SKKN Một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng,vận dụng cao

SKKN Một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng,vận dụng cao

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến kinh nghiệm
Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối
hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lƣợng giác, Hình học và Giải tích. Số phức là vấn đề
hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi ngƣời dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về
nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có
nhiều hƣớng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn ngƣời học. Bằng
việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lƣợng giác,
giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng đƣợc khá nhiều dạng toán với nội
dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.
Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong những năm gần đây thƣờng yêu cầu thí sinh
thƣờng gặp phải hai câu số phức thuộc loại vận dụng, vận dụng cao. Đặc biệt thƣờng xuất
hiện những câu khó nhằm phân loại học sinh. Bản thân chúng tôi là một trong các giáo
viên thƣờng xuyên đƣợc nhà trƣờng giao nhiệm vụ dạy ôn thi tốt nghiệp THPT và bồi
dƣỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 12, nên chúng tôi suy nghĩ mình cần phải trang bị cho
học sinh của mình một số các phƣơng pháp nhất định để giúp các em có thể giải đƣợc các
bài toán khó có dạng đã nêu ở trên. Mà trọng tâm là “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO.”. Khi
đứng trƣớc một bài toán đó học sinh cần phải đƣợc cung cấp nhiều phƣơng pháp giải toán
khác nhau và việc phát hiện, sử dụng phƣơng pháp cụ thể nào là một vấn đề vô cùng quan
trọng để dẫn tới thành công nhanh. Vì vậy chúng tôi đã đƣa ra sáng kiến này nhằm mục
đích: Cung cấp cho học sinh có thêm các phƣơng án lựa chọn khi gặp bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức. Đồng thời cũng giúp cho giáo viên dựa vào
đó để sáng tạo ra một bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về số phức sát với các câu
khó trong các đề thi tốt nghiệp THPT. Phƣơng pháp này không dài dòng, rất độc đáo và
hiệu quả.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trƣớc khi tạo ra sáng kiến
Đối với học sinh việc làm các bài tập lên quan đến Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và
khó đối với học sinh, đòi hỏi ngƣời dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Hơn nữa lại áp
dụng các kiến thức này vào giải quyết các bài toán tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức mô đun lại càng khó hơn. Thực tế khi dạy chủ đề này chúng tôi thấy khi gặp các bài
2
toán dạng này đa số các em đều chọn bừa đáp án hoặc bỏ qua. Một phần do các emchƣa có
đƣợc cách nhìn, phƣơng pháp cụ thể, hơn nữa lại phải có tƣ duy tổng hợp các phần kiến
thức từ Đại số, Lƣợng giác, Hình học và Giải tích (bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức
Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, đạo hàm, hàm số, hình học,…). Từ những thực tế đó
chúng tôi thấy rằng để các em không cảm thấy sợ bài tập dạng này chúng tôi đã xây dựng
chủ đề dạy học “Số phức” với trọng tâm là các phƣơng pháp giải bài toán max, min số
phức mức độ vận dụng, vận dụng cao nhằm giúp các em từng bƣớc giải quyết tốt các bài
tập này trên cơ sở xây dựng cho các em các kiến thức nền tảng cần thiết và góp phần đạt
kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.
2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến
Xuất phát từ thực tế trên, khi dạy chủ đề này tôi chia thành 5 nội dung:
NỘI DUNG 1: Phƣơng pháp hình học.
NỘI DUNG 2: Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức.
NỘI DUNG 3: Phƣơng pháp xét hàm số.
NỘI DUNG 4: Phƣơng pháp lƣợng giác hóa.
NỘI DUNG 5: Phƣơng pháp tam thức bậc hai
3
NỘI DUNG 1: Phƣơng pháp hình học.
Một trong những phƣơng pháp hữu hiệu và đƣợc khai thác nhiều trong việc giải
quyết các câu hỏi về cực trị số phức trong đề thi tốt nghiệp những năm gần đây là phƣơng
pháp hình học. Với mỗi số phức z x yi x y    , ,   tƣơng ứng với một điểm M x y  ; 
trên mặt phẳng tọa độ nên bài toán về số phức và bài toán hình học có mối tƣơng quan mật
thiết. Nhiều bài toán số phức phức tạp, trừu tƣợng nhƣng lại trở nên nhẹ nhàng và dễ giải
quyết khi chúng ta chuyển nó về bài toán hình học.
Qua thực tế giảng dạy, chúng tôi đúc kết ra một vài định hƣớng để có thể giúp học
sinh có hƣớng đi rõ ràng hơn, tƣ duy mạch lạc hơn trong việc giải bài toán cực trị số phức
bằng phƣơng pháp hình học.
Định hƣớng 1: Định hƣớng khoảng cách.
Định hƣớng 2: Định hƣớng điểm chung hoặc tiếp tuyến.
Để giải đƣợc bài toán cực trị số phức bằng phƣơng pháp hình học, học sinh cần phải
nắm chắc và thành thạo về dạng toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng
tọa độ. Trƣớc hết, chúng tôi xin nhắc lại một số kiến thức cơ bản hay gặp của phần tập hợp
điểm biểu diễn số phức.
Với điểm M x y  ; , M x y ‘ ‘; ‘  là điểm biểu diễn cho số phức z x yi   , z x y i ‘ ‘ ‘   ,
x y x y , , ‘, ‘  .
 z OM  .
 z z z z MM     ‘ ‘ ‘
 z a bi r      : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn tâm I a b  ; , bán
kính r .
 z a bi z a b i       1 1 2 2    : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng trung trực
của đoạn AB với A a b B a b  1 1 2 2 ; , ;    .
 z a bi z a b i a        1 1 2 2    2 , A a b B a b  1 1 2 2 ; , ;   
+) Nếu 2a AB  : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB .
+) Nếu AB a  2 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng elip với hai tiêu điểm là
A B , , trục lớn 2a.
4
Tuy nhiên ngoài các cách thể hiện tập hợp điểm biểu diễn số phức nhƣ trên còn có
nhiều cách tạo ra giả thiết để tập hợp điểm biểu diễn số phức là đƣờng thẳng, đƣờng tròn,
đoạn thẳng, elip…. Vấn đề này chúng ta sẽ thấy trong phần ví dụ.
Chúng tôi mạnh dạn đề xuất phƣơng pháp chung để giải quyết bài toán về cực trị
liên quan đến môđun số phức bằng phƣơng pháp hình học theo các bƣớc sau:
Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P liên quan đến môđun
số phức z (hoặc số phức z w , ,…).
Bƣớc 1: Biểu thị biểu thức P dƣới dạng khoảng cách (khoảng cách giữa hai điểm hoặc
tổng khoảng cách, hoặc tổng bình phƣơng các khoảng cách…).
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z (hoặc số phức z w , ,…) mà giả thiết cho.
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học.
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học phát biểu ở bƣớc 3.
Lƣu ý:
Trong bƣớc 1 biểu thức P có thể viết về dƣới dạng khoảng cách giữa hai điểm (tức
là độ dài của một đoạn thẳng) hoặc tổng độ dài của hai hay nhiều đoạn thẳng hoặc tổng,
hiệu bình phƣơng các đoạn thẳng…tùy vào yêu cầu của bài toán.
Khi thực hiện bƣớc 2, chúng ta cần tìm đƣợc tập hợp điểm biểu diễn của tất cả các
số phức còn thay đổi nhƣng thỏa mãn điều kiện nào đó của giả thiết, đồng thời tìm tọa độ
của những điểm biểu diễn số phức đã biết, tức là điểm cố định.
Với bƣớc 3, chúng ta cần hƣớng dẫn và rèn cho học sinh biết cách chuyển bài toán
số phức về bài toán hình học, phát biểu bài toán hình học đó.
Ở bƣớc 4, bƣớc giải bài toán hình học: Học sinh cần nắm vững kiến thức hình học
phẳng, đặc biệt kiến thức liên quan đến cực trị hình học phẳng đã học ở cấp II và ở lớp 10.
Để làm tốt điều này, giáo viên cũng nên hệ thống và hƣớng dẫn giải lại một số bài
toán hình học cơ bản trƣớc khi nêu ví dụ cho học sinh, đồng thời hệ thống một số dạng
(hay gặp) biểu diễn hình học của tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện nào đó. Đây cũng là
yếu tố để học sinh có thể có định hƣớng nhanh cho hƣớng đi của bài toán.
I. ĐỊNH HƢỚNG 1: ĐỊNH HƢỚNG KHOẢNG CÁCH
1. Nhóm bài toán thể hiện khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng, một tia, một
đoạn thẳng, một miền đa giác.
Bài toán xuất phát: Cho đƣờng thẳng d và điểm A. Tìm điểm M d  sao cho AM ngắn
nhất.
5

Hƣớng giải quyết: Ta có kết quả:

là hình chiếu của trên

AM d A d min   ,   M A đƣờng thẳng d .
Tạo bài tập từ bài toán trên:
+) Thiết kế giả thiết: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là
một đƣờng thẳng d .
+)Thiết kế yêu cầu: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun sao cho tạo ra yếu tố
khoảng cách từ điểm M đến một điểm A cố định, tức là tìm giá trị nhỏ nhất của z z  0
với A là điểm biểu diễn của
z0 .
Ví dụ 1. Xét các số phức z thỏa mãn z i z i      1 1 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z
A. 2
5
. B. 3
2 5
. C.
2 3
. D. 3 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức z về khoảng cách:
Ta có z z MO    0 , với M O , lầ lƣợt là điểm biểu diễn của z và 0 .
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Gọi z x yi x y    , ,  .
Ta có z i z i      1 1 2         x y i x y i 1 1 1 2       
        x y x y 1 1 1 2 2 2 2 2      
    4 2 3 0 1 x y  
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng thẳng d x y : 4 2 3 0    .
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học.
6
Trong mặt phẳng tọa độ cho đƣờng thẳng d x y : 4 2 3 0    và điểm M thay đổi trên
đƣờng thẳng d . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn OM .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
Ta có OM ngắn nhất khi M là hình chiếu của O trên đƣờng thẳng d và
OM d O d min     ,  4.0 2.0 3 4 2   2 2  2 5 3 .
Bình luận: Ngoài cách giải ví dụ trên bằng phƣơng pháp hình học, chúng ta có thể thực
hiện ví dụ bằng phƣơng pháp đại số bằng cách từ 1 rút đƣợc 4 3
x 2
y
 
 và thay vào
2
2 2 2 2 4 3 9
5 6
2 4
x
z x y x x x
   
        
  . Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
  5 6 2 9
4
f x x x   
Một số hƣớng phát triển bài toán:
Hƣớng 1: Thay đổi giả thiết nhƣng vẫn đảm bảo tập hợp điểm biểu diễn số phức z là
đƣờng thẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng P z z z   0 1 , với z z 0 1 ,  cho
trƣớc.
Hƣớng 2: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một nửa mặt
phẳng có bờ là một đƣờng thẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng P z z z   0 1
với
z z 0 1 ,  cho trƣớc.
Hƣớng 3: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một miền đa
giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng P z z z   0 1 với z z 0 1 ,  cho trƣớc.
Hƣớng 4: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đoạn thẳng,
một tia. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng P z z z   0 1 với z z 0 1 ,  cho trƣớc.
Ví dụ 2. Xét các số phức z thỏa mãn z z i    1 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P i z i     1 2 11 2  .
A. 5
2
. B.
5 2
. C.
2 5
. D.
5 2
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức P i z i     1 2 11 2  về khoảng cách:
7
Ta có 1 2 11 2 1 2 5 3 4 5 3 4 5    11 2  
1 2
i
P i z i i z z i z i MA
i
  
                
  
với M A , lần lƣợt là điểm biểu diễn của z và   3 4i .
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Gọi z x yi x y    , ,  . Ta có z z i    1 2       x yi x y i  1 2   
      x y x y 2 2  1 2 2 2       2 4 5 0 x y
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng thẳng d x y : 2 4 5 0    .
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học:
Trong mặt phẳng tọa độ cho đƣờng thẳng d x y : 2 4 5 0    và điểm M thay đổi trên
đƣờng thẳng d . Tìm Pmin với P MA  5 .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
Ta có AM ngắn nhất khi M là hình chiếu của A trên đƣờng thẳng d và
min  ,  5
2 5
AM d A d   . Suy ra min 5. 5 5
2 5 2
P   .
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn 3 2 12 z z z z     . Gọi M m , lần lƣợt là giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của z i   4 3 . Tính M m . .
A. 20 . B. 24 . C. 26 . D. 28 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Gọi N x y  ;  là điểm biểu diễn số phức z x yi x y     , .
z i NI    4 3 , với I 4; 3  là điểm biểu diễn số phức z i 1   4 3 .
Bƣớc 2: 3 2 12 3 2 2 2 12 z z z z x yi              6 4 12 3 2 6 x y x y .
Khi đó tập hợp các điểm N là miền hình thoi ABCD với A B 0;3 , 2;0 ,    C0; 3 ,  
D2;0.
Bƣớc 3: Phát biểu bài toán hình học: Cho hình thoi ABCD với A B 0;3 , 2;0 ,    C0; 3 ,  
D2;0. N thuộc miền hình thoi ABCD và điểm I 4; 3   . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của NI .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
8
Ta có CD x y :3 2 6 0    , AB x y :3 2 6 0   
    :2 3 1 0 x y là đƣờng thẳng đi qua I và vuông góc với AB .

Gọi

.

, ; , ; 16 15 20 9
13 13 13 13
H CD K AB H K                 
   Vì 1 2 16
13
   H nằm giữa C và D , HD HC  ; 2 1 20
13
      K nằm giữa A và B,
KB KA  .
Với mọi vị trí của N trên miền hình thoi ABCD, ta có IH IN IA   suy ra
12 13
, 2 13 . 24
13
m IH M IA M m       .
Ví dụ 4. (Đề Tham Khảo 2017). Xét số phức z thỏa mãn z i z i       2 4 7 6 2. Gọi
m M , lần lƣợt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z i   1 . Tính P m M   .
A. 5 2 2 73
2
P   B. P   5 2 73
C. 5 2 73
2
P   D. P   13 73
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức z i   1 về khoảng cách:
P z i z i NC        1 1   , N x y C  ; , 1; 1    , N biểu diễn số phức z .
9
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Ta có z i z i z i z i               2 4 7 6 2 2 4 7 6 2    
   NA NB 6 2 với A2;1, B4;7
Ta có AB  6 2 nên NA NB AB   suy ra N thuộc đoạn thẳng AB .
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học:
Cho N thuộc đoạn thẳng AB và điểm C1; 1   , với A2;1, B4;7, C1; 1   . Tìm giá
trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của đoạn NC .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
CA  13 , CB  73 , C,  5
2
d AB 
.
Ta có tam giác CAB nhọn nên min  ,  5 2
2
CN d C AB m    .
CN CA CB CB M max     max , 73   .
Do đó 5 2 2 73
2
P m M     .
Bình luận:
Cho ba điểm A B C , , . Điểm M thay đổi thuộc đoạn AB , P CM 
10
+) Nếu CBA và CAB đều là góc nhọn, ta có P d C AB min   ,  và P CA CB max  max ,  .
+)Nếu CBA hoặc CAB tù (hoặc là góc vuông) thì P CA CB min  min ,   và
P CA CB max  max ,  .
Ví dụ 5. Xét các số phức z thỏa mãn iz i z i       2 2 1 3 34 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P i z i     1 1  .
A. 17 . B. 34 . C. 5 . D. 6 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Chuyển yêu cầu về khoảng cách:
P i z i z i MC        1 1 2 2  , C 0; 1  
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Từ iz i z i       2 2 1 3 34         z i z i 2 2 1 3 34 1      .
Gọi A B 2; 2 , 1;3      , ta có AB  34 nên 1    MA MB AB
Suy ra M thuộc tia đối tia BA (kể cả điểm B )
Bƣớc 3: Phát biểu bài toán hình học: Cho A B 2; 2 , 1;3     và M thuộc tia đối tia BA (kể
cả điểm B ). Tìm giá trị nhỏ nhất của P MC  2 với C0; 1   .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học: Dễ thấy P MC CB min min     2 2. 2. 17 34
11
Ví dụ 6. Xét các số phức z thỏa mãn z i   10 và i z z    1 2 1  là số thuần ảo. Biết
rằng tồn tại số phức z a bi a b    , ,   sao cho P z i    1 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
a b 
A. 3 . B. 3. C. 5 . D. 5.
Hƣớng dẫn giải
+) P z i MA     1 4 , A1;4 và M biểu diễn số phức z .
+) z i   10 , suy ra M thuộc hình tròn C có tâm I 0; 1   , bán kính R  10 .
i z z    1 2 1  là số thuần ảo, suy ra M thuộc đƣờng thẳng d x y :3 2 1 0    .
Do đó M thuộc đoạn BC , với B C , là giao điểm của đƣờng thẳng d và C.
+) Tìm đƣợc B C 1; 4 , 1;2      và P CA min   2 2 khi M C  hay z i    1 2 .
Bình luận: Thông thƣờng tạo giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một
đoạn thẳng thƣờng cho dƣới dạng z z z z a     1 2 2 , với z z a 1 2   2 . Tuy nhiên trong ví
dụ trên giả thiết này đã đƣợc phát triển lên khó hơn bởi hai giả thiết z i   10 và
i z z    1 2 1  là số thuần ảo. Thực chất đây là tƣơng giao của hai đối tƣợng hình học là
hình tròn và đƣờng thẳng, trong đó đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn tại hai điểm phân biệt.
Theo hƣớng tƣ duy này chúng ta có thể tạo ra lớp bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức
12
là đoạn thẳng nhƣ giao của hình elip và đƣờng thẳng, giao của miền đa giác và đƣờng
thẳng, giao của một đƣờng thẳng với miền hình phẳng giới hạn bởi hai đƣờng thẳng….
Ví dụ 7. Xét các số phức z thỏa mãn các điều kiện z z     4 4 10 và z z i     2 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i    6 .
Hƣớng dẫn giải
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z z     4 4 10 là hình elip giới
hạn bởi đƣờng elip có phƣơng trình
2 2
1
25 9
x y
 

.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z z i     2 2 là đƣờng thẳng có
phƣơng trình 1
2
y  .
Đƣờng thẳng 1
2
y  cắt elip
2 2
1
25 9
x y
 

tại hai điểm phân biệt

5 35 1 5 35 1 ; , ;
6 2 6 2
A B
    
       
   
.
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB .
P z i MC     6 , C6; 1  . Đến đây bài toán trở về tƣơng tự ví dụ 4.
Ví dụ 8. Xét các số phức z thỏa mãn các điều kiện z z i    1 và z i z i      2 3 2 ,
z i z i      3 2 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P i z i     3 4 5 15  .
Hƣớng dẫn giải
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z z i    1 là những điểm
M x y  ;  thỏa mãn x y   0 .
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i      2 3 2 là những điểm
M x y  ;  thỏa mãn x y    4 0 .
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i      3 2 1 2 là đƣờng thẳng
có phƣơng trình x   1 0 .
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đoạn thẳng AB ,
A B 1;1 , 1; 3     .
13
P i z i z i MC C         3 4 5 15 5 3 5 , 3;1     .
Do đó
P CA min    5 5.2 10 , P CB max    5. 5 20 10 5 .
Ví dụ 9. Cho số phức z thỏa mãn z   2 4 , z z i    1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của P z i    3 2 lần lƣợt là M và m . Khi đó M m . bằng
A. 3 2 2  . B. 5 10 4 2
 2
. C. 4 3 6 2
 2
. D. 9.
Hƣớng dẫn giải
+) P z i z z AM       3 2 A , trong đó A z i    A 3 2 và M là điểm biểu diễn số phức
z .
+) Miền D đƣợc giới hạn bởi hình tròn C z : 2 4   có tâm I 2;0 và bán kính R  4
và đƣờng thẳng z z i    1       x y x y 1 1 2 2 2 2     x y .
Miền D đƣợc biểu diễn nhƣ hình vẽ bên dƣới, M là một điểm trong miền D .
Phƣơng trình đƣờng thẳng  là: x y   0 .
14
+) Giá trị nhỏ nhất của P là P m AH min    ,  3 2 2 2  
1 1
d A
 
  

5 2
 .
Giá trị lớn nhất của P là: P M AB AI IB max        z z R A I     3 2 2 4 i   5 4.
Suy ra tích Mm    5 5 10 4 2 2  5 4 2 .
Bài tập tự luyện:
Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn: z z i    1 3 1   và đồng thời P z i   2 đạt giá trị nhỏ
nhất. Mô đun của số phức z bằng
A. 6 . B. 2 3 . C. 2 . D. 4 .
Bài 2. Cho số phức z a bi   trong đó a b a b a b , 0; 2; 3 12      . Giá trị lớn nhất của z
bằng
A. 113 . B. 107
3
. C. 14. D. 106
2
.
Bài 3. Cho số phức z x yi   , trong đó x y , là các số thực không âm thỏa mãn đồng thời
các điều kiện: x y x y     6; 2 4 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Q z i    5 tƣơng ứng với M và m. Khí đó ( 2 ) M m  bằng
A. 9 . B. 4 3 . C. 5 3 . D. 5 2
15
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn z   2 4 , z z i    1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của P z i    3 2 lần lƣợt là M và m . Khi đó M m . bằng
A. 3 2 2  . B. 5 10 4 2
 2
. C. 4 3 6 2
 2
. D. 9.
Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn | 2 3 | | 2 | 4 2 z i z i       . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 3 2    z i tƣơng ứng bằng
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Bài 6. Cho ba số phức z thỏa mãn z i z i      3 5 5.Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z lần lƣợt là M và m . Khi đó M mi  tƣơng ứng bằng
A. 4 . B. 2 5 . C. 2 26 . D. 35 .
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn z z z z     3 12 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P z i    4 3 lần lƣợt là M và m . Giá trị của biểu thức M m 2 2  20 bằng:
A. 207 . B. 210 . C. 186. D. 254 .
Bài 8. (Đề thi thử THPT Nguyễn Huệ – Phú Yên 2021) Xét các số phức z thỏa mãn
z i z i       2 3 4 5 10. Gọi N n , lần lƣợt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
P i    3z 1 . Tính N n  .
A. 135 365  . B. 2 135 365  .
C. 2 365  . D. 2 135  .
Hƣớng dẫn
P i MI     3z 1 với M là điểm biểu diễn số phức z và I 1;1 .
z i z i       2 3 4 5 10.        3 6 9 3 12 15 30 z i z i
   MA MB AB , A B 6; 9 , 12;15      . Suy ra M thuộc đoạn AB .
Tìm đƣợc n d I AB N IB      , 2; 365 
2. Nhóm bài toán thể hiện tổng khoảng cách từ một điểm trên một đƣờng thẳng đến
hai điểm cố định (hoặc đến hai điểm di động trên hai đƣờng nào đó)
Bài toán xuất phát: Cho hai điểm A B , và đƣờng thẳng d . Tìm điểm M thuộc đƣờng
thẳng d sao cho MA MB  nhỏ nhất.
16
Hƣớng giải quyết:
+) Nếu A B , nằm khác phía với đƣờng thẳng d thì ( ) MA MB AB   min khi
M M d AB    0
+) Nếu A B , nằm cùng phía với đƣờng thẳng d thì ( ) ‘ MA MB AB   min khi
M M d AB    0 ‘, với B ‘ là điểm đối xứng với B qua đƣờng thẳng d .
Tạo bài tập từ bài toán trên:
+)Thiết kế giả thiết: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là
một đƣờng thẳng d .
+)Thiết kế yêu cầu: Thiết kế yêu cầu bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa tổng
hai môđun của hiệu hai số phức sao cho tạo ra yếu tố tổng khoảng cách từ điểm M đến hai
điểm A B , cố định, tức là tìm giá trị nhỏ nhất của z z z z    1 2 với A B , là điểm biểu diễn
của
z z 1 2 , .
Ví dụ 10. Xét các số phức z thỏa mãn 2 5 4 2 3 4 z i z i      . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P z i z i       1 4 1 .
17
A. 29 . B. 5 . C. 41 . D. 10 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức P về khoảng cách:
P z i z i z i z i MA MB                1 4 1 ( 1 4 ) (1 ) , với A B ( 1; 4), 1;1     và M là
điểm biểu diễn số phức z .
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Gọi z x yi x y    , ,  .
Ta có 2 5 4 2 3 4 2 5 2 4 2 3 2 4 z i z i x y i x y i                     
        2 5 2 4 2 3 2 4 x y x y 2 2 2 2      
    x y 4 2 0
.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng thẳng d x y : 4 2 0    .
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học:
Cho đƣờng thẳng d x y : 4 2 0    và hai điểm A B ( 1; 4), 1;1    . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P MA MB   .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
Dễ kiểm tra đƣợc A và B nằm khác phía so với đƣờng thẳng d nên
P MA MB AB     29 và    M d AB.
Ví dụ 11. Xét các số phức z thỏa mãn z i z i     3 1 3   là một số thực. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P z z i     2 5 .
A. 5 . B. 173 . C. 29 . D. 3 13 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức P về khoảng cách:
P z z i z z i z z i z z i MO MB                   2 5 2 5 2 5 2 5      
và M là điểm biểu diễn số phức z , O B 0;0 , 2; 5    .
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Gọi z x yi x y    , ,  .
Ta có z i z i x y i x y i            3 1 3 3 1 1 3                  
18
                    x x y y x y x y i 3 1 1 3 3 3 1 1           
z i z i     3 1 3   là một số thực     x y x y       3 3 1 1 0     
    x y 4 0
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng thẳng d x y : 4 0    .
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học:
Cho đƣờng thẳng d x y : 4 0    và hai điểm O B 0;0 , 2; 5    . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P MO MB   .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
Dễ kiểm tra đƣợc O và B nằm cùng phía so với đƣờng thẳng d .
Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua d , tìm đƣợc O ‘ 4;4  
P MO MB MO MB O B       ‘ ‘ 3 13 và    M d AB.
Dấu bằng xảy ra khi ‘ ; 12 8
5 5
M O B d        
 .
Một số hƣớng phát triển bài toán
Hƣớng 1: Thiết kế giả thiết tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đƣờng thẳng.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P chứa tổng ba đoạn thẳng.
Ví dụ 12. Xét các số phức z thỏa mãn iz i z i    2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P z i z i z i          1 2 1 6 5 6 .
A. 2 17 3
2

. B.
2 17 5
2

. C.
93
10
. D. 13
2
.
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức P về khoảng cách:
19
Ta có P z i z i z i MA MB MC             1 2 1 6 5 6 , với A B C 1;2 , 1;6 , 5;6     .
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Gọi z x yi x y    , ,  .
Ta có iz i z i z z i        2 2 2 2       x y x y 2 2 2 2 2 2     y x.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng thẳng d y x :  .
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học:
Cho đƣờng thẳng d y x :  và các điểm A B C 1;2 , 1;6 , 5;6     . Điểm M d  sao cho
P MA MB MC    nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đƣờng thẳng d . Ta có A’ 2;1  .
Gọi ‘ ; 7 7
2 2
N A C d N       
  . Ta có BN d  .
Khi đó P MA MB MC MA MC MB A C MB A C BN A C d B d             ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ,    
5 2 17 5
34
2 2

   .
20
Dấu “=” xảy ra 7 7 ;
2 2
  M N    
  .
Bình luận: Để dấu “=” xảy ra thì khi ra giả thiết điểm B phải cách đều hai điểm A và C .
Ví dụ 13 (Sở Gia Lai 2021). Xét hai số phức z w , thỏa mãn z i z i      1 2 2 và
w i w i      2 3 4 . Giá trị nhỏ nhất của z i w i z w        3 3 bằng 2
5
abc với
a b c , , là các số nguyên tố. Tính giá trị của a b c   .
A. 24 . B. 25 . C. 26 . D. 22 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Gọi M N , lần lƣợt là các điểm biểu diễn của z w , và A3;1. Khi đó,
P z i w i z w AM AN MN            3 3
Bƣớc 2: Giả sử z x yi   và w a bi   x y a b , , ,  .
Ta có z i z i x y x y x y                 1 2 2 1 2 2 1 3 0  2 2 2 2       .
w i w i a b a b a b                  2 3 4 2 3 4 1 2 1 0  2 2 2 2       .
Do đó, tập hợp các điểm biểu diễn z w , trong mặt phẳng tọa độ lần lƣợt là hai đƣờng
thẳng    1 : 3 0 x y và     2 : 2 1 0 x y .
Bƣớc 3: Bài toán trở thành: Cho đƣờng thẳng   1 2 , và A3;1. M N   1 2 , . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AM AN MN   
21
Bƣớc 4: Gọi A A 1 2 , lần lƣợt đối xứng với A qua   1 2 , .
Đƣờng thẳng AA1 đi qua A3;1và vuông góc với 1 có phƣơng trình là: 3 8 0 x y   
H AA   1 1

nên là nghiệm của hệ

3 0
3 8 0
x y
x y
  

   
12 4
;
5 5
   H    
  1
9 13
;
5 5
   A    
 
Đƣờng thẳng AA2 đi qua A3;1và vuông góc với 2 có phƣơng trình là: 2 7 0 x y   
K AA    2 2 nên là nghiệm của hệ 2 1 0
2 7 0
x y
x y
   

   
13 9
;
5 5
  K    
  2
11 13
;
5 5
  A    
 
P AM AN MN A M A N MN A A        1 2 1 2
P đạt giá trị nhỏ nhất bằng A A 1 2 khi M A A    1 1 2 ; N A A    2 1 2
Ta có
2 2
1 2
11 9 13 13 2 2
170 2.5.17
5 5 5 5 5 5
A A               
   
Suy ra a b c       2 5 17 24.
Hƣớng 2: Thiết kế giả thiết tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đƣờng thẳng d .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z z z MA MB       1 2 với điểm A và B có thể
xây dựng theo một trong các hƣớng sau:
+) Điểm A và B biểu diễn cho hai số phức di động trên hai đƣờng tròn (hai đƣờng tròn
này không cắt đƣờng thẳng)
22
+) Điểm A cố định và điểm B di động trên một đƣờng tròn.
+) Điểm A di động trên một đƣờng thẳng song song với d và điểm B di động trên một
đƣờng tròn không cắt đƣờng thẳng d .
Ví dụ 14. (Đề thi thử THPT Quảng Xƣơng II – 2021). Xét các số phức
z a bi a b    , ,   thỏa mãn điều kiện 3 2 12 a b   , số phức z1 thỏa mãn z i 1    3 4 1 , số
phức z2 thỏa mãn 2 3 4 1
2
z i    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z z z      1 2 2 2
. A. 5 2 3  . B. 9945
13
. C. 5 2 5  . D. 9945
11
.
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Gọi M A B , , lần lƣợt là các điểm biểu diễn z z z , , 2 1 2
P z z z z MA MB         1 2 2 2 2.
Bƣớc 2: 3 2 12 a b    M thuộc đƣờng thẳng d x y :3 2 12 0   
.
z i 1    3 4 1  A thuộc đƣờng tròn C1 có tâm I13;4 , bán kính R 1 .
2 2
1
3 4 2 6 8 1
2
z i z i         B thuộc đƣờng tròn C2  có tâm I2 6;8 , bán kính
R 1 .
Ta thấy hai đƣờng tròn I R 1,  vàI R 2, nằm cùng phía với d .
Bƣớc 3: Bài toán trở thành: Cho hai đƣờng tròn C C 1 2 ,  và đƣờng thẳng d , điểm M d 
, A C B C    1 2 ,  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P MA MB    2.
Bƣớc 4: Gọi I A 1,  lần lƣợt là điểm đối xứng với I A 1, qua đƣờng thẳng d .
C1 ‘ là đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn C1 qua đƣờng thẳng d .
23
2 1
9945
‘ ‘ 2
13
MA MB MA MB I I R R        
.
Do đó min 9945 9945 2 2
13 13
P    
.
Dấu “=” xảy ra khi B F A E   ,  .
Ví dụ 15. (Sở Kiên Giang 2021) Xét hai số phức z w , thỏa mãn z i    3 1 và
w w i    1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P w i w z      1 3 bằng
A.
Pmin  13 . B. Pmin   2 5 1. C. Pmin  5. D. Pmin  7 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Gọi M a b N x y  ; , ;    theo thứ tự là các điểm biểu diễn cho các số phức , z w .
Khi đó P w i w z w i w z NA NM              1 3 1 3   , với A là điểm biểu
diễn cho số phức   1 3i .
24
Bƣớc 2: Ta có | 3 | 1 3 1 1 z i a b M           2 2   thuộc đƣờng C tròn tâm I 3;1,
bán kính R 1.
| 1| | | 1 1 w w i x y x y y x N               2 2 2 2   thuộc đƣờng thẳng d y x :  
Bƣớc 3: Bài toán trở thành: Cho đƣờng trònC , đƣờng thẳng d và điểm A1;3 .
Điểm M C  , N d  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P NA NM  
Bƣớc 4:
Ta thấy điểm A và đƣờng tròn C nằm về cùng một phía đối với đƣờng thẳng d y x :  
. Gọi B là điểm đối xứng với A qua đƣờng thẳng y x   thì B3;1 .
Ta lại có P NA NM BN NM MI BI              1 1 6 5 5.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B N M I , , , thẳng hàng, M nằm giữa hai điểm B và I .
Khi đó N BI d   , 5
6
BM BI  suy ra N 1;1, M 2;1 .
Vậy biểu thức P i z      w 1 3 w đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi và chỉ khi
w i z i      1 ; 2 .
25
Ví dụ 16. Xét các số phức z u , w, thỏa mãn z là số thuần thực, w w 4   i , u i    3 4 1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P z z u     w .
A. 8. B. 7 . C. 5. D. 6 .
Hƣớng dẫn giải
+) Bƣớc 1: Gọi M N K , , lần lƣợt là các điểm biểu diễn z u ,w, . Ta có P MN MK   .
+) Bƣớc 2: Tìm đƣợc tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục hoành; tập hợp điểm biểu
diễn số phức w là đƣờng thẳng d y : 2  ; tập hợp điểm biểu diễn số phức u là đƣờng
tròn C có tâm I 3;4 bán kính R 1 .
+) Bƣớc 3: Bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của P MN MK   với
, ,
K C   .
+) Bƣớc 4: Ta thấy d Ox // . Gọi d là đƣờng thẳng đối xứng với d qua trục Ox suy ra
d y : 2   .
Với mọi M Ox N d K C    , ,  , N đối xứng với N qua Ox ta có
P MN MK MN MK K N d I d R             0 0  , 6 1 5  .
Dấu “=” xảy ra khi N N  0 là hình chiếu của I trên d, M M  0 là hình chiếu của I trên
Ox và K K IN C    0 0  , K0 nằm trong đoạn IN0 . Tìm đƣợc z w i u i      3, 3 2 , 3 3
.
M Ox  N d 
26
Hƣớng 3: Thay giả thiết tập hợp điểm biểu diễn số phức z (tức điểm M ) thành đƣờng
tròn, đƣờng elip, parabol, đa giác… Điểm A và B nằm khác phía với các đƣờng nói trên.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA MB   .
Ví dụ 17. Xét các số phức z thỏa mãn z i    1 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P z i z i       4 3 1 .
A. 4 . B. 3. C. 10 . D. 13 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức P về khoảng cách:
Ta có P z i z i MA MB         4 3 1 , với A B 4;3 , 1;1   .
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Gọi z x yi x y    , ,  .
Ta có z i    1 2 2      x y 1 2 4 2 2   .
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn C có tâm I 1;2, bán kính R  2
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học:
Cho đƣờng tròn C có tâm I 1;2, bán kính R  2 và hai điểm A B 4;3 , 1;1   , điểm M
thay đổi nằm trên đƣờng tròn. Tìm giá trị nhỏ nhất của P MA MB   .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
Ta thấy A và B nằm khác phía với đƣờng tròn C. Theo kết quả bài toán trên ta có
P MA MB AB     13
.
Vậy P M min   13 là giao điểm của đoạn AB và C, tìm đƣợc
17 2 43 47 4 43
;
13 39
M
   
   
 
.
Ví dụ 18 (Sở Nam Định- 2021). Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M a b  ;  là điểm biểu diễn số
phức z thỏa mãn z i    4 4 4  . Gọi A B C , , lần lƣợt là điểm biểu diễn số phức
z i 1    1 3 , z i 2   3 , z i 3    2 5 . Khi biểu thức P MA MB
AB BC
 
   
  đạt giá trị nhỏ nhất thì
41
m n p
a


, m n p , ,   . Giá trị tổng m n p   bằng
27
A. 401. B. 748. C. 738. D. 449 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: A B C    2; 3 , 3;1 , 2;5      và AB BC   41 .
Do đó 1  
41
MA MB
P MA MB
AB BC
 
     
  .
Bƣớc 2: z i    4 4 4  suy ra M thuộc đƣờng tròn T  có tâm I 4;4, bán kính R  4 .
Bƣớc 3: Bài toán trở thành: Cho đƣờng tròn T  và M T  , A B   2; 3 , 3;1   . Tìm giá
trị nhỏ nhất của 1  
41
P MA MB  
Bƣớc 4: Dễ thấy A nằm ngoài đƣờng tròn và B nằm trong đƣờng tròn nên
MA MB AB   .
min
1
.
41
P AB  xảy ra khi M là giao điểm của đƣờng thẳng AB và đƣờng tròn T ,
đồng thời M nằm giữa A và B .
Đƣờng thẳng AB có phƣơng trình 3 5
1 4
x t
y t
  

  
.
Đƣờng tròn T  có phƣơng trình x y     4 4 16 2 2   .
28
Xét hệ phƣơng trình
 2 2  
17 535
3 5
41
1 4
17 535
4 4 16
41
x t t
y t
x y t
    
        
  
        
Với 17 535 208 5 535 (KTM)
41 41
t x
 
  
17 535 208 5 535  
41 41
t x TM     
.
Suy ra m n p     208; 5; 535
Ví dụ 19. Xét các số phức z thỏa mãn 2 2 z i z z i     . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức Q z i z i       3 1 4 .
Hƣớng dẫn giải
+) Bƣớc 1: Q z i z i z i z i MA MB               3 1 4 3 1 4     , A B 3;1 , 1;4    .
+) Bƣớc 2: Từ z i z z i      3 2 suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là
parabol có phƣơng trình  : 1 2
4
P y x  .
+) Bƣớc 3: Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của Q MA MB   với M P   và
A B 3;1 , 1;4   .
29
+) Bƣớc 4: Ta thấy hai điểm A và B nằm khác phía với P nên MA MB AB    13
. Dấu “=” xảy ra khi M M  0 là giao điểm của đoạn AB với P, 3 31; 20 31
2
M
  
     
 
.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét các số phức z z 1 2 , thỏa mãn z i 1    2 1 và z i z i 2 2      3 4 2 3 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
P z z z i      1 2 2 3 .
A. 85 1  . B. 85 1  . C. 8. D. 41
5
.
Bài 2. Cho hai số phức z z 1 2 , thỏa mãn z i 1    1 3 1và z i z i 2 2      1 5 . Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức     
P z i z z 2 2 1 1 bằng
A. 10 1  . B. 3.
C. 
2 85
1
5
. D. 10 1  .
Bài 3. (Nguyễn Khuyến – Nam Định 2021) Giả sử z1 , z2 , z3 là ba số phức thỏa mãn
z1   4 1, z i 2   4 2 và z iz 3 3    1 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P z z z z     3 1 3 2 bằng
A. 3. B. 2 3 . C. 5. D. 3 3 .
Bài 4. Xét các số phức z z 1 2 , thay đổi nhƣng luôn thỏa mãn z i z i 1 2       1 7 4 5 , z3
là số thực. Khi z z 1 2  đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị lớn nhất của P z z z z     1 3 2 3
.
A. 2 5 . B. 5. C. 26 . D. 29 .
Bài 5. Cho các số phức z , z1, z2 thỏa mãn z i z 1 2      4 5 1 1 và z i z i     4 8 4 . Tính
M z z   1 2 khi P z z z z     1 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 41 . B. 6 . C. 2 5 . D. 8.
Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn z i z    3 3 .Giá trị nhỏ nhất của
P iz z i      | 2 | | 2 1|
30
bằng
A. 0 . B. 17 . C. 2 . D. 3.
Bài 7. (Kim Liên – Hà Nội 2019) Xét các số phức thỏa mãn .
Gọi , lần lƣợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Tìm , .
A. ; . B. ; .
C. ; . D. ; .
3. Nhóm bài toán thể hiện hiệu các khoảng cách.
Bài toán xuất phát: Cho hai điểm A B , và đƣờng thẳng d , A và B cùng phía với đƣờng
thẳng d . Tìm điểm M thuộc đƣờng thẳng d sao cho MA MB  lớn nhất.
Hƣớng giải quyết: Ta có MA MB AB   . Do đó
max
MA MB AB  
    M M AB d 0 .
Tạo bài tập từ bài toán trên:
+)Thiết kế giả thiết: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là
một đƣờng thẳng d .
+)Thiết kế yêu cầu: Thiết kế yêu cầu bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức chứa giá
trị tuyệt đối của hiệu hai môđun sao cho tạo ra yếu tố hiệu khoảng cách từ điểm M đến
hai điểm
A B , cố định, tức là tìm giá trị lớn nhất của z z z z    1 2 với A B , là điểm biểu
diễn của z z 1 2 , .
Ví dụ 20. Xét các số phức z thỏa mãn z i z i      1 3 3 . Gọi z0 là số phức thỏa mãn
biểu thức P z i z i       1 2 1 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng phần thực và phẩn ảo của
z0 .
z z i z i       3 2 3 3 5
M m P z z i      2 1 3
M m
M   17 5 m  3 2 M   26 2 5 m  2
M   26 2 5 m  3 2 M   17 5 m  3
31
A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 .
Hƣớng dẫn giải
Bƣớc 1: Đƣa biểu thức P về khoảng cách:
Ta có P z i z i MA MB         1 2 1 2 , với A B 1;2 , 1;2    .
Bƣớc 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :
Gọi z x yi x y    , ,  .
Ta có z i z i      1 3 3         x y x y 1 3 3 1 2 2 2 2         y x.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đƣờng thẳng d y x :  .
Bƣớc 3: Phát biểu thành bài toán hình học: Cho đƣờng thẳng d y x :  và các điểm
A B 1;2 , 1;2    . Điểm M d  sao cho P MA MB   lớn nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó và
tìm tọa độ điểm M .
Bƣớc 4: Giải bài toán hình học:
Ta thấy A B 1;2 , 1;2    cùng phía với d y x :  nên P MA MB AB     2.
Vậy P M M AB d max 0      2 .
AB y : 2 0   suy ra M0 2;2.
Do đó z i 0   2 2 .
Một vài hƣớng phát triển bài toán:
Hƣớng 1: Thay đổi giả thiết tập tập điểm M biểu diễn số phức z là đƣờng tròn, đƣờng
elip, đƣờng parabol, đa giác…
Hƣớng 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z z z z     1 2 (tức là tìm giá trị lớn nhất
của P MA MB   ) với hai điểm A B , cho trƣớc và nằm cùng phía với tập hợp biểu diễn
số phức z
Ví dụ 21. Xét các số phức z x yi x y    , ,   và z y 2   3 16 2 . Tính giá trị lớn nhất của
P z z i     2 .
A. 6 . B. 5 . C. 2 . D.
5 2
.

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education