Tag: khoảng cách

Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Sau khi đã thành thạo cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian thì các em học sinh có thể luyện tập các Bài tập góc và khoảng cách trong không gian dưới đây. Nếu bài nào có thắc mắc, các em hãy để lại comment để chúng tôi giải đáp.

Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $B’C$.

Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $\left(A’C’, B’A\right)$.

Câu 3. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC. A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng $BC$ và $AB’$ là bao nhiêu?

Câu 4. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $2.$ Gọi $C_1$ là trung điểm của $CC’$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $BC_1$ và $A’B’.$

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a, \widehat{ABC}=60^{\circ}, SA=a$ và $SA \perp(ABCD).$ Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CM$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa $AM$ và $BD$.

Câu 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $(BCD)$. Biết tam giác $BCD$ vuông tại $C$ và $AB=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, $AC=a \sqrt{2}, CD=a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CE$.

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có cách cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SI$ và $BC$.

Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2 a$. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng $a \sqrt{2}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $SC, BC$. Tính góc giữa $IJ$ và $CD$.

Câu 11. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

Câu 12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CI$, với $I$ là trung điểm của $AD$.

Câu 13. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính góc giữa đường thẳng $AB’$ và mặtg h ẳ n g\, $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 14. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MC’$ và mặt phẳng $(ABC)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA=a \sqrt{3}, SA \perp(ABCD)$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 16. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a. SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. $SA=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc giữa $SC$ và mặt đáy.

Câu 17. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC), SA=a \sqrt{2}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2 a$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.

Câu 18. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, $AC=a,, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tính góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng đáy.

Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\sin \alpha$.

Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 21. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính cosin góc giữa $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$.

Câu 22. Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB=a, AC=2 a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 23. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SB=a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tai $A$ có $BC=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$. Tính góc giữa $SA$ và $(ABC)$.

Câu 24. Hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, AA’=a \sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $\left(A’B’C’\right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $A’B’C’$. Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 25. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a, \widehat{BAD}=60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $B’$ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên $BB’=a$. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là một tam giác vuông cân tại $B, AB=a$, $BB’=a \sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left(BCC’B’\right)$.

Câu 27. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng nhau, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính góc giữa đường thẳng $A’M$ và mặt phẳng $\left(ACC’A’\right)$.

Câu 28. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD), SA=a \sqrt{6}$. Tính sin của góc tạo bởi $SC$ và $(SAB)$.

Câu 29. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=4 a, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=4 a$. Tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 30. Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $SA=AB=BC$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a$ và $AD=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu?

Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng $MD$ và mặt phẳng $(SBC)$, với $M$ là trung điểm của $BC$.

Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, BC=a \sqrt{2}, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(ACD’\right)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 35. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’.$ Gọi $E, F $ lần lượt là trung điểm các cạnh $B’C’, C’D’$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(AEF)$ và $(ABCD)$.

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’, \Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $B$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BC\right)$ và $(ABC)$.

Câu 37. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2 a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB’C’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 38. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp(ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$.

Câu 39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a, AD=SA=2 a$, $SA \perp(ABCD)$. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$.

Câu 40. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$ và $AB \perp BC$, gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 41. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2 a, SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 42. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $AB=2 a, SA=a \sqrt{5}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$.

Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$. Tính Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Câu 44. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{6}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính $\tan \varphi$.

Câu 45. Tính tang góc giữa hai mặt của một tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

Câu 46. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a, \Delta SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

Câu 47. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $ABC$ bằng $60^\circ$, tam giác $SBC$ đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$.

Câu 48. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left(BA’C\right)$ và $\left(DA’C\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 49. Cho khối lăng trụ đứng $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $AA’=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BD\right)$ và $\left(C’BD\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 50. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, BC=2 a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Tính góc giữa $(SBC)$ và $(SC \mathrm{D})$.

Câu 51. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \sqrt{2}$. Cho biết $AB=2 AD=2 DC=2 a$. Tính góc giữa $(SBA)$ và $(SBC)$.

Câu 52. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC), SA=2 a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $\mathrm{B} \quad AB=a$, $BC=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc $\varphi$ tạo bởi hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$.

Câu 53. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC \perp(ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $AB=a; AC=a \sqrt{3}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha=\sqrt{\dfrac{6}{19}}$. Tính độ dài $SC$ theo $a$.

Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng $a$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$.

Câu 55. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SCD)$.

Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều $S \cdot ABC$ có cạnh bên bằng $2 a$, cạnh đáy bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính $\cos \alpha$.

Câu 57. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $AB=SH=a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$.

Câu 58. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, mặt bên $SBC$ là tam giác cân tại $S$, $SB=2a$, $(SBC)\perp (ABC)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$. Tính $cos \alpha$.

Câu 59. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ $B$ tới đường thẳng $DB’$.

Câu 60. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B’D’$.

Câu 61. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 62. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2 a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến đường thẳng $SH$.

Câu 63. Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA, AB, BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA=3 a$, $AB=a \sqrt{3}, BC=a \sqrt{6}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến $SC$.

Câu 64. Cho hình chóp $S.ABC$ với $SA $ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Diện tích $S_{\triangle ABC}=a^2$, $BC=a \sqrt{2}$. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

Câu 65. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm đáy và $SO=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $SA$.

Câu 66. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điể $m CD$. Tính khoảng cách từ $O$ tới đường thẳng $SM$.

Câu 67. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SA=a \sqrt{3}, ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2 a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, tính khoảng cách từ $G$ đến $SD$.

Câu 68. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, đáy lớn $AB$. Biết rằng $AB=2 a$, $AD=DC=CB=a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 69. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có ba kích thước $AB=a, AD=2 a, AA_1=3 a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 70. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=2 a, AD=a, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left(B’MC\right)$.

Câu 71. Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $1, AA’=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 72. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Cạnh bên $AA’=a, ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $BC=2 a, AB=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 73. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 74. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách $h$ từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 75. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=2 a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 76. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

Câu 77. Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có $AB=2 a, SO=a$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 78. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 79. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $60^{\circ}$. Tính độ dài đường cao $SH$.

Câu 80. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2 a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên.

Câu 81. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2 a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 82. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 83. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $(ABCD)$ trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ điểm $B_1$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 84. Cho lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $BC$. Tính khoảng cách từ $A’$ đến $\mathrm{mp}\left(BCC’B’\right)$ biết góc giữa haimặt phẳng\, $\left(ABB’A’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$ bằng $60^{\circ}$.

Câu 85. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính $d\left(A’C’, BD\right)$.

Câu 86. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a \sqrt{2}$ tính khoảng cách của hai đường thẳng $CC’$ và $BD$.

Câu 87. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A, AB=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BB’$.

Câu 88. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’, AB=a, A’A=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A’A$ và $BC$.

Câu 89. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AD$.

Câu 90. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2 a$. Cạnh bên $SA=2 a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Câu 91. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OB=OC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $OM=a$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $OA$ và $BC$.

Câu 92. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

Câu 93. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh $AB, CD$.

Câu 94. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB’$ và $AC’$.

Câu 95. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh $AB=2 a, AD=AA’=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $AD’$.

Câu 96. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A, BC=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’, BC’$.

Câu 97. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $AA’=h(a, h>0)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’, BC’$.

Câu 98. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2 a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.

Câu 99. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=a.$ Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

Câu 100. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, SA$ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 101. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 102. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a, SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SO=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 103. Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $C D$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A C$ và $B M$.

26/08/2021
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian
Cách tính Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Muốn tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì các em học sinh cần nắm vững cách tính khoảng cách từ điểm tới một mặt phẳng và cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng. Chi tiết về vấn đề này, mời các em xem trong bài viết Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) trong không gian, chúng ta có 3 hướng xử lý như sau:
- Cách 1. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn vuông góc chung đó. Nói thêm, đường vuông góc chung của hai đường thẳng là một đường thẳng mà cắt cả hai và vuông góc với cả hai đường thẳng đã cho. $$ \begin{cases}
  AB \perp a\\ AB \perp b\\
  AB \cap a = A\\ AB \cap b = B
  \end{cases} \Rightarrow d(a,b)=AB$$
- Cách 2. Chuyển về tính khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng thứ hai. $$ \begin{cases}
  a \parallel (P)\\ b \subset (P)
  \end{cases} \Rightarrow d(a,b) = d(a,(P))$$Trong thực tế, việc tạo ra mặt phẳng \((P)\) song song với đường thẳng $a$ thường được thực hiện bằng cách, dựng hoặc tìm một đường thẳng $a’$ nào đó song song với $a$ và cắt đường thẳng $b$. Lúc này, mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \(a’\) và \(b\). Và, việc tính khoảng cách tiếp tục quy về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng bằng cách lấy một điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng $a$ và tính khoảng cách từ $M$ tới $(P)$.
- Cách 3. Chuyển về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đã cho. $$ \begin{cases}
  a\subset (P)\\
  b\subset (Q)\\
  (P)\parallel (Q)
  \end{cases} \Rightarrow d(a,b)=d((P),(Q))$$
Cách 1 thì chỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau. Lúc đó việc dựng đoạn vuông góc chung là khá dễ dàng, còn khi \(a\) và \(b\) không vuông góc với nhau thì dựng đường vuông góc chung rất phức tạp. Xin xem phần 2.3 để biết thêm về cách dựng đoạn vuông góc chung.

Cách 2 thường được sử dụng nhiều hơn cả, cách 3 chỉ sử dụng khi việc kẻ đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng ban đầu gặp khó khăn.

Sau đây chúng ta cùng nhau tìm hiểu các ví dụ minh họa về tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau trong không gian.

2. Các ví dụ minh họa xác định khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

2.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Ví dụ 1. [Câu 40, Đề minh họa Tốt nghiệp 2020] Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy \( (ABC) \), \( SA=a \), tam giác \(ABC\) vuông tại \( A\) và \( AB=2a,\) \(AC=4a \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SM \) và \( BC \).

Phân tích. Để dựng một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng \( SM \) và \( BC \) đồng thời vuông góc với đường còn lại thì chúng ta cần xem xét, việc dựng mặt phẳng song song với đường thẳng nào dễ dàng hơn.

Rõ ràng việc kẻ một đường thẳng cắt \(SM\) và song song với \(BC\) rất đơn giản, chỉ việc qua \( M \) kẻ đường thẳng song song với \( BC \), đường thẳng này chính là đường trung bình của tam giác \( ABC \). Do đó, chúng ta sẽ ưu tiên chọn cách làm này.

Hướng dẫn. Gọi \( N \) là trung điểm \( AC \) thì ta có
$$ \begin{cases}
BC\parallel MN\\
MN\subset (SMN)
BC \not \subset (SMN)
\end{cases} $$ Do đó, khoảng cách cần tìm $$ d(BC,SM)=d(BC,(SMN) =d(B,(SMN))$$ Tuy nhiên, đường thẳng \( AB \) lại cắt mặt phẳng \( (SMN) \) tại trung điểm \( M \) của \( AB \) nên
$$ \frac{d(B,(SMN))}{d(A,(SMN))} =\frac{BM}{AM}=1 $$ hay \( d(B,(SMN))=d(A,(SMN))\) và chúng ta chỉ cần đi tính khoảng cách từ điểm \( A \) tới mặt phẳng \( (SMN) \) là xong. Đây lại là một bài toán khá cơ bản, chỉ việc kẻ vuông góc hai lần \( AH\perp MN \) và \( AK\perp SH \), hoặc áp dụng trực tiếp kết quả đối với trường hợp hình chóp có ba tia \( AS,\) \(AC,\) \(AB \) đồng quy và đôi một vuông góc với nhau. Tóm lại, khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn \( AK \) như trong hình vẽ và có $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2} $$ Thay số vào và tìm được \( d(BC,SM)=AK= \frac{2a}{3}.\)

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ cạnh $ SA=a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC. $

Hướng dẫn. Có $ AB\parallel CD $ nên $ AB\parallel (SCD) $. Do đó $$ d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$$

Đây chính là bài toán tính khoảng cách cơ bản, kẻ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$ thì khoảng cách cần tìm $$d(A,(SCD))=AK=\frac{a}{\sqrt{2}} $$

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Ví dụ 3. [Đề Đại học Khối D năm 2008] Cho lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông với $ BA=BC=a $, cạnh bên $ AA’=a\sqrt{2}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM $ và $ B’C $.

Hướng dẫn. Lấy $ N $ là trung điểm của $ BB’ $, ta có $ MN $ là đường trung bình của tam giác $ B’BC $ nên $ B’C $ song song với $ MN $. Như vậy đường thẳng $ B’C $ song song với mặt phẳng $ (AMN) $, và do đó
\[ {d}(B’C,AM)={d}(B’C,(AMN))={d}(B'(AMN)) \] Lại có $ BB’ $ cắt mặt phẳng $ (AMN) $ tại trung điểm $ N $ của $ BB’ $ nên
\[ {d}(B’,(AMN))={d}( B,(AMN))\] Hình chóp $ B.AMN $ có ba tia $ BA,BM,BN $ đồng quy và đôi một vuông góc nên đặt $d=d(B,(AMN))$ thì có \[ \frac{1}{d^2}=\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BM^2}+\frac{1}{BN^2}=\frac{7}{a^2} \] Từ đó tìm được khoảng cách từ giữa $B’C $ và $ AM $ là $ \frac{a}{\sqrt{7}}. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ cạnh $ SA=a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC. $

Hướng dẫn. Có $ AB\parallel CD $ nên $ AB\parallel (SCD) $. Do đó, gọi $ O $ là tâm hình vuông thì có $$ {d}(AB,SC)={d}(AB,(SCD))={d}(A,(SCD)) $$ Nhưng đường thẳng \( AO \) cắt mặt phẳng \( (SCD) \) tại điểm \( C \) nên có
$$ \frac{d(A,(SCD))}{d(O,(SCD))}=\frac{AC}{OC}=2$$ Suy ra \( d(A,(SCD))=2d(O,(SCD)) \). Đây chính là bài toán 1, kẻ vuông góc hai lần và tìm được đáp số $ \mathrm{d}(AB,SC)=\frac{2a\sqrt{21}}{7}. $

Ví dụ 5. [Đề ĐH khối A năm 2006] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $ có các cạnh bằng 1. Gọi $ M , N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ A C’ $ và $ MN $.

Hướng dẫn. Chúng ta có \( MN\) song song với mặt phẳng \( (ADC’B’) \), mà mặt phẳng \( (ADC’B’) \) chứa đường thẳng \( AC’ \) nên suy ra $$ d(MN,AC’)=d(MN,(ADC’B’))=d(N,(ADC’B’) ).$$ Để dựng hình chiếu vuông góc của \( N \) lên mặt phẳng \( (ADC’B’) \) ta chú ý rằng \( N \) nằm trong mặt phẳng \( (CDD’C’) \) mà hai mặt phẳng \( (ADC’B’) \) và \( (CDD’C’) \) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến \( C’D \). Do đó, chúng ta chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của \( N \) lên giao tuyến \( C’D \) là được. Giả sử hình chiếu vuông góc đó là điểm \( H \) thì có $$ d(N,(ADC’B’))=NH=\frac{1}{2} CD’ $$ Từ đó tìm được đáp số $ d(MN,AC’)=\frac{a\sqrt{2}}{4}. $

Ví dụ 6. [Đề ĐH khối A năm 2004] Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi đường chéo $ AC=4,SO=2\sqrt{2}$ và $ SO $ vuông góc với đáy $ ABCD $, ở đây $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD$. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SC $. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ BM. $

Hướng dẫn. Ta có $ MO $ là đường trung bình của tam giác $ SAC $ nên $ SA $ song song với $ MO. $ Do đó $ SA $ song song với mặt phẳng $ (MBD). $ Dẫn tới \[ {d}( SA,MB)={d}(SA,(MBD))={d}( S,(MBD)) \] Mặt khác $ SC $ cắt mặt phẳng $ (MBD) $ tại trung điểm $ M $ nên
\[ {d}( S,(MBD))={d}( C,(MBD)) \] Gọi $ K $ là chân đường vuông góc hạ từ $ C $ xuống $ MO $ thì chứng minh được $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên mặt phẳng $ (MBD). $

Bây giờ, để tính được độ dài đoạn \( CK \) thì ta sẽ tính diện tích tam giác \( MOC \) theo hai cách. Có
$$ S_{\Delta MOC} =\frac{1}{4} S_{\Delta SAC}=\frac{1}{8}SO\cdot AC$$ Nhưng mặt khác $$ S_{\Delta MOC} =\frac{1}{2} CK \cdot OM=\frac{1}{4}CK\cdot SA$$ Từ đó suy ra
$$ CK=\frac{SO\cdot AC}{2 SA}= \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BM $ là $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,$ $ AB = 2a,$ $\widehat{BAC}=60^\circ, $ cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=a\sqrt{3}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ CM $.

Hướng dẫn.
Gọi $ N $ là trung điểm $ SA $ thì $ MN\parallel SB $ nên $$ d(SB,CM)=d(SB,(CMN))=d(B,(CMN)). $$ Lại có đường thẳng \( AB \) cắt mặt phẳng \( (CMN) \) tại trung điểm \( M \) của \( AB \) nên suy ra $$ d(B,(CMN))=d(A,(CMN)) $$ Tính khoảng cách từ điểm \( A \) tới mặt phẳng \( (CMN) \) chúng ta sử dụng bài toán 1.

Hạ $ AE\perp MC $ thì chú ý rằng, tam giác $ AMC $ có góc $\widehat{M} $ tù nên $ E $ nằm ngoài đoạn $ MC. $ Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc tính diện tích tam giác $ AMC $ theo hai cách, tính được $ AE=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}. $ Tiếp tục hạ $ AH\perp AE $ thì tính được $$ d(A,(CMN))=AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}.$$

Ví dụ 8. Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có $ SA=2a,AB=a $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM,SB $.

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm tam giác đều $ ABC $. Gọi $ N $ là trung điểm $ SC $ thì $ MN\parallel SB $ nên $$ d(AM,SB)=d(SB,(AMN))=d(B,(AMN))$$ Mặt khác, vì $ M $ là trung điểm $ BC $ nên $d(B,(AMN))=d(C,(AMN))$.

Gọi $ I $ là trung điểm $ OC $ thì $ NI\perp (ABC) $, hơn nữa $ d(C,(AMN))=2d(I,(AMN)). $ Từ $ I $ hạ $ IJ $ vuông góc xuống $ OM $ thì $ J $ là trung điểm $ OM. $ Tiếp tục hạ $ IK$ vuông góc xuống $NJ $ thì ta có $$ d(I,(AMN))=IK=a\sqrt{\frac{11}{188}} $$ Từ đó tìm được đáp số $d(AM,SB)= \frac{a\sqrt{517}}{47}. $

2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Ví dụ 9. [Đề ĐH Khối B năm 2002] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $ cạnh $ a $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A’B $ và $ B’D. $

Hướng dẫn. Gọi $ M , N , P $ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $ A’ D ‘ ,BC , AD $ thì dễ dàng chứng minh được hai mặt phẳng \( (A’BP) \) và \( B’NDM \) song với nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng \( A’B \) và \( B’D \). Do đó, khoảng cách cần tìm
\[ d(A’B,B’D)=d( (A’PB),(MDNB’))\] Khoảng cách này lại bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng còn lại, ở đây chúng ta chọn điểm \(D \), thì có $$ d( (A’PB),(MDNB’))= =d( D,(A’PB))$$ Nhưng, đoạn thẳng \( AD \) cắt mặt phẳng \( (A’PB) \) tại trung điểm \( P \) nên có $$ d( D,(A’PB))=d(A,(A’PB))=d$$ Rõ ràng \( AB,AP,AA’ \) là ba tia đồng quy và đôi một vuông góc nên có ngay $$ \frac{1}{d^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{A’A^2}$$ Thay số vào tìm được đáp số $d(A’B,B’D)=\frac{a}{3}. $

Ví dụ 10. Cho hình hộp đứng \( ABCD.A’B’C’D’ \) có đáy là hình bình hành với \( AB=a \), \( AD=2a \), góc \(BAD\) bằng \( 60^\circ \) và \( AA’=a\sqrt{3}. \) Gọi \( M,N,P \) lần lượt là trung điểm của \( A’B’ \), \( BD \) và \( DD’ \). Gọi \(H \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( AD \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( MN \) và \( HP \).

Hướng dẫn. Gọi \( Q \) là trung điểm của \( AB \) thì có ngay hai mặt phẳng \( (MNQ) \) và \( (ADD’A’) \) song song với nhau. Hơn nữa, hai mặt phẳng này còn lần lượt chứa hai đường thẳng \( MN \) và \( HP \) nên $$ d(MN,HP)=d((MNQ),(ADD’A’)) $$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này chính bằng khoảng cách từ \( Q \) tới mặt phẳng \( (ADD’A’) \) và bằng một nửa khoảng cách từ \( B \) tới mặt phẳng \( (ADD’A’) \). Từ đó tìm được đáp số \( d(MN,HP)=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

2.3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dựng đoạn vuông góc chung

Trong trường hợp đặc biệt khi hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau đồng thời lại vuông góc với nhau, thì thường tồn tại một mặt phẳng $(\alpha)$ chứa \(a\) và vuông góc với \(b\). Ta dựng đoạn vuông góc chung qua hai bước sau:
- Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \((\alpha)\).
- Trong mặt phẳng \((\alpha)\), dựng \(HK\) vuông góc với \(a\) tại \( K\) thì \( HK\) chính là đoạn vuông góc chung.
Tổng quát, việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau được thực hiện như sau:
- Dựng mặt phẳng \( (\alpha) \) chứa đường thẳng \( b \) và song song với đường thẳng \( a \).
- Tìm hình chiếu vuông góc \( a’ \) của \( a \) trên mặt phẳng \((\alpha)\).
- Tìm giao điểm \( N \) của \( a’ \) và \( b \), dựng đường thẳng qua \( N \) và vuông góc với \( (\alpha) \), đường thẳng này cắt \( a \) tại \( M \).
Kết luận: Đoạn \( MN \) chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \( a \) và \( b \).

Ví dụ 11. Cho tứ diện đều $ ABCD $ có độ dài các cạnh bằng $ 6\sqrt{2} $cm. Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ CD $.

Hướng dẫn. Gọi $ M , N $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB , CD $. Chứng minh được $ MN $ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $ AB,CD $ và khoảng cách giữa chúng là $ MN=6 $cm.

Ví dụ 12. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B , AB=a , BC=2a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=2a. $ Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ SC $.

Hướng dẫn. Lấy điểm $ D $ sao cho $ ABCD $ là hình chữ nhật thì $ AB $ song song với $ (SCD). $ Gọi $ E $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống $ SD $ thì chứng minh được $ E $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ (SCD). $
Qua $ E $ kẻ đường thẳng song song với $ CD $ cắt $ SC $ tại $ N $, qua $ N $ kẻ đường thẳng song song với $ AE $ cắt $ AB $ tại $ M $ thì $ MN $ là đường vuông góc chung cần tìm. Đáp số $ a\sqrt{2}. $
03/06/2020
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Bài toán khoảng cách trong hình học không gian là một vấn đề quan trọng, thường xuất hiện ở các câu hỏi có mức độ vận dụng và vận dụng cao. Các bài toán tính khoảng cách trong không gian bao gồm:
1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng;
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên một mặt phẳng tới mặt phẳng còn lại;
3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng tới mặt phẳng đã cho;
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Như vậy, 3 dạng toán đầu tiên đều quy về Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chính là nội dung của bài viết này.

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Ngoài ra, các em cũng cần thành thạo 2 dạng toán liên quan đến góc trong không gian:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
1. Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bài toán quan trọng nhất là phải dựng được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng.

Nếu như ở bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta đã biết trước mục tiêu cần hướng đến, thì ở bài toán dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chúng ta phải tự tìm ra đường thẳng (tự dựng hình) và chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho, tức là mức độ sẽ khó hơn bài toán chứng minh rất nhiều.

Tuy nhiên, phương pháp xác định hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu chúng ta nắm chắc hai kết quả [bài toán] sau đây.

Bài toán 1. Dựng hình chiếu vuông góc từ chân đường cao tới một mặt phẳng.

Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ (ABC) $. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

Phương pháp. Để dựng hình chiếu của điểm $ A $ lên mặt phẳng $ (SBC) $, ta chỉ việc kẻ vuông góc hai lần như sau:
- Trong mặt phẳng đáy $ (ABC) $, kẻ $ AH $ vuông góc với $ BC, H $ thuộc $ BC. $
- Trong mặt phẳng $ (SAH) $, kẻ $ AK $ vuông góc với $ SH, K $ thuộc $ SH. $
Dễ dàng chứng minh được $ K $ chính là hình chiếu vuông góc của điểm $ A $ lên mặt phẳng $(P)$. Thật vậy, chúng ta có $$ \begin{cases}
BC\perp SA\\
BC \perp AH\\
\end{cases} $$ Mà $SA$ và $AH$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $ (SAH)$, nên suy ra \( BC \) vuông góc với \( (SAH) \), nên \( BC\perp AK \). Như vậy lại có
$$ \begin{cases}
AK\perp BC\\ AK\perp SH
\end{cases} $$ Mà $BC, AH $ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, nên suy ra \( AK \) vuông góc với \( (SBC) \), hay \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \).

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Dưới đây là hình minh họa trong các trường hợp đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $ A,$ vuông tại $B,$ vuông tại $C $, tam giác cân, tam giác đều…
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, lúc đó $H$ chính là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác \(ABC\), và dễ dàng tìm được công thức tính độ dài đoạn $AK$ như sau: $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2} $$
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $B$).
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $C$).
- Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ hoặc là tam giác đều (lúc đó $H$ chính là trung điểm của $BC$).
Bài toán 2. Dựng hình chiếu vuông góc sử dụng giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc.

Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ vuông góc với nhau. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

Phương pháp. Rõ ràng ở đây hai mặt phẳng vuông góc $ (SBC) $ và $ (ABC) $ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $BC$. Nên để dựng hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \) ta chỉ việc hạ \( AK \) vuông góc với giao tuyến \( BC \) là xong. $$ \begin{cases}
(SBC)\perp (ABC)\\ (SBC)\cap (ABC) = BC\\ AK\subset (ABC)\\ AK\perp BC \end{cases} $$ Suy ra đường thẳng $AK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, và $K$ chính là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

Ở đây chúng ta sử dụng định lý, hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau theo một giao tuyến. Đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng thứ nhất và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.

2. Các ví dụ tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC,$ có $ SA $ vuông góc với đáy, $ SA=3a,$ $AB=a,$ $BC=2a,$ $\widehat{ABC}=60^\circ. $ Chứng minh tam giác $ ABC $ vuông và tính khoảng cách từ điểm $ B$ tới mặt phẳng $(SAC), $ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC). $

Hướng dẫn. Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có $$ AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos\widehat{B}=3a^2 $$ Rõ ràng \( BC^2=AB^2+AC^2 \) nên tam giác \(ABC\) vuông tại $A$. Lúc này, dễ dàng nhận thấy \( A \) chính là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên mặt phẳng \( (SAC) \), và khoảng cách cần tìm $$ d(B,(SAC))=BA=a. $$

Em nào chưa biết cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì có thể xem lại bài viết Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC) $, ta trình bày như bài toán 1 trường hợp đáy là tam giác vuông (ở đây thầy không viết lại nữa), đáp số$$ d(A,(SBC))=AK=\frac{3a}{\sqrt{13}}$$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a.$ Hai mặt phẳng $ (SAB),$ $(SAD) $ cùng vuông góc với đáy và cạnh $ SD $ tạo với đáy một góc $ 45^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $.

Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAB),(SAD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến của chúng, là đường thẳng \( SA \) cũng vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \).

Nhặc lại định lý quan trọng, hai mặt phẳng vuông góc cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Lúc này, góc giữa đường thẳng \( SD \) và đáy chính là góc \( \widehat{SDA} \) và góc này bằng \( 45^\circ \). Suy ra, tam giác \( SAD \) vuông cân tại \( A \) và \( SA=AD=a \).

Tam giác \( SAB \) vuông cân có \( AK \) là đường cao và cũng là trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \( AK=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ chúng ta cố gắng nhìn ra mô hình giống như trong bài toán 1. Bằng việc kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất, trong mặt phẳng \( (ABCD) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) tới \( BC \), chính là điểm \( B \) có sẵn luôn. Kẻ vuông góc lần thứ hai, trong mặt phẳng \( (SAB) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) xuống \( SB \), gọi là \( AK \) thì độ dài đoạn \( AK \) chính là khoảng cách cần tìm.

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $ ta vẫn tiếp tục làm như kỹ thuật trong bài toán 1. Chúng ta kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất từ \( A \) kẻ vuông góc xuống \( BC \), chính là tâm \( O \) của hình vuông luôn (vì hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau). Nối \( S \) với \( O \) và từ \( A \) tiếp tục hạ đường vuông góc xuống \( SO \), gọi là \(AH \) thì chứng minh được \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBD) \). Chúng ta có ngay

$$ \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{3}{a^2} $$

Từ đó tìm được $AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và khoảng cách cần tìm là $ d(A,(SBD)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ví dụ 3. Cho hình tứ diện $ ABCD $ có cạnh $ AD $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $, ngoài ra $ AD = AC = 4 $ cm; $ AB = 3 $ cm; $ BC = 5 $ cm. Tìm khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD). $

Ví dụ 4. [Đề thi ĐH khối D năm 2003] Cho hai mặt phẳng $ (P),(Q) $vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $ \Delta. $ Lấy $ A , B $ thuộc $ \Delta $ và đặt $ AB=a $. Lấy $ C , D $ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $ (P),(Q) $ sao cho $ AC , BD $ vuông góc với $ \Delta $ và $ AC=BD=a. $ Tính khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD).$

Hướng dẫn. Hạ $ AH\perp BC $ thì $ d(A,(BCD))=AH=\frac{a}{\sqrt{2}} $.

Ví dụ 5. [Đề thi ĐH Khối D năm 2012] Cho hình hộp đứng $ $ABCD$.A’B’C’D’ $ có đáy là hình vuông, tam giác $ A’AC $ vuông cân, $ A’C=a $. Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD’) $ theo $ a. $

Hướng dẫn. Chú ý rằng mặt phẳng $ (BCD’) $ chính là mặt phẳng $ (BCD’A’) $. Đáp số, khoảng cách từ $ A$ đến mặt phẳng $(BCD’) $ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Khi việc tính trực tiếp gặp khó khăn, ta thường sử dụng kĩ thuật dời điểm, để đưa về tính khoảng cách của những điểm dễ tìm được hình chiếu vuông góc hơn.

Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a. $ Biết cạnh bên $ AA’=4a$ và $ M $ là trung điểm $ AA’ $. Hãy tính khoảng cách $ {d}(M,(A’B’C)) $ và $ {d}(M,(A’B’C)) $.

Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B,$ $AB=3a,$ $ BC=4a.$ Mặt phẳng $ (SBC) $ vuông góc với mặt đáy và $ SB=2a\sqrt{3},$ $\widehat{SBC}=30^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $B$ tới mặt phẳng $(SAC). $

Hướng dẫn. Gọi $ SH $ là đường cao của tam giác $ SBC $ thì $ SH\perp (ABC). $ Ta có $$ \frac{{d}(B,(SAC))}{{d}(H,(SAC))}=\frac{BC}{HC}=4 $$ Từ đó tính được $ {d}(B,(ABC)) =\frac{6a}{\sqrt{7}}.$

3. Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Mời thầy cô và các em học sinh tải các tài liệu về bài toán khoảng cách trong hình học không gian tại đây:
Tổng hợp tài liệu HHKG lớp 11 và ôn thi ĐH, THPT QG đầy đủ nhất, mời thầy cô và các em xem trong bài viết 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất
02/06/2020