Giải và biện luận phương trình ax+b=0

Giải và biện luận phương trình bậc nhất $ax+b=0$ là một dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng lập luận, tư duy logic.

Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

1. Giải và biện luận phương trình ax+b=0

Để giải và biện luận phương trình $ax+b=0$, ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. Nếu $ a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất $$ x=-\frac{b}{a}.$$
• Trường hợp 2. Nếu $ a = 0$ thì phương trình đã cho trở thành $ 0x+b=0$, lúc này:
  • Nếu $ b=0$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R};$
  • Nếu $ b\ne 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Bảng tóm tắt cách giải và biện luận phương trình $ax+b=0$

Chú ý khi giải và biện luận phương trình bậc nhất:

• Biến đổi để đưa phương trình đã cho về đúng dạng $ax+b=0$ trước khi xét các trường hợp.
• Nếu phương trình đã cho có điều kiện thì cần kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện hay không rồi mới kết luận.

2. Ví dụ giải và biện luận phương trình ax+b=0

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $ mx+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. Nếu $ m=0$, phương trình đã cho trở thành $$ 0x+2=0 $$ Rõ ràng phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m}.$

Vậy, $ m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $ (m-2)x+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. $ m-2=0$ hay $ m=2$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+0=0 $$ Rõ ràng phương trình này có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho cũng có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.
• Trường hợp 2. $ m\ne 2$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m-2}=-1.$

Vậy, $ m=2$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$; $ m\ne 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-1$.

Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $ mx+(2-3m)x+5=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $ ax+b=0$. Có, phương trình đã cho tương đương với $$ (2-2m)x+5=0 $$ Chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. $ 2-2m=0$ hay $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+5=0 $$ Phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
• Trường hợp 2. $ m\ne 1$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{-5}{2-2m}.$

Vậy, $ m=1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{-5}{2-2m}$.

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình $ \frac{5x-m}{x-1}=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc $ ax+b=0.$

• Điều kiện xác định: $ x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$ 5x-m=0 $$
• Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{m}{5}$. Tuy nhiên đây chưa phải nghiệm của phương trình đã cho vì cần có điều kiện $ x\ne 1$. Do đó chúng ta xét hai trường hợp:
  • Trường hợp 1. Nếu $ \frac{m}{5}=1$ hay $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
  • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

Tóm lại, $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{mx+2m}{x-3}=0 $$

Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{(m+1)x+2m}{x^2-4}=0 $$

Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{x+2-m}{\sqrt{x-4}}=0 $$

Ví dụ 8. Tìm $m$ để phương trình $ (x-1)(x-3m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 9. Tìm $m$ để phương trình $ \sqrt{x-3}(x+5-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 10. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.

Ví dụ 11. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ vô nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $m$ để phương trình $ \frac{(3-m)x+3}{x-5}=0$ vô nghiệm.

3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số $m$:

1. $mx = 3$
2. $( m -2) x = m -2$
3. $(2 m -1) x = 5m +3$
4. $( m ^2-1) x =2 m +2$
5. $m ( x -2)=x +1$
6. $( m -1) x =2 x + m -3$
7. $( m +1)( x -2)=3 m -1$
8. $( m -1)( x +1)= m ^{2}-1$
9. $( m -3) x = m ( m -1)-6$
10. $(2 m -3) x = m (2 m -5)+3$