Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ
Phần lý thuyết, mời thầy cô và các em xem trong bài Tích vô hướng của hai vectơ. Dưới đây là các bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho hình vuông \( ABCD \) cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Bài 2. Cho tam giác $ ABC$ có $\widehat{A}=90^\circ;\widehat{B}=60^\circ$ và $AB=a$. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$.
Bài 3. Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tại \( A \) có $AB=AC=a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\;\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$.
Bài 4. Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}$.
Bài 5. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=5$ cm, $BC=7$ cm, $CA=8$ cm.
- Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra giá trị của góc \( A \).
- Tính $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$.
Bài 6. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=6$ cm, $BC=11$ cm, $CA=8$ cm.
- Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra góc A tù.
- Trên cạnh \( AB \) lấy \( M \) sao cho $AM=2$ cm và gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \). Tính $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}$.
Bài 7. Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho $A=(4;6),B(1;4)$ và $C(7;\frac{3}{2})$.
- Chứng minh tam giác $ ABC$ vuông tại \( A \).
- Tính độ dài các cạnh $AB,AC,BC$.
Bài 8. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:
- $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{b}=(-1;-3)$.
- $\overrightarrow{a}=(3;-4)$ và $\overrightarrow{b}=(4;3)$.
- $\overrightarrow{a}=(2;5)$ và $\overrightarrow{b}=(3;-7)$.
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm $A(2;4)$ và $B(1;1)$. Tìm tọa độ điểm \( C \) sao cho tam giác $ ABC$ là tam giác vuông cân tại \( B \).
Bài 10. Cho tam giác $ ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.
- Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ ABC$.
- Tìm tọa độ điểm \( M \) biết $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.
- Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$.
Bài 11. Cho tam giác $ ABC$. Với điểm \( M \) tùy ý, chứng minh rằng $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$$
Bài 12. Cho \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( M \) là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=OM^2 – OA^2$.
Bài 13. Cho tam giác $ ABC$ có ba đường trung tuyến là \( AD, BE, CF \). Chứng minh rằng $$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CF}=0$$
Bài 14. Cho tam giác $ ABC$ có góc \( A \) nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác $ ABC$ các tam giác vuông cân đỉnh \( A \) là \( ABD \) và \( ACE \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh: $AM\perp DE$.
Bài 15. Cho hình chữ nhật \( ABCD \) có $AB=a$ và $AD=a\sqrt{2}$. Gọi \( K \) là trung điểm của cạnh \( AD \). Chứng minh $BK\perp AC$.
Bài 16. Cho tam giác $ ABC$ cân tại \( A \). Gọi \( H \) là trung điểm của cạnh \( BC \), \( D \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên cạnh \( AC \), \( M \) là trung điểm của đoạn \( HD \). Chứng minh $AM\perp BD$.
Bài 17. Cho tam giác $ ABC$. Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2$.
Bài 18. Cho tứ giác \( ABCD \) có hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau và cắt nhau tại \( M \). Gọi \( P \) là trung điểm của \( AD \). Chứng minh: $$MP\perp BC \Longleftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MD}$$
