Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B
O2 Education xin giới thiệu Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B năm 2021 kèm theo lời giải các câu vận dụng cao. Quý thầy cô có thể tham khảo thêm Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B
Câu 1: Khối hộp chữ nhật có ba kích thước $2,\,3,\,a$ có thể tích bằng $24.$ Giá trị của $a$ bằng
A. $6.$
B. $4.$
C. $8.$
D. $12.$
Câu 2: Đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 3x-1 \right)$ với $x>\frac{1}{3}$ là
A. ${y}’=\frac{3}{\left( 3x-1 \right)\ln 2}.$
B. ${y}’=\frac{3}{\left( 3x-1 \right)}.$
C. ${y}’=\frac{3\ln 2}{\left( 3x-1 \right)}.$
D. ${y}’=\frac{1}{\left( 3x-1 \right)\ln 2}.$
Câu 3: Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1-3i\) và \({{z}_{2}}=-2-5i.\) Phần ảo của số phức $z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}$ bằng
A. \(3.\) B. \(-3.\) C. \(-2.\) D. \(2.\)
Câu 4: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( -17;15 \right).\)
B. \(\left( 3;+\infty \right).\)
C. \(\left( -1;3 \right).\)
D. \(\left( -\infty ;3 \right).\)
Câu 5: Cho một hình cầu có bán kính $6\,\text{cm}.$Diện tích của mặt cầu đó bằng
A. $144\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
B. $24\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
C. $864\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
D. $288\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
Câu 6: Cho số phức $z=2+3i.$ Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$ có tọa độ là
A. $(3;2).$
B. $(-2;-3).$
C. $(2;-3).$
D. $(2;3).$
Câu 7: Gọi $A$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6.$ Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $A,$ tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5.
A. $\frac{1}{6}.$
B. $\frac{11}{36}.$
C. $\frac{1}{3}.$
D. $\frac{125}{1296}.$
Câu 8: Nếu\(\int\limits_{-1}^{1}{f(x)}\text{d}x=4\) và\(\int\limits_{-1}^{3}{f(x)\text{d}x}=1\)thì \(\int\limits_{1}^{3}{f(x)\text{d}x}\) bằng
A. $-5.$
B. $5.$
C. $-3.$
D. $3.$
Câu 9: Nghiệm của phương trình ${{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 2x \right)=-1$ là
A. $x=\frac{5}{2}.$
B. $x=\frac{1}{10}.$
C. $x=5.$
D. $x=\frac{2}{5}.$
Câu 10: Với $a>0$, biểu thức $T=a.\sqrt[5]{{{a}^{4}}}$ viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là
A. $T={{a}^{\frac{9}{4}}}.$
B. $T={{a}^{\frac{4}{5}}}.$
C. $T={{a}^{21}}.$
D. $T={{a}^{\frac{9}{5}}}.$
Câu 11: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(3\) và chiều cao bằng \(4.\) Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. \(36.\)
B. \(4.\)
C. \(12.\)
D. \(6.\)
Câu 12: Cho hàm số \(f(x)=\sin 3x.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(\int{f(x)}\text{d}x=\frac{1}{3}\cos 3x+C.\)
B. \(\int{f(x)}\text{d}x=3\cos 3x+C.\)
C. \(\int{f(x)}\text{d}x=-3\cos 3x+C.\)
D. \(\int{f(x)}\text{d}x=-\frac{1}{3}\cos 3x+C.\)
Câu 13: Số phức liên hợp của số phức $z=i(3i+1)$ là
A. $\overline{z}=3+i.$
B. $\overline{z}=-3+i.$
C. $\overline{z}=3-i.$
D. $\overline{z}=-3-i.$
Câu 14: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. $1.$
B. $4.$
C. $2.$
D. $3.$
Câu 15: Cho hàm số$y=a{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+cx-1$, $\left( a,\,c\in \mathbb{R} \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $a>0,\,c<0.$
B. $a>0,\,c>0.$
C. $a<0,\,c<0.$
D. \(a<0,\,c>0.\)
Câu 16: Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x\,\text{d}x}\) bằng
A. $0.$
B. $-1.$
C. $1.$
D. \(\frac{\pi }{2}.\)
Câu 17: Cho hàm số \(f(x)=4{{x}^{3}}+1.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(\int{f(x)}\text{d}x={{x}^{4}}-x+C.\)
B. \(\int{f(x})\text{d}x={{x}^{4}}+x+C.\)
C. \(\int{f(x)}\text{d}x=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+x+C.\)
D. \(\int{f(x)}\text{d}x=4{{x}^{4}}+x+C.\)
Câu 18: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;2;4 \right)$, $B\left( 2;4;-1 \right).$ Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$.
A. $G\left( 6;3;3 \right).$
B. $G\left( 1;2;1 \right).$
C. $G\left( 2;1;1 \right).$
D. $G\left( 2;1;-1 \right).$
Câu 19: Có bao nhiêu cách chọn ra $8$ học sinh trong một lớp có $15$ học sinh nam và $25$ học sinh nữ?
A. \(A_{40}^{8}.\)
B. \(C_{25}^{8}.\)
C. \(C_{15}^{8}+C_{25}^{8}.\)
D. \(C_{40}^{8}.\)
Câu 20: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Khi đó số điểm cực đại của hàm số $y=f\left( x \right)$ là
A. $3.$
B. $2.$
C. $0.$
D. $1.$
Câu 21: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=x{{\left( x-1 \right)}^{4}},\forall x\in \mathbb{R}.\).Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $2.$
B. $5.$
C. $1.$
D. $0.$
Câu 22: Công thức thể tích $V$ của khối trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là
A. $V=\pi {{r}^{2}}h.$
B. $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
C. $V=4\pi {{r}^{2}}h.$
D. $V=2\pi rh.$
Câu 23: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1.$
B. $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1.$
C. $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}.$
D. $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}.$
Câu 24: Nghiệm của phương trình ${{3}^{-2x+1}}=\frac{1}{3}$ là
A. $x=-1.$
B. $x=0.$
C. $x=1.$
D. $x=\frac{1}{2}.$
Câu 25: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$ và ${{u}_{6}}=27.$ Giá trị của công sai $d$ bằng
A. $d=8.$
B. $d=5.$
C. $d=6.$
D. $d=7.$
Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm \(M\left( -1\,;\,-1\,;\,2 \right)\) và $N\left( 1\,;\,3\,;\,4 \right)$. Đường thẳng $MN$ có phương trình chính tắc là
A. $\frac{x-1}{2}\,\,=\,\,\frac{y-1}{4}\,\,=\,\,\frac{z+2}{2}.$
B. $\frac{x+1}{1}\,\,=\,\,\frac{y+1}{2}\,\,=\,\,\frac{z-2}{1}.$
C. $\frac{x-1}{2}\,\,=\,\,\frac{y-1}{2}\,\,=\,\,\frac{z+2}{1}.$
D. $\frac{x+1}{2}\,\,=\,\,\frac{y+3}{4}\,\,=\,\,\frac{z+4}{2}.$
Câu 27: Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,x-2y+z+1=0?$
A. $M\left( 2;1;-1 \right).$
B. $N\left( 1;-2;1 \right).$
C. $P\left( 0;0;1 \right).$
D. $Q\left( 2;0;-1 \right).$
Câu 28: Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ có tâm tọa độ là
A. $\left( 1;2;0 \right).$
B. $\left( 1;-2;0 \right).$
C. $\left( -1;-2;0 \right).$
D. $\left( -1;2;0 \right).$
Câu 29: Xét hai số thực dương $a$ và $b$ bất kì thỏa mãn ${{\log }_{\sqrt{2}}}a={{\log }_{4}}\left( a{{b}^{2}} \right).$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. ${{a}^{-3}}={{b}^{8}}.$
B. ${{a}^{2}}={{b}^{3}}.$
C. ${{a}^{3}}={{b}^{2}}.$
D. ${{a}^{4}}={{b}^{2}}.$
Câu 30: Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc và \(OB=OC=a\sqrt{6},\,OA=a\) (tham khảo hình bên). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( OBC \right).\)
A. \(45{}^\circ .\)
B. \(90{}^\circ .\)
C. \(60{}^\circ .\)
D. \(30{}^\circ .\)
Câu 31: Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-\frac{1}{3}$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right].$ Tính tổng $S=M+m.$
A. $S=\frac{4}{3}.$
B. $S=\frac{1}{3}.$
C. $S=\frac{2}{3}.$
D. $S=1.$
Câu 32: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left( 2+i \right)z+\frac{1-i}{1+i}=5-i.$ Môđun của số phức \(w=1+2z+{{z}^{2}}\) bằng
A. $10.$
B. $100.$
C. $\sqrt{10}.$
D. $2.$
Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{{{3}^{x}}+5}\le \frac{1}{{{3}^{x+1}}-1}$ là
A. $\left( 1;2 \right).$
B. $\left( 1;+\infty \right).$
C. $\left( -\infty ;-1 \right].$
D. $\left( -1;1 \right].$
Câu 34: Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ và tiếp xúc với trục $Oy$ là
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8.$
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=10.$
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9.$
D. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16.\)
Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2},$$A{A}’=2a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $C{D}’.$
A. $2a.$
B. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$
C. $\frac{a\sqrt{5}}{5}.$
D. $a\sqrt{2}.$
Câu 36: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm $A\left( 1;-2;-3 \right),\,B\left( -1;4;1 \right)$ và đường thẳng $d:\,\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}.$ Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc là
A. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+2}{2}.$
B. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}.$
C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}.$
D. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}.$
Câu 37: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}?\)
A. \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x.\)
B. \(y=-{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1.\)
C. \(y=\frac{x-1}{x-2}.\)
D. \(y=-{{x}^{3}}+x+1.\)
Câu 38: Nếu\(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\) thì $\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}$ bằng
A. $18.$
B. $6.$
C. $12.$
D. $9.$
Câu 39: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn $\left[ -4;4 \right]$ và $\int\limits_{-2}^{0}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=3.$ Tính $I=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)-{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}.$
A. $I=2.$
B. $I=-4.$
C. $I=3.$
D. $I=6.$
Câu 40: Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là một tam giác vuông tại \(C,\)\(BC=2a,\,\)tam giác \(SAB\) là tam giácvuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \({{60}^{o}}.\) Tính thể tích của khói chóp \(S.ABC.\)
A. \(\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
B. \(\frac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)
C. \(2\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
D. \(\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)
Câu 41: Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ thuộc đoạn $\left[ 1;2021 \right]$ để số phức $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}$ là số thuần ảo?
A. $1010.$
B. $505.$
C. $1011.$
D. $506.$
Câu 42: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.,\,t\in \mathbb{R}\) và hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-2}{3}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+4}{5}=\frac{y+7}{9}=\frac{z}{1}.$ Đường thẳng $d$ song song với đường thẳng \(\Delta \) và cắt cả hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,\ {{\Delta }_{2}}$ có phương trình tham số là
A. $\left\{ \begin{align} & x=1 \\& y=-2+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right..$
B. $\left\{ \begin{align} & x=2 \\& y=2+4t \\ & z=5-t \\ \end{align} \right..$
C. $\left\{ \begin{align} & x=6 \\& y=11+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right..$
D. $\left\{ \begin{align} & x=-4 \\& y=-7+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right..$
Câu 43: Một tấm tôn có hình quạt tròn $AOB$ bán kính $OA$ bằng 1 mét, cung tròn $AB$ có độ dài $2$ mét. Người ta cắt bỏ đi hình quạt tròn nhỏ $COD$ với cung tròn $CD$ có độ dài $x$ mét để gò thành mặt xung quanh của một khối nón cụt có thể tích bằng $\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{4{{\pi }^{2}}}$ mét khối (tham khảo hình vẽ bên). Hỏi diện tích phần tấm tôn bỏ đi là bao nhiêu mét vuông (giả sử độ dầy tấm tôn không đáng kể)?
A. $\sqrt[3]{2}.$
B. $\frac{\sqrt[3]{4}}{4}.$
C. $1.$
D. $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$
Câu 44: Có bao nhiêu bộ số $\left( x;y \right)$ với $x,\,y$ nguyên và thuộc đoạn $\left[ 3;10 \right]$, đồng thời thỏa mãn $\left( xy+7y \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y-4}{y} \right)\le \left( 4x-xy \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+4}{x} \right)?$
A. $2.$
B. $14.$
C. $7.$
D. $16.$
Câu 45: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của ${f}’\left( x \right)$ như sau:
Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -2x+4 \right)$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ biết rằng $g\left( -1 \right)-g\left( 1 \right)+g\left( 2 \right)-g\left( 3 \right)=0.$
A. $M=g(-1);\,m=g(3).$
B. $M=g(1);\,m=g(-1).$
C. $M=g(3);\,m=g(2).$
D. $M=g(3);\,m=g(1).$
Câu 46: Cho hàm số $y=\frac{2}{27}{{x}^{3}}-\frac{4}{9}{{x}^{2}}-\frac{10}{9}x+\frac{227}{27}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $\left( T \right)$ là đường tròn đường kính $AB$ (với $A,\,B$ là các điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$). Tính diện tích hình phẳng nằm ngoài đường tròn $\left( T \right)$ giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-3,\,x=5.$
A. $\frac{640+225\pi }{18}.$
B. $\frac{1090-225\pi }{18}.$
C. $\frac{320+225\pi }{18}.$
D. $\frac{640+225\pi }{9}.$
Câu 47: Có bao nhiêu số $a$ thuộc ${{\mathbb{N}}^{*}}$ sao cho tồn tại số thực $x$ thoả \({{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022?\)
A. $5.$
B. $9.$
C. $12.$
D. $8.$
Câu 48: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn thỏa mãn $f\left( -2 \right)<\frac{1}{4}<f\left( 0 \right)$ và hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
Hỏi hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sin x-1 \right)+\frac{\cos 2x}{4} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)?$
A. $5.$
B. $2.$
C. $3.$
D. $4.$
Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;5;-3 \right),B\left( -2;1;1 \right),C\left( 2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x+4y+5z+1=0.$ Gọi $D\left( a;b;c \right)$ (với $c>0$) thuộc $\left( \alpha \right)$ sao cho có vô số mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $C,\,D$ và khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ gấp ba lần khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right).$ Tính giá trị biểu thức $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
A. $S=26.$
B. $S=18.$
C. $S=20.$
D. $S=32.$
Câu 50: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm $A\left( 1;1 \right),\,\,B\left( -1;2 \right),\,\,C\left( 3;-\frac{1}{2} \right)$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}.$ Gọi $z$ là số phức thỏa mãn đồng thời $\left| z-1+2i \right|=5$ và ${{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2{{\left| z-{{z}_{3}} \right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính diện tích của tam giác $OIM$ với $I\left( -4;4 \right)$ và $M$ là điểm biểu diễn số phức $z.$
A. $\frac{4\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
B. $\frac{4\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$
C. $\frac{2\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
D. $\frac{2\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$———————————————-
———– HẾT ———-
Hướng dẫn giải Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B
Câu 1: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn $\left[ -4;4 \right]$ và $$\int\limits_{-2}^{0}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=3.$ $Tính $I=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)-{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}.$
A. $I=2.$
B. $I=-4.$
C. $I=3.$
D. $I=6.$
Ta có $I=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)-{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}-\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}$
Theo giả thiết $3=\int\limits_{-2}^{0}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{-4}^{0}{f\left( t \right)\Rightarrow \int\limits_{-4}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}}=6.$
Có $y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn trên $\left[ -4;4 \right]$ $\Rightarrow \int\limits_{-4}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{{{a}^{x}}+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=6$
Nên $\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=6}$
Và đặt $t=-x\Rightarrow $$\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=-\int\limits_{4}^{-4}{\frac{{{2}^{-t}}}{{{3}^{-t}}+{{2}^{-t}}}\text{d}t}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{t}}}{{{3}^{t}}+{{2}^{t}}}\text{d}t}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}$
Nên $\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x=4}$
Vậy $I=2.$
Câu 2: Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là một tam giác vuông tại \(C,\)\(BC=2a,\,\)tam giác \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \({{60}^{o}}.\) Tính thể tích của khói chóp \(S.ABC.\)
A. \(\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
B. \(\frac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)
C. \(2\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
D. \(\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)
Gọi \(H\) là trung điểm\(AB\). Suy ra \(SH\bot AB\) (do \(\Delta ABC\)vuông cân tại \(S\)).
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\ & \left( SAB \right)\cap \left( SBC \right)=AB \\ & SH\bot AB\,\left( SH\subset \left( SAB \right) \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\)
Trong \(mp\left( ABC \right)\)kẻ \(HK\bot AC\,\,\left( H\in AC \right)\). Khi đó,\(K\)là trung điểm \(AC\).
Dễ thấy \(\Delta SHA=\Delta SHC\,\left( c-g-c \right)\Rightarrow SA=SC\Rightarrow \)Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\). Có \(K\)là trung điểm \(AC.\) Nên \(SK\bot AC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & SK\bot AC\left( trong\,mp\left( SAC \right) \right) \\ & HK\bot AC\left( trong\,mp\left( ABC \right) \right) \\ & \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left( \left( SAC \right),\left( ABC \right) \right)=\widehat{SKH}={{60}^{o}}.\)
Ta có: \(HK=a\) (Vì \(HK\)là đường trung bình của tam giác \(ABC\)).
\(\begin{align}& SH=HK.\tan {{60}^{o}}=a\sqrt{3} \\ & AB=2SH=2\sqrt{3}a \\ & AC=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}a \\ \end{align}\)
Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC.BC.SH=\frac{1}{6}2\sqrt{2}a.2a.a\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}}\left( dvtt \right)\)
Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ thuộc đoạn $\left[ 1;2021 \right]$ để số phức $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}$ là số thuần ảo?
A. $1010.$
B. $505.$
C. $1011.$
D. $506.$
Hướng dẫn:
Ta có $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{\left( 2i \right)}^{m}}$ là số thuần ảo thì $m=2k+1,\,k\in \mathbb{N}.$
Mà $m\in \left[ 1;2021 \right]\Rightarrow 1\le 2k+1\le 2021\Leftrightarrow 0\le k\le 1010$ nên có $1011$ số tự nhiên $m$ thỏa mãn bài toán.
Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.,\,t\in \mathbb{R}\) và hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-2}{3}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+4}{5}=\frac{y+7}{9}=\frac{z}{1}.$ Đường thẳng $d$ song song với đường thẳng \(\Delta \) và cắt cả hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,\ {{\Delta }_{2}}$ có phương trình tham số là
A. $\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-2+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right..$
B. $\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2+4t \\ & z=5-t \\ \end{align} \right..$
C. $\left\{ \begin{align} & x=6 \\ & y=11+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right..$
D. $\left\{ \begin{align} & x=-4 \\ & y=-7+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right..$
Hướng dẫn:
Giả sử đường thẳng $d$ cắt đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}}$ lần lượt tại $A,\,B$ thì $A\left( 1+a;\,-2+4a;\,2+3a \right)$, $B\left( -4+5b;\,-7+9b;\,b \right)$.
$\overrightarrow{AB}=\left( 5b-a-5;\,9b-4a-5;\,b-3a-2 \right)$.
Vì đường thẳng $d$ song song với \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.,\,t\in \mathbb{R}\) nên véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với véc-tơ chỉ phương của $\Delta $ là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 0;\,4;\,-1 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 5b-a-5=0 \\ & 9b-4a-5=4k \\ & b-3a-2=-k \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 5b-a=5 \\ & 13b-16a-13=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=0 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow A\left( 1;\,-2;\,2 \right)$
Đường thẳng $d$ qua $A\left( 1;\,-2;\,2 \right)$, có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{n}=\left( 0;\,4;\,-1 \right)$ nên có phương trình: $\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-2+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.$.
Câu 5: Một tấm tôn có hình quạt tròn $AOB$ bán kính $OA$ bằng 1 mét, cung tròn $AB$ có độ dài $2$ mét. Người ta cắt bỏ đi hình quạt tròn nhỏ $COD$ với cung tròn $CD$ có độ dài $x$ mét để gò thành mặt xung quanh của một khối nón cụt có thể tích bằng $\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{4{{\pi }^{2}}}$ mét khối (tham khảo hình vẽ bên). Hỏi diện tích phần tấm tôn bỏ đi là bao nhiêu mét vuông (giả sử độ dầy tấm tôn không đáng kể)?
A. $\sqrt[3]{2}.$
B. $\frac{\sqrt[3]{4}}{4}.$
C. $1.$
D. $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$
Hướng dẫn:
Ta gọi \(R,\,r,\,h\) tương ứng là bán kính đáy lớn, đáy nhỏ và chiều cao chóp cụt.
Khi đó $2\pi R=2\Rightarrow R=\frac{1}{\pi },\,2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }\Rightarrow V=\frac{\pi h}{3}\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$
Từ $V=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{4{{\pi }^{2}}}\Rightarrow h\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=\frac{3\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{\pi }$
Gọi ${{h}_{1}},\,{{h}_{2}}$ khoảng cách từ $O$ đến đáy nhỏ và đáy lớn của nón cụt, ${{h}_{2}}=\sqrt{O{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{\pi },\,{{h}_{1}}={{h}_{2}}-h=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{\pi }-h.$
Do $\frac{r}{R}=\frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+3}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}\Rightarrow \frac{OD}{OA}=\frac{x}{2}\Rightarrow OD=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\Rightarrow {{S}_{COD}}=\frac{OD.x}{2}=\frac{\sqrt[3]{4}}{4}.$
Câu 6: Có bao nhiêu bộ số $\left( x;y \right)$ với $x,\,y$ nguyên và thuộc đoạn $\left[ 3;10 \right]$, đồng thời thỏa mãn $\left( xy+7y \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y-4}{y} \right)\le \left( 4x-xy \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+4}{x} \right)?$
A. $2.$ B. $14.$ C. $7.$ D. $16.$
Hướng dẫn:
- Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:3\le x,y\le 10 \\ & x>0,y>2 \\ \end{align} \right.$.
- Biến đổi BPT $\Leftrightarrow y\left( x+7 \right){{\log }_{3}}\left( 2-\frac{4}{y} \right)+x\left( y-4 \right){{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)\le 0$(*).
- Xét $y=3$ thì (*) thành $\Leftrightarrow 3\left( x+7 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-x{{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)\le 0$ luôn đúng.
- Rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi $x>0$ vì ${{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)<0\Rightarrow 3\left( x+7 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)<0;\,\,{{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)>0\Rightarrow -x{{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)<0$
- Như vậy trường hợp này cho ta đúng 8 bộ $\left( x;y \right)=\left( x;3 \right)$ với $3\le x\le 10,x\in \mathbb{N}$.
- Xét $y=4$ thì (*) thành $4\left( x+7 \right){{\log }_{3}}1\le 0$, BPT này cũng luôn đúng với mọi $x$ mà $3\le x\le 10,x\in \mathbb{N}$. Trường hợp này cho ta 8 cặp $\left( x;y \right)$ nữa.
- Với $y>4,x>0$ thì $VT\left( * \right)>0$ nên (*) không xảy ra.
Vậy có đúng 16 bộ số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của ${f}’\left( x \right)$ như sau:
Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -2x+4 \right)$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ biết rằng $g\left( -1 \right)-g\left( 1 \right)+g\left( 2 \right)-g\left( 3 \right)=0.$
A. $M=g(-1);\,m=g(3).$
B. $M=g(1);\,m=g(-1).$
C. $M=g(3);\,m=g(2).$
D. $M=g(3);\,m=g(1).$
Ta có ${g}'(x)=-2{f}'(-2x+4)$.
${g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'(-2x+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -2x+4=-2 \\ & -2x+4=0 \\ & -2x+4=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3 \\ & x=2 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$.
Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình ${f}'(x)=0$ nên $x=2$ là nghiệm bội chẵn của phương trình ${g}’\left( x \right)=0$.
Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\text{Min}}}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
Mặt khác:
$g\left( -1 \right)+g\left( 2 \right)=g\left( 1 \right)+g\left( 3 \right)$$\Leftrightarrow g\left( -1 \right)-g\left( 3 \right)=g\left( 1 \right)-g\left( 2 \right)<0$$\Rightarrow g\left( -1 \right)<g\left( 3 \right)$
Do đó $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\text{Max}}}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)$.
Câu 8: Cho hàm số $y=\frac{2}{27}{{x}^{3}}-\frac{4}{9}{{x}^{2}}-\frac{10}{9}x+\frac{227}{27}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $\left( T \right)$ là đường tròn đường kính $AB$ (với $A,\,B$ là các điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$). Tính diện tích hình phẳng nằm ngoài đường tròn $\left( T \right)$ giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-3,\,x=5.$
A. $\frac{640-225\pi }{18}.$
B. $\frac{1090-225\pi }{18}.$
C. $\frac{320-225\pi }{18}.$
D. $\frac{640-225\pi }{9}.$
Hướng dẫn:
Hai điểm cực trị là $A\left( -1;9 \right),\,B\left( 5;1 \right)\Rightarrow I\left( 2;5 \right)$ tâm đường tròn đường kính $AB$, $I$ cũng chính là điểm uốn đồng thời là tâm đối xứng của đồ thị.
Do đó diện tích hình tròn dưới đồ thị bằng nửa diện tích hình tròn tức là ${{S}_{1}}=\frac{1}{2}\pi {{R}^{2}}=\frac{25}{2}\pi .$
Lại có đường thẳng $x=-3$ và trục hoành cùng tiếp xúc với đường tròn nên diện tích cần tính là:
$S=\int\limits_{-3}^{5}{\left( \frac{2}{27}{{x}^{3}}-\frac{4}{9}{{x}^{2}}-\frac{10}{9}x+\frac{227}{27} \right)\text{d}x}-{{S}_{1}}=\frac{1090-225\pi }{18}.$
Câu 9: Có bao nhiêu số $a$ thuộc ${{\mathbb{N}}^{*}}$ sao cho tồn tại số thực $x$ thoả \({{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022?\)
A. $5.$ B. $9.$ C. $12.$ D. $8.$
Hướng dẫn:
Xét phương trình: ${{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}=\frac{{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022}{{{x}^{3}}+2022}$, điều kiện: $x>-1$,
$\begin{align} & \Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}={{\log }_{2021}}\left( {{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022 \right)-{{\log }_{2021}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{\log }_{2021}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+{{\log }_{2021}}\left( {{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022 \right)\,\,\left( * \right) \\ \end{align}$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+{{\log }_{2021}}\left( {{t}^{3}}+2022 \right)$, trên $\left( 0;+\infty \right)$
$f'(t)=3{{t}^{2}}+\frac{3{{t}^{2}}}{\left( {{t}^{3}}+2022 \right)\ln 2021}>0,\forall t>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó $\left( * \right)$ trở thành: $x={{a}^{\log \left( x+1 \right)}}$$\Leftrightarrow x={{\left( x+1 \right)}^{\log a}}\Leftrightarrow \log x=\log a.\log (x+1)$
$\Leftrightarrow \log a=\frac{\log x}{\log \left( x+1 \right)}<1,\forall x>-1$ nên $a<10\Rightarrow a\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$
Câu 10: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn thỏa mãn $f\left( -2 \right)<\frac{1}{4}<f\left( 0 \right)$ và hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
Hỏi hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sin x-1 \right)+\frac{\cos 2x}{4} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)?$
A. $5.$
B. $2.$
C. $3.$
D. $4.$
Hướng dẫn :
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( \sin x-1 \right)+\frac{\cos 2x}{4}$. Ta có \({h}’\left( x \right)=\cos x\,{f}’\left( \sin x-1 \right)-\frac{\sin 2x}{2}=\cos x\left[ {f}’\left( \sin x-1 \right)-\sin x \right]\).
Khi đó, ${h}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & {f}’\left( \sin x-1 \right)-\sin x=0.\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right.$
Trên khoảng $\left( 0;2\pi \right)$ thì $\cos x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2} \\ & x=\frac{3\pi }{2}. \\ \end{align} \right.$
Đặt $t=\sin x-1$ thì phương trình $\left( * \right)$ trở thành ${f}’\left( t \right)=t+1$.
Vẽ đồ thị $y={f}’\left( t \right)$ và đường thẳng $y=t+1$ trên cùng hệ trục tọa độ $Oty$ như hình vẽ sau.
Từ đồ thị ta có ${f}’\left( t \right)=t+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & t=1 \\ & t=a,\,\,\,\,\,\left( a>1 \right). \\ \end{align} \right.$
- Với $t=1$ thì $\sin x-1=1\Leftrightarrow \sin x=2$. Phương trình vô nghiệm.
- Với $t=a$ thì $\sin x-1=a\Leftrightarrow \sin x=a+1$. Phương trình này vô nghiệm vì $a+1>2$.
- Với $t=-1$ thì $\sin x-1=-1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=\pi $ (vì $x\in \left( 0;2\pi \right)$).
Như thế phương trình ${h}’\left( x \right)=0$ có đúng $3$nghiệm đơn thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$.
Khi đó có bảng biến thiên:
Do $f\left( -2 \right)<\frac{1}{4}<f\left( 0 \right)\Rightarrow f\left( 0 \right)-\frac{1}{4}>0;f\left( -2 \right)-\frac{1}{4}<0\Rightarrow f\left( -1 \right)+\frac{1}{4}<0$
Nên hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có 5 cực trị.
Câu 11: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;5;-3 \right),B\left( -2;1;1 \right),C\left( 2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x+4y+5z+1=0.$ Gọi $D\left( a;b;c \right)$ (với $c>0$) thuộc $\left( \alpha \right)$ sao cho có vô số mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $C,\,D$ và khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ gấp ba lần khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right).$ Tính giá trị biểu thức $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
A. $S=26.$
B. $S=18.$
C. $S=20.$
D. $S=32.$
Hướng dẫn:
Ta có $I=AB\cap \left( P \right)\Rightarrow \frac{AI}{BI}=\frac{d\left( A,\left( P \right) \right)}{d\left( B,\left( P \right) \right)}=3\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\pm \overrightarrow{BI}\Rightarrow I\left( -4;-1;-3 \right);\,I\left( -1;2;0 \right).$
Vì có vô số mặt phẳng chứa $C,\,D,\,I$ nên ba điểm này thẳng hàng hay $D\in CI.$
- TH1: Khi $I\left( -4;-1;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CI}\Rightarrow D\left( 2-6t;-t;1+2t \right)\in \left( \alpha \right)\Rightarrow t=1\Rightarrow D\left( -4;-1;3 \right)\equiv I.$
Thỏa mãn đề bài nên $a=-4;\,b=-1;\,c=3>0\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=26.$ - TH2: Khi $I\left( -1;2;0 \right)$ làm tương tự ta được $D\left( -4;4;-1 \right)\Rightarrow c=-1<0$ loại.
Câu 12: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm $A\left( 1;1 \right),\,\,B\left( -1;2 \right),\,\,C\left( 3;-\frac{1}{2} \right)$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}.$ Gọi $z$ là số phức thỏa mãn đồng thời $\left| z-1+2i \right|=5$ và ${{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2{{\left| z-{{z}_{3}} \right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính diện tích của tam giác $OIM$ với $I\left( -4;4 \right)$ và $M$ là điểm biểu diễn số phức $z.$
A. $\frac{4\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
B. $\frac{4\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$
C. $\frac{2\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
D. $\frac{2\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$
Hướng dẫn:
Điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $P\left( 1;-2 \right),\,R=5.$ Khi đó: $$T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2{{\left| z-{{z}_{3}} \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}-2I{{C}^{2}}$$ Với $\,\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$
Biểu thức ${{T}_{\min }}\Leftrightarrow I{{M}_{\min }}=PI-R=\sqrt{61}-5.$ Khi $M=PI\cap \left( C \right),\,M$ nằm giữa $P,\,I.$
Đường thẳng $PI:\,6x+5y+4=0\Rightarrow d\left( O,\,PI \right)=\frac{4}{\sqrt{61}}$.
Do đó ${{S}_{OIM}}=\frac{1}{2}IM.d\left( O,PI \right)=\frac{1}{2}.\left( \sqrt{61}-5 \right).\frac{4}{\sqrt{61}}=\frac{2\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$——————————————-
