Nếu nhìn các đại lượng vô hạn dưới con mắt hữu hạn, chúng ta sẽ gặp vô vàn nghịch lí, như nghịch lí Zeno:
Achilles và con rùa. Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu.
Trong nghịch lý Achilles và rùa, Achilles chạy đua với rùa. Ví dụ Achilles chấp rùa một đoạn 100 mét. Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi tay đua đều bắt đầu chạy với một tốc độ không đổi (Achilles chạy rất nhanh và rùa rất chậm), thì sau một thời gian hữu hạn, Achilles sẽ chạy được 100 mét, tức anh ta đã đến được điểm xuất phát của con rùa. Nhưng trong thời gian này, con rùa cũng đã chạy được một quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét. Sau đó Achilles lại tốn một khoảng thời gian nữa để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà trong thời gian đó thì con rùa lại tiến xa hơn một chút nữa, và cứ như thế mãi. Vì vậy, bất cứ khi nào Achilles đến một vị trí mà con rùa đã đến, thì con rùa lại cách đó một đoạn. Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Dãy số có giới hạn bằng 0
Định nghĩa. Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn bằng \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( \big|u_n\big| \) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =0 \).
Ví dụ, xét dãy \( (u_n) \) có công thức số hạng tổng quát \( u_n=\frac{1}{n} \). Ta sẽ chỉ ra \( \big|u_n\big| \) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn, chọn số dương bé tùy ý là \( 0{,}01 \) thì có \( \big|u_n\big| <0{,}01 \Leftrightarrow n>100\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{101} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}01 \).
Chọn số dương bé tùy ý là \( {0,0005} \) thì thì có \( \big|u_n\big| <0{,}0005 \Leftrightarrow n>2000\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{2001} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}005 \).
Tương tự, muốn \( \big|u_n\big| <0{,}000003 \Leftrightarrow n>333333{,}(3)\). Như vậy ta chỉ cần lấy các số hạng kể từ \( u_{333334} \) trở đi là có \( \big|u_n\big| <0{,}000003 \).
Tổng quát, muốn \( \big|u_n\big| <\epsilon \) ta chỉ cần lấy từ số hạng thứ \( \left[\frac{1}{\epsilon} \right] +1\) trở đi, ở đây \( [*] \) là kí hiệu phần nguyên của \( * \).
Như vậy, ta nói dãy số \( \frac{1}{n}\) có giới hạn là \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng và viết \( \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n} =0 \) hoặc \( \lim \frac{1}{n} =0 \).
Biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số, chúng ta thấy khi \( n \) dần tới dương vô cùng thì các số hạng \( u_n \) ngày càng tiến gần tới số \( 0 \)
Xét thêm một dãy số khác nữa là dãy có công thức số hạng tổng quát \(u_n=\frac{(-1)^n}{n}\). Biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số, ta được hình sau:
Về mặt hình ảnh, chúng ta thấy khi \( n \) dần tới dương vô cùng thì các số hạng \( u_n \) ngày càng tiến gần tới số \( 0 \) và chúng có xu hướng hội tụ tại điểm \( 0 \) đó. Chúng ta cũng nói dãy \(\frac{(-1)^n}{n}\) có giới hạn là \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng.
Ngoài ra, chúng ta còn gặp một số dãy có giới hạn \( 0 \) như \[ \lim\frac{1}{n^2} =0, \lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,… \]
1.2. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số
Định nghĩa. Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn bằng \( a \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu dãy \( v_n=u_n-a \) có giới hạn bằng \( 0 \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng.
Tức là , \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =a \) nếu \( \lim\limits_{n\to +\infty} \left (u_n-a\right ) =0 \).
Ví dụ, dãy \( u_n \) với công thức số hạng tổng quát \( u_n=\frac{2n+1}{n} \) có giới hạn bằng \( 2 \) khi \( n \) dần tới dương vô cực vì $$ \lim (u_n-2) = \lim \left(\frac{2n+1}{n}-2\right)=\lim \frac{1}{n} =0.$$
2. Quy tắc và tính chất về giới hạn hữu hạn của dãy số
Cho hai dãy \( u_n \) và \( v_n \) có \( \lim u_n=a, \lim v_n=b \) thì
Cho dãy \( u_n \) có \( u_n \geqslant 0\) và \( \lim u_n=a\) thì \( a \geqslant 0 \) và \( \lim \sqrt{u_n} =\sqrt{a} \).
Sử dụng các tính chất và định nghĩa trên, chúng ta có một vài giới hạn đặc biệt sau.
\( \lim c =c\) với \( c \) là hằng số bất kì.
\( \lim \frac{c}{n} = 0\) vì \( lim c=c\) và \( \lim \frac{1}{n} =0\)
\( \lim \frac{1}{n^k}=0 \) với \( k \) nguyên dương.
\( \lim q^n = 0 \) với \( |q| <1 \)
Với các giới hạn đặc biệt này, ta dễ dàng có các giới hạn sau:
Vì \( \lim 2=2 \) và \( \lim \frac{3}{n} =0\) nên \( \lim \left(2+\frac{3}{n}\right) =2 \)
Vì \( \lim 5=5 \) và \( \lim \frac{1}{n^2} =0\) nên \( \lim \left(5+\frac{1}{n^2}\right) =5 \)
Do đó, $$ \lim \frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{1}{n^2}}=\frac{2}{5}. $$ Nhưng giới hạn này cũng chính là giới hạn của dãy có công thức số hạng tổng quát $$ u_n=\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{1}{n^2}} = \frac{2n^2+3n}{5n^2+1}.$$
Từ đó, chúng ta ý tưởng chung để tìm giới hạn của các dãy số là làm ngược lại quá trình trên. Tức là ta tìm cách biến đổi để đưa về các giới hạn đặc biệt rồi sử dụng tính chất về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương.
Ví dụ, tính giới hạn $$ \lim \frac{n+4}{3n-2} $$ chúng ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( n \) thì được $$ \lim \frac{n+4}{3n-2} = \lim \frac{1+\frac{4}{n}}{3-\frac{2}{n}} = \frac{1+0}{3-0} =\frac{1}{3}. $$
Ví dụ, tính giới hạn $$ \lim \frac{\sqrt{n^2+3}}{4-n} $$ chúng ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( n \) thì được $$ \lim \frac{\sqrt{n^2+3}}{4-n} =\lim \frac{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}}{\frac{4}{n}-1}=\frac{\sqrt{1+0}}{0-1}=-1.$$
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có vô hạn số hạng và công bội \( q \) thỏa mãn \( |q|<1 \). Ví dụ, cấp số nhân:
\( \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},… \left(\frac{1}{2}\right)^n \) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \( q=\frac{1}{2}
\)
\( \frac{-1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{-1}{8},… \left(\frac{-1}{2}\right)^n \) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \( q=\frac{-1}{2}
\)
Cho cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là \( u_1\) và công bội \( q \) thì tổng của \( n \) số hạng đầu tiên là $$ S_n=u_1+u_2 + u_3 +…+ u_n=u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} $$ Vì \( |q|<1 \) nên khi \( n\to +\infty \) thì \( q^n\to 0 \) do đó $$ \lim S_n = \frac{u_1}{1-q} $$
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \( (u_n) \) và kí hiệu là \( S=u_1+u_2 + u_3 +…+ u_n+… \)
4. Giới hạn vô cực
Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn \( +\infty \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( u_n \) lớn hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu \( \lim\limits_{n\to +\infty}u_n =+\infty \) hoặc \( \lim u_n =+\infty \) .
Dãy số \( u_n \) được gọi là có giới hạn \( -\infty \) khi \( n \) dần tới dương vô cùng nếu \( \lim \left(-u_n\right) =+\infty \)
Kí hiệu \( \lim u_n =-\infty \).
Một vài giới hạn đặc biệt
\( \lim n^k = +\infty \) với \( k \) nguyên dương;
\( \lim \sqrt{n} = +\infty \);
\( \lim q^n= +\infty \) nếu \( q >1\).
Tính chất giới hạn vô cực của dãy số
Nếu \( \lim u_n=a\) và \(\lim v_n=\pm \infty \) thì \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n} \right) = 0\).
Nếu \( \lim u_n=a>0, \lim v_n=0 \) và \( v_n>0 \) với mọi \( n \) thì \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n} \right) = +\infty \).
Nếu \( \lim u_n=a\) và \(\lim v_n=+ \infty \) thì \( \lim \left(u_n v_n \right) = +\infty \).
$ \lim \frac{c}{n^k}=0 $ for some positive integers $ k $
$ \lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0 $
$ \lim \frac{1}{\sqrt[k]{n}}=0 $ for some positive integers $ k $
$ \lim q^n=0 $ for $ |q|<1 $
$ \lim n=+\infty $
$ \lim n^k=+\infty $ for some positive integers $ k $
$ \lim \sqrt{n}=+\infty $
$ \lim \sqrt[k]{n}=+\infty $ for some positive integers $ k $
$ \lim q^n=+\infty $ for $ q>1. $
Squeeze Law
Let three sequences $ (u_n),(v_n) $ and $ (w_n) $ such that $ u_n\le v_n\le w_n $ and $ \lim u_n=\lim w_n=L ,$ then \[ \lim v_n=L\]
Specially, if $ |u_n|\le v_n $ and $ \lim v_n=0 $ then $ \lim u_n=0. $
Basic Limit Law
Finite limits: If $ \lim u_n=A $ and $ \lim v_n=B $ then
$ \lim (u_n\pm v_n)=\lim A\pm \lim B $
$ \lim (c\cdot u_n)= c\cdot A $
$ \lim (u_n\cdot v_n)=AB $
$ \lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{A}{B} $ if $ b\ne 0 $
Infinite Limits:
$ \lim (u_n\cdot v_n) $
$ \lim \frac{u_n}{v_n} $
2. Example
Example 1. Find the limit of the following sequence, or determine that the limit does not exist: $$ \lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} $$ Hint. Divide numerator and denominator by $ n^3, $ we get \begin{align*}
\lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} &=\lim\frac{3-\frac{1}{n^3}}{2+\frac{1}{n^3}}\\
&=\frac{3}{2}
\end{align*}
So $ \lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} =\frac{3}{2}. $
Example 2. Find the limit of the following sequences if it exists:
Example 6. Find the limit of the following sequence \[ \lim \frac{1+2+3+\cdots+n}{1+n^3} \]
Example 7. Find the limit of the following sequences: $ u_n=\dfrac{\sin(2n+1)}{3^n},v_n=\dfrac{(-1)^n}{2n+3} $ Hint. For all $ n $ we have \[ \left|\frac{\sin(2n+1)}{3^n}\right|\le \frac{1}{3^n} \]
and \[ \lim \frac{1}{3^n}=0 \] and so $ \lim \frac{\sin(2n+1)}{3^n}=0. $
Example 8. Express the repeating decimal $ 0.777… $ as a fraction. Hint. We have \begin{align*} 0.777…&=0.7+0.07+0.0007+\cdots\\
&=\frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\cdots \end{align*}
This is the sum of an geometric sequence with $ u_1=\frac{7}{10} $ and the common ratio $ q=\frac{1}{10}<1 $. So \[ 0.777…=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9} \]
Cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số liên tục là một trong những mảng kiến thức quan trọng của Giải tích, trong bài này chúng tôi xin giới thiệu tóm tắt lý thuyết về hàm số liên tục và các dạng toán liên quan.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng \((a;b)\) và \(x_0\) thuộc \( (a;b) \). Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \( x_0 \) khi và chỉ khi $$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$$
Hàm số không liên tục tại \( x_0 \) còn có thể gọi là hàm số gián đoạn tại \( x_0 \).
Giả sử các hàm số \( y = f(x), y = g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 \). Khi đó:
Các hàm số \( y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) \) liên tục tại \( x_0 \).
Hàm số $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại \( x_0 \) nếu \( g(x_0) \ne 0 \).
1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên khoảng \( (a;b) \) khi và chỉ khi nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Nếu hàm số liên tục trên khoảng \( (a;b) \) thì trên khoảng đó, đồ thị hàm số là một đường nét liền liên tục (không bị đứt).
Tại điểm $x_0$ đồ thị hàm số bị đứt (rời) nên có thể nói hàm số gián đoạn tại $x_0$
1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn
Hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a;b] \) khi và chỉ khi nó liên tục trên khoảng \( (a;b) \) và
\[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\,\,\,\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\]
1.4. Các hàm số liên tục thường gặp
Hàm số đa thức liên tục trên \( \mathbb{R} \).
Hàm số phân thức, căn thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục
Nếu hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \) và \( f(a). f(b)< 0 \) thì tồn tại ít nhất một số \( c \) thuộc khoảng \( (a; b) \) sao cho \( f(c) = 0 \).
Nói cách khác, nếu hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \) và \( f(a). f(b)< 0 \) thì phương trình \( f(x) = 0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( (a; b) \).
Nếu hàm số liên tục \( y = f(x) \) trên đoạn \( [a; b] \). Đặt \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)\), và \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)\). Khi đó với mọi số \( T \) thuộc khoảng \( (m; M) \) luôn tồn tại ít nhất một số \( c \) thuộc khoảng \( (a; b) \) sao cho \( f(c) = T \).
2. Các ví dụ và dạng toán về hàm số liên tục
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm cụ thể
Để xét tính liên tục của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) ta thực hiện các bước:
Kiểm tra xem hàm số có xác định trên một khoảng chứa \( x_0 \) hay không và tính giá trị \( f(x_0) \).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) (trong nhiều trường hợp ta cần tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } {\mkern 1mu} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x)\))
So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) với \( f(x_0) \) và kết luận.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại \( x = 1 \).
Hướng dẫn.
Hàm số xác định trên \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) chứa \( x=1 \) và \( f(1) = – 3 \)
Do \( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1) \) nên hàm số đã cho gián đoạn tại \( x_0 = 1 \).
Ví dụ 3.Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu }\,\,x \le 1 \end{array} \right.$$ tại điểm \( x = 1 \).
Hướng dẫn. Khác với ví dụ trước, ở đây chúng ta cần đi tính giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$.
Hàm số xác định tại \( x=1 \) và \( f(1)=1 \)
Giới hạn trái tại \( x=1 \) \[ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)= \lim\limits_{x\to 1^-}1=1\]
Chúng ta thấy, \( \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x) \) nhưng lại khác \(f(0)\) nên suy ra hàm số không liên tục tại điểm \( x = 0 \).
Dạng 2. Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}&{{\text{khi }}x \ne 0}\\
5&{{\text{khi }}x = 0}
\end{array}} \right.\] trên \(R\).
Hướng dẫn. Rõ ràng khi \(x\ne0\) thì hàm số đã cho là hàm phân thức và hoàn toàn xác định nên nó liên tục trên từng khoảng \( (-\infty;0) \) và \( (0;+\infty) \).
Chú ý không được nói hàm số đã cho liên tục trên \(( – \infty ;0) \cup (0; + \infty )\).
Do đó, chúng ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại \(x=0\). Chúng ta có:
Giá trị của hàm số tại \(x=0\) là \( f(0)=5 \).
Giới hạn của hàm số tại \(x=0\) là \[\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}\\
{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 5} \right) = 5}
\end{array}\]
Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x=0\). Tóm lại, hàm số đã cho liên tục trên toàn bộ tập \(R\).
Ví dụ 2.Xét tính liên tục của hàm số\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 1}&{{\text{khi }}x < 0}\\
{\sqrt x }&{{\text{khi }}x \ge 0}
\end{array}} \right.\] trên tập xác định.
Hướng dẫn. Chúng ta có ngay tập xác định của hàm số là \(R\).
Tập xác định của hàm số là tập mà tại mọi điểm \(x\) của tập đó, hàm số có thể tính được giá trị \(f(x)\) tương ứng.
Khi \( x<0 \) thì \( f(x)=2x-1 \) là hàm số liên tục.
Khi \( x>0 \) thì \( f(x)=\sqrt{x} \) cũng là hàm số liên tục.
Do đó, chúng ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại điểm \( x=0 \) nữa là có thể kết luận. Tại \( x=0 \) thì \[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\\
f(0) = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {2x – 1} \right) = – 1
\end{array}\] Rõ ràng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại \( x=0 \).
Tóm lại, hàm số đã cho không liên tục trên tập xác định.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm
Ví dụ 1.Tìm \( m \) để hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3mx – 1& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ liên tục tại điểm \( x = 1 \).
Hướng dẫn.
Rõ ràng hàm số xác định tại \( x=1 \) và \( f(1) = – 3m.1 – 1 \).
Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( {x_0} = 1 \) khi và chỉ khi $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow – 3m – 1 = – 3 \Leftrightarrow m = – \frac{2}{3} $$
Vậy giá trị m cần tìm của \( m \) là \( -3 \).
Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định.
Ví dụ.Tìm \( m \) để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó:
$$ f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ – 3mx – 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \).
Nếu \( x \ne 1 \), thì hàm số đã cho là \( f(x) = \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}} \). Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là \( \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên mỗi khoảng \( \left( { – \infty ;1} \right) \) và \( \left( {1; + \infty } \right) \)
Nếu \( x = 1 \) thì chúng ta có \( f(1) = – 3m – 1 \) và \[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}}\\
{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{x – 1}}}\\
{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x – 2) = 3}
\end{array}\] Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( {x_0} = 1 \) khi và chỉ khi \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\\
\Leftrightarrow – 3m – 1 = 3\\
\Leftrightarrow m = – \frac{4}{3}.
\end{array}\]
Tóm lại, giá trị cần tìm là \( m = – \frac{4}{3} \).
Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm
Ví dụ 1.Chứng minh phương trình \( 3{x^3} + 2x – 2 = 0 \) có nghiệm trong khoảng \( \left( {0;1} \right) \).
Hướng dẫn.
Xét hàm số \( f(x) = 3{x^3} + 2x – 2 \), đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập \( R \). Do đó, \( f(x) \) cũng liên tục trên đoạn \( \left[ {0;1} \right] \).
Suy ra tồn tại ít nhất một số \( c \) trong khoảng \( (0;1) \) sao cho \( f(c) = 0 \), nghĩa là phương trình \( f(x)=0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( \left( {0;1} \right) \).
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình \( 2{x^3} – 6{x^2} + 5 = 0 \) có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \).
Hướng dẫn.
Hàm số \( f(x) = 2{x^3} – 6{x^2} + 5 \) liên tục trên \( R \) nên suy ra \( f(x) \) liên tục trên các đoạn \( [-1;0] , [0;2]\) và \( [2;3] \).
Ta có: \( f( – 1) = – 3 , f(0) = 5, f(2) = – 3 , f(3) = 5 \). Suy ra \[\begin{array}{l}
f( – 1)\cdot f(0) < 0\\
f(0)\cdot f(2) < 0\\
f(2)\cdot f(3) < 0
\end{array}\] Do đó, phương trình đã cho có nghiệm trong mỗi khoảng \( \left( { – 1;0} \right) \), \( \left( {0;2} \right) \) và \( \left( {2;3} \right) \).
Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \).
Ví dụ 3.Chứng minh rằng phương trình \( a{x^2} + bx + c = 0 \) luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).
Hướng dẫn. Hàm số \( f(x) = a{x^2} + bx + c \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) nên cũng liên tục trên đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \).
Ta có $$ f(0) = c, f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0 $ nên $$ f(0) =-18f(\frac{1}{3}) $$ Như vậy, chúng ta thấy
Nếu \( f(0) = f(\frac{1}{3}) = 0 \) thì phương trình có nghiệm chính là \( 0 \) và \( \frac{1}{3} \) thuộc đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \).
Nếu \( f(0) =-18 f(\frac{1}{3}) \ne 0 \) thì \( f(0)\cdot f(\frac{1}{3}) =-\left(f(0)\right)^2 < 0 \). Lúc này, phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \).
Tóm lại, phương trình đã cho luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).
3. Bài tập hàm số liên tục
Bài 1.Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{x+3}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
& -1& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=-1$
b) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\,\,\,& \text{ khi }\,x\ne 1\,\,\,\,\,\, \\
& \frac{1}{4}& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
c) $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}}&{{\rm{khi }}{\mkern 1mu} x \ne 2{\mkern 1mu} }\\
1&{{\text{khi }} x = 2}
\end{array}} \right. $
tại $x=2$
d) $f(x)\,=\,\left\{ \begin{align}
& \frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}\,\,& \text{ khi }\,\,x>5 \\
& {{(x-5)}^{2}}+3\,\,\,\,\,& \text{ khi }\,x\le \,\,5 \\
\end{align} \right.$
tại $x=5$
e) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& 1-\cos x& \text{ khi }\,x\le 0 \\
& \sqrt{x+1}& \text{ khi }\,\,x>0 \\
\end{align} \right.$
tại $x=0$
f) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
& -2x& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
Bài 2.Tìm $m, n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
& 2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
& 3x+m& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& m& \text{ khi }\,\,x=0 \\
& \frac{{{x}^{2}}-x-6}{x(x-3)}& \text{ khi }\,\,x\ne 0,x\ne 3 \\
& n& \text{ khi }\,\,x=3 \\
\end{align} \right.$
tại $x=0$ và $x=3$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
& m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
\end{align} \right.$
tại $x=2$
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}& \text{ khi }\,\,x\ne -1 \\
& \frac{4}{3}& \text{ khi }\,\,x=-1 \\
\end{align} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-3x+4& \text{ khi }\,\,x<2 \\
& 5& \text{ khi }\,\,x=2 \\
& 2x+1& \text{ khi }\,\,x>2 \\
\end{align} \right.$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}& \text{ khi }\,\,x\ne -2 \\
& -4& \text{ khi }\,\,x=-2 \\
\end{align} \right.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}& \text{ khi }\,\,x\ne \sqrt{2} \\
& 2\sqrt{2}& \text{ khi }\,\,x=\sqrt{2} \\
\end{align} \right.$
Bài 4.Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
& m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
\end{align} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&{{x}^{2}}+x& \text{ khi }\,\,x<1 \\
&2& \text{ khi }\,\,x=1 \\
&mx+1& \text{ khi }\,\,x>1 \\
\end{align} \right.$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}&\text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
&3x+m & \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&{{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
&2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
Bài 5.Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) ${{x}^{3}}-3x+1=0$
b) ${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+1=0$
c) $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$
Bài 6.Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ${{x}^{5}}-3x+3=0$
b) ${{x}^{5}}+x-1=0$
c) ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có 5 nghiệm trên khoảng \( (-2; 2) \).
Bài 8. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) $m{{(x-1)}^{3}}(x-2)+2x-3=0$
b) ${{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-2mx-2=0$
c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$
d) $(1-{{m}^{2}}){{(x+1)}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3=0$
e) $\cos x+m\cos 2x=0$
f) $m(2\cos x-\sqrt{2})=2\sin 5x+1$
Bài 9.Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $2a + 3b + 6c = 0$
b) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với \( a + 2b + 5c = 0 \)
c) ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$
Bài 10.Chứng minh rằng phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm \( x \) thuộc $\left[ 0;\frac{1}{3} \right]$ với \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).
