left( P \right)$ bằng
A. $475\,c{{m}^{2}}.$
B. $550\,c{{m}^{2}}.$
C. $450\,c{{m}^{2}}.$
D. $500\,c{{m}^{2}}.$Câu 39: Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $B=\left\{ 0;1;2;…;9 \right\}.$ Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập $A.$ Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.
A. $\frac{11}{27}.$
B. $\frac{1}{9}.$
C. $\frac{8}{27}.$
D. $\frac{16}{27}.$Câu 40: Bất phương trình ${{4}^{x}}<{{2}^{x+1}}+3$ có tập nghiệm là
A. $\left( -1;3 \right).$
B. $\left( 0;{{\log }_{2}}3 \right).$
C. $\left( {{\log }_{2}}3;5 \right).$
D. $\left( -\infty ;{{\log }_{2}}3 \right).$Câu 41: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,\text{ }AD=2a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}.$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ theo $a.$
A. $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $d=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$
C. $d=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
D. $d=\frac{\sqrt{3}}{2}.$Câu 42: Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x+7$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là
A. $\left( 1;+\infty \right).$
B. $\left( -\infty ;1 \right).$
C. $\left( -\infty ;1 \right].$
D. $\left[ 2;+\infty \right).$Câu 43: Cho $a$ là số thực dương khác $1.$ Đặt ${{\log }_{3}}a=\alpha ,$tính giá trị biểu thức $P={{\log }_{\frac{1}{3}}}a-{{\log }_{\sqrt{3}}}{{a}^{2}}+{{\log }_{a}}9$ theo $\alpha .$
A. $P=\frac{1-10{{\alpha }^{2}}}{\alpha }.$
B. $P=-3\alpha .$
C. $P=\frac{2-5{{\alpha }^{2}}}{\alpha }.$
D. $P=\frac{2\left( 1-{{\alpha }^{2}} \right)}{\alpha }.$Câu 44: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng thời thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\frac{1}{2},\,$ $f\left( x \right)>0,\,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}’\left( x \right)=-{{e}^{x}}.{{f}^{2}}\left( x \right),\,\forall x\in \mathbb{R}.$ Biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=a+\ln \frac{b}{e+c}$ với $a,\,b,\,c$ là các số tự nhiên. Tính $T=a+b+c.$
A. $T=4.$
B. $T=3.$
C. $T=2.$
D. $T=5.$Câu 45: Cho khối trụ $\left( T \right),$ cắt khối trụ $\left( T \right)$ bởi một mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với trục của khối trụ và cách trục một khoảng bằng $\sqrt{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng $16.$Tính thể tích của khối trụ $\left( T \right).$
A. $8\pi .$
B. $32\pi .$
C. $16\pi .$
D. $24\pi .$Câu 46: Xét hai số thực $a,\,b$ thay đổi thoả mãn $1<a<b.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=8{{\left( {{\log }_{\frac{b}{a}}}\frac{b}{\sqrt{a}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{\log }_{a}}b-1 \right)}^{2}}+3.$
A. $30.$
B. $21.$
C. $27.$
D. $12.$Câu 47: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( f(\sin x) \right)=m$
có nghiệm thực thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ làA. $\left[ -1;3 \right).$
B. $\left( -1;1 \right).$
C. $\left( -1;3 \right].$
D. $\left[ -1;1 \right).$Câu 48: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức có tất cả các hệ số đều là những số nguyên không âm nhỏ hơn $7$ và thoả mãn $f\left( 7 \right)=901.$ Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ bằng
A. $18.$
B. $13.$
C. $\frac{127}{27}.$
D. $\frac{478}{27}.$Câu 49: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và có thể tích bằng $V.$ Gọi$M,\,N,\,P,\,Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,\,SBC,\,SCD,\,SDA.$ Thể tích khối chóp $O.MNPQ$ bằng
A. $\frac{4V}{27}.$
B. $\frac{2V}{27}.$
C. $\frac{V}{9}.$
D. $\frac{2V}{9}.$Câu 50: Cho hàm số $f(x)=\left( {{e}^{x}}-\frac{1}{{{e}^{x}}} \right){{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}.$ Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ thỏa mãn bất phương trình $f\left( {{m}^{2}}-2 \right)+f\left( 2-6m \right)\le 0?$
A. $7.$
B. $6.$
C. $0.$
D. $5.$———– HẾT ———-
2. Tải đề thi file word môn Toán HK2
Mời thầy cô và các em tải Đề thi Toán học kì II file word tại đây:
-
Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II
Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II
Bài toán. Đối với bài toán tìm nguyên hàm, tích phân có dạng
\[ \int f(u(x))\cdot u'(x)\,\mathrm{d}x \]
chúng ta thường sử dụng phương pháp đổi biến số [hoặc biến đổi vi phân] thành
\[ \int f(u) \,\mathrm{d}u \]
và sử dụng bảng các nguyên hàm mở rộng. Thường ta chọn những phần phức tạp của biểu thức để đổi biến, chẳng hạn- Đặt $ u $ là mẫu thức, căn thức, cơ số, số mũ hoặc biểu thức dưới dấu căn.
- Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ f\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x} $ thì đặt $ u= \ln x.$
- Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ \sin^n x\cdot \cos^m x $, và $ n $ lẻ thì ta đặt $ u= \cos x$, nếu $ m $ lẻ thì đặt $ u=\sin x $, nếu không thì hạ bậc cho đến khi xuất hiện số mũ lẻ.
- Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì ta chia tử cho mẫu, sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tách thành các phân thức đơn giản.
Bài giảng phương pháp biến đổi vi phân, phương pháp đổi biến số loại 2
Một số bài tập trắc nghiệm phương pháp biến đổi vi phân, đổi biến số loại 2:
-
- Kết quả của $ I= \int \left(2x(x-1)+2^x\right)\,\mathrm{d}x $ là
- $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+\frac{2^x}{\ln 2} +C$}
- $ I=x^3-x^2+2^x +C$
- $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
- $ I=x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
- Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
- $ \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C $.
- $ \int e^{2x}\,\mathrm{d}x=e^{2x}+C $.
- $ \int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C $.
- $ \int \,\mathrm{d}x=x+C $.
- Cho $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x $ và $ t=\sqrt{x^2+1} $. Khẳng định nào sau đây là sai?
- $ x\,\mathrm{d}x=t\,\mathrm{d}t $.
- $ I=\int_{1}^{2}t^2\,\mathrm{d}t $.
- $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}t^2\,\mathrm{d}t $.
- $ I=\frac{7}{3} $.
- Biết $ \int f(u)du=F(u)+C $. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(x)-3+C $.
- $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=F(2x-3)+C $.
- $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}F(2x-3)+C $.
- $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(2x-3)+C $.
- Nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\sqrt{4x+2} $ là
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\sqrt{4x+2} +C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
- Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x+2}$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = e^{3x+2}+C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}e^{3x+2}+C$.
- Cho $ I= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin^nx\cos x \,\mathrm{d}x=\frac{1}{64} $. Khi đó giá trị của $ n $ bằng bao nhiêu?
- $ n=3 $.
- $ n=6 $.
- $ n=5 $.
- $ n=4 $.
- Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\cos2x. $
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sin2x +C. $
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{2} \sin2x +C. $
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=2\sin2x +C. $
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-2\sin2x +C. $
- Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos^2x$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\cos 2x}{4}+C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}+C$.
- $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$.
- Biết $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$ và $ F(2)=1. $ Tính $ F(3). $
- $ F(3)=\ln 2-1. $
- $ F(3)=\ln 2+1. $
- $ F(3)=\frac{1}{2}. $
- $ F(3)=\frac{7}{4}. $
- Tính tích phân $I =\int\limits_0^1 {\frac{x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1}} $.
- $I = – 1 +\ln 2$.
- $I =\frac{1}{2}\ln 2$.
- $I =\ln 2$.
- $I =\frac{1}{2}\left( – 1 +\ln 2\right)$.
- Biết $ \int\limits_0^1 {\frac{{5x + 18}}{{{x^2} + 7x + 12}}\,\mathrm{d}x} = \ln a$. Tính $a$.
- $a=\frac{27}{100}$.
- $a=\frac{100}{3}$.
- $a=\frac{100}{27}$.
- $a=\frac{100}{7}$.
- Tìm nguyên hàm $\int\frac{x + 3}{x^2 + 3x + 2}\,\mathrm{d}x $.
- $2\ln |x + 2| -\ln |x + 1| + C$.
- $\ln |x + 1| + 2\ln |x + 2| + C$.
- $2\ln |x + 1| +\ln |x + 2| + C$.
- $\ln |x + 1| – 2\ln |x + 2| + C$.
- Biết $ \int_{3}^{4}\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+x}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5 $ với $ a,b,c $ là các số nguyên. Tính giá trị $ S=a+b+c. $
- $ S=6. $
- $ S=2. $
- $ S=-2. $
- $ S=0. $
- Tìm nguyên hàm
\[ \int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x \] - Cho tích phân $ I=\int_0^4\frac{\,\mathrm{d}x}{3+\sqrt{2x+1}} =a+b\ln\frac{2}{3}$, với $ a,b $ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- $ a+b=5 $.
- $ a-b=3 $.
- $ a-b=5 $.
- $ a+b=3 $.
- Tính tích phân
$$ I=\int_0^1 x(x^2+1)^9\,\mathrm{d}x.$$ - Tính tích phân
\[ I=\int_{0}^{1}x^3\cdot\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x \] - Tính $I = \int\limits_{0}^{1} \frac{2x^2+5x-2}{x^3+2x^2-4x-8}\,\mathrm{d}x$.
- $I=\frac{1}{6}+\ln12$.
- $I=\frac{1}{6}+\ln \frac{3}{4}$.
- $I=\frac{1}{6}-\ln3+2\ln2$.
- $I=\frac{1}{6}- \ln \frac{3}{4}$.
- Tính tích phân $ I = \int_0^{\pi/6}\frac{\sin 3x}{4\cos^3 x – 3\cos x + 2}\,\mathrm{d}x$
- $I=\frac{1}{3}\ln 3 – \ln 2$.
- $I=\ln 3 – \ln 2$.
- $I=\frac{1}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln 3$.
- $I=\frac{1}{3}\ln3 – \frac{1}{3}\ln 2$.
- [Đề tham khảo 2018]
Cho hàm số $ f(x) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{1}{2}\right\}$ và thỏa mãn
\[ f'(x)=\frac{2}{2x-1},\quad f(0)=1,\quad f(1)=2. \] - Tính giá trị của biểu thức $ f(-1)+f(3). $
- $ 4+\ln 15. $
- $ 2+\ln 15. $
- $ 3+\ln 15. $
- $ \ln 15. $
- [Đề tham khảo 2018]
Biết $ \int_1^2\frac{\,\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c $, với $ a,b,c $ là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức $ P=a+b+c. $- $ P=24. $
- $ P=12. $
- $ P=18. $
- $ P=46. $
- Kết quả của $ I= \int \left(2x(x-1)+2^x\right)\,\mathrm{d}x $ là