Để vẽ hình biểu diễn của các hình không gian, chúng ta sử dụng các quy tắc biểu diễn hình trong không gian sau:
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng;
Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau;
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng;
Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt;
Trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên, do đó, ta cần vẽ chính xác trung điểm của các đoạn thẳng.
Một số hình biểu diễn thường gặp
Các hình tam giác thường, tam giác đều, tam giác vuông đều vẽ thành một tam giác tù như dưới đây:
Các hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ thành một hình bình hành:
Hình thang có thể vẽ như hình dưới đây:
Hình thang vuông có thể vẽ như hình dưới đây:
Hình chóp có đáy là tam giác
Hình chóp có đáy là tứ giác
Hình tứ diện
Hình chóp có đáy là hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Nhờ việc sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt trong không gian hoặc đồng quy, hoặc đôi một so sánh nên trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm I của hai trong ba đường thẳng đã cho, chẳng hạn a và b;
Giả sử c là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) nào đó lần lượt chứa đường thẳng a và đường thẳng b;
Chứng minh rằng I là điểm chung của (α) và (β), tức là I phải thuộc vào giao tuyến c;
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh rằng MP, NQ và BD đồng quy tại I.
Lời giải
Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD
Lại có I ∈ MP ⊂ (ABD) và I ∈ NQ ⊂ (BCD) nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Nói cách khác, I thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).
Do đó, I ∈ BD hay ba đường thẳng MP, NQ và BD đồng quy tại I.
Bài 1.Cho tứ diện ABCD mặt phẳng(P) không chứa AB và CD cắt các cạnh AC, BC, AD lần lượt tại M, N, R, S.
Chứng minh 3 đường thẳng AB, MN, RS đồng qui.
Chứng minh 3 đường thẳng CD, MS, NR đồng qui
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. Các điểm P và S lần lượt thuộc AD, AC sao cho AR= AD:3 ; AS= AC:3. CMR ba đường thẳng AB, MS, NR đồng qui.
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng qui.
Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là những hình cơ bản trong hình học không gian. Đa số các bài toán ở cấp THPT đều làm việc trên các hình này. Để có thể giải quyết được các bài toán không gian, bước đầu chúng ta ta phải hiểu được thế nào là hình chóp, hình lăng trụ hay hình hộp.
Cho đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Nối $S$ với các đỉnh của đa giác ta được $n$ miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$. Hình tạo bởi $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1A_2A_3… A_n$.
Trong đó:
$S$ được goi là đỉnh của hình chóp;
$A_1A_2A_3… A_n$ là mặt đáy của hình chóp;
$SA_1, SA_2,…, SA_n$ là các cạnh bên của hình chóp;
A1A2, A2A3,…, AnA1 là các cạnh đáy của hình chiếu;
Các miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$ là mặt bên của hình chóp.
Cách gọi tên hình chóp bằng tên của đỉnh và mặt đáy, ví dụ như hình vẽ sau là hình chóp $S.ABCDE$ hoặc cụ thể hơn là hình chóp ngũ giác $S.ABCDE$
Đường cao của hình chóp là đường vuông góc kẻ từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy.
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, BCD, CDA, ABD gọi là tứ diện ABCD.
A, B, C, D là các đỉnh của tứ diện;
AB, BC, CD, CA là các cạnh bên của tứ diện;
Các tam giác ABC, BCD, CDA, ABD là các mặt bên của tứ diện;
Hai cạnh không đi qua một đỉnh được gọi là hai cạnh đối nhau;
Đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Hình chóp và hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh như nhau, nhưng hình chóp có phân biệt mặt bên và mặt đáy, trong khi hình tứ diện thì không quy ước gọi đâu là mặt đáy, đâu là mặt bên.
Hình chóp đều
Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và mặt đáy là một đa giác đều.
Tính chất: Trong hình chóp đều, chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Hình chóp đều có đáy lần lượt là tam giác đều, hình vuông (tứ giác đều) và lục giác đều
Như vậy, từ định nghĩa suy ra:
Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của nó trùng với tâm của đa giác đáy.
Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2. Hình chóp cụt
Hình chóp cụt
Hình chóp cụt đều
Cho hình chóp cụt đều $S.A_1A_2…A_n$. Một mặt phẳng $(P)$ song song với mặt đáy cắt các cạnh bên $SA_1, SA_2,…,SA_n$ lần lượt tại $A’_1, A’_2,…, A’_n$. Phần hình nằm giữa đáy và mặt phẳng $(P)$ gọi là hình chóp đều.
Đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ và thiết diện $A’_1A’_2A’_3… A’_n$ gọi là hai mặt đáy;
Các hình thang cân $A_1A’_1A’_2A_2,…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
Đoạn thẳng nối hai tâm O và O’ của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
3. Hình lăng trụ
Hình lăng trụ là gì?
Hình hợp bởi các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ và hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ nằm trong hai mặt phẳng song song đươc goi là hình lăng trụ.
Các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
Hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ là hai mặt đáy (hai hình đa giác này bằng nhau);
Các đoạn thẳng $A_1A’_1,…, A_nA’_n$ là các cạnh bên;
Các đoạn thẳng $A_1A_2,A’_1A’_2,…, A_nA_1, A’_nA’_1$ là các cạnh đáy của hình lăng trụ.
Ký hiệu hình lăng trụ: $A_1A_2…A_n.A’_1A’_2…A’_n$.
Gọi tên lăng trụ theo tên các đa giác đáy: Lăng trụ tam giác (có đáy là tam giác), lăng trụ tứ giác (có đáy là tứ giác),…
Hình lăng trụ đứng
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ngoài ra, hình lăng trụ đều có các tính chất của hình lăng trụ đứng.
4. Hình hộp
Hình hộp là gì?
Hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
Nhận xét:
Sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành.
Mỗi mặt có một mặt song song với nó, hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
Hình hộp đứng
Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Nhận xét: Trong hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Nhận xét: Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
Hình lập phương
Hình lập phương là hình hộp có tất cả sáu mặt là hình vuông. (Các hình vuông này bằng nhau).
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là gì?
Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a và b không thay đổi.
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Ngoài việc làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Hoặc ta có thể sử dụng tích vô hướng:
Nếu \(\overrightarrow{u}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng a và \(\overrightarrow{v}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng b và \(\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)=\alpha \) thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng \(\alpha \) nếu \(0\le \alpha \le 90^\circ \) và bằng \(180^\circ -\alpha \) nếu \(90^\circ <\alpha \le 180^\circ \).
Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ \). Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo \(0\le \alpha \le 90^\circ \).
3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng
Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nếu xác định (dựng) được góc giữa hai đường thẳng trong không gian và gắn chúng vào một tam giác cụ thể thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tìm số đo của góc đó:
Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: \(\cos \widehat{BAC}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}\)
Tương tự ta có: \(\cos \widehat{ABC}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}\) và \(\cos \widehat{ACB}=\frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}\) Chú ý: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)\)
Ngoài ra, để tính góc giữa hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v} \) chúng ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng: \[\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|.|\vec{v}|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)\].
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) dựa vào công thức \(\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\) từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
4. Bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh là $a$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
AB và A’D’.
AD và A’C’.
BC’ và B’D’.
Lời giải.
Ta có $A^{\prime} D^{\prime} / / A D$ nên $\left(A B, A^{\prime} D^{\prime}\right)=(A B, A D)=\widehat{B A D}=90^{\circ}$.
Ta có $A^{\prime} C^{\prime} / / A C$ nên $\left(A D, A^{\prime} C^{\prime}\right)=(A D, A C)=\widehat{D A C}=45^{\circ}$.
Ta có $B^{\prime} D^{\prime} / / B D$ nên $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=\left(B C^{\prime}, B D\right)=\widehat{D B C^{\prime}}$. Ta có $B D=B C^{\prime}=C^{\prime} D=A B \sqrt{2}$ nên $\triangle B D C^{\prime}$ dều, suy ra $\widehat{D B C^{\prime}}=60^{\circ}$. Vậy $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=60^{\circ}$.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A=S B=S C=A B=A C=a \sqrt{2}$ và $B C=2 a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $S B$.
Lời giải.
Ta có $S A B$ và $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ và $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta có $M N / / S B, N P / / A C$ nên $(A C, S B)=(N P, M N)$.
\begin{aligned} &M N=\frac{S B}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}, N P=\frac{A C}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2} . \\ &A P=S P=\frac{B C}{2}=a, S A=a \sqrt{2} \end{aligned}
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, \(SA\bot \left( ABC \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra \(AM=CE=\frac{a}{2}\).
Khi đó \(AE//CM\Rightarrow \left( \widehat{AE;CM} \right)=\left( \widehat{AN;AE} \right)=\varphi .\)
Mặt khác \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow \) độ dài đường trung tuyến AN là \(AN=\frac{SC}{2}=a.AE=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Do \(\Delta ABC\) đều nên \(CM\bot AM\Rightarrow \) AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó \(CE\bot AE\) mà \(CE\bot SA\Rightarrow CE\bot \left( SAE \right)\Rightarrow CE\bot SE.\)
\(\Delta SEC\) vuông tại E có đường trung tuyến \(EN=\frac{1}{2}SC=a.\)
Ta có: \(\cos \widehat{NAE}=\frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=\frac{\sqrt{3}}{4}>0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.\)
Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)
Khi đó \(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.\)
Lại có: \(AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.\)
Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}\) và \(BC=a\sqrt{3}\). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó \(\left\{ \begin{align}
Suy ra \(P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Khi đó \(\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left( \widehat{SC;AB} \right)=60{}^\circ .\)
Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}\)
Nếu nhìn các đại lượng vô hạn dưới con mắt hữu hạn, chúng ta sẽ gặp vô vàn nghịch lí, như nghịch lí Zeno:
Achilles và con rùa. Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu.
Trong nghịch lý Achilles và rùa, Achilles chạy đua với rùa. Ví dụ Achilles chấp rùa một đoạn 100 mét. Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi tay đua đều bắt đầu chạy với một tốc độ không đổi (Achilles chạy rất nhanh và rùa rất chậm), thì sau một thời gian hữu hạn, Achilles sẽ chạy được 100 mét, tức anh ta đã đến được điểm xuất phát của con rùa. Nhưng trong thời gian này, con rùa cũng đã chạy được một quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét. Sau đó Achilles lại tốn một khoảng thời gian nữa để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà trong thời gian đó thì con rùa lại tiến xa hơn một chút nữa, và cứ như thế mãi. Vì vậy, bất cứ khi nào Achilles đến một vị trí mà con rùa đã đến, thì con rùa lại cách đó một đoạn. Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Dãy số có giới hạn bằng 0
Định nghĩa. Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn bằng \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( \big|u_n\big| \) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =0 \).
Ví dụ, xét dãy \( (u_n) \) có công thức số hạng tổng quát \( u_n=\frac{1}{n} \). Ta sẽ chỉ ra \( \big|u_n\big| \) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn, chọn số dương bé tùy ý là \( 0{,}01 \) thì có \( \big|u_n\big| <0{,}01 \Leftrightarrow n>100\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{101} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}01 \).
Chọn số dương bé tùy ý là \( {0,0005} \) thì thì có \( \big|u_n\big| <0{,}0005 \Leftrightarrow n>2000\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{2001} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}005 \).
Tương tự, muốn \( \big|u_n\big| <0{,}000003 \Leftrightarrow n>333333{,}(3)\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{333334} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}000003 \).
Tổng quát, muốn \( \big|u_n\big| <\epsilon \) ta chỉ cần lấy từ số hạng thứ \( \left[\frac{1}{\epsilon} \right] +1\) trở đi, ở đây \( [*] \) là kí hiệu phần nguyên của \( * \).
Như vậy, ta nói dãy số \( \frac{1}{n}\) có giới hạn là \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng và viết \( \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n} =0 \) hoặc \( \lim \frac{1}{n} =0 \).
Biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số, chúng ta thấy khi \( n \) dần tới dương vô cùng thì các số hạng \( u_n \) ngày càng tiến gần tới số \( 0 \)
Xét thêm một dãy số khác nữa là dãy có công thức số hạng tổng quát \(u_n=\frac{(-1)^n}{n}\). Biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số, ta được hình sau:
Về mặt hình ảnh, chúng ta thấy khi \( n \) dần tới dương vô cùng thì các số hạng \( u_n \) ngày càng tiến gần tới số \( 0 \) và chúng có xu hướng hội tụ tại điểm \( 0 \) đó. Chúng ta cũng nói dãy \(\frac{(-1)^n}{n}\) có giới hạn là \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng.
Ngoài ra, chúng ta còn gặp một số dãy có giới hạn \( 0 \) như \[ \lim\frac{1}{n^2} =0, \lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,… \]
1.2. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số
Định nghĩa. Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn bằng \( a \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu dãy \( v_n=u_n-a \) có giới hạn bằng \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng.
Tức là , \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =a \) nếu \( \lim\limits_{n\to +\infty} \left (u_n-a\right ) =0 \).
Ví dụ, dãy \( u_n \) với công thức số hạng tổng quát \( u_n=\frac{2n+1}{n} \) có giới hạn bằng \( 2 \) khi \( n \) dần tới dương vô cực vì $$ \lim (u_n-2) = \lim \left(\frac{2n+1}{n}-2\right)=\lim \frac{1}{n} =0.$$
2. Quy tắc và tính chất về giới hạn hữu hạn của dãy số
Cho hai dãy \( u_n \) và \( v_n \) có \( \lim u_n=a, \lim v_n=b \) thì
Cho dãy \( u_n \) có \( u_n \geqslant 0\) và \( \lim u_n=a\) thì \( a \geqslant 0 \) và \( \lim \sqrt{u_n} =\sqrt{a} \).
Sử dụng các tính chất và định nghĩa trên, chúng ta có một vài giới hạn đặc biệt sau.
\( \lim c =c\) với \( c \) là hằng số bất kì.
\( \lim \frac{c}{n} = 0\) vì \( lim c=c\) và \( \lim \frac{1}{n} =0\)
\( \lim \frac{1}{n^k}=0 \) với \( k \) nguyên dương.
\( \lim q^n = 0 \) với \( |q| <1 \)
Với các giới hạn đặc biệt này, ta dễ dàng có các giới hạn sau:
Vì \( \lim 2=2 \) và \( \lim \frac{3}{n} =0\) nên \( \lim \left(2+\frac{3}{n}\right) =2 \)
Vì \( \lim 5=5 \) và \( \lim \frac{1}{n^2} =0\) nên \( \lim \left(5+\frac{1}{n^2}\right) =5 \)
Do đó, $$ \lim \frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{1}{n^2}}=\frac{2}{5}. $$ Nhưng giới hạn này cũng chính là giới hạn của dãy có công thức số hạng tổng quát $$ u_n=\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{1}{n^2}} = \frac{2n^2+3n}{5n^2+1}.$$
Từ đó, chúng ta ý tưởng chung để tìm giới hạn của các dãy số là làm ngược lại quá trình trên. Tức là ta tìm cách biến đổi để đưa về các giới hạn đặc biệt rồi sử dụng tính chất về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương.
Ví dụ, tính giới hạn $$ \lim \frac{n+4}{3n-2} $$ chúng ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( n \) thì được $$ \lim \frac{n+4}{3n-2} = \lim \frac{1+\frac{4}{n}}{3-\frac{2}{n}} = \frac{1+0}{3-0} =\frac{1}{3}. $$
Ví dụ, tính giới hạn $$ \lim \frac{\sqrt{n^2+3}}{4-n} $$ chúng ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( n \) thì được $$ \lim \frac{\sqrt{n^2+3}}{4-n} =\lim \frac{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}}{\frac{4}{n}-1}=\frac{\sqrt{1+0}}{0-1}=-1.$$
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có vô hạn số hạng và công bội \( q \) thỏa mãn \( |q|<1 \). Ví dụ, cấp số nhân:
\( \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},… \left(\frac{1}{2}\right)^n \) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \( q=\frac{1}{2}
\)
\( \frac{-1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{-1}{8},… \left(\frac{-1}{2}\right)^n \) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \( q=\frac{-1}{2}
\)
Cho cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là \( u_1\) và công bội \( q \) thì tổng của \( n \) số hạng đầu tiên là $$ S_n=u_1+u_2 + u_3 +…+ u_n=u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} $$ Vì \( |q|<1 \) nên khi \( n\to +\infty \) thì \( q^n\to 0 \) do đó $$ \lim S_n = \frac{u_1}{1-q} $$
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \( (u_n) \) và kí hiệu là \( S=u_1+u_2 + u_3 +…+ u_n+… \)
4. Giới hạn vô cực
Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn \( +\infty \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( u_n \) lớn hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =+\infty \) hoặc \( \lim u_n =+\infty \) .
Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn \( -\infty \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( \lim \left(-u_n\right) =+\infty \)
Kí hiệu \( \lim u_n =-\infty \).
Một vài giới hạn đặc biệt
\( \lim n^k = +\infty \) với \( k \) nguyên dương;
\( \lim \sqrt{n} = +\infty \);
\( \lim q^n= +\infty \) nếu \( q >1\).
Tính chất giới hạn vô cực của dãy số
Nếu \( \lim u_n=a\) và \(\lim v_n=\pm \infty \) thì \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n} \right) = 0\).
Nếu \( \lim u_n=a>0, \lim v_n=0 \) và \( v_n>0 \) với mọi \( n \) thì \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n} \right) = +\infty \).
Nếu \( \lim u_n=a\) và \(\lim v_n=+ \infty \) thì \( \lim \left(u_n v_n \right) = +\infty \).
$ \lim \frac{c}{n^k}=0 $ for some positive integers $ k $
$ \lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0 $
$ \lim \frac{1}{\sqrt[k]{n}}=0 $ for some positive integers $ k $
$ \lim q^n=0 $ for $ |q|<1 $
$ \lim n=+\infty $
$ \lim n^k=+\infty $ for some positive integers $ k $
$ \lim \sqrt{n}=+\infty $
$ \lim \sqrt[k]{n}=+\infty $ for some positive integers $ k $
$ \lim q^n=+\infty $ for $ q>1. $
Squeeze Law
Let three sequences $ (u_n),(v_n) $ and $ (w_n) $ such that $ u_n\le v_n\le w_n $ and $ \lim u_n=\lim w_n=L ,$ then \[ \lim v_n=L\]
Specially, if $ |u_n|\le v_n $ and $ \lim v_n=0 $ then $ \lim u_n=0. $
Basic Limit Law
Finite limits: If $ \lim u_n=A $ and $ \lim v_n=B $ then
$ \lim (u_n\pm v_n)=\lim A\pm \lim B $
$ \lim (c\cdot u_n)= c\cdot A $
$ \lim (u_n\cdot v_n)=AB $
$ \lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{A}{B} $ if $ b\ne 0 $
Infinite Limits:
$ \lim (u_n\cdot v_n) $
$ \lim \frac{u_n}{v_n} $
2. Example
Example 1. Find the limit of the following sequence, or determine that the limit does not exist: $$ \lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} $$ Hint. Divide numerator and denominator by $ n^3, $ we get \begin{align*}
\lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} &=\lim\frac{3-\frac{1}{n^3}}{2+\frac{1}{n^3}}\\
&=\frac{3}{2}
\end{align*}
So $ \lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} =\frac{3}{2}. $
Example 2. Find the limit of the following sequences if it exists:
Example 6. Find the limit of the following sequence \[ \lim \frac{1+2+3+\cdots+n}{1+n^3} \]
Example 7. Find the limit of the following sequences: $ u_n=\dfrac{\sin(2n+1)}{3^n},v_n=\dfrac{(-1)^n}{2n+3} $ Hint. For all $ n $ we have \[ \left|\frac{\sin(2n+1)}{3^n}\right|\le \frac{1}{3^n} \]
and \[ \lim \frac{1}{3^n}=0 \] and so $ \lim \frac{\sin(2n+1)}{3^n}=0. $
Example 8. Express the repeating decimal $ 0.777… $ as a fraction. Hint. We have \begin{align*} 0.777…&=0.7+0.07+0.0007+\cdots\\
&=\frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\cdots \end{align*}
This is the sum of an geometric sequence with $ u_1=\frac{7}{10} $ and the common ratio $ q=\frac{1}{10}<1 $. So \[ 0.777…=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9} \]
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là: $$ F(n)=\begin{cases} 1& \text{khi }&n=1\\ 1& \text{khi }&n=2\\ F(n-1)+F(n-2)& \text{khi }&n>2 \end{cases}$$
Dãy số Fibonacci (Phibônaxi) được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci – Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các “cụ tổ” của một ong đực.
Bài toán đếm số đôi thỏ
Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi,mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh
Trong hình vẽ trên, ta quy ước:
Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
Với n = 1 ta được f(1) = 1.
Với n = 2 ta được f(2) = 1.
Với n = 3 ta được f(3) = 2.
Do đó với n > 2 ta có công thức tổng quát f(n) = f(n-1) + f(n-2).
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n-1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n-2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2).
Công thức tổng quát của dãy Fibonacci
Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là: $$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)$$
Liên hệ với tỉ lệ vàng
Tỷ lệ vàng $\varphi$ (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ.
Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:$$\frac{1}{x}=\frac {x}{1+x},$$ hay tương đương $x^{2}-x-1=0$. Nghiệm dương đó chính là $\varphi =\frac{1+\sqrt {5}{2}\approx 1.618\,033\,989$.
