BÀI TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG LỚP 4

1. Đặc điểm của bài toán công việc chung

• Trong mỗi bài toán thường có một đại lượng không đổi như công việc cần làm xong, quãng đường cần đi, thể tích bể nước… Do đó, khi giải ta cần quy ước đại lượng không đổi đó làm đơn vị. Ta có thể hiểu 1 công việc như là 1 đơn vị. Đôi khi, ta cũng có thể biểu thị 1 công việc thành nhiều phần bằng nhau (phù hợp với các điều kiện của bài toán) để thuận tiện cho việc tính toán.
• Loại toán công việc làm đồng thời cũng thể hiện rõ mối quan hệ đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch trong các tình huống phức tạp hơn bài toán về quy tắc tam suất.
• Trong dạng toán này thường có giả thiết “làm chung, làm riêng” cụ thể là các từ “làm một mình, làm riêng, cùng làm…”
• Trong các bài toán công việc chung, giá trị phải tìm có thể không phụ thuộc vào một đại lượng nào đó.
• Sử dụng phân số được coi là thương của phép chia hai số tự nhiên.
• Bài toán này thường có đại lượng thời gian. Cần phải biết chuyển đổi và sử dụng các đơn vị đo thời gian thích hợp cho việc tính toán.

Xem thêm CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4

2. Các kiểu bài toán công việc chung lớp 4

2.1. Biết thời gia làm riêng một công việc, yêu cầu tìm thời gian làm công việc chung đó.

Phương pháp giải bài toán công việc chung riêng.

• Bước 1: Quy ước một đại lượng (như công việc cần hoàn thành, quãng đường cần đi, thể tích của bể nước,…) là đơn vị.
• Bước 2: Tính số phần công việc làm riêng trong một giờ.
• Bước 3: Tính số phần công việc làm chung trong một giờ.
• Bước 4: Tính thời gian làm chung để hoàn thành công việc đó.

Ví dụ 1. Hai người thợ nhận làm chung một công việc. Người thứ nhất làm một mình thì hoàn thành xong công việc trong 4 giờ. Người thứ hai làm một mình thì hoàn thành xong công việc đó trong 6 giờ. Hỏi cả hai người thợ cùng làm chung thì hoàn thành công việc đó trong thời gian bao lâu?

Hướng dẫn giải.

Các em học sinh cần trả lời được các câu hỏi sau:

• Bài toán cho biết gì? (Thời gian của mỗi người cần làm một mình – làm riêng – để hoàn thành một công việc chung)
• Bài toán hỏi gì? (Thời gian cả hai ngươì cùng làm chung hoàn thành xong công việc đó)
• Để biết được cả hai người thợ cùng làm chung thì hoàn thành xong công việc đó mất bao lâu, thì ta cần phải biết gì? (Phải biết trong một giờ cả hai người cùng làm được bao nhiêu phần của công việc)
• Muốn biết trong một giờ cả hai người cùng làm được mấy phần của công việc ta phải làm gì? (Ta tính trong 1 giờ mỗi người làm được mấy phần công việc)
• Để tính được trong một giờ mỗi người làm được mấy phần của công việc, ta làm thế nào? (Ta lấy công việc càn hoàn thành chia cho thời gian mỗi người làm hoàn thành công việc đó).

Lời giải.

• Ta quy ước công việc cần hoàn thành là đơn vị. Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm một mình được: $$\frac{1}{4} \text{ (công việc)}$$
• Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm một mình được: $$\frac{1}{6} \text{ (công việc)}$$
• Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được: $$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12} \text{ (công việc)}$$
• Thời gian để hai người cùng làm chung hoàn thành xong công việc đó là: $$1\div \frac{5}{12} = \frac{12}{5} \text{ giờ}  = 2 \text{ giờ } 24 \text{ phút.}$$

Ví dụ 2. Bác An làm một công việc hết 8 giờ. Bác Bình cũng công việc ấy hết 5 giờ. Hỏi nếu 2 bác cùng làm công việc ấy thì sau bao nhiêu giờ sẽ hoàn thành?

Ví dụ 3. Nếu bể không có nước vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ sẽ đầy bể. Nếu bể không  có nước vòi thứ 2 chảy trong 5 giờ sẽ đầy bể. Hỏi nếu bể không có nước cùng 1 lúc cho cả 2 vòi chảy thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Ví dụ 4. Ba người thợ cùng làm chung một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì mất 3 giờ mới xong. Nếu người thứ 2 làm một mình thì mất 4 giờ mới xong. Nếu người thứ ba làm một mình thì mất 6 giờ mới xong. Hỏi cả ba người cùng làm thì mấy giờ sẽ hoàn thành công việc?

Lời giải.

• Trong 1 giờ người thứ nhất làm được 1:3= 1/3 (công việc)
• Trong 1 giờ người thứ 2 làm được 1:4= 1/4 (công việc)
• Trong 1 giờ người thứ 3 làm được 1:6= 1/6 (công việc)
• Trong 1 giờ cả 3 người làm được $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{4} \text{ (công việc)}$$
• Do đó, thời gian để cả 3 người hoàn thành công việc là $$1\div \frac{3}{4}=\frac{4}{3} \text{ (giờ)}$$

2.2. Biết thời gian cùng chung hoàn thành xong công việc và thời gian làm riêng (đã biết). Hoàn thành xong công việc đó, yêu cầu tính thời gian là riêng (chưa biết) xong công việc đó.

Ví dụ. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Nếu một mình người thợ thứ nhất làm thì phải làm 8 giờ mới xong. hỏi người thợ thứ hai làm một mình sau bao lâu sẽ xong công việc đó?

Hướng dẫn.

• Bài toán cho biết gì? (thời gian hai người cùng làm chung công việc, biết thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong công việc đó)
• Bài toán hỏi gì? (thời gian một mình người thợ thứ hai làm xong công việc đó)
• Muốn biết thời gian một mình người thợ thứ hai làm xong công việc đó ta phải biết gì? (trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được bao nhiêu phấn của công việc).
• Để biết trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được bao nhiêu phần của công việc ta phải làm thế nào? (Lấy số phần công việc cả hai người làm trong 1 giờ trừ đi số phần công việc của người thợ thứ nhất làm trong 1 giờ)
• Muốn biết số phần công việc làm trong 1 giờ ta làm thế nào? (ta lấy công việc cần hoàn thành chia cho thời gian làm hoàn thành công việc đó)

Lời giải.

• Ta quy ước công việc cần là xong là đơn vị.
• Trong 1 giờ cả hai người thợ cùng làm được: $$\frac{1}{5} \text{ (công việc)}$$
• Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm được: $$\frac{1}{8} \text{ (công việc)}$$
• Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được: $$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=\frac{3}{40} \text{ (công việc)}$$
• Thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong công việc đó là $$1\div \frac{3}{40} = \frac{40}{3} \text{ giờ}$$

2.3. Cho thời gian làm riêng công việc và tổng thời gian hai người làm liên tiếp để xong công việc, yêu cầu tính thời gian mỗi người làm.

Để giải dạng toán này, chúng ta thường sử dụng phương pháp giả thiết tạm.

Ví dụ 1. Có một công việc, nếu Sơn làm một mình thì hết 10 giờ; nếu Dương làm một mình thì hết 15 giờ. Lúc đầu, Sơn làm rồi nghỉ sau đó Dương làm tiếp cho đến khi xong việc. Hai bạn làm hết 11 giờ. Hỏi mỗi bạn làm trong mấy giờ?

Hướng dẫn học sinh giải.

• Tính số phần công việc Sơn làm trong 1 giờ.
• Tính số phần công việc Dương làm trong 1 giờ.
• Vì hai bạn làm liên tiếp xong công việc trong 11 giờ. Giả sử Dương làm một mình trong cả 11 giờ thì làm được bao nhiêu phần công việc.
• Tính số phần công việc còn lại chưa làm xong.
• Tính số phần công việc mỗi giờ Sơn làm nhiều hơn Dương.
• Tính thời gian Sơn làm.
• Tính thời gian Dương làm.

Bài giải.

• Mỗi giờ Sơn làm được số phần công việc là: $$\frac{1}{10} \text{(công việc)}$$
• Mỗi giờ Dương làm được số phần công việc là: $$\frac{1}{15} \text{(công việc)}$$
• Giả sử Dương làm một mình trong cả 11 giờ thì làm được số phần công việc là $$11\times \frac{1}{15}=\frac{11}{15} \text{(công việc)}$$
• Khi đó số phần công việc còn lại chưa làm xong là: $$1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15} \text{(công việc)}$$
• Sở dĩ có phần công việc chưa làm xong là do ta đã thay số giờ Sơn làm Bằng số giờ Dương làm. Mỗi giờ Sơn làm được nhiều hơn Dương là: $$\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{1}{30} \text{(công việc)}$$
• Suy ra, thời gian Sơn làm là: $$\frac{4}{15}\div \frac{1}{30}= 8 \text{ giờ}$$
• Thời gian Dương làm là: $$11-8=3 \text{ giờ}$$

Ví dụ 2. Bác Minh làm một công việc hết 8 giờ. Bác Tâm cũng công việc ấy làm hết 5 giờ. Đầu tiên bác Minh làm môt mình được 4 giờ thì bác Tâm đến làm cùng với bác Minh. Hỏi sau bao nhiêu lâu nữa thì hai bác làm xong công việc đó?

3. Bài tập dạng toán công việc làm chung làm riêng lớp 4

Bài 1. Hai anh em cùng làm việc nhà. Nếu một mình anh làm thì sau 4 giờ sẽ xong việc, còn nếu em làm một mình thì sau 6 giờ sẽ xong việc đó. Hỏi cả 2 người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ xong việc đó?

Bài 2. Hai người cùng làm một công việc sau 2 giờ 24 phút sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm 1 mình xong công việc đó thì mất 4 giờ. Hỏi người thứ hai làm 1 mình thì sau bao lâu mới xong công việc đó?

Bài 3. Hai tốp thợ lặn cùng làm 1 công việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Họ cùng làm được 4 giờ thì tốp thứ nhất nghỉ, tốp thứ hai làm nốt trong 20 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tốp phải mất bao nhiêu giờ mới xong công việc đó?

Bài 4. Anh làm việc nhà thì sau 16 phút sẽ xong. Khi anh làm được 4 phút thì có thêm em cùng làm nên cả 2 anh em làm tiếp trong 10 phút là xong. Hỏi nếu em làm một mình thì sau bao lâu xong việc nhà?

Bài 5. Hai tổ cùng làm một công việc trong 48 giờ thì xong. Nếu tổ 1 làm một mình trong 60 giờ, sau đó tổ 1 nghỉ, tổ 2 làm nốt công việc còn lại trong 32 giờ nữa thì xong. Hỏi nếu chỉ có tổ 1 làm một mình thì làm xong công việc đó trong bao nhiêu giờ?

Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào THCS Amsterdam – 2013) Hai máy cùng gặt xong một thửa ruộng hết 12 giờ. Nếu máy I gặt một mình trong 4 giờ, rồi máy II gặt tiếp thêm 9 giờ nữa thì được 7/12 thửa ruộng. Hỏi mỗi máy gặt một mình thì gặt xong thửa ruộng trong bao lâu?

Bài 7. Người thứ nhất một mình có thể làm xong việc trong 25 ngày, người thứ hai trong 20 ngày, người thứ ba trong 24 ngày. Cả 3 người cùng làm trong 2 ngày, sau đó chỉ còn người thứ ba làm trong 6 ngày. Phần việc còn lại người thứ nhất và người thứ tư cùng làm với người thứ ba 4 ngày nữa mới xong. Hỏi nếu người thứ tư làm một mình thì sau bao lâu xong công việc?

Bài 8. Người một làm 15 giờ thì hoàn thành công việc. Người thứ hai cần 12 giờ thì hoàn thành. Lúc đầu 2 người làm chung 3 giờ sau đó người thứ nhất làm một mình trong 2 giờ nữa. Tiếp đó nếu người thứ hai quay lại cùng làm thì hai người làm tiếp trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

Bài 9. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 12 phút sẽ đầy bể. Nếu một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi một mình vòi thứ hai chảy thì mấy giờ sẽ đầy bể?

Bài 10. Hai lớp 5A và 5B cùng quét sân trường. Nếu chỉ có lớp 5A làm thì sau 2 giờ sẽ xong, nếu chỉ có lớp 5B làm thì sau 3 giờ sẽ xong. Hỏi khi cả 2 lớp cùng quét thì sau bao lâu sẽ quét xong một nửa sân trường?

Bài 11. Hai người làm chung một công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Sau khi làm được 2 giờ thì người thứ hai có việc phải nghỉ và người thứ nhất phải làm thêm 9 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu?

Bài 12. Có hai vòi nước chảy vào một cái bể. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình thì phải mất 6 giờ mới đầy bể , vòi thứ hai chảy bằng 2/3 vòi thứ nhất . Hỏi nếu bể không có nước thì mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu đầy bể?

Bài 13. Một cửa hàng cần đóng gói 1 số thùng hàng. Nếu 2 người cùng làm thì sau 8 giờ sẽ xong. Người thứ nhất làm một mình thì sau 12 giờ sẽ xong. Hỏi:

a) Nếu người thứ hai làm 1 mình thì sau bao lâu sẽ xong?

b) Nếu 2 người đóng gói được tổng cộng 216 thùng hàng thì mỗi người đã đóng gói được bao nhiêu thùng?

Bài 14. Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất có thể hoàn thành trong 3 tuần; người thứ hai có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp ba lần công việc đó trong 8 tuần; người thứ ba có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp 5 công việc đó trong 12 tuần. Hỏi nếu cả ba người cùng làm công việc ban đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu giờ biết mỗi tuần làm 45 giờ?

Bài 15. Hai người thợ cùng làm chung 1 công việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm 7 giờ và người thứ hai làm 4 giờ thì được một nửa công việc. Hỏi người thứ hai làm công việc đó một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Bài 16. Hai công nhân cùng làm việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ thì có việc bận nên nghỉ, sau đó người thứ hai làm nốt trong 8 giờ thì xong. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người xong công việc trong bao lâu?