ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

I. ĐỀ BÀI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

Dạng 1. Giải hệ phương trình

1. \(\left\{ \begin{align} & x-4y=3 \\ & 2x-y=4 \\ \end{align} \right.\).
2. \(\left\{ \begin{align} & \frac{x+y}{2}=\frac{x-y}{4} \\ & \frac{x}{3}=\frac{y}{5}+1 \\ \end{align} \right.\)
3. \(\left\{ \begin{align} & \left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=xy-1 \\ & \left( x-3 \right)\left( y-3 \right)=xy-3 \\ \end{align} \right.\)
4. \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{2x-1}+\frac{4}{y+5}=3 \\ & \frac{3}{2x-1}-\frac{2}{y+5}=-5 \\ \end{align} \right.\)
5. \(\left\{ \begin{align} & \left| x+5 \right|-\frac{2}{\sqrt{y}-2}=4 \\ & \left| x+5 \right|+\frac{1}{\sqrt{y}-2}=3 \\ \end{align} \right.\)
6. \(\left\{ \begin{align} & \frac{x-1}{2x+1}-\frac{y-2}{y+2}=1 \\ & \frac{3x-3}{2x+1}+\frac{2y-4}{y+2}=3 \\ \end{align} \right.\)
7. \(\left\{ \begin{align} & 2\left( x+2 \right)-3\left( x-3y \right)=4 \\ & 3\left( x+2 \right)+\left( x-3y \right)=6 \\ \end{align} \right.\)
8. \(\left\{ \begin{align} & 2\left( x+y \right)+\sqrt{x+2}=7 \\ & 5\left( x+y \right)-2\sqrt{x+2}=4 \\ \end{align} \right.\)
9. \(\left\{ \begin{align} & 2\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}=4 \\ & 6\sqrt{x-1}-2\sqrt{y+2}=2 \\ \end{align} \right.\)
10. \(\left\{ \begin{align} & \frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 2y-1 \right|}=5 \\ & \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 1-2y \right|}=3 \\
    \end{align} \right.\)
11. \(\left\{ \begin{align} & \frac{x}{\sqrt{2x+3}}-2\sqrt{y+1}=3 \\ & \frac{2x}{\sqrt{2x+3}}+\sqrt{y+1}=4 \\ \end{align} \right.\)
12. \(\left\{ \begin{align} & \frac{2y-5x}{3}+5=\frac{y+27}{4}-2x \\ & \frac{x+1}{3}+y=\frac{6y-5x}{7} \\
    \end{align} \right.\)

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bài 1. Cho hệ phương trình $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x + my = 2m – 1}\\ {mx – y = {m^2} – 2} \end{array}} \right.$$

1. Giải hệ phương trình khi $m=1$.
2. Chứng minh hệ PT có nghiệm duy nhất với mọi $m$.
3. Với $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa $x$, $y$ không phụ thuộc vào $m$.
4. Gọi $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
   1. $\sqrt{2 x+1}=y$
   2. $\left| x \right|=2\left| y \right|$
   3. Biểu thức $P=xy$ đạt giá trị lớn nhất.
   4. $x-y<0$

Bài 2. Cho hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & mx+4y=m+2 \\ & x+my=m \\ \end{align} \right.$$

1. Giải hệ phương trình với $m=-3$
2. Với $\left( x;y \right)$là nghiệm duy nhất hệ phương trình, tìm hệ thức $x;y$ không phụ thuộc vào $m$.
3. Gọi $\left( x,y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
   1. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ iii) Biểu thức $P=x-2{{y}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất
   2. $\left| 1-x \right|+y=3$ iv) $x+y=\frac{2m}{m-4}$

Dạng 3. Giải toán bằng cách lập hệ phương trình.

Em nào chưa nắm vững dạng toán này có thể tham khảo thêm trong bài Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Toán tìm số

Bài 1. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng $19$và tổng các bình phương của chúng bằng $185$.

Bài 2. Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng là $2216$ và nếu lấy số lớn chia cho $9$thì được thương là số kia và dư là $56$.

Bài 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng $13$. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là $25$. Tìm số đã cho.

Bài 4. Tổng ba lần chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là $14$. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là $18$ đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.

Toán làm chung, làm riêng

Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau $1$ giờ $20$ giờ sẽ đầy bể. Nếu để vòi $1$hảy một mình trong $10$phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi $2$chảy trong $12$phút thì cả hai vòi chảy được $\frac{2}{15}$bể. Tính thời gian mỗi vòi chảu một mình đầy bể ?

Bài 2. Để hoàn thành một công việc, hai tổ làm chung và dự kiến hoàn thành sau 6 giờ. Trên thực tế, sau 2 giờ hai tổ làm chung, tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình mà đầy bể?

Toán chuyển động

Bài 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sơm hơn dự định 3 giờ; còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB?

Bài 2. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km. Một lần khác cũng trong 7 giờ ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km.Tính vận tốc nước chảy và vận tốc canô lúc nước yên lặng?

Bài 3. Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5km?

Bài 4. Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(38km\). Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau \(4\) giờ. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai \(2km\).

Toán liên quan tới yếu tố hình học

Bài 1. Một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm \(2m\) và tăng chiều rộng \(3m\) thì diện tích tăng \(100{{m}^{2}}\). Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng \(2m\) thì diện tích giảm \(68{{m}^{2}}\). Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Bài 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là \(720{{m}^{2}}\), nếu tăng chiều dài thêm \(6m\) và giảm chiều rộng đi \(4m\) thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn.

Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(90m\). Nếu giảm chiều rộng đi \(4m\) và giảm chiều dài \(20%\) thì chu vi mảnh đất giảm đi \(18m\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu?

Bài 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(28m\) và độ dài đường chéo bằng \(10m\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Toán phần trăm

Câu 1. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 12%, xí nghiệp 2 vượt mức 10% do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ của mỗi xí nghiệp phải làm.

Câu 2. Hai trường A, B có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10 đạt tỉ lệ trúng tuyển 84%. Biết số học sinh đỗ của trường A chiếm 80%, số học sinh đỗ của trường B chiếm 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.

Câu 3. Trong tuẩn đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ 2, tổ 1 vượt mức 25%, tổ 2 giảm mức 18% nên trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ quần áo. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo?

Dạng 4. Hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$. Phương trình bậc hai một ẩn

Câu 1. Cho hàm số $y={{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x+2$ có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$.

1. Chứng minh $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
2. Hãy xác định tọa độ các giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$.
3. Tính diện tích của tam giác $OAB$ ($O$ là gốc tọa độ).

Bài 2: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$có đồ thị là Parabol (P)

1. Xác định $a$biết Parabol (P) đi qua điểm $M\left( -1;1 \right)$
2. Vẽ đồ thị hàm số $y=a{{x}^{2}}$với $a$vừa tìm được ở câu trên.
3. Cho đường thẳng $\left( d \right):y=2x+3$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$với hệ số $a$ tìm được.
4. Tính diện tích tam giác $AOB$với $A,B$ là các giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$

Bài 3: Cho hàm số $y=-{{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x-2$có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$. Gọi $A,B$là giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$. Tính diện tích tam giác $AOB$

Bài 4: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị là Parabol (P)và đường thẳng $\left( d \right):y=-2x+3$

1. Xác định hệ số $a$ biết rằng $\left( P \right)$đi qua điểm $\left( -2;4 \right)$
2. Gọi $A,B$là hai giao điểm của $\left( P \right),\left( d \right)$, $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác $AHKB$.

Câu 5. Giải phương trình bậc hai

1. (2{{x}^{2}}-3x-5=0\)
2. \({{x}^{2}}-6x+8=0\)
3. \(9{{x}^{2}}-12x+4=0\)
4. \(-3{{x}^{2}}+4x-4=0\)

Câu 6. Cho phương trình \(\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2mx+m-3=0\) (\(m\) là tham số)

1. Giải phương trình với \(m=2\).
2. Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 7. Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m-6=0\) (\(m\) là tham số)

1. Giải phương trình với \(m=-5\).
2. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

Câu 8. Cho phương trình \(m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3=0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình:

1. Có hai nghiệm phân biệt
2. Có nghiệm kép
3. Vô nghiệm
4. Có nghiệm.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(\left( P \right):\,y={{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,y=mx+3\).

1. Chứng tỏ \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
2. Tìm tọa độ các giao điểm \(A\,,\,B\) của Parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) khi \(m=2\). Tính diện tích \(\Delta AOB\).

Dạng 5: Góc với đường tròn

Mời các em xem lại kiến thức và bài tập mẫu tại đây:

• Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
• TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG

Câu 1. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và điểm \(A\) cố định ngoài đường tròn. Qua \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) tới đường tròn (\(M,N\) là hai tiếp điểm). Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O;R \right)\) tại \(B\) và \(C\)\(\left( AB<AC \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\).

1. Chứng minh năm điểm \(A,M,N,O,I\) thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh \(A{{M}^{2}}=AB.AC\).
3. Đường thẳng qua \(B\)song song với \(AM\) cắt \(MN\) tại \(E\). Chứng minh \(IE\text{//}MC\).
4. Chứng minh khi \(d\) thay đổi quay quanh điểm \(A\) thì trọng tâm \(G\) của tam giác \(MBC\) luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Câu 2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MC\) cắt \(BC\) tại \(E\). Nối \(BM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\), \(AN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\). Lấy \(I\) đối xứng với \(M\) qua \(A\), \(K\) đối xứng với \(M\) qua \(E\).

1. Chứng minh \(BANC\) là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\).
3. Chứng minh \(ABED\) là hình thang.
4. Tìm vị trí \(M\) để đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BIK\) có bán kính nhỏ nhất.

Câu 3. Cho hai số thực $x,\,\,y$thỏa mãn điều kiện \(xy=1\) và $x>y$. Chứng minh rằng $A=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x-y}\ge 2\sqrt{2}$

Câu 4. Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+\frac{y}{\sqrt{{{y}^{2}}+3}}+\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+3}}$

II. LỜI GIẢI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

Mời thầy cô và các em xem trong file sau: DC-GK2-TOAN 9