O₂ Education

Tag: dãy số

  • Tìm số số hạng của dãy số lớp 4-5

    Cách tìm số số hạng của dãy số

    • số số hạng = số khoảng cách + 1
    • số số hạng = (Số hạng đầu – Số hạng cuối ) : khoảng cách + 1
    • số hạng thứ n = (n – 1) x Khoảng cách + Số đầu.

    Mời các em xem thêm Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Bài tập tìm số số hạng của dãy số

    Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp kể từ:

    a) 1 dến 1945?

    b) 187 đến 718?

    c) 1000 đến 2000?

    Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên là:

    a) Các số chẵn liên tiếp có hai chữ số?

    b) Các số lẻ liên tiếp có ba chữ số?

    c) Các số lẻ từ 1 đến 2001?

    Bài 3. Dãy số sau đây có bao nhiêu số hạng:

    a) 1, 2, 3, 4, …, 98, 99, 100, 99, 98, …,4, 3, 2, 1?

    b) 1, 3, 5, 7, …, 95, 97, 99, 100, 98, …, 8, 6, 4, 2 ?

    Bài 4. Cho dãy số 298, 295, 292, …, 7, 4, 1. Hỏi dãy này có bao nhiêu số hạng?

  • Giới hạn của dãy số

    Giới hạn của dãy số

    Giới hạn của dãy số

    Nếu nhìn các đại lượng vô hạn dưới con mắt hữu hạn, chúng ta sẽ gặp vô vàn nghịch lí, như nghịch lí Zeno:

    Achilles và con rùa. Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu.

    nghịch lí zeno

    Trong nghịch lý Achilles và rùa, Achilles chạy đua với rùa. Ví dụ Achilles chấp rùa một đoạn 100 mét. Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi tay đua đều bắt đầu chạy với một tốc độ không đổi (Achilles chạy rất nhanh và rùa rất chậm), thì sau một thời gian hữu hạn, Achilles sẽ chạy được 100 mét, tức anh ta đã đến được điểm xuất phát của con rùa. Nhưng trong thời gian này, con rùa cũng đã chạy được một quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét. Sau đó Achilles lại tốn một khoảng thời gian nữa để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà trong thời gian đó thì con rùa lại tiến xa hơn một chút nữa, và cứ như thế mãi. Vì vậy, bất cứ khi nào Achilles đến một vị trí mà con rùa đã đến, thì con rùa lại cách đó một đoạn. Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.

    1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

    1.1. Dãy số có giới hạn bằng 0

    Định nghĩa. Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn bằng \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( \big|u_n\big| \) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Kí hiệu \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =0 \).

    Ví dụ, xét dãy \( (u_n) \) có công thức số hạng tổng quát \( u_n=\frac{1}{n} \). Ta sẽ chỉ ra \( \big|u_n\big| \) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    • Chẳng hạn, chọn số dương bé tùy ý là \( 0{,}01 \) thì có \( \big|u_n\big| <0{,}01 \Leftrightarrow n>100\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{101} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}01 \).
    • Chọn số dương bé tùy ý là \( {0,0005} \) thì thì có \( \big|u_n\big| <0{,}0005 \Leftrightarrow n>2000\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{2001} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}005 \).
    • Tương tự, muốn \( \big|u_n\big| <0{,}000003 \Leftrightarrow n>333333{,}(3)\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{333334} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}000003 \).
    • Tổng quát, muốn \( \big|u_n\big| <\epsilon \) ta chỉ cần lấy từ số hạng thứ \( \left[\frac{1}{\epsilon} \right] +1\) trở đi, ở đây \( [*] \) là kí hiệu phần nguyên của \( * \).

    Như vậy, ta nói dãy số \( \frac{1}{n}\) có giới hạn là \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng và viết \( \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n} =0 \) hoặc \( \lim \frac{1}{n} =0 \).

    Biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số, chúng ta thấy khi \( n \) dần tới dương vô cùng thì các số hạng \( u_n \) ngày càng tiến gần tới số \( 0 \)

    dãy số có giới hạn bằng 0

    Xét thêm một dãy số khác nữa là dãy có công thức số hạng tổng quát \(u_n=\frac{(-1)^n}{n}\). Biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số, ta được hình sau:

    giới hạn của dãy số là gì

    Về mặt hình ảnh, chúng ta thấy khi \( n \) dần tới dương vô cùng thì các số hạng \( u_n \) ngày càng tiến gần tới số \( 0 \) và chúng có xu hướng hội tụ tại điểm \( 0 \) đó. Chúng ta cũng nói dãy \(\frac{(-1)^n}{n}\) có giới hạn là \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng.

    Ngoài ra, chúng ta còn gặp một số dãy có giới hạn \( 0 \) như \[ \lim\frac{1}{n^2} =0, \lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,… \]

    1.2. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số

    Định nghĩa. Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn bằng \( a \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu dãy \( v_n=u_n-a \) có giới hạn bằng \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng.
    Tức là , \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =a \) nếu \( \lim\limits_{n\to +\infty} \left (u_n-a\right ) =0 \).

    Ví dụ, dãy \( u_n \) với công thức số hạng tổng quát \( u_n=\frac{2n+1}{n} \) có giới hạn bằng \( 2 \) khi \( n \) dần tới dương vô cực vì $$ \lim (u_n-2) = \lim \left(\frac{2n+1}{n}-2\right)=\lim \frac{1}{n} =0.$$

    2. Quy tắc và tính chất về giới hạn hữu hạn của dãy số

    Cho hai dãy \( u_n \) và \( v_n \) có \( \lim u_n=a, \lim v_n=b \) thì

    • \( \lim \left(u_n \pm v_n\right) = a\pm b \)
    • \( \lim \left(u_n v_n\right) = a b \)
    • \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n} \right) = \frac{a}{b}\) nếu \( b\ne 0 \)

    Cho dãy \( u_n \) có \( u_n \geqslant 0\) và \( \lim u_n=a\) thì \( a \geqslant 0 \) và \( \lim \sqrt{u_n} =\sqrt{a} \).

    Sử dụng các tính chất và định nghĩa trên, chúng ta có một vài giới hạn đặc biệt sau.

    • \( \lim c =c\) với \( c \) là hằng số bất kì.
    • \( \lim \frac{c}{n} = 0\) vì \( lim c=c\) và \( \lim \frac{1}{n} =0\)
    • \( \lim \frac{1}{n^k}=0 \) với \( k \) nguyên dương.
    • \( \lim q^n = 0 \) với \( |q| <1 \)

    Với các giới hạn đặc biệt này, ta dễ dàng có các giới hạn sau:

    • Vì \( \lim 2=2 \) và \( \lim \frac{3}{n} =0\) nên \( \lim \left(2+\frac{3}{n}\right) =2 \)
    • Vì \( \lim 5=5 \) và \( \lim \frac{1}{n^2} =0\) nên \( \lim \left(5+\frac{1}{n^2}\right) =5 \)
      Do đó, $$ \lim \frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{1}{n^2}}=\frac{2}{5}. $$ Nhưng giới hạn này cũng chính là giới hạn của dãy có công thức số hạng tổng quát $$ u_n=\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{1}{n^2}} = \frac{2n^2+3n}{5n^2+1}.$$

    Từ đó, chúng ta ý tưởng chung để tìm giới hạn của các dãy số là làm ngược lại quá trình trên. Tức là ta tìm cách biến đổi để đưa về các giới hạn đặc biệt rồi sử dụng tính chất về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương.

    Ví dụ, tính giới hạn $$ \lim \frac{n+4}{3n-2} $$ chúng ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( n \) thì được $$ \lim \frac{n+4}{3n-2} = \lim \frac{1+\frac{4}{n}}{3-\frac{2}{n}} = \frac{1+0}{3-0} =\frac{1}{3}. $$

    Ví dụ, tính giới hạn $$ \lim \frac{\sqrt{n^2+3}}{4-n} $$ chúng ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( n \) thì được $$ \lim \frac{\sqrt{n^2+3}}{4-n} =\lim \frac{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}}{\frac{4}{n}-1}=\frac{\sqrt{1+0}}{0-1}=-1.$$

    Ví dụ. Tính các giới hạn sau:

    1. $ \lim \dfrac{2n^3-n^2+1}{n^3+1}=2 $
    2. $ \lim \dfrac{-n^7-n^6+1}{n+2n^7}=-\dfrac{1}{2} $
    3. $ \lim \dfrac{(n+1)(n^2-3n+5)}{n^3-2n(n^2+1)+2}=-1 $
    4. $ \lim \dfrac{n\sqrt{n}+n^2-1}{2n^2+1}=\dfrac{1}{2} $
    5. $ \lim \dfrac{n+\sqrt{n^2+1}}{3n-1}=\dfrac{2}{3} $
    6. $ \lim \dfrac{n+\sqrt{n^2+2n+1}}{2-\sqrt{4n^2+1}}=-1 $
    7. $ \lim \dfrac{2n+\sqrt{n^3+2n^2+1}}{n\sqrt{3n+2}-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $
    8. $ \lim \dfrac{\sqrt[3]{-27n^6+2n+1}}{4n^2+4n+1}=-\dfrac{3}{4} $
    9. $ \lim \sqrt{\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5n}}=\sqrt{3} $
    10. $ \lim \left(\dfrac{2n^2}{n^2+3n+1}-\dfrac{2n}{3n+1}\right) $
    11. $ \lim \dfrac{n+1}{n^3+1}=0 $
    12. $ \lim \dfrac{11n^2-2n+1}{n^3+n^2+1}=0 $
    13. $ \lim \dfrac{(2n+1)(n-5)+n^2+1}{n^3+n^2}=0 $
    14. $ \lim \left(\dfrac{2n}{3n^2+1}-\dfrac{n}{3n^2+1}\right) $
    15. $ \lim \dfrac{n+\sqrt{n^3+1}}{2n^2+\sqrt{n}-1}=0 $
    16. $ \lim \dfrac{2}{\sqrt{n^2+1}-n} $
    17. $ \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)} $
    18. $ \lim \dfrac{3}{\sqrt{4n^2+1}-2n+1} $
    19. $ \lim \dfrac{2^n+3^n}{5\cdot3^n+2^n} $
    20. $ \lim \dfrac{2^n-1}{3^n+2^{n+1}} $
    21. $ \lim \dfrac{2^n-3^n+5^{n+2}}{5^n+3^{n+1}} $
    22. $ \lim \dfrac{(-2)^n-5^{n+1}}{5^{n-1}+3^{n+1}} $

    3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

    Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có vô hạn số hạng và công bội \( q \) thỏa mãn \( |q|<1 \). Ví dụ, cấp số nhân:

    • \( \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},… \left(\frac{1}{2}\right)^n \) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \( q=\frac{1}{2}
      \)
    • \( \frac{-1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{-1}{8},… \left(\frac{-1}{2}\right)^n \) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \( q=\frac{-1}{2}
      \)

    Cho cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là \( u_1\) và công bội \( q \) thì tổng của \( n \) số hạng đầu tiên là $$ S_n=u_1+u_2 + u_3 +…+ u_n=u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} $$ Vì \( |q|<1 \) nên khi \( n\to +\infty \) thì \( q^n\to 0 \) do đó $$ \lim S_n = \frac{u_1}{1-q} $$
    Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \( (u_n) \) và kí hiệu là \( S=u_1+u_2 + u_3 +…+ u_n+… \)

    4. Giới hạn vô cực

    Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực

    • Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn \( +\infty \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( u_n \) lớn hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
      Kí hiệu \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =+\infty \) hoặc \( \lim u_n =+\infty \) .
    • Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn \( -\infty \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( \lim \left(-u_n\right) =+\infty \)
      Kí hiệu \( \lim u_n =-\infty \).

    Một vài giới hạn đặc biệt

    • \( \lim n^k = +\infty \) với \( k \) nguyên dương;
    • \( \lim \sqrt{n} = +\infty \);
    • \( \lim q^n= +\infty \) nếu \( q >1\).

    Tính chất giới hạn vô cực của dãy số

    • Nếu \( \lim u_n=a\) và \(\lim v_n=\pm \infty \) thì \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n} \right) = 0\).
    • Nếu \( \lim u_n=a>0, \lim v_n=0 \) và \( v_n>0 \) với mọi \( n \) thì \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n} \right) = +\infty \).
    • Nếu \( \lim u_n=a\) và \(\lim v_n=+ \infty \) thì \( \lim \left(u_n v_n \right) = +\infty \).

    Ví dụ. Tính các giới hạn sau:

    1. $ \lim (n^2+n-3)=+\infty $
    2. $ \lim (2n^2-n^3+4)=-\infty $
    3. $ \lim (n\sqrt{n}+3n-1)=+\infty $
    4. $ \lim \dfrac{2n^3-n^2+1}{n^2+1}=+\infty $
    5. $ \lim \dfrac{11n^4+1}{-5n^2+n+1}=-\infty $
    6. $ \lim \dfrac{2n\sqrt{n}-3}{n+\sqrt{n}-1} $
    7. $ \lim \dfrac{3^n+2^n}{2^{n+1}-1} $

    Ví dụ. Tính các giới hạn sau:

    1. $ \lim (n\sqrt{n}+n-3)=+\infty $
    2. $ \lim (\sqrt{n^2+n+1}+3n)=+\infty $
    3. $ \lim (\sqrt{n^2+1}-3n)=-\infty $
    4. $ \lim (\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})=+\infty $
    5. $ \lim (\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})=0 $
    6. $ \lim \left(\dfrac{1}{n-\sqrt{n^2+1}}-\dfrac{1}{n+\sqrt{n^2+1}}\right)$
    7. $ \lim (\sqrt{n^2+n+1}-n)$
    8. $ \lim (\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1})$
    9. $ \lim \dfrac{3n+2}{\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}}$
    10. $ \lim \dfrac{\sqrt{n^2+n}-n}{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2n}}$
    11. $ \lim (\sqrt[3]{n^3+1}-n)$
    12. $ \lim (2n+1+\sqrt[3]{1-8n^3})$

    Ví dụ. Tính các giới hạn sau:

    1. $ \lim n(\sqrt{n^2+1}-n)=+\infty $
    2. $ \lim \sqrt{n+1}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}) $
    3. $ \lim n^2(\sqrt{3n^4+5}-\sqrt{3n^4+2}) $
    4. $ \lim \dfrac{n(n+\sqrt{n-n^3})}{n-\sqrt{n^2+4n}} $
    5. $ \lim (\sqrt{n^2+1}-\sqrt[3]{n^3+n})$
    6. $ \lim (\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt[3]{1-n^3})$
    7. $ \lim (2n-\sqrt{9n^2+n}+\sqrt{n^2+2n}) $
    8. $ \lim \left(\sqrt{n^2+2n}+2\sqrt[3]{n^2-8n^3}+\sqrt{n^2+1}\right) $
  • Dãy Fibonacci là gì?

    Dãy Fibonacci là gì?

    Dãy Fibonacci là gì?

    Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là: $$ F(n)=\begin{cases} 1& \text{khi }&n=1\\ 1& \text{khi }&n=2\\ F(n-1)+F(n-2)& \text{khi }&n>2 \end{cases}$$

    Dãy số Fibonacci (Phibônaxi) được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci – Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các “cụ tổ” của một ong đực.

    Bài toán đếm số đôi thỏ

    Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi,mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh

    dãy số Fibonacci và bài toán đếm số con thỏ

    Trong hình vẽ trên, ta quy ước:

    • Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
    • Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.

    Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:

    • Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
    • Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
    • Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
    • Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
    • Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.

    Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:

    • Với n = 1 ta được f(1) = 1.
    • Với n = 2 ta được f(2) = 1.
    • Với n = 3 ta được f(3) = 2.

    Do đó với n > 2 ta có công thức tổng quát f(n) = f(n-1) + f(n-2).

    Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n-1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n-2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2).

    Công thức tổng quát của dãy Fibonacci

    Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là: $$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)$$

    Liên hệ với tỉ lệ vàng

    Tỷ lệ vàng $\varphi$ (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ.

    tỷ lệ vàng

    Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:$$\frac{1}{x}=\frac {x}{1+x},$$ hay tương đương $x^{2}-x-1=0$. Nghiệm dương đó chính là $\varphi =\frac{1+\sqrt {5}{2}\approx 1.618\,033\,989$.

    Bạn có thể đọc thêm tại wiki https://vi.wikipedia.org/wiki/D%C3%A3y_Fibonacci

  • Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Các dạng toán về dãy số và phương pháp giải các dạng toán về dãy số toán lớp 4 được chúng tôi tổng hợp, đưa ra các ví dụ với lời giải chi tiết giúp các em học sinh có thể tự luyện tập và kiểm tra lại kiến thức của mình. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích với quý thầy cô và các em học sinh tiểu học trong quá trình giảng dạy và học tập.

    Xem thêm

    1. Kiến thức cần nhớ dãy sốtoán lớp 4

    Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn… Vì vậy, nếu:

    • Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.
    • Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.
    • Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
    • Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.

    Tìm số lượng các số trong dãy số toán lớp 4

    • Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số $1$ thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số đó. Ví dụ, dãy số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,4,5,…,100$ có $100$ số hạng.
    • Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số $1$ thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. Ví dụ, dãy số $5,6,7,8,…,50$ có số các số hạng là $$50-4=46 \text{ số}$$ hoặc có thể tính bằng cách lấy số cuối cùng trừ số đầu tiên rồi cộng thêm $1$.

    2. Các loại dãy sốtoán lớp 4

    2.1. Dãy số cách đều nhau

    • Dãy số tự nhiên $1,2,3,4,5,…$
    • Dãy số lẻ $1,3,5,7,9,…$
    • Dãy số chẵn $2,4,6,8,10,…$
    • Dãy số cách đều nhau một giá trị. Ví dụ dãy số $1,4,7,10,13,…$ cách đều nhau $3$ đơn vị.
    • Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó. Ví dụ $1, 6, 11, 16, 21…$ là dãy các số tự nhiên chia cho $5$ dư $1$.

    2.1. Dãy số tự nhiên không cách đều.

    • Dãy Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,21,…$ (tính từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó, ví dụ $5=2+3, 21=13+8…$)

    day so fibonacchi dãy số toán lớp 4

    • Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số tự nhiên liên tiếp.

    2.3. Dãy số thập phân, phân số

    3. Cách giải toán dãy số lớp 4

    Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

    Trước hết các em học sinh cần ghi nhớ những quy luật dãy số thường gặp là:

    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên $d$;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên $q$ khác 0;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên $d$ cộng với số thứ tự của số hạng ấy;
    • Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng $a$ lần số liền trước nó;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng $a$ lần số liền trước nó cộng (trừ ) với một số $n$ ($n$ khác 0).

    Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: $$1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$

    Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau:

    • Ta thấy: $$1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13$$
    • Như vậy, dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
    • Ba số hạng tiếp theo là: $21 + 34 = 55$; $34 + 55 = 89$; $55 + 89 = 144$.
    • Vậy dãy số được viết đầy đủ là: $$1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144.$$

    Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: $$1, 3, 4, 8, 15, 27,…$$

    • Ta nhận thấy: $$8 = 1 + 3 + 4, 27 = 4 + 8 + 15, 15 = 3 + 4 + 8$$
    • Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
    • Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: $$1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.$$

    Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.

    a) $…, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$

    b) $…, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110$

    Giải:

    a) Ta nhận thấy:

    • Số hạng thứ 10 là: $1024 = 512 \times 2$
    • Số hạng thứ 9 là: $512 = 256 \times 2$
    • Số hạng thứ 8 là: $256 = 128 \times 2$
    • Số hạng thứ 7 là: $128 = 64 \times 2$
    • ….
    • Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: Mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó.
    • Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: $1 \times 2 = 2$.

    b) Ta nhận thấy rằng:

    • Số hạng thứ 10 là: $110 = 11 \times 10$
    • Số hạng thứ 9 là: $99 = 11 \times 9$
    • Số hạng thứ 8 là: $88 = 11 \times 8$
    • Số hạng thứ 7 là: $77 = 11 \times 7$
    • …
    • Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với $11$.
    • Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: $1 \times 11 = 11$.

    Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau:

    • a. $3, 9, 27, …, …, 729$.
    • b. $3, 8, 23, …, …, 608$.

    Hướng dẫn.

    a. Ta nhận xét: $3 \times 3 = 9, 9 \times 3 = 27$

    • Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 3 lần số liền trước nó.
    • Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: $$27 \times 3 = 81; 81 \times 3 = 243$$
    • Vậy dãy số còn thiếu hai số là: $81$ và $243$.

    b. Ta nhận xét: $$3 \times 3 – 1 = 8; 8 \times 3 – 1 = 23$$

    • Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 3 lần số liền trước nó trừ đi 1.
    • Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là: $$23 \times 3 – 1 = 68; 68 \times 3 – 1 = 203$$
    • Dãy số còn thiếu hai số là: $68$ và $203$.

    Bài 5: Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB.

    Hướng dẫn.

    • Đổi 2 giờ chiều là 14h trong ngày.
    • 2 người đi đến đích của mình trong số giờ là: $14 – 7 = 7 $ giờ.
    • Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:$$ 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.$$
    • Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số: $$9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.$$
    • Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: $$9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84$$
    • Đáp số: 84 km.

    Bài 6: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2010

    783 998

    Giải:

    Ta đánh số thứ tự các ô như sau:

    783 998
    Ô1 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10

    Theo điều kiện của đề bài ta có:

    • 783 + Ô7 + Ô8 = 2010.
    • Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010.

    Vậy Ô9 = 783; từ đó ta tính được:

    • Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2010 – (783 + 998) = 229
    • Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998
    • Ô3 = Ô6 = 783.

    Điền các số vào ta được dãy số:

    998 229 783 998 229 783 998 229 783 998

    Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ. Từ đó mà học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho.

    Dạng 2: Xác định số $x$ có thuộc dãy đã cho hay không?

    Cách giải của dạng toán này:

    • Tìm quy luật của dãy số;
    • Kiểm tra số $x$ có thoả mãn quy luật đó hay không.

    Bài 1: Cho dãy số: $2, 4, 6, 8,…$

    • a. Dãy số được viết theo quy luật nào?
    • b. Số $2009 $có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?

    Giải:

    a. Ta nhận thấy:

    • Số hạng thứ 1: $2 = 2 \times 1$
    • Số hạng thứ 2: $4 = 2 \times 2$
    • Số hạng thứ 3: $6 = 2 \times 3$
    • …
    • Số hạng thứ $n$ là $2 \times n$

    Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng $2$ nhân với số thứ tự của số hạng ấy.

    b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nên số 2009 không phải là số hạng của dãy.

    Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……

    • Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
    • Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

    Giải:

    • Ta thấy: $8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; …$
    • Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3.
    • Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là:$$17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26$$
    • Dãy số được viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
    • Ta thấy: 2 : 3 = 0 dư 2; 5 : 3 = 1 dư 2; 8 : 3 = 2 dư 2; …

    Suy ra, đây là dãy số mà mỗi số hạng khi chia cho 3 đều dư 2. Mà 2009 : 3 = 669 dư 2. Vậy số 2009 có thuộc dãy số trên vì cũng chia cho 3 thì dư 2.

    Bài 3: Em hãy cho biết:

    a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không?

    b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?

    c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích tại sao?

    Giải:

    a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:

    – Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.

    – Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5.

    b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.

    c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:

    – Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều gấp đôi số hạng liền trước nhận nó; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chia cho 2 = 399 là số lẻ.

    – Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.

    – Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.

    Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.

    Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?

    Giải:

    – Ta nhận xét: 2,2 – 1 = 1,2; 3,4 – 2,2 = 1,2; 14,2 – 13 = 1,2;……

    Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nó là 1,2 đơn vị:

    – Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.

    Ví dụ: (13 – 1) chia hết cho 1,2

    (3,4 – 1) chia hết cho 1,2

    Mà: (34,6 – 1) : 1,2 = 28 dư 0.

    Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.

    Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.

    Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?

    100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?

    Giải:

    Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.

    Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 2009 không phải là số hạng của dẫy số đã cho vì lớn hơn 1996.

    Các số hạng của dãy số đã cho là số khi chia cho 3 thì dư 1. Do đó, số 100 và số 1900 là số hạng của dãy số đó.

    Các số 123, 456, 789 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của dãy số đã cho.

    Số 1436 khi chia cho 3 thì dư 2 nên không phải là số hạng của dãy số đã cho.

    Bài tập lự luyện:

    Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,…

    a. Nêu quy luật của dãy.

    b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không?

    c. Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao?

    Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.

    Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?

    Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,

    a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.

    b. Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?

    Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……

    Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?

    Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……

    a. Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

    b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

    Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy

    Đối với dạng toán tìm số lượng số hạng của một dãy số, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây). Ta có công thức sau:

    Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1.

    Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi $d$ thì:

    Số các số hạng của dãy = (Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ) : d + 1.

    https://www.youtube.com/watch?v=GE3R3OiF2IA

    Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17;…..;65; 68.

    Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

    Lời giải:

    Ta có: 14 – 11= 3; 17 – 14 = 3;….

    Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước nó cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là:

    (68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)

    Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992

    Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

    Giải:

    Ta thấy: 4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2

    6 – 4 = 2 ; ………

    Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.

    Dựa vào công thức trên:

    (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

    Ta có: Số các số hạng của dãy là:

    (1992 – 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).

    Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?

    (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)

    Giải:

    Ta thấy:

    Số hạng thứ nhất bằng: 1 = 1 + 2 x 0

    Số hạng thứ hai bằng: 3 = 1 + 2 x 1

    Số hạng thứ ba bằng: 5 = 1 + 2 x 2

    …

    Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990

    Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó.

    Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…

    a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy.

    b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

    Giải:

    a. Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0

    Số hạng thứ hai: 18 = 3 + 15 x 1

    Số hạng thứ ba: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2

    Số hạng thứ tư: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3

    Số hạng thứ năm: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4

    …

    Số hạng thứ n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n – 1)

    Vậy số hạng thứ 100 của dãy là:

    3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 – 1)

    = 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) (Đưa về một số nhân với một tổng.

    = 3 + 15 x (1 + 99) x 99 : 2 = 74253

    b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy:

    Theo quy luật ở phần a ta có:

    3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 11703

    3 + 15 x (1 + 2 + 3 + ……+ (n – 1)) = 11703

    3 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : 2 = 11703

    15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2 = 23400

    n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560

    Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560)

    Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.

    Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?

    Lời giải:

    Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng nhỏ nhất là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng liền trước cộng với 4.

    Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho 4 là:

    (996 – 100) : 4 = 225 (số)

    * Bài tập tự luyện:

    Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008

    Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng?

    Bài 2: Tìm số số hạng của các dãy số sau:

    a. 1, 4, 7, 10, ……,1999.

    b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; … ; 108,9 ; 110,0.

    Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.

    Dãy này có bao nhiêu số hạng?

    Bài 4: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010?

    Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m.

    Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số

    Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,…………Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào

    Giải:

    Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là:

    98 – 1 = 99

    Mỗi khoảng cách là

    3 – 1 = 5 – 3 = 2

    Số hạng thứ 100 là

    1 + 99 ´ 2 = 199

    Công thức tổng quát:

    Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách x (Số số hạng – 1)

    Bài toán 2: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:

    a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1)

    b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2)

    Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1×3, 2×4, 3×5, 4×6, 5×7,…

    Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100.

    Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100×102 = 10200.

    b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1×3, 4×6, 7×9, 10×12, 13×15,…

    Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298.

    Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400.

    Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng

    Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,…….150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số

    Giải:

    Dãy số đã cho có: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số.

    Có (99 – 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số

    Có (150 – 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.

    Vậy số chữ số cần dùng là:

    9 x 1 + 90 x 2 + 51 x 3 = 342 chữ số

    Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số.

    Giải:

    Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có

    (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số

    Có: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số

    Có: (234 – 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số

    Vậy người ta phải dùng số chữ số là:

    9 x 1 + 90 x 2 + 135 x 3 = 594 chữ số

    * Bài tập tự luyện:

    Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số

    Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số

    Bài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:

    a) 752 trang.

    b) 1251 trang.

    Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số

    Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

    Giải:

    Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có

    9 số có 1 chữ số

    có 90 số có 2 chữ số

    Để viết các số này cần số chữ số là

    9 x 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số

    Số chữ số còn lại là:

    435 – 189 = 246 chữ số

    Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được

    246 : 3 = 82 số

    Số trang quyển sách đó là

    99 + 82 = 181 (trang)

    Bài toán 2:

    Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

    Giải: 99 trang đầu cần dùng 9×1 + 90×2 = 189 chữ số.

    999 trang đầu cần dùng: 9×1 + 90×2 + 900×3 = 2889 chữ số

    Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la: 600 – 189 = 411 (chữ số)

    Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.

    Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang.

    Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy.

    Giải:

    Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (nhà)

    Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 – 10) : 2 + 1 = 45 (nhà)

    Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là:

    4 + 45 2 = 94 (lượt)

    Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 – 94 = 273 (lượt)

    Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà)

    Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà)

    Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: (140 – 1) 2 + 2 = 280.

    Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy

    Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3,….. Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào?

    Giải:

    Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số

    Có 90 số có 2 chữ số

    Để viết các số này cần

    9 x 1 + 90 x 2 = 189 chữ số

    Số chữ số còn lại là

    200 – 189 = 11 chữ số

    Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được

    11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số)

    Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến

    99 + 3 = 102

    Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103.

    Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ….. Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?

    Giải:

    Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số

    Có (98 – 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số

    Có (998 – 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số

    Để viết các số này cần:

    4 x 1 + 45 x 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số

    Số chữ số còn lại là:

    2010 – 1444 = 566 chữ số

    Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được:

    566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số)

    Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là:

    (141 – 1) x 2 + 1000 = 1280

    Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282.

    Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số$\frac{1}{7}$.

    Giải:

    Số thập phân bằng phân số $\frac{1}{7}$ là: 1 : 7 = 0,14285714285……

    Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm 142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là:

    2010 : 6 = 335 (nhóm). Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số $\frac{1}{7}$ là chữ số 7.

    Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy với số vừa nhận được … (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, … ). Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14.

    Giải:

    Ta lập được dãy các số như sau:

    14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, …..

    Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu.

    Với 2010 số thì có số nhóm là:

    2010 : 18 = 111 nhóm (dư 12 số)

    12 số đó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1. Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1.

    Bài tập tự luyện:

    Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,…….Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.

    Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ….. Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?

    Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang chơi, Minh liền đố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai?