0

Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

Phép cộng véc-tơ, phép trừ hai véc-tơ là những phép toán cơ bản, cùng với các phép nhân véc-tơ với một số thực và tích vô hướng của hai véc-tơ.

Nguồn gốc sinh ra véc-tơ là để biểu diễn các lực trong Vật lý, khi đó có một vấn đề được đặt ra là bài toán tổng hợp lực. Bài học này sẽ giúp trả lời vấn đề trên.

Trước khi học bài này, các em học sinh cần nắm vững kiến thức Véc-tơ là gì?

1. Phép cộng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)

1.1. Phép cộng hai véc-tơ

Phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}+\vec{b} trong mặt phẳng. $ Từ điểm $ O $ bất kì, dựng $ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b} $ thì véc-tơ $ OB $ được gọi là tổng của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OB}. $

Phép cộng véc-tơ, Phép trừ hai véc-tơ (Tổng của hai véc-tơ, hiệu của hai vec tơ)

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $

1.2. Quy tắc ba điểm

Chú ý rằng, trong định nghĩa trên hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn vị trí điểm $ O $, tức là ta có thể chọn điểm $ O $ trùng với điểm cuối của véc-tơ $ \vec{a} $ chẳng hạn. Khi đó, chúng ta có quy tắc ba điểm quy tắc ba điểm như sau:
Cho véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ thì với một điểm $M$ tùy ý, ta luôn có $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}. $$

Tức là, để di chuyển một vật từ vị trí $ A $ đến vị trí $ B $, thay vì đi thẳng trực tiếp từ $ A $ tới $ B $, chúng ta có thể đi từ $ A $ tới một điểm $ M $ nào đó, rồi mới từ $ M $ tới $ B. $ Qui tắc này cũng có thể mở rộng ra cho $ n $ điểm.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A, AB=a,AC=2a. $ Tính độ dài của véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{CB} $.

1.3. Quy tắc hình bình hành

Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}. $

Ví dụ 4. Cho hai lực $ \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} $ đều có độ lớn 50N, điểm đặt tại $ O $ và hợp với nhau góc $ 60^\circ. $ Tính độ lớn lực tổng hợp của hai lực này.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OF} $ trong đó tứ giác $ OF_1FF_2 $ là hình thoi. Do đó $ |\overrightarrow{F}|=50\sqrt{3} $N.

Ví dụ 5. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm là điểm $ O $. Hãy dựng và tính độ dài của các véc-tơ sau:

  • $ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}. $
  • $ \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}. $
  • $ \vec{k}=\overrightarrow{AO} +\overrightarrow{DO} +\overrightarrow{CD}. $

Ví dụ 6. Cho bốn điểm $ A,B,C,D $, chứng minh rằng \[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

Hướng dẫn. Chúng ta biến đổi vế trái của đẳng thức trên

$$VT = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} } \right) = VP$$

Ví dụ 7. Cho năm điểm $ A,B,C,D,E $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} $$

Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} $$

Ví dụ 9. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}.$$

2. Phép trừ hai vecto (Hiệu của hai véc-tơ)

2.1. Véc-tơ đối

Hai véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véc-tơ đối của $ \vec{a} $ được lí hiệu là $ -\vec{a}. $

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra một số cặp véc-tơ đối nhau.

Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $$

2.2. Hiệu của hai véc-tơ

Hiệu của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $ là tổng của $ \vec{a} $ và véc-tơ đối của $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}-\vec{b} $.
$$ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).$$

Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $ AB=3,AD=4. $ Dựng và tính độ dài của véc-tơ
\[ \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CA} – \overrightarrow{AB}. \]

Ví dụ 4. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ a $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tính độ dài của các véc-tơ
$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}. $$

Ví dụ 5.  Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD} \]

Ví dụ 6. Cho tứ giác $ ABCD $ có $ O $ là trung điểm $ AB $. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ có $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC, CA, AB $ và $ O $ là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{CP} = \vec{0}. \]
\[ \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP}.\]

Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $. Chứng minh rằng

  • $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FB}$.
  • $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}$.
  • $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{FE}=\vec{0}$.

Ví dụ 9. Cho tam giác $ ABC $. Hãy xác định điểm $ M $ sao cho:

  • $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$.

Hướng dẫn.

  • $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}$ hay $ BAMC $ là hình bình hành.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$ hay $ M $ là điểm tuỳ ý.
  • $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM}$ hay $ CBMA $ là hình bình hành.

Ví dụ 10. Cho hai điểm $ A $ và $ B $ phân biệt, có thể tìm được điểm $ M $ thoả mãn một trong các điều kiện sau hay không?

  • $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{AB }}$.
  • $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{BA}}$
  • $\overrightarrow{{MA}}+\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{0}$

hocbaicungcon

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *