O₂ Education

Tag: phương pháp

  • PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG

    PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG

    PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG là một trong những PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC. Để giải các bài toán này, các em học sinh cần lựa chọn một trong các tình huống đề bài đưa ra và giả sử nó đúng, từ đó suy luận, xem xét các tình huống khác có hợp lí hay không.

    Thường đối với các bài toán giải bằng PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG, chúng ta có thể kết hợp với việc lập bảng để dễ nhìn và loại bỏ các phương án không hợp lí.

    1. Ví dụ phương pháp lựa chọn tình huống

    Ví dụ 1. Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh có 4 bạn Phương, Dương, Hiếu, Hằng tham gia. Được hỏi quê mỗi người ở đâu ta nhận được các câu trả lời sau:
    • Phương: Dương ở Thăng Long còn tôi ở Quang Trung.
    • Dương : Tôi cũng ở Quang Trung còn Hiếu ở Thăng Long.
    • Hiếu : Không, tôi ở Phúc Thành còn Hằng ở Hiệp Hoà.
    • Hằng : Trong các câu trả lời trên đều có 1 phần đúng 1 phần sai.

    Em hãy xác định quê của mỗi bạn.

    Hướng dẫn.

    Vì trong mỗi câu trả lời đều có 1 phần đúng và 1 phần sai nên chúng ta xét câu trả lời của Phương thì có các trường hợp:

    TH1. Dương ở Thăng Long là đúng thì Phương ở Quang Trung là sai.

    • Suy ra Dương ở Quang Trung là sai. Vậy Hiếu ở Thăng Long là đúng.
    • Điều này vô lý vì Dương và Hiếu cùng ở Thăng Long.

    TH2. Dương ở Thăng Long là sai, suy ra Phương ở Quang Trung và do đó Dương ở Quang Trung là sai.

    • Suy ra Hiếu ở Thăng Long. Vậy Hiếu ở Phúc Thành là sai. Suy ra Hằng ở Hiệp Hòa.
    • Còn lại Dương ở Phúc Thành.

    Ví dụ 2. Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở 5 tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây, Cần Thơ, Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi quê ở tỉnh nào, các bạn trả lời như sau:

    • Anh: Tôi quê ở Bắc Ninh còn Doan ở Nghệ An
    • Bình: Tôi cũng quê ở Bắc Ninh còn Cúc ở Tiền Giang
    • Cúc: Tôi cũng quê ở Bắc Ninh còn Doan ở Hà Tây
    • Doan: Tôi quê ở Nghệ An còn An ở Cần Thơ
    • An: Tôi quê ở Cần Thơ còn Anh ở Hà Tây

    Nếu mỗi câu trả lời đều có 1 phần đúng và 1 phhàn sai thì quê mỗi bạn ở đâu?

    Hướng dẫn.

    Vì mỗi bạn có câu trả lời có một phần đúng và một phần sai nên có các trường hợp:

    TH1. Nếu Anh ở Bắc Ninh là đúng Þ Doan không ở Nghệ An.

    • Suy ra Bình và Cúc ở Bắc Ninh là sai. Do đó Cúc ở Tiền Giang và Doan ở Hà Tây.
    • Doan ở Nghệ An là sai suy ra An ở Cần Thơ và Anh ở Hà Tây là sai.
    • Còn bạn Bình ở Nghệ An (Vì 4 bạn quê ở 4 tỉnh rồi)

    TH2. Nếu Anh ở Bắc Ninh là sai và Doan ở Nghệ An là đúng.

    • Suy ra Doan ở Hà Tây là sai, do đó Cúc ở Bắc Ninh.
    • Từ đó Bình ở Bắc Ninh phải sai. Suy ra Cúc ở Tiền Giang. Điều này vô lí vì cúc vừa ở Bắc Ninh vừa ở Tiền Giang (loại)

    Vậy Anh ở Bắc Ninh; Cúc ở Tiền Giang; Doan ở Hà Tây; An ở Cần Thơ và Bình ở Nghệ An.

    Ví dụ 3. Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự đoán như sau:

    • Dũng: Singapor nhì, còn Thái Lan ba.
    • Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.
    • Tuấn: Singapor nhất và Inđônêxia nhì.

    Kết quả mỗi bạm dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?

    Hướng dẫn.

    • Nếu Singapo đạt giải nhì thì Singapo không đạt giải nhất. Vậy theo Tuấn thì Inđônêxia đạt giải nhì. Điều này vô lý, vì hai đội đều đạt giải nhì.
    • Nếu Singapo không đạt giải nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt giải ba. Như vậy Thái Lan không đạt giải tư. Theo Quang, Việt Nam đạt giải nhì.Thế thì Inđônêxia không đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapor đạt giải nhất, cuối cùng còn đội Inđônê xia đạt giải tư.
    • Kết luận: Thứ tự giải của các đội trong cúp Tiger 98 là:
      • Nhất: Singapo.
      • Nhì: Việt Nam.
      • Ba: Thái Lan.
      • Tư: Inđônêxia

    Ví dụ 4. Gia đình Lan có 5 người: ông nội, bố, mẹ, Lan và em Hoàng. Sáng chủ nhật cả nhà thích đi xem xiếc nhưng chỉ mua được 2 vé. Mọi người trong gia đình đề xuất 5 ý kiến:

    1. Hoàng và Lan đi
    2. Bố và mẹ đi
    3. Ông và bố đi
    4. Mẹ và Hoàng đi
    5. Hoàng và bố đi.

    Cuối cùng mọi người đồng ý với đề nghị của Lan vì theo đề nghị đó thì mỗi đề nghị của 4 người còn lại trong gia đình đều được thoả mãn 1 phần. Bạn hãy cho biết ai đi xem xiếc hôm đó.

    Hướng dẫn. Ta có nhận xét :

    • Nếu chọn đề nghị thứ nhất thì đề nghị thứ hai bị bác bỏ hoàn toàn.  Vậy không thể chọn đề nghị thứ nhất.
    • Nếu chọn đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ nhất bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ hai.
    • Nếu chọn đề nghị thứ ba thì đề nghị thứ tư bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ ba.
    • Nếu chọn đề nghị thứ tư thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ tư.
    • Nếu chọn đề nghị thứ năm thì cả 4 đề nghị trên đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần. Vậy sáng hôm đó Hoàng và bố đi xem xiếc.

    Ví dụ 5. Lớp 5A có năm bạn đạt học sinh giỏi nhung chỉ được cử hai bạn đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ. Khi cô giáo hỏi ý kiến thì các bạn đều nhường nhau. Cô đề nghị mỗi em giới thiệu hai trong số 5 bạn đạt học sinh giỏi để đi dự Đại hội. Kết quả, các bạn giới thiệu như sau:

    1. Bạn Hùng và bạn Dũng
    2. Bạn Cường và bạn Mạnh
    3. Bạn Cường và bạn Thịnh
    4. Bạn Hùng và bạn Thịnh
    5. Bạn Hùng và bạn Cường

    Cô quyết định chọn đề nghị của bạn Thịnh vì theo đề nghị đó thì mỗi đề nghị của bốn người còn lại đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần.

    Em hãy cho biết bạn nào đã đi dự Đại hội Cháu ngoan Bác Hồ?

    2. Bài tập phương pháp lựa chọn tình huống

    Bài 1: Trong 1 cuộc chạy thi 4 bạn An, Bình, Cường, Dũng đạt 4 giải: nhất, nhì, ba, tư. Khi được hỏi: Bạn Dũng đạt giải mấy thì 4 bạn trả lời:

    • An: Tôi nhì, Bình nhất.
    • Bình: Tôi cũng nhì, Dũng ba.
    • Cường: Tôi mới nhì, Dũng tư.
    • Dũng: 3 bạn nói có 1 ý đúng 1 ý sai.

    Em cho biết mỗi bạn đạt mấy?

    Bài 2: Tổ toán của 1 trường phổ thông trung họccó 5 người: Thầy Hùng, thầy Quân, cô Vân, cô Hạnh và cô Cúc. Kỳ nghỉ hè cả tổ được 2 phiếu đi nghỉ mát. Mọi người đều nhường nhau, thày hiệu trưởng đề nghị mỗi người đề xuất 1 ý kiến. Kết quả như sau:

    1. Thày Hùng và thày Quân đi.
    2. Thày Hùng và cô Vân đi
    3. Thày Quân và cô Hạnh đi.
    4. Cô Cúc và cô Hạnh đi.
    5. Thày Hùng và cô Hạnh đi.

    Cuối cùng thày hiệu trưởng quyết định chọn đề nghị của cô Cúc, vì theo đề nghị đó thì mỗi đề nghị đều thoả mãn 1 phần và bác bỏ 1 phần. Bạn hãy cho biết ai đã đi nghỉ mát trong kỳ nghỉ hè đó?

    Bài 3: Ba bạn Quân, Hùng và Mạnh vừa đạt giải nhất, nhì và ba trong kỳ thi toán quốc tế. Biết rằng:

    1. Không có học sinh trường chuyên nào đạt giải cao hơn Quân.
    2. Nếu Quân đạt giải thấp hơn một bạn nào đó thì Quân không phải là học sinh trường chuyên.
    3. Chỉ có đúng 1 bạn không phải là học sinh trường chuyên
    4. Nếu Hùng và Mạnh đạt giải nhì thì mạnh đạt giải cao hơn bạn quê ở Hải Phòng.

    Bạn hãy cho biết mỗi bạn đã đạt giải nào? bạn nào không học trường chuyên và bạn nào quê ở Hải Phòng.

    Bài 4: Thày Nghiêm được nhà trường cử đưa 4 học sinh Lê, Huy, Hoàng, Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả có 3 em đạt giải nhất, nhì, ba và 1 em không đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả các em trả lời như sau:

    • Lê: Mình đạt giải nhì hoăc ba.
    • Huy: Mình đạt giải nhất.
    • Hoàng: Mình đạt giải nhất.
    • Tiến: Mình không đạt giải.

    Nghe xong thày Nghiêm mỉm cười và nói: “Chỉ có 3 bạn nói thật, còn 1 bạn đã nói đùa”. Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải.

    Bài 5: Cúp Euro 96 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Đức, Cộng hoà Séc, Anh và Pháp. Trước khi thi đấu 3 bạn Hùng, Trung vàĐức dự đoán như sau:

    • Hùng: Đức nhất và Pháp nhì
    • Trung: Đức nhì và Anh ba
    • Đức: Cộng hoà Séc nhì và Anh tư.

    Kết quả mỗi bạn dự đoán một đội đúng, một đội sai. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?

    Bài 6. Trong Hội khoẻ Phù Đổng, đội tuyển của bốn trường tiểu học: Hoà Bình, Nguyễn Du, Hoàng Diệu và Điện Biên lọt vào vòng bán kết thi đấu cầu. Trước khi vào đấu vòng bán kết, ba bạn Nam, Bình và Quân dự đoán như sau:

    • Nam: Hoà Bình giải nhì còn Nguyễn Du giải ba
    • Bình: Hoàng Diệu giải nhì còn Nguễn Du giải tư
    • Quân: Hoà Bình giải Nhất còn Điện Biên giải nhì

    Kết quả mỗi bạn đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi trường đã đạt giải mấy?

    Bài 7. Năm cô giáo Nga, Dung, Cúc, Hồng và Anh dạy năm khối 1, 2, 3, 4 và 5. Khi được hỏi các cô dạy lớp mấy thì các cô trả lời như sau:

    • Cô Nga: Tôi dạy khối 1 còn cô Hòng dạy khối 4
    • Cô Dung: Tôi cũng dạy khối 1 còn cô Cúc dạy khối 5
    • Cô Cúc: Tôi cũng dạy khối 1 còn cô Hòng dạy khối 2
    • Cô Hồng: Tôi dạy khối 4 còn cô Anh dạy khối 3
    • Cô Anh: Tôi dạy khối 3 còn cô Nga dạy khối 2

    Nếu không ai trả lời sai hoàn toàn thì mỗi cô dạy lớp mấy?

    Bài 8. Các bạn Cháu ngoan Bác Hồ của trường tiểu học Kim Liên đi tham quan danh lam thắng cảnh của thủ đô Hà Nội. Buổi trưa cả đoàn rẽ vào quán ăn trưa. Thực đơn của quán có tám món; Thịt lợn kho, lạc rang, trứng rán, đậu sốt, rau luộc, cá rán, dưa chua và canh măng. Toàn đoàn thống nhất sẽ gọi 3 món trong thực đơn của bữa ăn. Nguyện vọng của các bạn chia thành 5 nhóm như sau:

    • Nhóm 1: Thịt kho, lạc rang và trứng rán
    • Nhóm 2: Đậu sốt, rau luộc và cá rán
    • Nhóm 3: Rau luộc, cá rán và dưa chua
    • Nhóm 4: Lạc rang, dưa chua và canh măng
    • Nhóm 5. Thịt lợn kho, rau luộc và canh măng

    Cuối cùng các bạn nhất trí với thực đơn của liên đội trưởng, và theo thực đơn đó, mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích.
    Hỏi toàn đoàn hôm đó đã chọn những món ăn nào?

    Bài 9. Trong đại hội cháu ngoan Bác Hồ, bốn bạn Tâm, Đào, Nghĩa và Thảo là học sinh của bốn quận trong thủ đô Hà Nội. Khi hỏi các bạn là học sinh của quận nào thì bạn Cúc nhận được câu trả lời như sau:

    • Tâm: Đào ở quận Hoàn Kiếm, còn mình ở Đống Đa
    • Đào: Mình ở Đống Đa, còn Nghĩa ở Hoàn Kiếm
    • Nghĩa: Mình ở Hai Bà, còn Thảo ở Ba Đình
    • Thảo xưa nay vốn là người thật thà khong thích nói đùa nên nói với Cúc: “Trong câu trả lời của mỗi bạn đều có một phần đúng và một phần sai”

    Hỏi mỗi bạn ở Quận nào?

    Bài 10. Gia đình Hoa có 6 người: ông, bà, bố, m, Hoa và em Đào. Ngày chủ nhật gia đình dự định đi xem xiếc nhưng chỉ mua được ba vé. Mọi người trong gia đình đề xuất 5 ý kiến:

    1. Ông, bố và em Đào đi
    2. Bố, mẹ và Hoa đi
    3. Bà, mẹ và Hoa đi
    4. Ông, bà và em Đào đi
    5. Bà, mẹ vè em Đào đi

    Cuối cùng mọi người đồng ý với đề nghị của ông vì theo đề nghị đó thì mỗi đề nghị còn lại không có đề nghị nào bị bác bỏ hoàn toàn.
    Hỏi gia đình Hoa hôm đó có những ai đi xem xiếc?

    Bài 11. Thầy Minh được trường cử đưa bốn học sinh Lê, Huy, Hoàng và Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả có ba em đạt giải nhất, nhì, ba và một bạn không đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả, các em trả lời như sau:

    • Lê: Mình đạt giả nhì hoặc ba
    • Huy: Mình đã đạt giải
    • Hoàng: Mình đạt giải nhất
    • Tiến: Mình không đạt giải
    • Nghe xong thầy Minh mỉm cười:”Chí có ba bạn nói thật, còn một bạn nói đùa”.

    Bạn hãy cho biết ai nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải?

    Bài 12. Bốn bạn Lan, Hà, Đức và Vân được nhà trường của di thi bốn môn: bóng bàn, cờ vua, đá cầu và nhảy cao tại Hội khoẻ Phù Đổng. Khi được hỏi mỗi bạn thi đấu môn gì, các bạn trả lời như sau:

    • Lan: Mình thi đấu đá cầu hoặc đấu cờ vua
    • Hà: Mình không thi nhảy cao
    • Đức: Mình thi đấu bóng bàn
    • Văn: Mình thi nhảy cao

    Nếu chỉ có ba bạn trả lời đúng, còn một bạn trả lời sai thì hai bạn Hà và Văn đã tham gia thi đấu môn gì?

  • Bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối

    Bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối

    Bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối

    Phương pháp tính ngược sử dụng để giải các bài toán khó nằm trong chương trình toán nâng cao lớp 5.

    1. Phương pháp tính ngược từ cuối là gì?

    • Khi giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp từ cuối lên các phép tính ngược lại với các phép tính đã cho trong đề bài. Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm.
    • Cách làm này chính là phương pháp tính ngược từ cuối, phương pháp tính ngược hoặc đôi khi còn gọi là phương pháp suy ngược từ cuối.
    • Một số phép tính ngược của nhau:
      • Phép tính ngược của phép cộng $+$ (thêm vào, tăng lên) là phép trừ $-$ (bớt đi, giảm đi)
      • Phép tính ngược của phép trừ $-$ là phép cộng $+$
      • Phép tính ngược của phép nhân $\times $ (gấp lên bao nhiêu lần) là phép chia $:$ (giảm đi bao nhiêu lần)
      • Phép tính ngược của phép chia $:$ là phép nhân $\times $

    Xem thêm: 120 BÀI TOÁN THI VIOLYMPIC  LỚP 5

    2. Một số bài toán giải bằng phương pháp tính ngược

    Ví dụ 1. Tìm một số, biết rằng tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với $16$ rồi bớt đi $4$ và cuối cùng chia cho $3$ ta được kết quả bằng $12$.

    Phân tích: Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy các phép tính dưới đây:

    $ \times 2$, $+ 16$, $- 4$, $: 3$ cho kết quả cuối cùng bằng $12$.

    Như vậy, chúng ta sẽ lấy kết quả cuối cùng là $12$ và lần lượt thực hiện từ cuối lên các phép tính ngược với các phép tính trên:

    $\times 3$, $+4$, $-16$ và cuối cùng là $:2$

    Từ phân tích trên ta đi đến lời giải như sau đây.

    Lời giải.

    Số trước khi chia cho $3$ là:

    $12 \times 3 = 36$

    Số trước khi bớt đi $4$ là:

    $36 + 4 = 40$

    Số trước khi cộng với $16$ là:

    $40-16 = 24$

    Số cần tìm là:

    $24 : 2 = 12$

    Đáp số: Số cần tìm là $12$.

    Ví dụ 2. Tìm một số biết rằng số đó lần lượt cộng với $1$ rồi nhân với $2$, được bao nhiêu đem chia cho $3$ rồi trừ đi $4$ thì được $5$.

     

    Dãy phép tính đã thực hiện là:

    $+1$, $\times 2$, $:3$, $-4$

    Do đó, chúng ta sẽ lấy kết quả cuối cùng và lần lượt thực hiện các phép tính ngược lại sau:

    $+4$, $\times 3$, $:2$, $-1$

    Lời giải.

    Số trước khi trừ đi $4$ là

    $5+4=9$

    Số trước khi chia cho $3$ là:

    $9\times 3=27$

    Số trước khi nhân $2$ là:

    $27 : 2 = 13{,}5$

    Vậy số phải tìm là:

    $ 13{,}5-1=12{,}5$

    Ví dụ 3. Hằng có một số tem thư, Hằng đã cho bạn $\frac{1}{2}$ số tem đó và thêm $1$ cái nữa thì còn lại $9$ cái. Hỏi lúc đầu Hằng có bao nhiêu tem thư?

    Phân tích. Ta có thể hiểu bài toán này như sau: Tìm một số biết rằng số đó chia cho $2$ rồi trừ $1$ thì được kết quả là $9$.

    Lời giải. Nếu không cho bạn thêm một cái nữa thì số tem thư Hằng có là:

    $9+1=10$ (cái)

    Đây chính là $\frac{1}{2}$ số tem lúc đầu, do đó số tem lúc đầu Hằng có là:

    $10\times 2=20$ (cái)

    Vậy lúc đầu Hằng có $20$ tem thư.

    Ví dụ 4. Nhà Lan nuôi được một đàn gà. Tuần trước mẹ bán $\frac{2}{3}$ đàn gà. Tuần này mẹ bán $\frac{3}{4}$ số gà còn lại và $\frac{1}{4}$ con nữa thì đàn gà nhà Lan còn lại $3$ đôi gà. Hỏi đàn gà nhà Lan có tất cả bao nhiêu con?

    Lời giải.

    Đổi $3$ đôi gà = $6$ con gà. Chúng ta thấy:

    • Bán $\frac{2}{3}$ đàn gà thì số gà còn lại là $\frac{1}{3}$ đàn gà.
    • Bán $\frac{3}{4}$ số gà thì còn lại $\frac{1}{4}$ số gà.

    Do đó, bài toán tương đương với việc: Tìm một số biết đem số đó nhân với $\frac{1}{3}$ rồi nhân với $\frac{1}{4}$ và trừ đi $\frac{1}{4}$ thì được kết quả là $6$. Các phép tính đã thực hiện là

    $\times \frac{1}{3}$, $\times \frac{1}{4}$, $-\frac{1}{4}$

    Do đó, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từ cuối lên các phép tính ngược của mỗi phép tính trên.

    Có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng sau để dễ hình dung:

    phương pháp tính ngược từ cuối

    Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là:

    $\left(6 + \frac{1}{4}\right) \times 4 = 25$ con.

    Số gà của cả đàn là:

    $25\times 3 = 75$ con.

    Ví dụ 5. Dì Út đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất bán một nửa số trứng cộng thêm 1 quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm 2 quả và lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại sau hai lần bán cộng thêm 3 quả thì vừa hết số trứng.

    Hỏi dì Út đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng?

    Phân tích. Bài toán tương đương với: Tìm một sốbiết rằng đem số đó chia cho $2$, trừ $1$, chia $2$, trừ $2$, chia $2$, trừ $3$ thì được kết quả bằng $0$.

    Lời giải.

    Lần thứ ba, dì Út bán một nửa số trứng và $3$ quả thì vừa hết, chứng tỏ $3$ quả trứng tương ứng với một nửa số trứng của lần bán đó.

    Số trứng còn lại sau khi bán lần 2 là:

    $3\times 2 = 6$ quả.

    Số trứng còn lại sau khi bán lần 1 là:

    $(6 + 2)\times 2 = 16$ quả.

    Số trứng ban đầu là:

    $(16 + 1)\times 2 = 34$ quả.

    Đáp số: $34$ quả trứng.

    Ví dụ 6. Lớp 5A tham gia học may, ngày thứ nhất có $\frac{1}{6}$ số học sinh của lớp và $2$ em tham gia, ngày thứ hai có $\frac{1}{4}$ số em còn lại và $1$ em tham gia, ngày thứ ba có $\frac{2}{5}$ số còn lại sau $2$ ngày và $3$ em tham gia. Ngày thứ tư có $\frac{2}{5}$ số còn lại sau hai ngày và $1$ em tham gia. Cuối cùng còn lại $5$ em chưa tham gia. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh ?

    Lời giải.

    Ta có sơ đồ sau:

    phuong phap bai toan tinh nguoc tu cuoi

    Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ ba là:

    $( 5 + 1 ) : 3 \times 5 = 10$ (em)

    Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ hai là:

    $( 10 + 2 ) : 3 \times 5 = 20$ (em)

    Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ nhất là:

    $( 20 + 1 ) : 3 \times 4 = 28$ (em)

    Số em học sinh ban đầu là:

    $( 28 + 2 ) : 5 \times 6 = 36$ (em)

    Đáp số: $36$ em.

    3. Bài tập phương pháp tính ngược từ cuối

    Bài 1. Tìm số tự nhiên để khi nhân số đó với 12345679 thì được một số gồm toàn chữ số 9.

    Bài 2. Tìm một số biết rằng số đó nhân với 4, được bao nhiêu đem cộng với 4 thì được kết quả là 7744.

    Bài 3. Cho ba số có tổng bằng 45. Nếu chuyển 3 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ hai và chuyển 2 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ nhất thì được ba kết quả bằng nhau. Hãy tìm ba số đã cho.

    Bài 4: Căn phòng có 4 bức tường, trên mỗi bức tường treo 3 lá cờ mà khoảng cách giữa 3 lá cờ trên một bức tường là như nhau. Bạn có biết căn phòng treo mấy lá cờ không?

    Bài 5. Có 3 kho gạo với tổng số gạo là 210 tấn. Nếu chuyển 20 tấn gạo từ kho A sang kho B, rồi chuyển 50 tấn gạo từ kho B sang kho C thì số gạo ở kho C sẽ gấp đôi số gạo ở kho B, số gạo ở kho B sẽ gấp đôi số gạo ở kho A. Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

    Bài 6: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn?

    Bài 7: Có một giống bèo cứ mỗi ngày lại nở tăng gấp đôi. Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ một cây bèo thì 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ. Vậy nếu ban đầu cho vào 16 cây bèo thì mấy ngày sau bèo phủ kín mặt hồ?

    Bài 8: Tìm một số biết số đó chia cho 3, được bao nhiêu cộng với 5, rồi nhân với 4 thì được 60.

    Bài 9: Một đội xe chở kẹo, mỗi xe chở 28 thùng kẹo, mỗi thùng kẹo chứa 24 hộp kẹo, mỗi hộp kẹo chứa 32 viên kẹo. Biết rằng cả đội xe chở được 107520 viên kẹo. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc xe?

    Bài 10: Bình đi chợ đem theo một số tiền, Bình mua sách hết 2/3 số tiền mang theo, mua vở hết 3/4 số tiền còn lại, cuối cùng mua một cây bút giá 3000 đồng thì hết số tiền. Hỏi Bình đem theo bao nhiêu tiền?

    Bài 11. Kiên và Hiển cùng chơi như sau: Nếu Kiên chuyển cho Hiển một số bi đúng bằng số bi mà Hiển đang có, rồi Hiển lại chuyển cho Kiên một số bi đúng bằng số bi còn lại của Kiên thì cuối cùng Hiển có 35 viên bi và Kiên có 30 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Bài 12. Lọ Lem chia một quả dưa (dưa đỏ) thành 9 phần cho 9 cụ già. Nhưng khi các cụ ăn xong, Lọ Lem thấy có 10 miếng vỏ dưa. Lọ Lem chia dưa kiểu gì ấy nhỉ?

    Bài 13. Có ba đội Thiếu niên A, B, C với tổng số đội viên khoảng 40 đến 50 bạn. Để chuẩn bị tham gia lao động, nhà trường dự định chia số đội viên bằng số đội viên đang có của đội B, rồi chuyển từ đội B sang đội C một số đội viên bằng số đội viên của đội C. Cuối cùng chuyển từ đội C sang đội A một số đội viên bằng số đội viên còn lại của đội A. Sau ba lần chuyển như vậy thì số đội viên ở ba đội sẽ bằng nhau. Hãy tính số đội viên ở mỗi đội Thiếu niên lúc chưa chuyển.

    Bài 14. Nhà bạn Hải nuôi được một số thỏ. Đợt một bán đi một phần ba số thỏ, đợt hai bán đi một phần ba số thỏ còn lại, đợt ba bán đi một phần ba số thỏ còn lại sau 2 đợt, cuối cùng còn lại 8 con thỏ. Hỏi nhà bạn Hải nuôi được bao nhiêu con thỏ?

    Bài 15. (Toán cổ) Một người đem bán một số gà. Lần đầu bán 2 con gà, lần thứ hai bán ½ số gà còn lại và ½ con gà, lần thứ ba bán ½ số gà còn lại sau hai lần và ½ con gà, lần cuối cùng bán ½ số gà còn lại sau ba lần và ½ con gà vừa hết số gà đem bán. Hỏi người đó đã bán tất cả mấy con gà?

    Bài 16. (Toán cổ) Người qua đường hỏi một cụ già đang cưỡi ngựa: “Làm sao mà trông cụ buồn phiền vậy?”. Cụ già đáp lại: “ Làm sao mà chẳng buồn phiền? Một nửa đàn ngựa của tôi và thêm một con nữa bị lạc xuống phía Nam, một nửa số ngựa còn lại sau hai lần đó và thêm một nửa con nữa chạy qua phía Tây,một nửa con ngựa còn lại cuối cùng và thêm một nửa con nữa tôi đã đem bán ở phía Bắc. Bây giờ tôi chỉ còn lại một con ngựa mà tôi đang cưỡi đây”. Hãy tính xem lúc đầu cụ già có tất cả bao nhiêu con ngựa?

    Bài 17. (Toán cổ) Một tên tham lam gặp con quỷ ở cạnh chiếc cầu. Tên này than phiền với con quỷ về nỗi nghèo khổ của mình. Con quỷ nói rằng “Tôi có thể giúp anh. Cứ mỗi lần anh đi qua cầu thì số tiền của anh sẽ được tăng gấp đôi, nhưng ngay sau đó anh phải trả lại cho tôi 24 xu. Bằng lòng chứ?” Tên tham lam bằng lòng như thế. Sau khi hắn đi qua cầu lần thứ ba thì thấy trong túi của mình không còn một xu nào. Hỏi lúc đầu tên tham lam có bao nhiêu tiền?

    Bài 18. Một người cha khi chết để lại di chúc phân chia gia tài cho bốn người con như sau:

    • Người con cả được một nửa gia tài bớt đi 3000 đồng.
    • Người con thứ hai được 1/3 gia tài còn lại bớt đi 1000 đồng.
    • Người con thứ ba được đúng 1/4 gia tài còn lại.
    • Người con út được 1/5 gia tài còn lại và 6000 đồng còn lại.

    Hỏi cả gia tài của người cha có bao nhiêu tiền và mỗi người con được chia bao nhiêu?