0

Toán lớp 4 – Lập số tự nhiên và quy tắc đếm

LẬP SỐ TỰ NHIÊN VÀ QUY TẮC ĐẾM

Các bài toán thành lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu cho trước là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 4. Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số dạng toán và ví dụ với hướng dẫn giải chi tiết, cuối cùng là các bài tập vận dụng.

Xem thêm:

1. Kiến thức về bài toán thành lập số tự nhiên

  1. Có mười chữ số là $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên có hai chữ số trở lên phải khác $0$.
  2. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên: \begin{align}
    ab &=a\times 10 +b.\\
    abc &=a\times 100 + b \times 10 +c =ab \times 10 +c\\
    abcd &=a \times 1000 + b \times 100 + c \times 10 + d= abc \times 10 + d = ab \times 100 + cd
    \end{align}
  3. Quy tắc so sánh hai số tự nhiên:
    • Trong 2 số tự nhiên, số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn.
    • Nếu 2 số có cùng số lượng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu chữ sốđầu tiên giống nhau thì ta xét tiếp đến chữ số thứ 2, thứ 3…
  4. Các số tự nhiên có tận cùng bằng $0, 2, 4, 6, 8$ là các số chẵn. Ngược lại, số chẵn có tận cùng bằng $0, 2, 4, 6, 8$.
  5. Các số tự nhiên có tận cùng bằng $1, 3, 5, 7, 9$ là các số lẻ. Số lẻ có tận cùng bằng $1, 3, 5, 7, 9$.
  6. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp.
  7. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn 2 số chẵn liên tiếp.
  8. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số lẻ liên tiếp.
  9. Số chia hết cho 2 là các số chẵn (hay có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8)
  10. Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
  11. Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
  12. Số chia hết cho 5 là những số có tận cùng bằng 0, 5.
  13. Khi lập số bé nhất thì chọn các chữ số bé nhất có thể. Khi lập số lớn nhất thì chọn các chữ số lớn nhất có thể.

2. Ví dụ lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu cho trước

Ví dụ 1. Lập số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số sau: $0, 2, 3, 6, 8$.

Hướng dẫn. Vì đề bài yêu cầu số đó có 4 chữ số khác nhau, nên các chữ số không được lặp lại, tức là chữ số nào đã dùng rồi thì không được sử dụng lại.

  • Chọn chữ số đầu tiên (từ trái qua): Số 0 không thể đứng đầu nên loại, trong các số còn lại, số 2 là số bé nhất nên ta chọn số 2 là chữ số đầu tiên.
  • Chọn chữ số thứ 2: Trong các số còn lại là: 0, 3, 6, 8 thì 0 là số bé nhất nên ta chọn 0 là chữ số thứ 2.
  • Chọn chữ số thứ 3: Trong 3 chữ số còn lại: 3, 6, 8 thì 3 là số bé nhất nên ta chọn 3 là chữ số thứ 3.
  • Chọn chữ số thứ 4: Trong 2 chữ số còn lại: 6, 8 thì 6 bé hơn nên ta chọn 6 là chữ số thứ 4.
  • Qua 4 bước chọn trên, như vậy, chúng ta đã lập được số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số: 0, 2, 3, 6, 8 là 2036.

Ví dụ 2. Từ các chữ số $0, 2, 3, 6, 8$, lập số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số khác nhau.

Hướng dẫn.

  • Chọn chữ số đầu tiên: Trong các chữ số, số 8 là lớn nhất nên ta chọn 8 là chữ số đầu tiên.
  • Chọn chữ số thứ 2: Trong 4 chữ số còn lại là: 0, 2, 3, 6 thì 6 là lớn nhất nên ta chọn 6 là chữ số thứ 2.
  • Chọn chữ số thứ 3: Trong 3 chữ số còn lại: 0, 2, 3 thì 3 lớn nhất nên ta chọn 3 là chữ số thứ 3.
  • Chọn chữ số thứ 4: Trong 2 chữ số còn lại: 0, 2 thì 2 lớn hơn nên ta chọn 2 là chữ số thứ 4.
  • Cuối cùng, còn chữ số 0 là chữ số thứ 5.

Vậy, số tự nhiên $86320$ là số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số.

  • Trong bài tập này, người ra đề không giới hạn số cần tìm phải được lập từ những chữ số nào. Do đó, ta hiểu rằng, có thể sử dụng tất cả các chữ số từ $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
  • Mặt khác, đề bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên ta có thể chọn 5 lần chữ số 9 (là chữ số lớn nhất).
    Vậy số lớn nhất có 5 chữ số là $99999$.

Ví dụ 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số khác nhau.

Tương tự ví dụ 3, nhưng ở bài này, các chữ số phải khác nhau nên ta phải loại các chữ số đã sử dụng đi.
Làm theo cách ở trên, ta tìm được số lớn nhất có 5 chữ số khác nhau là: 98765.
Trên đây là 1 số ví dụ minh họa cho cách tìm xác định số lớn nhất hoặc nhỏ nhất theo yêu cầu đề bài.

Ví dụ 5. Cho 3 chữ số 5, 6, 8. Hãy lập tất cả các số có hai chữ số khác nhau từ 3 chữ số trên. Có tất cả bao nhiêu số như vậy?

Phân tích: Bài toán này đề toán cho ít chữ số, các số được lập thỏa mãn các điều kiện: có 2 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số phải khác nhau. Với các điều kiện trên ta có thể ghép 2 chữ số khác nhau lại tạo thành các số rồi đếm.

Giải: Lần lượt đặt các chữ số 5, 6, 8 vào hàng chục ta được các số sau: $$56, 58, 65, 68, 85, 86$$

Có tất cả 6 số như vậy.

Nhận xét: Nếu như đề toán cho nhiều chữ số và các số được lập có nhiều chữ số hơn thì ta chọn cách giải như bài toán 1 là mất thời gian, thậm chí liệt kê ra không hết. Vậy ta nên chọn cách giải nào cho có hiệu quả? Ta tìm hiểu tiếp bài toán 2 sau đây:

Ví dụ 6. Cho 3 chữ số 2, 4, 6.

  1. Hãy lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên.
  2. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những số trên.

Phân tích:

  1. Các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện: Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số có thể lặp lại.
  2. Các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện: Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số không lặp lại.

Nhận xét: Với những bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng các số thì ta có nên lập sơ đồ cây hay không? Liệu có cách giải nào khác hay hơn? Ta thấy nếu các chữ số đã cho khác $0$ thì:

Nếu trong mỗi số được lập các chữ số không phải khác nhau ta có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:

  • Có $n$ chữ số sẽ có $n$ cách chọn hàng cao nhất.
  • Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có $n$ cách chọn hàng cao thứ nhì.
  • Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có $n$ cách chọn hàng cao thứ ba.
  • Tương tự ta có $n$ cách chọn cho hàng tiếp theo.

Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn ở từng bước trên.

Nếu trong mỗi số được lập các chữ số phải khác nhau (các chữ số không lặp lại) ta có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:

  • Có $n$ chữ số sẽ có $n$ cách chọn hàng cao nhất.
  • Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có $n – 1$ cách chọn hàng cao thứ nhì.
  • Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có $n – 2$ cách chọn hàng cao thứ ba
  • Cứ tiếp tục như thế cho đến khi lập được số thỏa mãn yêu cầu.

Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn.

Ví dụ 7. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 em viết được bao nhiêu số:

  1. Có 3 chữ số.
  2. Có 3 chữ số, các chữ số phải khác nhau.

Hướng dẫn.

  1. Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong năm chữ số $1, 2, 3, 4, 5$). Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 5 cách chọn chữ số hàng chục. Với mỗi cách chọn chữ số hàng chục thì có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
    Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là: $$5 \times 5 \times 5 = 125.$$
  2. Với năm chữ số $1, 2, 3, 4, 5$ ta có 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm thì chỉ có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục (là một trong bốn chữ số còn lại). Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị.
    Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là: $$5 \times 4 \times 3 = 60.$$

Ví dụ 8. Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 em viết được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?

Giải: Ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng trăm là một trong bốn chữ số khác 0 là $ 1, 2, 3, 4$. Sau khi đã chọn chữ số ở hàng trăm ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục là một trong bốn chữ số còn lại. sau khi đã chọn chữ số ở hàng trăm, hàng chục rồi thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị.

Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là: $$4 \times 4 \times 3 = 48.$$

Ví dụ 9. Có bao nhiêu số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5?

Phân tích: Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm số lượng số. Ta có thể giải bài toán trên bằng cách:

  • Tìm số lượng số có 3 chữ số (các số từ 100 đến 999).
  • Tìm số lượng số có 3 chữ số không chứa chữ số 5 (được lập từ 9 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 và trong mỗi số các chữ số có thể lặp lại)
  • Số lượng số cần tìm chính là hiệu của hai kết quả trên.

Hướng dẫn. Số lượng các số có ba chữ số là: $$999 – 100 + 1 = 900.$$

Ta đi tìm số lượng các số có 3 chữ số không chứa chữ số 5:

  • Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn một trong các chữ số khác 0 và khác 5).
  • Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng chục (chọn một trong các chữ số khác 5).
  • Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị (chọn một trong các chữ số khác 5).
  • Suy ra số lượng các số có ba chữ số không chứa chữ số 5 là: $$8 \times 9 \times 9 = 648$$

Vậy số các số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5 là: $$900 – 648 = 252.$$

Ví dụ 10.

a. Có bao nhiêu số có 4 chữ sốvà chia hết cho 9.

b. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9.

Phân tích: Bài toán không cho trước các chữ số để lập số; các số được lập phải chia hết cho 9 nên ta dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm số lượng các số thỏa mãn bài toán.

Giải:

a. Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9999. Các số có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau: $$1008, 1017, 1026,… 9999$$

Trong dãy trên, cứ hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 9 đơn vị. Vậy số lượng các số có 4 chữ số chia hết cho 9 là: $$(9999 – 1008): 9 + 1 = 1000.$$

b. Số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số chẵn lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9990. Các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau: $$1008, 1026, 1044,…, 9990$$

Hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 18 đơn vị. Vậy số lượng các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 là: $$(9990 – 1008) : 18 + 1 = 500.$$

Cũng có thể giải câu b dựa vào nhận xét: “Số các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 đúng bằng số các số lẻ gồm 4 chữ số chia hết cho 9”. Vậy các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 là: $$1000 : 2 = 500.$$

3 Bài tập lập số tự nhiên và quy tắc đếm

Bài 1. Cho 4 chữ số $0, 3, 8$ và $9$.

  1. Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho.
  2. Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho.
  3. Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho.

Bài 2. Cho 5 chữ số $1; 4; 6; 8; 9$.

  1. Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số từ 5 chữ số đã cho.
  2. Có thể viết được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số mà chữ số hàng trăm là 4.
  3. Có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Bài 3. Cho 4 chữ số 3, 5, 6, 8. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng các số đó.

Bài 4. Cho 4 chữ số 0, 2, 5, 7. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng các số đó.

Bài 5.

  1. Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tổng các chữ số là 3?
  2. Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà hiệu các chữ số là 2?

Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà mỗi số không có chữ số 1.

Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số không có chữ số 6.

Bài 8. Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất 1 chữ số 9.

Bài 9. Cho các chữ số $x ; 2 ; 5; 8$. Từ 4 chữ số đã cho ta lập được tất cả 12 số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ cả 4 chữ số ấy. Biết tổng các số lập được bằng 66660. Tìm x?

Bài 10. Cho 4 chữ số $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d = 7$. Tính tổng tất cả cac số có 4 chữ số lập được, biết mỗi số có mặt đủ 4 chữ số đã cho.

Bài 11. Cho 5 chữ số $0; 2; 4; 6; 9$. Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và mỗi số đều chia hết cho 3.

Bài 12. Từ 5 chữ số 0; 2; 3; 7; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và đều chia hết cho 5?

Bài 13. Từ 6 chữ số 0; 1; 2; 4; 7; 9 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số đều chia hết cho 3?

Bài 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 3 và tận cùng bằng 5.

Bài 15. Tìm số lượng các số tự nhiên có 4 chữ số mà:

  1. Số tạo bởi 2 chữ số đầu ( theo thứ tự ấy ) lớn hơn số tạo bởi 2 chữ số cuối ( theo thứ tự ấy ).
  2. Số tạo bởi 2 chữ số đầu ( theo thứ tự ấy ) cộng với số tạo bởi 2 chữ số cuối ( theo thứ tự ấy ) nhỏ hơn 100.

Bài 16. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5, có đúng 1 chữ số 5?

Bài 17. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, biết cộng nó với số viết theo thứ tự ngược lại ta được một số chia hết cho 5?

Bài 18. Từ 5 chữ số 0$; 3; 5; 7; 8$ lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 15?

Bài 19. Có bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 3 và có ít nhất 1 chữ số 6?

Bài 20. Tính tổng các số tự nhiên có 4 chữ số được lập bởi các chữ số 2; 3; 0; 7 trong đó:

  1. Các chữ số có thể giống nhau.
  2. Các chữ số đều khác nhau.

Bài 21. Trong hội nghị cháu ngoan Bác Hồ có 30 bạn tham dự. Vui mừng, phấn khởi nên cứ 2 bạn bắt tay nhau làm quen 1 lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?

Bài 22. Trong một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham gia. Mỗi người đàn ông bắt tay tất cả các người khác. Các phụ nữ không ai bắt tay nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay.

hocbaicungcon

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *