0

Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai (ẩn $x$) là phương trình có dạng $$ax^2+bx=0$$ trong đó $a\ne 0$.

Cách giải phương trình bậc 2. Chúng ta tính đại lượng sau (đặt là $\Delta$) $$\Delta=b^2-4ac$$ Khi đó, tùy vào giá trị dương, âm, bằng không của $\Delta$ mà chúng ta có kết luận về nghiệm của phương trình bậc 2.

  • $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
  • $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
  • $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$

Xem thêm:

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$ nên tính được $$ \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=40 $$ Vì $ 40>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-4)+\sqrt{40}}{2}$ và $ \frac{-(-4)-\sqrt{40}}{2}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^2-3x+6=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=3,c=6$ nên tính được $$ \Delta=3^2-4\cdot 1\cdot 6=-15 $$ Vì $ -15<0$ nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình $x^2-2x+1=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-2,c=1$ nên tính được $$ \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1=0 $$ nên phương trình có một nghiệm là $x=\frac{-(-2)}{2}=1$.

Lưu ý, nếu hệ số $b$ chẵn, tức là có dạng $b=2b’$ thì có thể tính $\Delta’=b’^2-ac$ thay cho $\Delta$. Lúc đó, công thức nghiệm là $\frac{-b’\pm\sqrt{\Delta’}}{a}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$. Nhận thấy $b=2\cdot(-2)$ nên tính $$ \Delta’=(-2)^2-\cdot 1\cdot (-6)=10 $$ Vì $ 10>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-2)+\sqrt{10}}{1}$ và $ \frac{-(-2)-\sqrt{10}}{1}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$, chính là hai nghiệm ở ví dụ 1.

2. Phương trình bậc hai có nghiệm khi nào?

Như vậy, phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $$\Delta \geqslant 0$$

Lúc đó, chúng ta có định lý Viète như sau $$ \begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{cases} $$

Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & m \leqslant \frac{29}{4} \end{align}

3. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi nào?

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta >0.$$

Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) > 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m > 0\\ \Leftrightarrow & m <\frac{29}{4} \end{align}

4. Phương trình bậc hai vô nghiệm khi nào?

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta <0.$$

Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) < 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m < 0\\ \Leftrightarrow & m >\frac{29}{4} \end{align}

5. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương khi nào?

Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) dương khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$

6. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm âm khi nào?

Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) âm khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
x_1+x_2=\frac{-b}{a}<0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$

7. Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu?

Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) trái dấu khi và chỉ khi $$  x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}<0 $$ hoặc đơn giản hơn là $$ac<0.$$

8. Phương trình bậc hai có hai nghiệm lớn hơn một số, nhỏ hơn một số cho trước (định lý đảo)

Phương trình bậc hai $f(x)=ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) $ x_1,x_2$ (giả sử $ x_1<x_2$) và thỏa mãn yêu cầu

  • $ x_1<\alpha <x_2$: điều kiện cần và đủ là $ a\cdot f(\alpha) <0$
  • $ x_1< x_2<\alpha $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} <\alpha
    \end{cases}$
  • $ \alpha <x_1< x_2 $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} >\alpha \end{cases}$

hocbaicungcon

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *