0

Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

Phép cộng véc-tơ, phép trừ hai véc-tơ là những phép toán cơ bản, cùng với phép nhân véc-tơ với một số thựctích vô hướng của hai véc-tơ.

Nguồn gốc sinh ra véc-tơ là để biểu diễn các lực trong Vật lý, khi đó có một vấn đề được đặt ra là bài toán tổng hợp lực. Bài học này sẽ giúp trả lời vấn đề trên.

Trước khi học bài này, các em học sinh cần nắm vững kiến thức Véc-tơ là gì?

1. Phép cộng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)

1.1. Phép cộng hai véc-tơ

Phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}+\vec{b}$ trong mặt phẳng.

Từ điểm $ O $ bất kì, dựng $ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b} $ thì véc-tơ $ \overrightarrow{OB}$ được gọi là tổng của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OB}. $

Phép cộng véc-tơ, Phép trừ hai véc-tơ (Tổng của hai véc-tơ, hiệu của hai vec tơ)

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các véc-tơ:

  1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
  2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} $.

Hướng dẫn.

  1. Lấy một điểm $O$ bất kì trong mặt phẳng. Lần lượt dựng các véc-tơ $ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$ thì ta có $$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$
  2. Vẫn sử dụng điểm $O$ ở trên, ta dựng tiếp $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AC}$ thì ta có $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$

1.2. Quy tắc ba điểm

Chú ý rằng, định nghĩa trên hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn vị trí điểm $ O $. Do đó ta có thể chọn nó trùng với điểm đầu của một trong hai véc-tơ và việc dựng các véc-tơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AB}$ sẽ trở nên dễ dàng hơn. Chẳng hạn, chúng ta chọn $O$ trùng với điểm đầu của $\vec{a}$ thì $\overrightarrow{OA}$ chính là $\vec{a}$ nên ta chỉ cần dựng $\overrightarrow{AB}$.

 

phép cộng vecto

Khi đó, chúng ta có quy tắc ba điểm quy tắc ba điểm như sau:

Cho véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ thì với một điểm $M$ tùy ý, ta luôn có $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}. $$

Tức là, để di chuyển một vật từ vị trí $ A $ đến vị trí $ B $, thay vì đi thẳng trực tiếp từ $ A $ tới $ B $, chúng ta có thể đi từ $ A $ tới một điểm $ M $ nào đó, rồi mới từ $ M $ tới $ B. $ Quy tắc này cũng có thể mở rộng ra cho $ n $ điểm.

Lưu ý, về mặt bản chất, phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$ là chúng ta thay thế (dựng) các véc-tơ đó bằng các véc-tơ lần lượt bằng $ \vec{a}, \vec{b}$. Nhưng các véc-tơ mới này có đặc điểm là chúng nối tiếp nhau (điểm đầu của véc-tơ này lại là điểm cuối của véc-tơ kia).

Hiển nhiên, nếu có $\vec{c}=\vec{b}$ thì $$\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}.$$

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ:

  1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
  2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$,
  3. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $

Hướng dẫn. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

HÌNH VUÔNG ABCD

  1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên suy ra $\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right| =\left| \overrightarrow{AC}\right| = AC=5\sqrt{2}$ cm.
  2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$, vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right| =0$.
  3. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $ Dựng $\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{DC}$ thì $B$ là trung điểm $AE$. Khi đó, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$. Từ đó tìm được đáp số $10$ cm.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A, AB=a,AC=2a. $ Tính độ dài của véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{CB} $.

1.3. Quy tắc hình bình hành

Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành thì $$ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}. $$

Chứng minh. Theo quy tắc ba điểm, chúng ta có $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$ Mặt khác, vì $ ABCD $ là hình bình hành nên dễ dàng chỉ ra được $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, do đó $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

Ví dụ 4. Cho hai lực $ \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} $ đều có độ lớn 50N, điểm đặt tại $ O $ và hợp với nhau góc $ 60^\circ. $ Tính độ lớn lực tổng hợp của hai lực này.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OF} $ trong đó tứ giác $ OF_1FF_2 $ là hình thoi. Do đó $ |\overrightarrow{F}|=50\sqrt{3} $ N.

Ví dụ 5. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm là điểm $ O $. Hãy dựng và tính độ dài của các véc-tơ sau:

  • $ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}. $
  • $ \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}. $
  • $ \vec{k}=\overrightarrow{AO} +\overrightarrow{DO} +\overrightarrow{CD}. $

Ví dụ 6. Cho bốn điểm $ A,B,C,D $, chứng minh rằng \[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

Hướng dẫn. Chúng ta biến đổi vế trái của đẳng thức trên

$$VT = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} } \right) = VP$$

Ví dụ 7. Cho năm điểm $ A,B,C,D,E $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} $$

Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} $$

Ví dụ 9. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}.$$

2. Phép trừ hai vecto (Hiệu của hai véc-tơ)

2.1. Véc-tơ đối

Hai véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véc-tơ đối của $ \vec{a} $ được lí hiệu là $ -\vec{a}. $

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra một số cặp véc-tơ đối nhau.

Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $$

2.2. Hiệu của hai véc-tơ

Hiệu của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $ là tổng của $ \vec{a} $ và véc-tơ đối của $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}-\vec{b} $.
$$ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).$$

Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $ AB=3,AD=4. $ Dựng và tính độ dài của véc-tơ
\[ \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CA} – \overrightarrow{AB}. \]

Ví dụ 4. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ a $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tính độ dài của các véc-tơ
$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}. $$

Ví dụ 5.  Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD} \]

Ví dụ 6. Cho tứ giác $ ABCD $ có $ O $ là trung điểm $ AB $. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ có $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC, CA, AB $ và $ O $ là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{CP} = \vec{0}. \]
\[ \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP}.\]

Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $. Chứng minh rằng

  • $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FB}$.
  • $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}$.
  • $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{FE}=\vec{0}$.

Ví dụ 9. Cho tam giác $ ABC $. Hãy xác định điểm $ M $ sao cho:

  • $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$.

Hướng dẫn.

  • $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}$ hay $ BAMC $ là hình bình hành.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$ hay $ M $ là điểm tuỳ ý.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM}$ hay $ CBMA $ là hình bình hành.

Ví dụ 10. Cho hai điểm $ A $ và $ B $ phân biệt, có thể tìm được điểm $ M $ thoả mãn một trong các điều kiện sau hay không?

  • $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{AB }}$.
  • $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{BA}}$
  • $\overrightarrow{{MA}}+\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{0}$

hocbaicungcon

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *