O₂ Education

Tag: véc-tơ

  • TỔNG HỢP BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10

    TỔNG HỢP BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10

    TỔNG HỢP BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Chứng minh các đẳng thức vectơ

    Ví dụ 1. Cho 6 điểm $A, B, C, D, E, F$. Chứng minh rằng: (bằng nhiều cách khác nhau)

    1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$
    2. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$
    3. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ với $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $AB, BC, CA$. Chứng minh rằng:

    1. $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{O}$
    2. $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}$
    3. $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{O}$

    Ví dụ 3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm $A, B$.

    1. Cho $M$ là trung điểm $A, B$. Chứng minh rằng với điểm $I$ bất kì ta có: $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$$
    2. Với điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{NA}=-2\overrightarrow{NB}$. Chứng minh rằng với $I$ bất kì: ta có $$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=3\overrightarrow{IN}$$
    3. Với điểm $P$ sao cho $\overrightarrow{PA}=3\overrightarrow{PB}$. Chứng minh rằng với $I$ bất kì ta có $$\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=-2\overrightarrow{IP}$$

    Ví dụ 3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác.

    1. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{O}$. Với $I$ bất kì ta có: $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$$
    2. Điểm $M$ thuộc đoạn $AG$ và $MG=\frac{1}{4}GA$. Chứng minh rằng:$$2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$$
    3. Với $I$ bất kì, chứng minh rằng $$2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IM}$$
    4. Cho hai tam giác $ABC$ và DEF có trọng tâm là $G$ và $G’$. Chứng minh rằng: $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{GG’}$$ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

    Ví dụ 4. (Hệ thức về hình bình hành) Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$.

    1. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{O}$
    2. Với $I$ bất kì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=4\overrightarrow{IO}$

    Ví dụ 5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng:

    1. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$
    2. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$
    3. Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{O}$$
    4. Với điểm $M$ bất kì, Chứng minh rằng: $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MI}$$

    Ví dụ 6. (Khái niệm trọng tâm của hệ $n$ điểm và tâm tỉ cự của hệ $n$ điểm) Cho $n$ điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$.

    1. Gọi $G$ là điểm thoả mãn $$\overrightarrow{G{{A}_{1}}}+\overrightarrow{G{{A}_{2}}}+…+\overrightarrow{G{{A}_{n}}}=\overrightarrow{O}.$$ Chứng minh rằng với điểm $M$ bất kì ta luôn có$$\overrightarrow{M{{A}_{1}}}+\overrightarrow{M{{A}_{2}}}+…+\overrightarrow{M{{A}_{n}}}=n\overrightarrow{MG}.$$
    2. Gọi $I$ là điểm thoả mãn ${{n}_{1}}\overrightarrow{IA_1}+n_2\overrightarrow{G{{A}_{2}}}+…+{{n}_{n}}\overrightarrow{G{{A}_{n}}}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh rằng với $M$ bất kì: $${{n}_{1}}\overrightarrow{M{{A}_{1}}}+{{n}_{2}}\overrightarrow{M{{A}_{2}}}+…+{{n}_{n}}\overrightarrow{M{{A}_{n}}}=({{n}_{1}}+..+{{n}_{n}})\overrightarrow{MG}$$

    Ví dụ 7.

    1. Cho lục giác đều $ABCDEF$. Chứng minh rằng hai tam giác $ACE$ và $BDF$ cùng trọng tâm.
    2. Cho lục giác $ABCDEF$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD, EF, BC, DE, FA$. Chứng minh rằng hai tam giác $MNP$ và $QRS$ cùng trọng tâm.
    3. Cho hai tam giác $ABC$ và $A’,B’,C’$ là các điểm thuộc $BC, CA, AB$ sao cho:$$\overrightarrow{{{A}’}B}=k\overrightarrow{{{A}’}C},\overrightarrow{{{B}’}C}=k\overrightarrow{{{B}’}A},\overrightarrow{{{C}’}A}=k\overrightarrow{{{C}’}B}$$ và $k\ne 1$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ cùng trọng tâm.
    4. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh rằng hai tam giác $ANP$ và $CMQ$ cùng trọng tâm.

    Ví dụ 8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)

    Cho tam giác $ABC$ có $G, H, O, I$ lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng:

    1. $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
    2. $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
    3. $2\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$
    4. $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$
    5. $\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{O}$
    6. Gọi $M$ là điểm bất kì nằm trong tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: ${{S}_{BCM}}\overrightarrow{IA}+{{S}_{ACM}}\overrightarrow{IB}+{{S}_{ABM}}\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$ ($M$ nằm ngoài thì không còn đúng).

    Ví dụ 9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA$. Gọi $K$ là trung điểm $MN$.

    1. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.
    2. $D$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng:  $\overrightarrow{KD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Biểu diễn véc tơ

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm. Lấy $B_1$ đối xứng với $B$ qua $G$. $M$ là trung điểm $BC$. Hãy biểu diễn các véc tơ $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{C{{B}_{1}}},\overrightarrow{A{{B}_{1}}},\overrightarrow{M{{B}_{1}}}$ qua hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI = 3BI$ và $J$ thuộc $BC$ kéo dài sao cho $5JB = 2JC$.

    1. Tính $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$ theo hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$. Từ đó biểu diễn $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$.
    2. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác. Tính $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$.

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

    Phương pháp: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

    Lưu ý: $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{x}+n\overrightarrow{y},\overrightarrow{AC}=km\overrightarrow{x}+kn\overrightarrow{y}$ thì $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$.

    1. Gọi $P, Q$ là trung điểm $MN$ và $BC$. Chứng minh $A, P, Q$ thẳng hàng.
    2. Gọi $E, F$ thoả mãn: $\overrightarrow{ME}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Chứng minh $A, E, F$ thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, có $E$ là trung điểm $AB$ và $F$ thuộc đoạn $AC$ thoả mãn $AF = 2FC$.

    1. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là điểm thoả mãn $4EI = 3FI$. Chứng minh $A, M, I$ thẳng hàng.
    2. Lấy $N$ thuộc $BC$ sao cho $BN = 2 NC$ và $J$ thuộc $EF$ sao cho $2EJ = 3JF$. Chứng minh $A, J, N$ thẳng hàng.
    3. Lấy điểm $K$ là trung điểm $EF$. Tìm $P$ thuộc $BC$ sao cho $A, K, P$ thẳng hàng.

    Xem thêm tại Chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

    Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ và M, N, P là các điểm thoả mãn: $\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$, $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$, $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh rằng: $M, N, P$ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA},\text{ }\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$.

    Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ và $L, M, N$ thoả mãn $\overrightarrow{LB}=2\overrightarrow{LC},$$\overrightarrow{MC}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh $L, M, N$ thẳng hàng.

    Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm. $I, J$ thoả mãn: $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$, $2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{O}$.

    1. Chứng minh rằng: $M, N, J$ thẳng hàng với $M, N$ là trung điểm $AB$ và $BC$.
    2. Chứng minh rằng $J$ là trung điểm $BI$.
    3. Gọi $E$ là điểm thuộc $AB$ và thoả mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AB}$. Xác định $k$ để $C, E, J$ thẳng hàng.

    Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$. Gọi $I, J$ là hai điểm thoả mãn: $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}, 3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{O}$. Chứng minh đường thẳng $IJ$ đi qua $G$.

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ

    Đặt Vấn đề:  Cho hai điểm $A, B, C$ cố định.

    1. Nếu $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{O}$ thì $P$ là trung điểm của $AB$.
    2. Nếu $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{O}$ thì $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
    3. Nếu $P$ là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của $P$ hay không?

    Ví dụ 1.  Cho hai điểm $A,B$. Xác định vị trí điểm $I$ thoả mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{O}$.

    Nhận xét. Với hai điểm $A, B$ cho trước luôn xác định được điểm $I$ thoả mãn: $$m\overrightarrow{IA}+n\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{O}$$ Với điểm O bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}$.

    Ví dụ 2. Bài toán 3 điểm. Cho 3 điểm $A, B, C$. Tìm vị trí điểm $M$  sao cho:

    1. $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$
    2. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    3. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    4. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    5. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    6. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Tìm quĩ tích thoả mãn một đẳng thức véc tơ

    Một số quĩ tích cơ bản:

    1. $\left| \overrightarrow{MA} \right|=\left| \overrightarrow{MB} \right|$ thì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.
    2. $\left| \overrightarrow{MC} \right|=k\left| \overrightarrow{AB} \right|$, với $A, B, C$ cố định thì $M$ nằm trên đường tròn tâm $C$ bán kính $k.AB$.
    3. $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{BC}$ với $A, B, C$ cho trước:
      • $k > 0$ thì $M$ nằm trên nửa đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$ và theo hướng $\overrightarrow{BC}$.
      • $k< 0$
      • $k$ bất kì.

    Dạng 1. (Bài toán hai điểm)

    Ví dụ 1. Cho hai điểm $A,B$ cố định. Tìm quĩ tích điểm $M$ sao cho:

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=2\left| \overrightarrow{AB} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{AB} \right|$
    3. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=2\left| \overrightarrow{MA} \right|$
    4. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MA} \right|$
    5. $\left| 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|$

    Dạng 2. (Bài toán 3 điểm)

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$. Tìm quĩ tích điểm $M$ sao cho:

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\frac{3}{2}\left| \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|$
    3. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$
    4. $\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$

    Ví dụ 3. Tìm quĩ tích điểm $M$ sao cho:

    1. $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
    2. $k\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}$
    3. $(1-k)\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Một số bài toán về khoảng cách

    Ví dụ 1 Cho hai điểm $A, B$ và đường thẳng $d$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất?

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$
    3. $\left| 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|$
    4. $\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$
    5. $\left| 2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB} \right|$

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $d$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất.

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    3. $\left| 3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
    4. $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$

    Ví dụ 3. Cho tứ giác $ABCD$ và đường thẳng $d$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất.

    1. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} \right|$
    2. $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD} \right|$
    3. $\left| 3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \right|$
    4. $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \right|$
    5. $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{AB} \right|$

    BÀI TẬP VECTƠ LỚP 10: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định

    Ví dụ 1. (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm $A, B$ cố định. Hai điểm $M, N$ di động. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định nếu:

    • Với $I$ là trung điểm $AB$ thì: $$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$$
    • Nếu $M, I, N$ thẳng hàng thì khi đó: $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}$, hay nói cách khác là đường thẳng $MN$ đi qua điểm $I$ cố định.

    Từ đó dẫn dắt vào bài toán bằng cách thay điểm $I$ bằng điểm bất kì:

    1. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$
    2. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}$
    3. $\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$
    4. $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$

    Ví dụ 2. (Bài toán 3 điểm). Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định nếu (Xác định vị trí điểm cố định và điểm $N$ trong mỗi trường hợp)

    1. $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MN}$
    2. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    3. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    4. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    5. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$
    6. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$

  • Bài tập trắc nghiệm Tổng của hai véc-tơ

    Bài tập trắc nghiệm Tổng của hai véc-tơ

    Các em truy cập link sau để làm https://forms.office.com/r/5YjEdbDtxp hoặc làm trực tiếp ở phần dưới đây

  • Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

    Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

    Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

    Phần lý thuyết, mời thầy cô và các em xem trong bài Tích vô hướng của hai vectơ. Dưới đây là các bài tập tự luyện.

    Bài 1. Cho hình vuông \( ABCD \) cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

    Bài 2. Cho tam giác $ ABC$ có $\widehat{A}=90^\circ;\widehat{B}=60^\circ$ và $AB=a$. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$.

    Bài 3. Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tại \( A \) có $AB=AC=a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\;\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$.

    Bài 4. Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}$.

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=5$ cm, $BC=7$ cm, $CA=8$ cm.

    1. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra giá trị của góc \( A \).
    2. Tính $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$.

    Bài 6. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=6$ cm, $BC=11$ cm, $CA=8$ cm.

    1. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra góc A tù.
    2. Trên cạnh \( AB \) lấy \( M \) sao cho $AM=2$ cm và gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \). Tính $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}$.

    Bài 7. Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho $A=(4;6),B(1;4)$ và $C(7;\frac{3}{2})$.

    1. Chứng minh tam giác $ ABC$ vuông tại \( A \).
    2. Tính độ dài các cạnh $AB,AC,BC$.

    Bài 8. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:

    1. $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{b}=(-1;-3)$.
    2. $\overrightarrow{a}=(3;-4)$ và $\overrightarrow{b}=(4;3)$.
    3. $\overrightarrow{a}=(2;5)$ và $\overrightarrow{b}=(3;-7)$.

    Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm $A(2;4)$ và $B(1;1)$. Tìm tọa độ điểm \( C \) sao cho tam giác $ ABC$ là tam giác vuông cân tại \( B \).

    Bài 10. Cho tam giác $ ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.

    1. Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ ABC$.
    2. Tìm tọa độ điểm \( M \) biết $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.
    3. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$.

    Bài 11. Cho tam giác $ ABC$. Với điểm \( M \) tùy ý, chứng minh rằng $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$$

    Bài 12. Cho \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( M \) là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=OM^2 – OA^2$.

    Bài 13. Cho tam giác $ ABC$ có ba đường trung tuyến là \( AD, BE, CF \). Chứng minh rằng $$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CF}=0$$

    Bài 14. Cho tam giác $ ABC$ có góc \( A \) nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác $ ABC$ các tam giác vuông cân đỉnh \( A \) là \( ABD \) và \( ACE \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh: $AM\perp DE$.

    Bài 15. Cho hình chữ nhật \( ABCD \) có $AB=a$ và $AD=a\sqrt{2}$. Gọi \( K \) là trung điểm của cạnh \( AD \). Chứng minh $BK\perp AC$.

    Bài 16. Cho tam giác $ ABC$ cân tại \( A \). Gọi \( H \) là trung điểm của cạnh \( BC \), \( D \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên cạnh \( AC \), \( M \) là trung điểm của đoạn \( HD \). Chứng minh $AM\perp BD$.

    Bài 17. Cho tam giác $ ABC$. Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2$.

    Bài 18. Cho tứ giác \( ABCD \) có hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau và cắt nhau tại \( M \). Gọi \( P \) là trung điểm của \( AD \). Chứng minh: $$MP\perp BC \Longleftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MD}$$

  • Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ (phép toán tổng của hai vecto, hiệu của hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và ứng dụng để chứng minh đẳng thức véc-tơ, xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ, chứng minh thẳng hàng, song song, tìm tập hợp điểm…

    Xem thêm:

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài 1. Cho bốn điểm phân biệt $ A, B, C, D. $ Dựng các vectơ tổng $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CD} $, $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} $.

    Bài 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ: $$ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}, \vec{v}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

    Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng $a$. Hãy tính $$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}|;|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|;|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}|.$$
    Đáp số. $\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;a\sqrt{2}$.

    Bài tập chứng minh đẳng thức vecto

    Bài 1. Cho bốn điểm $ A, B, C, D $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

    Bài 2. Cho năm điểm $ A, B, C, D, E $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.

    Bài 3. Chứng minh rằng với mọi điểm $ A,B,C,D,E,F,G $ tùy ý ta luôn có:

    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} $
    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB} $
    • $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE} $
    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{GF} $

    Bài 4. Gọi $ O $ là tâm của hình bình hành $ ABCD $. Chứng minh rằng:

    • $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$
    • $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}$
    • $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
    • $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ với điểm $ M $ tùy ý.

    Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$ và $BC$. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kỳ ta có
    $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.$

    Bài 6. Cho tam giác $ \Delta ABC $ có $A’,B’,C’$ là trung điểm các cạnh $ BC,CA,AB. $ Chứng minh $ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec{0}. $

    Bài 7. Cho tứ giác $ ABCD. $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB, CD. $ Điểm $ K $ là điểm đối xứng của $ M $ qua $ N. $ Chứng minh $$ \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}. $$

    Bài 8. Cho tam giác $ ABC $, dựng bên ngoài tam giác các hình bình hành $ ABIJ,BCPQ,CARS. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec{0}$.

    Bài 9. Cho tứ giác lồi $ ABCD. $ Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD. $

    • Chứng minh $ \overrightarrow{ AC}+\overrightarrow{ BD}=\overrightarrow{ AD}+\overrightarrow{{BC}}=2 \overrightarrow{ EF} $.
    • Gọi $ G $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=2 \overrightarrow{EF}$.

    Bài 10. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ M,N $ là trung điểm của $ AD,BC $ và $ O $ là điểm trên đoạn $ MN $ sao cho $ OM=2ON. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $$

    Bài 11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là một điểm bất kỳ trên đường chéo $AC$. Qua $O$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt $AB$ và $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$, cắt $AD$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng:

    • $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.
    • $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}$.

    Bài 12. Gọi $ G,G’ $ là trọng tâm hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $. Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=3\overrightarrow{GG’}. $$ Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

    Bài 13. Cho lục giác $ ABCDEF $ có $ M, N, P, Q, R, S $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB, BC, CD, DE, EF $ và $ FA. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ MPR $ và $ NQS $ có cùng trọng tâm.

    Hướng dẫn. Giả sử điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ MPR $ thì
    \begin{align*}
    \overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GA}) \\
    &=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})\\
    &=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}\\
    &=\vec{0}.
    \end{align*}

    Bài 14. Cho tứ giác $ABCD$, biết rằng tồn tại điểm $ O $ sao cho các véc-tơ $ \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau và $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng $ABCD$ là hình chữ nhật.

    Hướng dẫn. Gọi $ E,F,G,H $ là trung điểm các cạnh. Từ $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $ suy ra $ O $ là trung điểm của $ EG $ và $ HF. $ Mặt khác, các véc-tơ $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau nên $ OA=OB=OC=OD. $ Từ đó suy ra tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

    Bài 15. Cho $ \Delta ABC $ có $ M $ là trung điểm của $ BC,G$ là trọng tâm, $ H $ là trực tâm, $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh:

    • $ \overrightarrow{ AH}=2 \overrightarrow{ OM} $,
    • $ \overrightarrow{ OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OC}=\overrightarrow{ OH}=3\overrightarrow{OG} $,
    • $ \overrightarrow{ HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ HC}=2 \overrightarrow{ HO}=3\overrightarrow{HG} $,
    • $ \overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OI} $.

    Hướng dẫn. Gọi $A’$ đối xứng với $ A $ qua $ O $ thì $ BHCA’ $ là hình bình hành.

    Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ có độ dài ba cạnh là $ a,b,c $. Gọi $ I $ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh $ a \overrightarrow{ IA}+b\overrightarrow{ IB}+c\overrightarrow{ IC}=\vec{0} $.

    Hướng dẫn. Gọi $ B_1,C_1 $ là chân hai đường phân giác kẻ từ $ B,C. $ Dựng hình bình hành $AB_2IC_2$ thì $ \overrightarrow{ IA}=\overrightarrow{ IB_2}+\overrightarrow{ IC_2} $. Lại có $ \frac{IB_2}{IB}=\frac{AC_2}{IB}=\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{b}{a}, $ nên $ \overrightarrow{ IB_2}=-\frac{b}{a}\overrightarrow{IB}. $ Tương tự có $ \overrightarrow{ IC_2}=-\frac{c}{a}\overrightarrow{IC}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

    Bài 17. Cho tam giác $ ABC $ có $ H $ là trực tâm. Chứng minh rằng
    $$ \tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$$ Hướng dẫn. Xét trường hợp tam giác $ ABC $ nhọn. Dựng hình bình hành $ HA’CB’ $ thì có $ \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA’}+\overrightarrow{HB’}=\alpha.\overrightarrow{HA}+\beta.\overrightarrow{HB}, $ trong đó $$ \alpha=-\frac{HA’}{HA}=-\frac{B_1C}{B_1A}=-\frac{BB_1.\cot C}{BB_1\cot A}=-\frac{\tan A}{\tan C},$$ và  $$\beta=…=-\frac{\tan B}{\tan C}. $$ Suy ra $$ \overrightarrow{HC}=-\frac{\tan A}{\tan C}\overrightarrow{HA}-\frac{\tan B}{\tan C}\overrightarrow{HB} $$ hay chính là $\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$

    Bài 18*. Cho tam giác $ ABC $ đều có $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua các cạnh $ BC,AC,AB. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ ABC $ và $ DEF $ có cùng trọng tâm.

    Bài 19. Cho tam giác $ ABC $ có $ G $ là trọng tâm và $ H $ là điểm đối xứng của $B$ qua $ G. $

    • Chứng minh $ \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) $.
    • Gọi $ M $ là trung điểm của $BC$, chứng minh rằng $ \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $

    Bài 20*. Cho tam giác $ ABC $ đều tâm $ O.$ Giả sử $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là hình chiếu của $ M $ trên $ BC, AC $ và $ AB. $ Chứng minh rằng: $ \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}. $

    Hướng dẫn. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song $ B_2C_2\parallel BC, A_2C_1\parallel AC, A_1B_1\parallel AB $ thì các tam giác $ MA_1A_2,MB_1B_2,MC_1C_2 $ là các tam giác đều.

    Có \begin{align} 2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})& =\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\\
    &=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}. \end{align}

    Bài tập phân tích véc-tơ (Biểu diễn vecto theo 2 vecto không cùng phương)

    Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo hai véc-tơ $\vec{u},\vec{v}$.

    Đáp số. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v};\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v};\overrightarrow{DE}=-\vec{v};\overrightarrow{DC}=\vec{u}-\vec{v}$.

    Bài 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Đặt $ \overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}. $ Hãy tính các véc-tơ sau theo $ \vec{a}, \vec{b} $:

    • $ \overrightarrow{AI} $ với $ I $ là trung điểm của $ BO. $
    • $ \overrightarrow{BG} $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ OCD. $

    Đáp số. $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b} $, $ \overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{6}\vec{b}. $

    Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Cho các điểm $ D, E, F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC, CA, AB $ và $ I $ là giao điểm của $ AD $ và $ EF. $ Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo $\vec{u},\vec{v}$.

    Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
    \overrightarrow{AI}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})\\
    \overrightarrow{AG}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}\\
    \overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}=0.\vec{u}+(-1)\vec{v}\\
    \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\vec{u}-\vec{v}
    \end{align*}

    Bài 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$ và cạnh $a$.

    • Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF}$.
    • Tính độ dài của véc-tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ theo $a$.

    Đáp số. a) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}$; b) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

    Bài 5. Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Phân tích $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

    Đáp số. $ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

    Bài 6. Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NA=2NC$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. Phân tích $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

    Đáp số. $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

    Bài 7. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $I$ trên cạnh $BC$ sao cho $ 2CI=3BI, J $ trên cạnh $BC$ kéo dài sao cho $ 5JB=2JC. $

    • Tính $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $
    • Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}. $

    Đáp số.

    • $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
    • $ \overrightarrow{AG}=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}. $

    Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

    Bài 1. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tìm điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

    Bài 2. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K$ thỏa mãn: $ \overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC} $, $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0} $, $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CB} $.

    Bài 3. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L$ thỏa mãn:

    • $ \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB} $,
    • $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} $,
    • $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\vec{0} $,
    • $ \overrightarrow{LA}-2\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}=\vec{0} $.

    Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $ a,M $ là một điểm bất kì. Chứng minh rằng các véc-tơ sau đây không đổi. Tính mô-đun của chúng theo $ a. $

    • $ 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD} $,
    • $ 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} $,
    • $ 4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} $.

    Đáp số. $3a,a\sqrt{13},2a\sqrt{2} $

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC $, tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:

    • $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $,
    • $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}| $,
    • $ |4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}| $.

    Hướng dẫn.

    • Biến đổi thành $ |\overrightarrow{MG}|=|\overrightarrow{MI}| $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm $ BC. $
    • $ M $ thuộc đường tròn $ (D,AB) $ với $ D $ là đỉnh hình bình hành $ABCD$.
    • Biến đổi thành $ |6\overrightarrow{MK}|=|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}|=2|\overrightarrow{EA}| $ trong đó $ E $ là trung điểm $BC$ và $ K $ là điểm thỏa mãn $ 4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\vec{0}. $

    Chứng minh song song thẳng hàng bằng vecto

    Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $MN\parallel AC$.

    Hướng dẫn. Chỉ ra $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$.

    Bài 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

    Bài 3. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

    Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $ Tính $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.
    Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $ Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $

    Hướng dẫn.  Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
    Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $
    Mặt khác \begin{align} \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}&=\vec{0}.\end{align} Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $

    Bài 6. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.

    • Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
    • Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
    • Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $

    Hướng dẫn.

    • Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
    • Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
    • Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
      Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $

    Bài 7. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

    Bài 8. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

    • Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.
    • Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

    Bài 9. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực.

    • Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
    • Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
    • Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn.

    • $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $
    • Ta có \begin{align} \overrightarrow{AM}&=x\overrightarrow{AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}&=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}& =(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. \end{align}
    • Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng $ \Leftrightarrow $ tồn tại số $ k $ sao cho \begin{align} \overrightarrow{BM}&=k\overrightarrow{BI}  \\ \Leftrightarrow  (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}&=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \\ \Leftrightarrow 2(1-x)&= 3x \\ \Leftrightarrow x&=\frac{2}{5}.\end{align}

    Bài 10. Cho tam giác $ ABC $. Xác định điểm $ D $ thỏa mãn $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0}. $ Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $ |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|=8. $

    Hướng dẫn. 
    Có $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{DB} $ nên điểm $ D $ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $ -3. $

    Từ \begin{align} |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|&=8 \\ \Leftrightarrow |\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+3(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB})|&=8 \\ \Leftrightarrow |4\overrightarrow{MD}|&=8 \end{align} suy ra $ DM=2. $

    Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ D, $ bán kính bằng 2.

    Bài 11. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $M$ tùy ý. Xác định điểm $D$ thỏa mãn $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ MN $ đi qua điểm cố định biết $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}. $

    Hướng dẫn. 
    Có $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DC}.$ Vậy điểm $ D $ chia đoạn $ BC $ theo tỉ số 3.
    Ta có $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MD}. $ Vậy đường thẳng $ MN $ đi qua điểm $D$ cố định.

    Bài 12. Cho tam giác $ ABC $ có $ D $ là trung điểm của $ BC, N $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ A $ và
    $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Tìm điểm $ K $ trên đường thẳng $ MN $ sao cho ba điểm $ A, D , K $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn.

    Ta có $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}). $ Vì $ K\in MN $ nên đặt $ \overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{KN} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=x(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK})$.

    Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{x\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} }{x-1}=\frac{-x\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} }{x-1}=\frac{x}{1-x}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2(1-x)}\overrightarrow{AB}. $ Mà $ A,D,K $ thẳng hàng nên tìm được $ x=\frac{1}{2}. $

    Vậy $ \overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KN}. $

  • Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)

    Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)

    Bài tập vecto Lớp 10

    Bài viết này giới thiệu phần bài tập vecto lớp 10 với các dạng bài về Khái niệm vector, các véc-tơ cùng phương, độ dài véc-tơ, hai véc-tơ bằng nhau. Bài tập về các phép toán vecto xin mời các em xem tại đây: Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài 1. Cho ba điểm $ A, B, C $ không thẳng hàng. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong ba điểm đó.

    Bài 2. Cho véc tơ $\overrightarrow{AB}$ khác $\overrightarrow{0}$. Hãy vẽ 5 số véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow{AB}$.

    Bài 3. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?

    Bài 4. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.

    Bài 5. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $

    Hướng dẫn. Tứ giác $ ABOA $ là hình thoi nên $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}. $

    Bài 5. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Liệt kê tất cả các véc-tơ bằng nhau (khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

    Bài 6. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $

    Hướng dẫn. Chỉ ra tứ giác $ ABDE $ là hình bình hành.

    Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.

    Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương.

    Bài 9. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho:

    • $ |\overrightarrow{AM}|=\SI{4}{cm} $
    • $ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ cho trước.

    Hướng dẫn. Điểm $ A $ cố định và độ dài $ AM = \SI{4}{cm}. $ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ \SI{4}{cm}. $

    $ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ nên $ M $ chạy trên đường thẳng qua $ A $ và song song với giá của véc-tơ $ \vec{a}. $

    Bài 10. Cho 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

    Bài 11. Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt $A,B$ và $C$ trong các trường hợp sau:

    • $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng,
    • $|\overrightarrow{AB}|>|\overrightarrow{AC}|$.
    • $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

    Bài 12. Cho hình bình hành $ABCD$. Dựng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}$.

    Chứng minh $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}$.

    Bài 13. Cho tam giác $ABC$ có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$

    Bài 14. Cho hình bình hành $ABCD$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Điểm $I$ là giao điểm của $AM$ và $BN$, $K$ là giao điểm của $DM$ và $CN$. Chứng minh: $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC},\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}$$

    Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$, $ K $ là trung điểm của $ AH, I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B’C}; \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{IH}$

    Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $ M $ ở trong tam giác. Gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là trung điểm của $ BC,CA , AB $ và $ N, P, Q $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua $A’,B’,C’$. Chứng minh:

    • $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{CN}$,
    • $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{PC}, $
    • Ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.

    Hướng dẫn. Tứ giác $ AQBM,MBNC $ là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm nên ta có $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CN}. $ Và do đó $ ACNQ $ là hình bình hành. Chứng minh tương tự có $ \overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PC} $ và $ BCPQ $ cũng là hình bình hành. Suy ra ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.

  • Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017

    Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017

    Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017

    O2 Education xin giới thiệu đề thi 8 tuần kỳ 1 (đề thi giữa học kỳ I Toán 10), năm học 2017 – 2018 của trường Xuân Trường B – Nam Định.

    Xem thêm các dạng toán ôn tập thi giữa học kì 1 lớp 10:

    Đề thi giữa học kỳ I Toán 10: TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)

    Câu 1: Cho tam giác $ ABC$ , gọi $ M$ là trung điểm của $ BC$ và $ G$ là trọng tâm của tam giác $ ABC$. Đẳng thức vectơ nào sau đây là đúng?
    A. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$.
    B. $ 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$.
    C. $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AG}$.
    D. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GM}$.

    Câu 2: Cho mệnh đề “$ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2>0$ ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là
    A. $ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2\le 0.$
    B. $ \exists x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2<0.$
    C. $ \exists x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2\le 0.$
    D. $ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2<0.$

    Câu 3: Xác định hàm số bậc nhất $ y=f\left( x \right)$ thoả mãn $ f\left( -1 \right)=2$ và $ f\left( 2 \right)=-3$.
    A. $ y=\frac{-5x+1}{3}$.
    B. $ y=\frac{-x+5}{3}$.
    C. $ y\text{ }=-3×1$.
    D. $ y=2x+4$.

    Câu 4: Cho hai tập hợp $ A=\left\{ x\in \mathbb{R}\text{ }\left| \text{ }\left| x-1 \right|\le 2 \right. \right\}$ và $ B=\left( 0;+\infty \right)$. Tìm hợp của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
    A. $ A\cup B=\left( -1;+\infty \right).$
    B. $ A\cup B=\left[ -1;+\infty \right).$
    C. $ A\cup B=\left( -2;+\infty \right).$
    D. $ A\cup B=\left[ -2;+\infty \right).$

    Câu 5: Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh $ a$. Tính $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|$ theo $ a$.
    A. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
    B. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2a$.
    C. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a\sqrt{3}$.
    D. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a$.

    Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( 5;2 \right),\text{ }B\left( 10;8 \right)$. Tọa độ của vec tơ $ \overrightarrow{AB}$ là:
    A. $ \left( 5;6 \right)$.
    B. $ \left( 2;4 \right)$.
    C. $ \left( 15;10 \right)$.
    D. $ \left( 50;6 \right)$.

    Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( -4;2 \right),\text{ }B\left( -2;6 \right)$. Tìm điểm $ M$ trên trục $ Oy$ sao cho ba điểm $ A,\text{ }B,\ M$ thẳng hàng.
    A. $ M\left( 0;8 \right)$.
    B. $ M\left( 0;-10 \right)$.
    C. $ M\left( 0;-8 \right)$.
    D. $ M\left( 0;10 \right)$.

    Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số $ m$ để hàm số $ y=-{{x}^{2}}+2\left| m+1 \right|x-3$ nghịch biến trên$ \left( 2;+\infty \right).$
    A. $ \left[ \begin{matrix} m\le -3 \\ m\ge 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$
    B. $ -3<m<1.$
    C. $ -3\le m\le 1.$
    D. $ \left[ \begin{matrix} m<-3 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right.\ .$

    Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số $ m$ để hàm số $ y=\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+3m-1$ đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
    A. $ \left[ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$.
    B. $ \left[ \begin{matrix} m<-1 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right.$.
    C. $ -1<m<1.$
    D. $ -1\le m\le 1.$

    Câu 10: Cho hai tập hợp $ A=\left\{ 2;4;6;9 \right\}$ và $ B=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Tìm hiệu của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
    A. $ A\backslash B=\left\{ 1;3;6;9 \right\}.$
    B. $ A\backslash B=\varnothing .$
    C. $ A\backslash B=\left\{ 2;4 \right\}$.
    D. $ A\backslash B=\left\{ 6;9 \right\}.$

    Câu 11: Cho tứ giác $ ABCD$. Điểm $ M$ thuộc đoạn $ AB$ , $ N$ thuộc đoạn $ CD$ sao cho $ \frac{MA}{MB}=\frac{ND}{NC}=4$. Phân tích $ \overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $ \overrightarrow{AD}$ và $ \overrightarrow{BC}$ ta được kết quả là :
    A. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
    B. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
    C. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.
    D. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}-\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.

    Câu 12: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

    đề thi giữa học kì 1 toán 10 Xuân Trường BA. $ y=-{{x}^{2}}+4x-3.$
    B. $ y=-{{x}^{2}}+2x+1.$
    C. $ y={{x}^{2}}-4x+5.$
    D. $ y={{x}^{2}}-2x+1.$

    Câu 13: Cho các hàm số $ y=f\left( x \right)=\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|,\text{ }y=g\left( x \right)=-\left| x \right|$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
    A. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
    B. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
    C. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
    D. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

    Câu 14: Hàm số $ y=2{{x}^{2}}-4x+1$ đồng biến trên khoảng nào?
    A. $ \left( -\infty ;-1 \right).$
    B. $ \left( -\infty ;1 \right).$
    C. $ \left( -1;+\infty \right).$
    D. $ \left( 1;+\infty \right).$

    Câu 15: Cho hình bình hành $ ABCD$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
    A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
    B. $ \left| \overrightarrow{AD} \right|=\left| \overrightarrow{CB} \right|$.
    C. $ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.
    D. $ \left| \overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{CD} \right|$.

    Câu 16: Cho tập $ A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|-1\le x\le 5 \right\}$. Số phần tử của tập $ A$ là
    A. $ 8$
    B. $ 7$.
    C. $ 5$.
    D. $ 6$.

    Câu 17: Cho hai tập hợp $ A=\left( -2;2 \right],\text{ }B=\left[ 1;3 \right)$. Tìm giao của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
    A. $ A\cap B=\left( 1;2 \right).$
    B. $ A\cap B=\left[ 1;2 \right).$
    C. $ A\cap B=\left( 1;2 \right].$
    D. $ A\cap B=\left[ 1;2 \right].$

    Câu 18: Cho hàm số $ y={{x}^{3}}-3x+2$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số đã cho?
    A. $ \left( -2;0 \right)$.
    B. $ \left( 1;1 \right)$.
    C. $ \left( -2;-12 \right)$.
    D. $ \left( 1;-1 \right)$.

    Câu 19: Tập xác định của hàm số $ y=\frac{x}{x+1}-\sqrt{3-x}$ là:
    A. $ \left( -\infty ;3 \right]\backslash \left\{ -1 \right\}$.
    B. $ \left( -\infty ;3 \right)\backslash \left\{ -1 \right\}$.
    C. $ \left( -\infty ;3 \right]$.
    D. $ \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.

    Câu 20: Đường gấp khúc trong hình vẽ là dạng đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

    de thi gk1 toan 10 xuan truong b nam 2017 do thi ham so
    A. $ y=\left| x \right|-1$.
    B. $ y=-\left| x+1 \right|$.
    C. $ y=-\left| x-1 \right|$.
    D. $ y=1-\left| x \right|$.

    Câu 21: Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm $ O$ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB$.
    A. $ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$.
    B. $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$.
    C. $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}$.
    D. $ OA=OB$.

    Câu 22: Cho ba điểm phân biệt $ A,\text{ }B,\text{ }C$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
    A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$.
    B. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$.
    C. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$.
    D. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}$.

    Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( -2;2 \right)\text{, }B\left( 3;5 \right)$. Gọi $ C\left( a;b \right)$ là điểm sao cho tam giác $ ABC$ có trọng tâm là gốc tọa độ $ O$. Tính $ T=a+b$
    A. $ T=-8$.
    B. $ T=6$.
    C. $ T=0$.
    D. $ T=-4$.

    Câu 24: Cho hàm số $ y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị là parabol trong hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    de thi gk1 toan 10 xuan truong b nam 2017 parabol
    A. $ a>0;\text{ }b>0;\text{ }c>0.$
    B. $ a>0;\text{ }b<0;\text{ }c>0.$
    C. $ a>0;\text{ }b<0;\text{ }c<0.$
    D. $ a>0;\text{ }b>0;\text{ }c<0.$

    Câu 25: Cho điểm $ C$ thuộc đoạn $ AB$ sao cho $ C$ khác $ A$ và $ B$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
    A. $ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BC}$ ngược hướng.
    B. $ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
    C. $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
    D. $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{CB}$ ngược hướng.

    Đề thi giữa học kỳ I Toán 10: TỰ LUẬN (5,0 điểm)

    Câu 1 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=\left\{ \begin{matrix}   x-2\text{ khi }x\ge 1  \\   -x\text{ khi }x<1  \\ \end{matrix} \right.$.

         a) Tìm tập xác định của hàm số.

         b) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số đã cho.

    Câu 2 (1,5 điểm). Xác định parabol $\left( P \right): y=a{{x}^{2}}+bx-1$ biết rằng parabol đi qua $M\left( -1;-7 \right)$ và có trục đối xứng là đường thẳng $x=1$.  

    Câu 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( 1;2 \right),\text{ }B\left( -3;-2 \right),\text{ }C\left( -4;1 \right)$.

         a) Chứng minh rằng: Hai vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

         b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.   

    Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,\text{ }AC=b$ $\left( a,\text{ }b>0 \right)$. Xét các điểm $E,\text{ }F,\text{ }M,\text{ }N$ thay đổi sao cho tứ giác $AEBF$ và tứ giác $AMCN$ là các hình bình hành. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=EM+FN$.

    ————-HẾT————-

  • Phép nhân véc-tơ với một số thực

    Phép nhân véc-tơ với một số thực

    Phép nhân véc-tơ với một số thực

    1. Phép nhân véc-tơ với một số thực

    1.1. Tích của véctơ với một số thực

    Phép nhân véc-tơ $ \vec{a}$ với một số thực $k $ kết quả là một véc-tơ, kí hiệu là $ k\vec{a} $ thỏa mãn:

    • Nếu $ k=0 $ thì $ k\vec{a}=\vec{0}. $
    • Nếu $ k>0 $ thì $ k\vec{a} $ cùng hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=k|\vec{a}| $
    • Nếu $ k<0 $ thì $ k\vec{a}$ ngược hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=-k|\vec{a}| $

    Chú ý: Không có định nghĩa phép chia hai véc-tơ nên không được viết $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$.

    1.2. Qui tắc trung điểm

    Điểm $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.

    quy tắc trung điểm, tích của véc-tơ với một số thực, phép nhân vectơ với một số

    Với điểm $ M $ tùy ý, $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} $.

    2. Các dạng toán và ví dụ

    2.1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ

    Ví dụ 1. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ E,F $ là trung điểm của $ AB,CD $ và $ O $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng:

    1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $
    2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{EF}$
    3. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

    Ví dụ 2. Chứng minh rằng $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ khi và chỉ khi:

    1. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} =\vec{0} $
    2. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG} $ với mọi điểm $ M. $

    Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC. $ Lần lượt lấy các điểm $ M, N, P $ trên các đoạn $ AB,BC,CA $ sao cho $ AB=3AM,BC=3BN,AC=3CP. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $$

    tích của một véc-tơ với một số thực, Phép nhân véc-tơ với một số thực

    Hướng dẫn. Ta có
    \begin{align*}
    \overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\
    \overrightarrow{CP}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\
    \overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
    \end{align*}
    Cộng từng vế ba đẳng thức trên được $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}) $$

    Mà theo quy tắc ba điểm thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \vec{0}$, nên đẳng thức trên tương đương với $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $

    Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $ O. $ Chứng minh rằng
    $$ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}. $$

    Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng:

    1. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{CM} =2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
    2. $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}$

    Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5$cm và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng các véc-tơ sau có độ dài không đổi.

    1. $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD} $
    2. $\vec{v}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM} -2\overrightarrow{MD}$

    Ví dụ 7. Cho tam giác $ ABC $ với $ G $ là trọng tâm. Gọi $ B’ $ đối xứng với $ B $ qua $ G,G’ $ đối xứng với $ G $ qua $ B $ và $ M $ là trung điểm $ BC. $ Chứng minh rằng:

    1. $ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},$
    2. $\overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}),$
    3. $\overrightarrow{MB’}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
    4. $ \overrightarrow{G’A}-5\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}=\vec{0}. $

    Hướng dẫn.

    1. Gọi $ N $ là trung điểm $ AC. $ Ta có
      $$ \overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB’}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}). $$
      Mà $ 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC},2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} $ nên
      $$ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}. $$
    2. Tương tự có
      $$ \overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}).$$
    3. Có $ \overrightarrow{MB’}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB’}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
    4. Ta có $ \overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’C}=2\overrightarrow{G’N}=2(\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{BN})=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN} $
      Mà $ \overrightarrow{G’B}=\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN} \Rightarrow 5\overrightarrow{G’B}=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

    2.2. Phân tích véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương cho trước

    Để phân tích một véc-tơ $\vec{u}$ theo hai véc-tơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cho trước. (Biểu diễn một véc-tơ theo 2 vecto không cùng phương). Chúng ta sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành (xem bài Tổng hiệu của hai véc-tơ), quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm và định nghĩa tích của một vectơ với một số thực để tìm được một đẳng thức có dạng

    $$\vec{u}=x \vec{a} + y \vec{b}$$

    Chú ý rằng, cặp hệ số $x,y$ trong đẳng thức trên là duy nhất.

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích véc-tơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

    Hướng dẫn. Ta có
    \begin{align*}
    \overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\
    &=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}
    \end{align*}

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $, gọi $ I $ là điểm trên $ BC $ kéo dài sao cho $ IB=3IC. $

    1. Tính véc-tơ $ \overrightarrow{AI} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
    2. Gọi $ J,K $ là những điểm trên cạnh $ AC,AB $ sao cho $ \overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC} $ và $ \overrightarrow{KB}=-3\overrightarrow{KA}. $ Tính $ \overrightarrow{JK} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}.$
    3. Tính $ \overrightarrow{ BC} $ theo $ \overrightarrow{ AI} $ và $ \overrightarrow{ JK}. $

    Hướng dẫn.

    1. Có $ \overrightarrow{ IB}=3 \overrightarrow{ IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{ AB}-\overrightarrow{ AI}=3(\overrightarrow{ AC}-\overrightarrow{ AI}) \Leftrightarrow \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}.$
    2. Chỉ ra $ \overrightarrow{ AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} $ và $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}. $ Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
    3. Ta có $ \begin{cases} \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}\\ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6\overrightarrow{AI}=9 \overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\\12\overrightarrow{JK}=3\overrightarrow{AB}-8 \overrightarrow{AC}\end{cases}
      \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{AI}+12\overrightarrow{JK}\\ \overrightarrow{AC}=16\overrightarrow{AI}+36\overrightarrow{JK}\end{cases} $Trừ từng vế được $ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}. $

    Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $ D,E,F $ lần lượt là chân đường phân giác trong kẻ từ $ A,B,C $. Hãy phân tích véc-tơ $ AD $ theo hai véc-tơ $ AB,AC. $ Chứng minh rằng nếu có $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}=\vec{0} $ thì tam giác $ABC$ đều.

    2.3. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc-tơ cho trước

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L $ biết rằng

    1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0}. $
    2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $
    3. $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{BC}. $
    4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}. $

    Hướng dẫn.

    1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}. $ Vậy $ I $ là điểm đối xứng của điểm $ A $ qua $ B. $
    2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $
    3. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ thì $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}. $ Do đó $ \overrightarrow{GK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}. $
    4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AL}=2 \overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. $

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và một điểm $M$ thỏa mãn $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC} $$

    Hướng dẫn. Ta có $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.$

    Ví dụ 3. Cho hai điểm $ A,B $ và hai số $ \alpha,\beta $ thỏa mãn $ \alpha+\beta\ne0 $.

    1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} $
    2. Với $ M $ là điểm bất kì thì $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} $

    Hướng dẫn.

    1. Có $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{IA}+\beta (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$
      Do $ A,B $ cố định và hai số $ \alpha,\beta $ không đổi nên véc-tơ $ \frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB} $ không đổi.
      Vậy tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0}.$
    2. Ta có $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} +\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}. $

    Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Hãy tìm số $ k $ và điểm điểm $ I $ cố định sao cho các đẳng thức sao thỏa mãn với mọi điểm $M$.

    1. $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=k\overrightarrow{MI} $
    2. $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=k \overrightarrow{MI} $
    3. $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=k \overrightarrow{MI} $

    Hướng dẫn.

    1. Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, thì $ \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3 \overrightarrow{MG}. $ Suy ra
      $$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=3( \overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{MD})=6\overrightarrow{MI} $$
      trong đó $I$ là trung điểm của $ GD. $
    2. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}+2 \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}. $ Khi đó $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=3\overrightarrow{MI} $
    3. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}. $
      Khi đó $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=…=2 \overrightarrow{MI} $

    2.4. Chứng minh thẳng hàng. Tìm quỹ tích.

    Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Từ giả thiết có $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $ nên \begin{align} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}&=2(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}&=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}. \end{align}
    Mà $ 2\overrightarrow{AI}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} $ nên $ 3\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{AC}. $ Điều này chứng tỏ $ A,M,C $ thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm của $ BC. $ Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn
    $$ |2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $$

    Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} $ nên $ $|2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \Leftrightarrow |2\overrightarrow{MA}|=|2\overrightarrow{MI}| \Leftrightarrow MA=MI$$ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường trung trực của $ AI. $

    Ví dụ 3. Tìm điểm $ C $ trên đoạn $ AB $ sao cho: $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi: $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

    Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $ Suy ra $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})=-\overrightarrow{MC}. $$ Vậy $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.

    Ví dụ 4. Cho tứ giác $ABCD$ có hai điểm $ M,N $ thay đổi trên cạnh $AB,CD$ sao cho $ \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ MN? $

    Hướng dẫn. Theo giả thiết có $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}. $ với $ 0\le k\le1. $

    Gọi $ P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BD $ thì \begin{align*}
    \overrightarrow{PI}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})\\
    \overrightarrow{PQ}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})
    \end{align*} Suy ra $ \overrightarrow{PI}=k\overrightarrow{PQ} $ hay $ P,I,Q $ thẳng hàng. Mà $ 0\le k\le1 $ nên $ I $ thuộc đoạn $ PQ. $
    Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn $ MN $ là đoạn $ PQ. $

    Ví dụ 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là một điểm di động trên cạnh $ BC. $ Kẻ $ MP,MQ $ lần lượt song song với $ AC,AB $ và cắt $ AB,AC $ tại $ P,Q. $ Dựng cách hình bình hành $ BMPR $ và $ CMQS. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ RS? $

    Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
    \overrightarrow{AR}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}\\
    \overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AM}
    \end{align*} Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}. $$ Vì $ M $ thuộc đoạn $ BC $ nên $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+(1-k) \overrightarrow{AC} $ với $ k\in [0,1]. $ Do đó $ \overrightarrow{AI}=(1-k)\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}=(1-k)\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{AF} $ với $ E,F $ là trung điểm $ AB,AC. $
    Suy ra $ I $ thuộc đoạn $ EF. $

  • Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

    Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

    Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

    Phép cộng véc-tơ, phép trừ hai véc-tơ là những phép toán cơ bản, cùng với phép nhân véc-tơ với một số thực và tích vô hướng của hai véc-tơ.

    Nguồn gốc sinh ra véc-tơ là để biểu diễn các lực trong Vật lý, khi đó có một vấn đề được đặt ra là bài toán tổng hợp lực. Bài học này sẽ giúp trả lời vấn đề trên.

    Trước khi học bài này, các em học sinh cần nắm vững kiến thức Véc-tơ là gì?

    1. Phép cộng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)

    1.1. Phép cộng hai véc-tơ

    Phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}+\vec{b}$ trong mặt phẳng.

    Từ điểm $ O $ bất kì, dựng $ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b} $ thì véc-tơ $ \overrightarrow{OB}$ được gọi là tổng của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OB}. $

    Phép cộng véc-tơ, Phép trừ hai véc-tơ (Tổng của hai véc-tơ, hiệu của hai vec tơ)

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các véc-tơ:

    1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
    2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} $.

    Hướng dẫn.

    1. Lấy một điểm $O$ bất kì trong mặt phẳng. Lần lượt dựng các véc-tơ $ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$ thì ta có $$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$
    2. Vẫn sử dụng điểm $O$ ở trên, ta dựng tiếp $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AC}$ thì ta có $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$

    Phép cộng véc-tơ - Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ) 1

    1.2. Quy tắc ba điểm

    Chú ý rằng, định nghĩa trên hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn vị trí điểm $ O $. Do đó ta có thể chọn nó trùng với điểm đầu của một trong hai véc-tơ và việc dựng các véc-tơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AB}$ sẽ trở nên dễ dàng hơn. Chẳng hạn, chúng ta chọn $O$ trùng với điểm đầu của $\vec{a}$ thì $\overrightarrow{OA}$ chính là $\vec{a}$ nên ta chỉ cần dựng $\overrightarrow{AB}$.

     

    phép cộng vecto

    Khi đó, chúng ta có quy tắc ba điểm quy tắc ba điểm như sau:

    Cho véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ thì với một điểm $M$ tùy ý, ta luôn có $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}. $$

    Tức là, để di chuyển một vật từ vị trí $ A $ đến vị trí $ B $, thay vì đi thẳng trực tiếp từ $ A $ tới $ B $, chúng ta có thể đi từ $ A $ tới một điểm $ M $ nào đó, rồi mới từ $ M $ tới $ B. $ Quy tắc này cũng có thể mở rộng ra cho $ n $ điểm.

    Lưu ý, về mặt bản chất, phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$ là chúng ta thay thế (dựng) các véc-tơ đó bằng các véc-tơ lần lượt bằng $ \vec{a}, \vec{b}$. Nhưng các véc-tơ mới này có đặc điểm là chúng nối tiếp nhau (điểm đầu của véc-tơ này lại là điểm cuối của véc-tơ kia).

    Hiển nhiên, nếu có $\vec{c}=\vec{b}$ thì $$\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}.$$

    Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ:

    1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
    2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$,
    3. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $

    Hướng dẫn. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

    HÌNH VUÔNG ABCD

    1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên suy ra $\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right| =\left| \overrightarrow{AC}\right| = AC=5\sqrt{2}$ cm.
    2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$, vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right| =0$.
    3. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $ Dựng $\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{DC}$ thì $B$ là trung điểm $AE$. Khi đó, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$. Từ đó tìm được đáp số $10$ cm.

    Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A, AB=a,AC=2a. $ Tính độ dài của véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{CB} $.

    1.3. Quy tắc hình bình hành

    Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành thì $$ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}. $$

    Chứng minh. Theo quy tắc ba điểm, chúng ta có $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$ Mặt khác, vì $ ABCD $ là hình bình hành nên dễ dàng chỉ ra được $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, do đó $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

    Ví dụ 4. Cho hai lực $ \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} $ đều có độ lớn 50N, điểm đặt tại $ O $ và hợp với nhau góc $ 60^\circ. $ Tính độ lớn lực tổng hợp của hai lực này.

    Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OF} $ trong đó tứ giác $ OF_1FF_2 $ là hình thoi. Do đó $ |\overrightarrow{F}|=50\sqrt{3} $ N.

    Ví dụ 5. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm là điểm $ O $. Hãy dựng và tính độ dài của các véc-tơ sau:

    • $ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}. $
    • $ \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}. $
    • $ \vec{k}=\overrightarrow{AO} +\overrightarrow{DO} +\overrightarrow{CD}. $

    Ví dụ 6. Cho bốn điểm $ A,B,C,D $, chứng minh rằng \[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

    Hướng dẫn. Chúng ta biến đổi vế trái của đẳng thức trên

    $$VT = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} } \right) = VP$$

    Ví dụ 7. Cho năm điểm $ A,B,C,D,E $, chứng minh rằng
    $$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} $$

    Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $, chứng minh rằng
    $$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} $$

    Ví dụ 9. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Chứng minh rằng
    $$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}.$$

    2. Phép trừ hai vecto (Hiệu của hai véc-tơ)

    2.1. Véc-tơ đối

    Hai véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véc-tơ đối của $ \vec{a} $ được lí hiệu là $ -\vec{a}. $

    Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra một số cặp véc-tơ đối nhau.

    Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O $, chứng minh rằng
    $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $$

    2.2. Hiệu của hai véc-tơ

    Hiệu của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $ là tổng của $ \vec{a} $ và véc-tơ đối của $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}-\vec{b} $.
    $$ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).$$

    Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $ AB=3,AD=4. $ Dựng và tính độ dài của véc-tơ
    \[ \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CA} – \overrightarrow{AB}. \]

    Ví dụ 4. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ a $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tính độ dài của các véc-tơ
    $$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}. $$

    Ví dụ 5.  Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng
    \[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD} \]

    Ví dụ 6. Cho tứ giác $ ABCD $ có $ O $ là trung điểm $ AB $. Chứng minh rằng
    \[ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

    Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ có $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC, CA, AB $ và $ O $ là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
    \[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{CP} = \vec{0}. \]
    \[ \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP}.\]

    Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $. Chứng minh rằng

    • $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FB}$.
    • $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}$.
    • $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{FE}=\vec{0}$.

    Ví dụ 9. Cho tam giác $ ABC $. Hãy xác định điểm $ M $ sao cho:

    • $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
    • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$.
    • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$.

    Hướng dẫn.

    • $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}$ hay $ BAMC $ là hình bình hành.
    • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$ hay $ M $ là điểm tuỳ ý.
    • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM}$ hay $ CBMA $ là hình bình hành.

    Ví dụ 10. Cho hai điểm $ A $ và $ B $ phân biệt, có thể tìm được điểm $ M $ thoả mãn một trong các điều kiện sau hay không?

    • $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{AB }}$.
    • $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{BA}}$
    • $\overrightarrow{{MA}}+\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{0}$
  • Véc-tơ là gì? Khái niệm Vecto

    Véc-tơ là gì? Khái niệm Vecto

    Véc-tơ là gì? Khái niệm Vector

    Bài này giới thiệu khái niệm véc-tơ là gì, các véc-tơ cùng phương, vecto bằng nhau… Phần bài tập, mời các em tham khảo các bài viết sau:

    1. Véc-tơ là gì?

    • Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng, tức là chỉ rõ điểm nào là điểm đầu (gốc), điểm nào là điểm cuối (ngọn).
    • Véc-tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

    véc-tơ là gì

    • Một véc-tơ nói chung được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u},\vec{v},…$
    • Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc-tơ không, kí hiệu là $\vec{0}$.

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, hãy kể tên các véc-tơ có điểm đầu là $A$.

    tam giác ABC

    Ví dụ 2. Cho 4 điểm $ A, B, C, D$ phân biệt. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong bốn điểm đó.

    2. Hai véc-tơ cùng phương

    • Đường thẳng chứa một véc-tơ được gọi là giá của véc-tơ đó.
    • Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
    • Nếu hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
    • Quy ước, véc-tơ $\vec{0}$ cùng phương với mọi véc-tơ.

    Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BO}$.

    hinh binh hanh ABCD tam O

    Hướng dẫn.

    • Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$.
    • Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{BO}$ là $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{DO}$.

    Ví dụ 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm là điểm $I$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, ngược hướng với  $\overrightarrow{BC}$.

    3. Độ dài của một véc-tơ

    • Độ dài của một véc-tơ là khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối của véc-tơ đó. Độ dài của $\vec{a}$ kí hiệu là $|\vec{a}|$.
    • Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ chính là độ dài đoạn thẳng $AB$.
    • Độ dài của $\vec{0}$ đương nhiên bằng $0$.

    Ví dụ 5. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh dài bằng $5 $ cm, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính độ dài của các véc-tơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AM}$.

    Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các véc-tơ $AC$, $DC$, $OB$.

    4. Hai véc-tơ bằng nhau

    • Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
    • Để xác định một véc-tơ, chúng ta cần biết một trong hai điều kiện sau:
      • Điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ.
      • Độ dài và hướng.

    Ví dụ 7. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $

    Ví dụ 8. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?

    Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$.

    • Hãy dựng điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
    • Hãy dựng điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CB}$.
    • Hãy dựng điểm $F$ sao cho $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}$.

    Ví dụ 10. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ nên suy ra hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ phải cùng phương (tất nhiên chúng phải cùng hướng nhưng ở đây ta chỉ cần sử dụng kết quả cùng phương là đủ). Do đó, hai đường thẳng $AB$ và $BC$ phải song song hoặc trùng nhau. Đương nhiên $AB$ và $BC$ có một điểm chung là $A$ nên không thể song song. Tức là hai đường thẳng $AB$ và $BC$ trùng nhau, hay ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

    Ví dụ 11. Chứng minh rằng, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

    hình bình hành ABCD

    Hướng dẫn. Chúng ta cần chứng minh hai chiều thuận và đảo của bài toán này.

    • Thuận. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì hiển nhiên chúng ta có hai kết quả sau:
      • $AB=CD$ hay chính là $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$,
      • Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Hơn nữa, ta còn thấy chúng cùng hướng.

    Từ hai điều trên, ta có quyền kết luận $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

    • Đảo.  Nếu có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì suy ra:
      • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, hay $AB=CD$,
      • Hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng. Nên hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song hoặc trùng nhau. Hiển nhiên $AB$ và $CD$ không thể trùng nhau, vì khi đó sẽ không tồn tại tứ giác $ABCD$, nên suy ra $AB$ và $CD$ song song.

    Từ hai điều trên, chúng ta có quyền kết luận, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

    Ví dụ 12. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $

    Ví dụ 13. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.

    Ví dụ 14. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương?

    Ví dụ 15. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm.

    Hướng dẫn. Ta có $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm tương đương với $MA=4$ cm. Mà điểm $ A $ cố định nên suy ra tập hợp điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ 4$ cm.

    Từ vec-tơ là từ nhập từ tiếng Pháp vào Việt Nam. Tiếng Pháp viết là vecteur, đọc là véc-tơ, tiếng Anh viết là vector và đọc cũng thành véc-tơ. Phần lớn các thứ tiếng phương Tây khác cũng viết và đọc từ này tương tự như vậy.  Nó có gốc La-tinh, xuất phát từ động từ vehere (mang đi, đưa đi, cưỡi đi). Nghĩa gốc của từ vector chính là “vật/người chở đi, mang đi, cưỡi đi”. Động từ vehere còn sinh ra một từ quen thuộc khác, là từ vehicle (hay vehicule tiếng Pháp), chính là cỗ xe để chở đi.

    Với gốc như vậy,  từ vector trong mỗi lĩnh vực khác nhau  có thể có một nghĩa khác nhau. Chẳng hạn trong sinh vật học, nó được dùng với nghĩa “vật truyền cái gì đó”. Ví dụ như các con muỗi được gọi là vector của bệnh sốt rét (malaria).

    Trong hình học ngày nay, vec-tơ được hiểu là một đại lượng vừa có hướng vừa có độ lớn. Những đại lượng mà chỉ có độ lớn thôi chứ không có hướng, ví dụ như độ dài, thể tích, khối lượng, v.v., thì được gọi là những đại lượng vô hướng (scalars).  Những đại lượng mà có cả hướng lẫn độ lớn, như là vận tốc, gia tốc, lực, từ trường, v.v. thì được biểu diễn bằng các vec-tơ.

    Để vẽ một vec-tơ, người ta có thể vẽ một đoạn thẳng nối từ một điểm A nào đó đến một điểm B nào đó trên mặt phẳng hay trong không gian. Hướng đi từ A đến B chính là hướng của vec-tơ , và độ lớn (đô dài) của đoạn  thẳng AB chính là độ lớn của vec-tơ. Khái niệm đoạn thẳng có hướng (tức là vec-tơ) như vậy được một nhà bác học người Italia tên là Giusto Bellavitis (1803-1880) đề xuất vào giữa thế kỷ 19 (khoảng năm 1846) dưới tên gọi “bipoint”.