O₂ Education

Tag: biện luận

  • Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Giải và biện luận phương trình bậc 2 là dạng toán quan trọng, không chỉ xuất hiện trong các đề thi học kì, đề thi HSG mà còn xuất hiện cả trong các bài tập Tin học, lập trình.

    Xem thêm: Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    1. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2

    Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tính $\Delta$ và dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$ với hệ số $a$ có chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.

    Bài toán: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$

    Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $a=0$ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ trở thành $$bx+c=0$$ Đây chính là dạng phương trình bậc nhất $ax+b=0$ đã biết cách giải. Các em học sinh xem chi tiết tại Giải và biện luận phương trình ax+b=0
    • Trường hợp 2. Nếu $a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: $$\Delta=b^2-4ac$$ Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng của $\Delta$:
      • $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
      • $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
      • $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$

    Cuối cùng, chúng ta tổng hợp các trường hợp lại thành một kết luận chung.

    2. Ví dụ Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$2x^2+3x+m-5=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta có có $ \Delta=3^2-4\cdot 2\cdot(m-5)=49-8m$. Do đó, có 3 trường hợp sau:

    • Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{49}{8}$ thì phương trình vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{49}{8}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{4}$.
    • Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{49}{8}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{-3\pm\sqrt{49-8m}}{4}.$$

    Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$x^2-x+m=0.$$

    Hướng dẫn. Chúng ta có $ \Delta=(-1)^2-4m=1-4m$ và xét 3 trường hợp:

    • Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{1}{2}$.
    • Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{1}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{1\pm\sqrt{1-4m}}{2}.$$

    Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m-1)x^2+3x+5=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $ m-1=0 \Leftrightarrow m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+3x+5=0 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{3} $$
    • Trường hợp 2. Nếu $ m-1\ne 0 \Leftrightarrow m\ne 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta=3^2-4\cdot 5\cdot(m-1)=29-20m $$ Trường hợp này lại có 3 khả năng sau:
      • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>\frac{29}{20}$ thì phương trình vô nghiệm;
      • $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=\frac{29}{20}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{2(m-1)}=-\frac{10}{3}$;
      • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m<\frac{29}{20}$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-3\pm \sqrt{29-20m}}{2(m-1)}$.

    Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

    • $ m>\frac{29}{20}$: Phương trình vô nghiệm;
    • $ m=\frac{29}{20}$ hoặc $ m=1$: Phương trình có một nghiệm;
    • $ m<\frac{29}{20}$ và $ m\ne 1$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$mx^2+2mx+m-4=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $ m=0$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x-4=0$$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=m^2-m(m-4)=4m. $$ Vì $ m\ne 0$ nên trường hợp này lại có 2 khả năng sau:
      • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m<0$ thì phương trình vô nghiệm;
      • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m>0$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-m\pm \sqrt{4m}}{m}$.

    Như vậy, chúng ta có kết luận sau:

    • $ m\leqslant 0$: Phương trình vô nghiệm;
    • $ m>0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-1)x^2+6(m-1)x+9=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $ m^2-1=0 \Leftrightarrow m=\pm 1$. Đến đây, có hai khả năng:
      • Nếu $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x+9=0 $$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
      • Nếu $ m=-1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2-12x+9=0 $$ Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{3}{4}$.
    • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne \pm 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=9(m-1)^2-9\cdot (m^2-1) =18-18m$$ Chúng ta lại thấy trường hợp này có 3 khả năng:
      • Nếu $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>1$ thì phương trình vô nghiệm;
      • Nếu $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=1$, khả năng này không xảy ra vì chúng ta đang xét trường hợp 2 có điều kiện là $ m\ne \pm 1;$
      • Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<1$, phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=-3(m-1)\pm\sqrt{18-18m}$.

    Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

    • Khi $ m \geqslant 1$: Phương trình vô nghiệm;
    • Khi $ m=-1$: Phương trình có một nghiệm;
    • Khi $ m<1$ và $ m\ne -1$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-4)x^2+3mx-6=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta

     

    Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ có điểm chung?

    Hướng dẫn. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ là nghiệm của phương trình $$y = -x^2 – 2x + 3= x^2 – m$$ Do đó, hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm.

     

    3. Tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm, 4 nghiệm…

    Ngoài việc biện luận phương trình bậc hai, chúng ta còn gặp một số phương trình quy về bậc 2. Cụ thể xin xem trong ví dụ sau:

    Ví dụ 1. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$(x^2 – 3x + m)(x – 1) = 0$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^2 – 3x + m=0&(2)
    \end{array}\right. \end{align}

    Rõ ràng rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm $x=1$. Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 9-4m >0\\ 1^2-3+m\ne 0
    \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{9}{4}$ và $ m\ne 2.$

    Ví dụ 2. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta đoán được phương trình $x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$ có nghiệm $x=1$ nên phân tích phương trình đã cho thành $$\left( x-1\right) \left( x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1\right) =0$$

    Do đó, phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1=0&(2) \end{array}\right. \end{align} Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = (1-3m)^2-4(1-m) >0\\ 1^2+(1-3m)-m+1\ne 0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{1-2\sqrt{7}}{9}$ hoặc $ m>\frac{1+2\sqrt{7}}{9}.$

    Ví dụ 3. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{x^2-2x+m}{x-3} = 0$$

    Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 3$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$x^2-2x+m=0(*)$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện, tức phải khác $3$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 2^2-4m >0\\ 3^2-2\cdot 3+m\ne 0 \end{cases} $$ Từ đó tìm được đáp số

    Ví dụ 4. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{mx^2-2(m-1)x+m}{\sqrt{x – 2}} = 0$$

    Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định là $x>2$. Cần tìm điều kiện để phương trình $mx^2-2(m-1)x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện $x>2$.

    Ví dụ 5. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt $$x^4-3mx^2+5= 0$$

    Hướng dẫn. Ta đặt $t=x^2$ thì có điều kiện của $t$ là $t>0$. Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc 2 ẩn $t$ $$t^2-3mt+5$$ Nhận thấy rằng với mỗi nghiệm $t>0$ thì tìm được 2 nghiệm $x$ là $\pm\sqrt{t}$. Nên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ẩn $t$ có 2 nghiệm $t$ phân biệt và dương. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta >0\\ S>0\\ P>0 \end{cases} $$

  • Giải và biện luận phương trình ax+b=0

    Giải và biện luận phương trình ax+b=0

    Giải và biện luận phương trình ax+b=0

    Giải và biện luận phương trình bậc nhất $ax+b=0$ là một dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng lập luận, tư duy logic.

    Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

    1. Giải và biện luận phương trình ax+b=0

    Để giải và biện luận phương trình $ax+b=0$, ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. Nếu $ a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất $$ x=-\frac{b}{a}.$$
    • Trường hợp 2. Nếu $ a = 0$ thì phương trình đã cho trở thành $ 0x+b=0$, lúc này:
      • Nếu $ b=0$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R};$
      • Nếu $ b\ne 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

    Bảng tóm tắt cách giải và biện luận phương trình $ax+b=0$

    giai va bien luan phuong trinh ax+b=0

    Chú ý khi giải và biện luận phương trình bậc nhất:

    • Biến đổi để đưa phương trình đã cho về đúng dạng $ax+b=0$ trước khi xét các trường hợp.
    • Nếu phương trình đã cho có điều kiện thì cần kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện hay không rồi mới kết luận.

    2. Ví dụ giải và biện luận phương trình ax+b=0

    Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $ mx+2-m=0$.

    Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. Nếu $ m=0$, phương trình đã cho trở thành $$ 0x+2=0 $$ Rõ ràng phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m}.$

    Vậy, $ m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

    Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $ (m-2)x+2-m=0$.

    Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. $ m-2=0$ hay $ m=2$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+0=0 $$ Rõ ràng phương trình này có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho cũng có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.
    • Trường hợp 2. $ m\ne 2$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m-2}=-1.$

    Vậy, $ m=2$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$; $ m\ne 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-1$.

    Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $ mx+(2-3m)x+5=0$.

    Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $ ax+b=0$. Có, phương trình đã cho tương đương với $$ (2-2m)x+5=0 $$ Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. $ 2-2m=0$ hay $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+5=0 $$ Phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. $ m\ne 1$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{-5}{2-2m}.$

    Vậy, $ m=1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{-5}{2-2m}$.

    Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình $ \frac{5x-m}{x-1}=0$.

    Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc $ ax+b=0.$

    • Điều kiện xác định: $ x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$ 5x-m=0 $$
    • Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{m}{5}$. Tuy nhiên đây chưa phải nghiệm của phương trình đã cho vì cần có điều kiện $ x\ne 1$. Do đó chúng ta xét hai trường hợp:
      • Trường hợp 1. Nếu $ \frac{m}{5}=1$ hay $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
      • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

    Tóm lại, $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

    Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{mx+2m}{x-3}=0 $$

    Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{(m+1)x+2m}{x^2-4}=0 $$

    Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{x+2-m}{\sqrt{x-4}}=0 $$

    Ví dụ 8. Tìm $m$ để phương trình $ (x-1)(x-3m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 9. Tìm $m$ để phương trình $ \sqrt{x-3}(x+5-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 10. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.

    Ví dụ 11. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ vô nghiệm.

    Ví dụ 12. Tìm $m$ để phương trình $ \frac{(3-m)x+3}{x-5}=0$ vô nghiệm.

    3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất

    Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số $m$:

    1. $mx = 3$
    2. $( m -2) x = m -2$
    3. $(2 m -1) x = 5m +3$
    4. $( m ^2-1) x =2 m +2$
    5. $m ( x -2)=x +1$
    6. $( m -1) x =2 x + m -3$
    7. $( m +1)( x -2)=3 m -1$
    8. $( m -1)( x +1)= m ^{2}-1$
    9. $( m -3) x = m ( m -1)-6$
    10. $(2 m -3) x = m (2 m -5)+3$
  • Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

    Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

    Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

    Sử dụng sự tương giao của đường tròn và đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chúng ta có thể dễ dàng Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số.

    Xem thêm:

    1. Lý thuyết biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

    Nhắc lại rằng, đối với hệ phương trình hai ẩn, hệ bất phương trình hai ẩn $ x,y$ thì mỗi nghiệm của nó là một cặp số $ (x;y)$ thỏa mãn hệ đã cho. Mỗi cặp số $ (x;y)$ này chính là tọa độ của một điểm ở trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$.
    Để biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình đã cho, chúng ta biểu diễn các phương trình, bất phương trình của hệ bởi những đường thẳng, đường tròn hoặc miền mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng. Khi đó, số nghiệm của hệ phương trình, của hệ bất phương trình chính bằng số điểm chung của các đường thẳng và đường tròn này.

    • Trong mặt phẳng $ Oxy$, phương trình đường thẳng có dạng tổng quát $$ ax+by+c=0 $$
    • Phương trình đường tròn tâm $ I(a,b)$ bán kính $ R$ là $$ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 $$
    • Khoảng cách từ điểm $ M(x_0;y_0)$ tới đường thẳng $ \Delta:ax+by+c=0$ là
      $$ d(M,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
    • Vị trí tương đối của đường thẳng $ \Delta$ và đường tròn tâm $ I$, bán kính $ R$:
      • có một điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)=R$
      • có hai điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)<R$
      • có không điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)>R$

    2. Các ví dụ Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

    Bài 1: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $$\left\{ \begin{array}{lr}
    {x^2} + {y^2} – 2x \le 2&(1)\\
    x – y + a = 0&(2)
    \end{array} \right.$$
    Lời giải: Ta có bất phương trình (1) tương đương với $$ {(x – 1)^2} + {y^2} \le 3$$ Bất phương trình này biểu diễn hình tròn $ (C)$ có tâm $ I(1;0)$ bán kính $R=\sqrt 3 $ trên mặt phẳng tọa độ $ Oxy$. Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng $ \Delta:x-y+a=0$. Để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng phải tiếp xúc với đường tròn. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
    \begin{align*}
    d\left( {I,\Delta } \right) &= R\\
    \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 0 – a} \right|}}{{\sqrt 2 }}& = \sqrt 3
    \end{align*}
    Giải hệ này, tìm được đáp số $ a = – 1 – \sqrt 6 ;a = – 1 + \sqrt 6 $.

    Bài 2: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $$\left\{ \begin{array}{l}
    x + y + \sqrt {2xy + m} \ge m\\
    x + y \le 1
    \end{array} \right.$$

    Lời giải: Hệ bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt {2xy + m} \ge 1 – \left( {x + y} \right)\\
    x + y \le 1
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
    2xy + m \ge {\left( {1 – \left( {x + y} \right)} \right)^2}\\
    x + y \le 1
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{lr}
    {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le m + 1&\left( 3 \right)\\
    x + y \le 1&\left( 4 \right)
    \end{array} \right.
    \end{align*}

    • Với $m+1 \le 0$ hay $m \le -1$ thì hệ vô nghiệm.
    • Với $ m+1 > 0$ hay $ m>-1$, thì bất phương trình (3) biểu diễn hình tròn $ (C)$ có tâm $ I(1;1)$ và bán kính $R=\sqrt {m + 1} $ trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Bất phương trình (4) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $ x+y=1$. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng $ x+y=1$ tiếp xúc với đường tròn $ (C)$. Điều kiện cần và đủ là
      $$d(I,\Delta)=R \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {m + 1} \Leftrightarrow m = – \frac{1}{2}$$

    Bài 3: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm: $$\left\{ \begin{array}{l}
    4x – 3y + 2 \ge 0\\
    {x^2} + {y^2} = a
    \end{array} \right.$$
    Lời giải:

    • Nếu $ a\le 0$ hệ vô nghiệm.
    • Nếu $ a> 0$ thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn bởi bất phương trình $4x-3y+2 \le 0$ và đường tròn tâm $ O(0;0)$ bán kính $R=\sqrt a $. Do đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi $$\sqrt a \ge OH \Leftrightarrow a \ge \frac{4}{{25}},$$ trong đó, $ H$ là chân đường vuông góc hạ từ $ O$ xuống đường thẳng $ 4x-3y+2= 0$.

    Bài 4: Cho hệ bất phương trình $$\left\{ \begin{array}{lr}
    {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le 2&(5)\\
    x – y + m = 0&(6)
    \end{array} \right.$$
    Xác định $ m$ để hệ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$.

    Lời giải: Tập hợp các điểm $ (x;y)$ thỏa mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường tròn $${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2$$
    Đường tròn này có tâm $ I(1;1)$ và bán kính $R = \sqrt 2 $. Tập hợp các điểm $ (x;y)$ thỏa mãn (6) là các điểm nằm trên đường thẳng $\Delta $ có phương trình $x-y+m=0.$
    Gỉa sử điểm $A \in \Delta $ sao cho ${x_A} = 0$ thì tọa độ của $ A$ là $ (0;m)$; $B \in \Delta $ sao cho ${x_B} = 2$ thì $ B(2;2+m)$.

    Hệ có nghiệm với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$ khi và chỉ khi đoạn thẳng $ AB$ nằm trong đường tròn $ (I;R)$. Lúc đó
    $$\left\{ \begin{array}{l} IA \le R\\ IB \le R
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {\left( {0 – 1} \right)^2} + {\left( {m – 1} \right)^2} \le 2\\
    {\left( {2 – 1} \right)^2} + {\left( {2 + m – 1} \right)^2} \le 2
    \end{array} \right. $$
    Giải hệ này tìm được $ m = 0$

    Bài 5: Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{lr}
    {x^2} + {y^2} – x = 0&(7)\\
    x + ay – a = 0&(8)
    \end{array} \right.$$
    Tìm $ a$ để hệ có hai nghiệm phân biệt.

    Lời giải: Phương trình (7) tương đương với $$ {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$$
    Đây là một đường tròn tâm $I\left( {\frac{1}{2};0} \right)$ bán kính $R=\frac{1}{2}$. Tập nghiệm của phương trình (8) là tọa độ những điểm nằm trên đường thẳng $ x+ay-a=0$. Họ đường thẳng này luôn di qua điểm $ A(0;1)$ cố định.
    Nhận xét điểm $ A$ nằm ngoài đường tròn $ (I;R)$, nên từ $ A$ kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn $ (I;R)$.

    Phương trình tiếp tuyến đó là: $ x=0$ và $x + \frac{4}{3}y – \frac{4}{3} = 0$.

    Để hệ có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng $ x+ay-a=0$ phải cắt đường tròn (I;R) tại hai điểm phân biệt. Vậy đường thẳng $ x+ay-a=0$ phải nằm giữa hai tiếp tuyến trên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $0 <a < \frac{4}{3}$.

    Bài 6: Tìm $ m$ để phương trình sau có nghiệm: $$\sqrt {1 – {x^2}} = m – x$$
    Lời giải: Đặt $y = \sqrt {1 – {x^2}} $, điều kiện$y \ge 0$ thì phương tương đương với hệ bất phương trình
    $$\left\{ \begin{array}{lr}
    {x^2} + {y^2} = 1&(2)\\
    x + y – m = 0&(3)
    \end{array} \right.$$
    Gọi hai đường thẳng song song với đường thẳng $ d:x+y-m=0$ và tiếp xúc với đường tròn $ {x^2} + {y^2} = 1$ là $d_1, d_2$. Chúng ta viết được phương trình của chúng là $$ x+y-1=0,\, x+y+\sqrt{2}=0 $$

    Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng $ d$ phải nằm giữa hai đường thẳng $ d_1$ và $ d_2$. Điều kiện cần và đủ là
    $ – 1 \le m \le \sqrt 2 $.

    Bài 7: Tìm GTLN của hàm số: $$y = x + \sqrt {a – {x^2}} (a > 0)$$

    Lời giải: Đặt $t = \sqrt {{a^2} – {x^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {t^2} = {a^2}$ và $ x+t-y=0$. Chúng ta cần tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm
    $$\left\{ \begin{array}{lr}
    {x^2} + {t^2} = {a^2}&(1)\\
    x + t – y = 0&(2)
    \end{array} \right.$$

    Bài 8: Hãy biện luận số nghiệm của hệ sau theo $ m$. $$\left\{ \begin{array}{lr}
    x + y = 4(1)&\\
    {x^2} + {y^2} = {m^2}&(2)
    \end{array} \right.$$

    Lời giải.

    • Nếu $ m=0$ thì hệ vô nghiệm.
    • Nếu $m \ne 0$ thì số nghiệm của hệ chính bằng số giao điểm của đường tròn ${x^2} + {y^2} = {m^2}$ và đường thẳng $\Delta 😡 + y = 4$
      Điều kiện cần và đủ là $$ d(O,\Delta)= \frac{{\left| { – 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 $$

    Vậy ta có:

    • Nếu $\left| m \right| < 2\sqrt 2 $ hệ vô nghiệm.
    • Nếu $m = \pm 2\sqrt 2 $ thì hệ có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}
      x = 2\\ y = 2 \end{array} \right.$
    • Nếu $\left| m \right| > 2\sqrt 2 $ thì hệ có hai nghiệm phân biệt.

    Bài 9: Tìm $ a$ để bất phương trình sau có nghiệm $$\sqrt {a – x} + \sqrt {x + a} > a(a > 0)$$
    Lời giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
    u = \sqrt {a + x} \\
    v = \sqrt {a – x}
    \end{array} \right.$ với điều kiện $u,v \ge 0$. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
    $$\left\{ \begin{array}{lr}
    u + v > a&(1)\\
    {u^2} + {v^2} = 2a&(2)
    \end{array} \right.$$
    Làm tương tự các bài toán trước, đáp số là $ 0 < a < 4$.