Tag: góc

Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn là một kiến thức hình học quan trọng của lớp 9, thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Mời các em tham khảo thêm một số dạng toán thường xuất hiện trong kì thi vào 10:
1. Lý thuyết góc ở tâm, số đo cung

Góc ở tâm là gì?

Trong đường tròn, góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

$\widehat{AOB}$: góc ở tâm của $\left( O \right)$

Số đo cung trong đường tròn

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó $\left( \widehat{AOB}=sđ\overset\frown{AB} \right)$.
1. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ $ và số đo của cung nhỏ.
2. Số đo của nửa đường tròn bằng $180^\circ $.
Chú ý: Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^\circ $, cung lớn có số đo lớn hơn $180^\circ $.

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
1. Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
2. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$ thì $$sđ\overset\frown{AB}=sđ\overset\frown{AC}+sđ\overset\frown{CB}$$

Ví dụ. Cho đường tròn $\left( O\,;R \right)$, trên$\left( O \right)$ lấy các điểm $A,\,B,\,C$sao cho $AB=R$, $BC=R\sqrt{2}$, tia $BO$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BC$.
1. Tính số đo $\widehat{BOC}$.
2. Tính số đo các cung $\overset\frown{AB}\,,\,\overset\frown{AC},\,\overset\frown{BC}$.
3. Cho điểm $D$ là điểm nằm trên cung lớn $AC$sao cho $sđ\overset\frown{CD}=120^\circ $. Tính số đo cung $AD$.
Lời giải

a) Xét \(\Delta OBC\) cân tại $O$ ($OB=OC=R$), ta có #$CB^{2}={{\left( R\sqrt{2} \right)}^{2}}=2{{R}^{2}};\,\,O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}={{R}^{2}}+{{R}^{2}}=2{{R}^{2}}$$ Suy ra $O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta OBC$ vuông cân tại $O$.

Như vậy $\widehat{COB}=90^\circ $.

b) Ta có $\widehat{COB}=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{CB}=90^\circ $
Tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{AOB}=60^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AB}=60^\circ $
$\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=150^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AC}=150^\circ $.

c) $\widehat{DOA}=360^\circ -\left( \widehat{AOC}+\widehat{COD} \right)=360^\circ -\left( 150^\circ +120^\circ \right)=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{DA}=90^\circ $.

2. Bài tập Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

Bài 1. Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat{A}=70^\circ \). Vẽ đường tròn \(\left( A;AB \right)\), \(D\) là điểm trên \(\left( A \right)\) sao cho sđ\(\overset\frown{CD}=30^\circ \). Tính số đo \(\widehat{BAD}\).

Lời giải

TH1: Điểm $D$ nằm trong cung lớn $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{1}}$
\(\widehat{BA{{D}_{1}}}=\widehat{BAC}+\widehat{CA{{D}_{1}}}=70^\circ +30^\circ =100^\circ \)
TH2: Điểm $D$ nằm trong cung nhỏ $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{2}}$
\(\widehat{BA{{D}_{2}}}=\widehat{BAC}-\widehat{{{D}_{2}}AC}=70^\circ -30^\circ =40^\circ \)

Bài 2. Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(OA=2R\). Vẽ \(AB,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\). Tính sđ\(\overset\frown{BC}\), độ dài cạnh \(BC\) theo \(R\).

Lời giải

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $B$ có $AO=2BO$ nên $\widehat{OAB}=30^\circ,\,\,\widehat{AOB}=60^\circ $
$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{BOA}=60^\circ \Rightarrow \widehat{BOC}=120^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{BC}=120^\circ $.

Bài 3. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(AB\) là dây cung \(\left( AB\ne 2R \right)\). Trên cung nhỏ \(AB\) lấy các điểm \(E,\,F\)sao cho \(\overset\frown{AE}=\overset\frown{EF}=\overset\frown{FB}\). Bán kính \(OE,\,OF\) cắt \(AB\) lần lượt tại \(C\) và \(D\). Chứng minh rằng \(AC=BD>CD\).

Lời giải

Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OBD}$.
Khi đó: $\widehat{OAC}=\widehat{OBD};OA=OB;\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$
\(\Rightarrow \Delta OCA=\Delta ODB\,\)(g-c-g).
$\Rightarrow AC=BD$.
Xét $\Delta OBC$ có phân giác $OD$ $\Rightarrow \frac{OC}{OB}=\frac{DC}{DB}$.
Mà $OC<OB\Rightarrow CD<BD$.

Bài 4. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(AB\) là dây cung \(\left( AB\ne 2R \right)\). Trên dây \(AB\) lấy hai điểm \(C\) và \(D\) sao cho \(AC=CD=DB\). Vẽ bán kính \(OE\) qua \(C\), bán kính \(OF\) qua \(D\). Chứng minh rằng:
a) \(\overset\frown{AE}=\overset\frown{BF}\).
b) \(\overset\frown{AE}<\overset\frown{EF}\).

Lời giải

a) Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}$.
Khi đó: $AC=BD;\widehat{A}=\widehat{B};OA=OB\Rightarrow \Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOD}$.

b) Từ câu a ta có $\Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow OC=OD$$\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại $O$.
khi đó $\widehat{CDO}<90^\circ \Rightarrow \widehat{CDF}>90^\circ $ ($\widehat{CDF}+\widehat{CDO}=180^\circ $)
$\Rightarrow CF>CD$ hay $CF>AC$ ($AC=CD$).
Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OCF$ có $OA=OF$; $OC$ chung và $CF>AC$ $\Rightarrow \widehat{COF}>\widehat{COA}$.

Bài 5. Cho \(\Delta ABC\) đều. Về phía ngoài \(\Delta ABC\) vẽ nửa đường tròn\(\left( O \right)\) đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\)lấy các điểm \(M,\,N\) sao cho \(\overset\frown{BM}=\overset\frown{MN}=\overset\frown{NC}\), \(AM\) và \(AN\) cắt \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Chứng minh: \(BE=BF=FC\).
Lời giải
$OB=OM;\widehat{BOM}=60^\circ $ $\Rightarrow \Delta OBM$ đều.
$AB=AC;\widehat{ABM}=\widehat{ACN}=120^\circ ;BM=CN$$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$(c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAN}$.
$\widehat{BAE}=\widehat{CAF};AB=AC;\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=60^\circ \Rightarrow \Delta ABE=\Delta ACF$ (g-c-g)
$\Rightarrow BE=CF$ (1).

$\Delta OBM$ đều nên $AC=2BO=2BM\Rightarrow \frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$.
Xét $\Delta EBM;\Delta ECA$ có $\widehat{BEM}=\widehat{CEA};\widehat{MBE}=\widehat{ACE}=60^\circ $
$\Rightarrow \Delta EBM\backsim \Delta ECA$$\Rightarrow \frac{EB}{EC}=\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$; $BE=CF$
$\Rightarrow BE=EF$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $BE=EF=FC$.
07/02/2022
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là gì?

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a và b không thay đổi.

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Xem thêm:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Ngoài việc làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Hoặc ta có thể sử dụng tích vô hướng:
- Nếu \(\overrightarrow{u}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng a và \(\overrightarrow{v}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng b và \(\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)=\alpha \) thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng \(\alpha \) nếu \(0\le \alpha \le 90^\circ \) và bằng \(180^\circ -\alpha \) nếu \(90^\circ <\alpha \le 180^\circ \).
- Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ \). Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo \(0\le \alpha \le 90^\circ \).
3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nếu xác định (dựng) được góc giữa hai đường thẳng trong không gian và gắn chúng vào một tam giác cụ thể thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tìm số đo của góc đó:
- Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: \(\cos \widehat{BAC}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}\)
- Tương tự ta có: \(\cos \widehat{ABC}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}\) và \(\cos \widehat{ACB}=\frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}\)
  Chú ý: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)\)
Ngoài ra, để tính góc giữa hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v} \) chúng ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng: \[\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|.|\vec{v}|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)\].

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) dựa vào công thức \(\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\) từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

4. Bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh là $a$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
1. AB và A’D’.
2. AD và A’C’.
3. BC’ và B’D’.
Lời giải.
1. Ta có $A^{\prime} D^{\prime} / / A D$ nên $\left(A B, A^{\prime} D^{\prime}\right)=(A B, A D)=\widehat{B A D}=90^{\circ}$.
2. Ta có $A^{\prime} C^{\prime} / / A C$ nên $\left(A D, A^{\prime} C^{\prime}\right)=(A D, A C)=\widehat{D A C}=45^{\circ}$.
3. Ta có $B^{\prime} D^{\prime} / / B D$ nên $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=\left(B C^{\prime}, B D\right)=\widehat{D B C^{\prime}}$.
  Ta có $B D=B C^{\prime}=C^{\prime} D=A B \sqrt{2}$ nên $\triangle B D C^{\prime}$ dều, suy ra $\widehat{D B C^{\prime}}=60^{\circ}$.
  Vậy $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=60^{\circ}$.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A=S B=S C=A B=A C=a \sqrt{2}$ và $B C=2 a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $S B$.

Lời giải.

Ta có $S A B$ và $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ và $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C$.
Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta có $M N / / S B, N P / / A C$ nên $(A C, S B)=(N P, M N)$.

\begin{aligned}
&M N=\frac{S B}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}, N P=\frac{A C}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2} . \\
&A P=S P=\frac{B C}{2}=a, S A=a \sqrt{2}
\end{aligned}

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, \(SA\bot \left( ABC \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra \(AM=CE=\frac{a}{2}\).

Khi đó \(AE//CM\Rightarrow \left( \widehat{AE;CM} \right)=\left( \widehat{AN;AE} \right)=\varphi .\)

Mặt khác \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow \) độ dài đường trung tuyến AN là \(AN=\frac{SC}{2}=a.AE=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(CM\bot AM\Rightarrow \) AMCE là hình chữ nhật.

Khi đó \(CE\bot AE\) mà \(CE\bot SA\Rightarrow CE\bot \left( SAE \right)\Rightarrow CE\bot SE.\)

\(\Delta SEC\) vuông tại E có đường trung tuyến \(EN=\frac{1}{2}SC=a.\)

Ta có: \(\cos \widehat{NAE}=\frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=\frac{\sqrt{3}}{4}>0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.\)

Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)

Khi đó \(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.\)

Lại có: \(AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.\)

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}\) và \(BC=a\sqrt{3}\). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó \(\left\{ \begin{align}

& MP//SC \\

& N//AB \\

\end{align} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SC;AB} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).\)

Ta có: \(MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.\)

Mặt khác \(\Delta SAC\) vuông tại S \(\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

\(B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

Suy ra \(P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Khi đó \(\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left( \widehat{SC;AB} \right)=60{}^\circ .\)

Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}\)

\(=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.\)

Suy ra \(\cos \left( SC;AB \right)=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( SC;AB \right)=60{}^\circ .\)
05/01/2022
Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Sau khi đã thành thạo cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian thì các em học sinh có thể luyện tập các Bài tập góc và khoảng cách trong không gian dưới đây. Nếu bài nào có thắc mắc, các em hãy để lại comment để chúng tôi giải đáp.

Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $B’C$.

Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $\left(A’C’, B’A\right)$.

Câu 3. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC. A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng $BC$ và $AB’$ là bao nhiêu?

Câu 4. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $2.$ Gọi $C_1$ là trung điểm của $CC’$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $BC_1$ và $A’B’.$

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a, \widehat{ABC}=60^{\circ}, SA=a$ và $SA \perp(ABCD).$ Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CM$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa $AM$ và $BD$.

Câu 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $(BCD)$. Biết tam giác $BCD$ vuông tại $C$ và $AB=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, $AC=a \sqrt{2}, CD=a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CE$.

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có cách cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SI$ và $BC$.

Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2 a$. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng $a \sqrt{2}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $SC, BC$. Tính góc giữa $IJ$ và $CD$.

Câu 11. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

Câu 12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CI$, với $I$ là trung điểm của $AD$.

Câu 13. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính góc giữa đường thẳng $AB’$ và mặtg h ẳ n g\, $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 14. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MC’$ và mặt phẳng $(ABC)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA=a \sqrt{3}, SA \perp(ABCD)$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 16. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a. SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. $SA=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc giữa $SC$ và mặt đáy.

Câu 17. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC), SA=a \sqrt{2}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2 a$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.

Câu 18. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, $AC=a,, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tính góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng đáy.

Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\sin \alpha$.

Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 21. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính cosin góc giữa $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$.

Câu 22. Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB=a, AC=2 a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 23. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SB=a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tai $A$ có $BC=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$. Tính góc giữa $SA$ và $(ABC)$.

Câu 24. Hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, AA’=a \sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $\left(A’B’C’\right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $A’B’C’$. Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 25. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a, \widehat{BAD}=60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $B’$ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên $BB’=a$. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là một tam giác vuông cân tại $B, AB=a$, $BB’=a \sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left(BCC’B’\right)$.

Câu 27. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng nhau, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính góc giữa đường thẳng $A’M$ và mặt phẳng $\left(ACC’A’\right)$.

Câu 28. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD), SA=a \sqrt{6}$. Tính sin của góc tạo bởi $SC$ và $(SAB)$.

Câu 29. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=4 a, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=4 a$. Tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 30. Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $SA=AB=BC$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a$ và $AD=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu?

Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng $MD$ và mặt phẳng $(SBC)$, với $M$ là trung điểm của $BC$.

Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, BC=a \sqrt{2}, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(ACD’\right)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 35. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’.$ Gọi $E, F $ lần lượt là trung điểm các cạnh $B’C’, C’D’$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(AEF)$ và $(ABCD)$.

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’, \Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $B$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BC\right)$ và $(ABC)$.

Câu 37. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2 a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB’C’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 38. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp(ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$.

Câu 39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a, AD=SA=2 a$, $SA \perp(ABCD)$. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$.

Câu 40. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$ và $AB \perp BC$, gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 41. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2 a, SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 42. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $AB=2 a, SA=a \sqrt{5}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$.

Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$. Tính Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Câu 44. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{6}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính $\tan \varphi$.

Câu 45. Tính tang góc giữa hai mặt của một tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

Câu 46. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a, \Delta SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

Câu 47. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $ABC$ bằng $60^\circ$, tam giác $SBC$ đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$.

Câu 48. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left(BA’C\right)$ và $\left(DA’C\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 49. Cho khối lăng trụ đứng $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $AA’=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BD\right)$ và $\left(C’BD\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 50. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, BC=2 a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Tính góc giữa $(SBC)$ và $(SC \mathrm{D})$.

Câu 51. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \sqrt{2}$. Cho biết $AB=2 AD=2 DC=2 a$. Tính góc giữa $(SBA)$ và $(SBC)$.

Câu 52. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC), SA=2 a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $\mathrm{B} \quad AB=a$, $BC=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc $\varphi$ tạo bởi hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$.

Câu 53. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC \perp(ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $AB=a; AC=a \sqrt{3}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha=\sqrt{\dfrac{6}{19}}$. Tính độ dài $SC$ theo $a$.

Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng $a$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$.

Câu 55. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SCD)$.

Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều $S \cdot ABC$ có cạnh bên bằng $2 a$, cạnh đáy bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính $\cos \alpha$.

Câu 57. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $AB=SH=a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$.

Câu 58. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, mặt bên $SBC$ là tam giác cân tại $S$, $SB=2a$, $(SBC)\perp (ABC)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$. Tính $cos \alpha$.

Câu 59. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ $B$ tới đường thẳng $DB’$.

Câu 60. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B’D’$.

Câu 61. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 62. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2 a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến đường thẳng $SH$.

Câu 63. Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA, AB, BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA=3 a$, $AB=a \sqrt{3}, BC=a \sqrt{6}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến $SC$.

Câu 64. Cho hình chóp $S.ABC$ với $SA $ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Diện tích $S_{\triangle ABC}=a^2$, $BC=a \sqrt{2}$. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

Câu 65. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm đáy và $SO=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $SA$.

Câu 66. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điể $m CD$. Tính khoảng cách từ $O$ tới đường thẳng $SM$.

Câu 67. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SA=a \sqrt{3}, ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2 a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, tính khoảng cách từ $G$ đến $SD$.

Câu 68. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, đáy lớn $AB$. Biết rằng $AB=2 a$, $AD=DC=CB=a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 69. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có ba kích thước $AB=a, AD=2 a, AA_1=3 a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 70. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=2 a, AD=a, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left(B’MC\right)$.

Câu 71. Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $1, AA’=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 72. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Cạnh bên $AA’=a, ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $BC=2 a, AB=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 73. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 74. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách $h$ từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 75. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=2 a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 76. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

Câu 77. Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có $AB=2 a, SO=a$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 78. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 79. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $60^{\circ}$. Tính độ dài đường cao $SH$.

Câu 80. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2 a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên.

Câu 81. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2 a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 82. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 83. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $(ABCD)$ trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ điểm $B_1$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 84. Cho lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $BC$. Tính khoảng cách từ $A’$ đến $\mathrm{mp}\left(BCC’B’\right)$ biết góc giữa haimặt phẳng\, $\left(ABB’A’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$ bằng $60^{\circ}$.

Câu 85. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính $d\left(A’C’, BD\right)$.

Câu 86. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a \sqrt{2}$ tính khoảng cách của hai đường thẳng $CC’$ và $BD$.

Câu 87. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A, AB=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BB’$.

Câu 88. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’, AB=a, A’A=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A’A$ và $BC$.

Câu 89. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AD$.

Câu 90. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2 a$. Cạnh bên $SA=2 a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Câu 91. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OB=OC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $OM=a$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $OA$ và $BC$.

Câu 92. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

Câu 93. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh $AB, CD$.

Câu 94. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB’$ và $AC’$.

Câu 95. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh $AB=2 a, AD=AA’=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $AD’$.

Câu 96. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A, BC=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’, BC’$.

Câu 97. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $AA’=h(a, h>0)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’, BC’$.

Câu 98. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2 a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.

Câu 99. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=a.$ Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

Câu 100. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, SA$ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 101. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 102. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a, SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SO=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 103. Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $C D$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A C$ và $B M$.

26/08/2021
Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11
Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng toán quan trọng của chương trình HHKG lớp 11. Bài toán này cùng với các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng đều sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Xem thêm:
1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90°.
- Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng .
Kí hiệu góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là \( \left(d,(P)\right) \).

Nhận xét.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ từ \( 0^\circ \) đến \( 90^\circ \)
- Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng \( 0^\circ \)
2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán. Xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$

Trong thực tế, chúng ta ít khi gặp tình huống đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$, vì khi đó góc giữa chúng bằng $0^\circ$. Còn nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Trường hợp còn lại, đường thẳng $d$ sẽ cắt và không vuông góc với $(P)$. Khi đó, chúng ta thực hiện 3 bước:
- Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $ (P)$, giả sử là điểm $ O $;
- Lấy một điểm $ A$ bất kì thuộc đường thẳng $ d$ và tìm hình chiếu vuông góc $ H$ của $ A$ lên $\left( P\right)$;
- Tính góc $ \widehat{AOH}$, đây chính là góc cần tìm.
Chú ý. Đối với hình chóp, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc tạo bởi 3 điểm: đỉnh — điểm chung — chân đường cao hình chóp.

Ví dụ,

Ví dụ, hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên \( SA \) vuông góc với đáy. Hãy xác định góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \).
- đỉnh chính là điểm $S$
- điểm chung của cạnh $SC$ và mặt đáy $(ABC)$ chính là điểm $C$
- chân đường cao hình chóp là điểm $A$
Suy ra, góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \) là góc \( \widehat{SCA} \).

Tương tự, các em cũng có thể dễ dàng tìm được góc giữa cạnh bên $SB$ và mặt đáy $(ABC)$ là \( \widehat{SBA} \).

3. Ví dụ tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh $ SA=a\sqrt{6} $ và vuông góc với đáy $ (ABCD) $. Tính góc giữa:
1. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $;
2. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $;
3. đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (SAC) $;
4. đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ (SBC) $.
Hướng dẫn.
1. Để tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $, chúng ta lần lượt thực hiện 3 bước:
  - Giao điểm của đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là điểm $C$.
  - Trên đường thẳng $SC$, chọn một điểm và xác định hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng $(ABCD)$, ở đây chúng ta chọn điểm $S$ vì dễ thấy hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $ (ABCD) $ chính là $A$. (Do giả thiết cạnh $ SA$ và vuông góc với đáy $ (ABCD) $.
  - Như vậy, góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ chính là góc $SCA$ và chúng ta đi tính số đo của góc này.
  - Xét tam giác vuông $SAC$ có $ SA=a\sqrt{6}$ và $AC=a\sqrt{2}$ (do $AC$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$) nên có \[ \tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3} \] Suy ra \( \widehat{SCA} = 60^\circ \) và đây chính là đáp số cần tìm.
2. Chứng minh được $CB$ vuông góc với $(SAB)$ (em nào chưa làm được thì có thể xem lại bài Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Sau đó, làm theo đúng 3 bước trong lý thuyết ta được góc $\widehat{CSB}$. Đáp số $\arctan\frac{1}{\sqrt{7}}$.
3. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ thì chứng minh được $BO$ vuông góc với $(SAC)$. Góc cần tìm là $\widehat{BSO}$. Đáp số $ \arcsin\frac{1}{\sqrt{14}}$.
4. Trong mặt phẳng $(SAB)$, qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc và cắt $SB$ tại $H$. Chứng minh được $AH$ vuông góc với $(SBC)$ và tìm được góc giữa đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ (SBC) $ là $\widehat{ACH}$. Đáp số $\arcsin\frac{\sqrt{21}}{7} $.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a. $ Cạnh bên $ SA $ bằng $ 2a $ và vuông góc với đáy $ (ABC). $
1. Tính góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (ABC). $
2. Tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB). $
3. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SC $ và $ AC. $
  - Tính góc giữa $ BM $ và mặt phẳng $ (ABC);$
  - Tính góc giữa $ SN $ với mặt phẳng $ (SAB). $
Hướng dẫn.
1. Góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (ABC) $ là góc $\widehat{SBA}$.
2. Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì chứng minh được $CH$ vuông góc với $(SAB)$. Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $ là góc $CSH$.
3. Góc giữa đường thẳng $ BM $ và mặt phẳng $ (ABC)$ là $ \widehat{MBN} $có $ \tan\widehat{MBN}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
  
  Trong mặt phẳng $(ABC)$ kẻ $NK$ vuông góc với $AB$ tại $K$ ($NK$ song song với $CH$). Dễ dàng chỉ ra được $NK$ vuông góc với $(SAB)$.
  Suy ra, góc giữa đường thẳng $ SN $ với mặt phẳng $ (SAB) $ là $ \widehat{NSK} $. Tính được $\tan\widehat{NSK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} $ và suy ra số đo góc cần tìm.
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Trung tuyến $ SI $ của tam giác đều $ SAB $ vuông góc với đáy $ (ABCD) $ của hình chóp. Chứng minh hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ hai góc bằng nhau. Tính góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $, trong đó $ M $ là trung điểm $ SD. $

Hướng dẫn. Hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ cùng tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 45^\circ. $ Hình chiếu của điểm $ C $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là $ B. $ Hình chiếu của điểm $ M $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là trung điểm $ N $ của $ SA. $ Góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ 30^\circ. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, tâm $ O $ và $ SO $ vuông góc với đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SA $ và $ BC $. Biết góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ bằng $ 60^\circ $. Tính độ dài $ MN $ và $ SO $. Tính góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (SBD) $.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $ thì $ MH $ song song với $ SO $ nên $ H $ là hình chóp vuông góc của $ M $ lên mặt phẳng $(ABCD)$… Đáp số $ MN=\frac{a\sqrt{10}}{2},SO=\frac{a\sqrt{30}}{2};\sin\left(MN,(SBD)\right)=\frac{1}{\sqrt{5}} $
25/05/2021