Tính thể tích khối chóp
Tính thể tích khối chóp là một dạng toán quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp và xét tuyển vào ĐH CĐ. Để tính được thể tích của một khối chóp đòi hỏi học sinh ghi nhớ và vận dụng được nhiều phần kiến thức của hình học không gian, đặc biệt là kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
Dưới đây là cách tính thể tích khối chóp trực tiếp, ngoài ra còn cách tính gián tiếp bằng Phương pháp so sánh thể tích.
1. Công thức tính thể tích khối chóp
Khối chóp đỉnh $ S $ và đáy là một đa giác có diện tích $ B $ thì $$ V=\frac{1}{3}B\times h $$
Trong công thức trên, việc tính được diện tích $B$ của đáy là bài toán tính diện tích đa giác (tam giác, tứ giác…) quen thuộc trong chương trình hình học cấp 2. Mọi khó khăn của bài toán tính thể tích khối chóp quy về việc xác định và tính được chiều cao của khối chóp. Dưới đây là các cách xác định đường cao của khối chóp.
2. Cách xác định chiều cao của hình chóp
Đường cao của một hình chóp là đoạn thẳng hạ vuông góc từ đỉnh hình chóp xuống mặt đáy tương ứng của nó. Trong thực tế, đối khi người ta không cần dựng đường cao mà chỉ cần tính chiều cao khối chóp, tức là tính khoảng cách từ đỉnh tới mặt đáy của nó. (Bạn đọc có thể xem lại cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)
Dĩ nhiên, ngoài các kiến thức nêu dưới đây, thì các em học sinh cần ôn tập kĩ lại phần kiến thức về góc trong không gian:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
2.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là cạnh bên đó.
Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy thì thể tích của nó là $$ V =\frac{1}{3} SA\cdot S_{ABCD}$$
2.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy
Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy thì đường cao của hình chóp chính là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$. Tức là đường thẳng $SB$. Do đó, thể tích của hình chóp là $$
V =\frac{1}{3} SB\cdot S_{ABCD} $$
2.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy
Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng đó thường là một tam giác thì đường cao của hình chóp chính là đường cao của tam giác đó.
Cho hình chóp $S.ABC$ có $ (SAC) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó, để xác định đường cao của hình chóp chúng ta làm như sau:
- Trong mặt phẳng $ (SAC) $ kẻ $ SH $ vuông góc với $ AC $, $ H $ thuộc $ AC $.
- Sử dụng tính chất của Hai mặt phẳng vuông góc với nhau , ta chứng minh được $ SH $ vuông góc với $ (ABC) $ hay $ SH $ là đường cao của hình chóp.
Do đó, thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $$ V=\frac{1}{3}SH\cdot S_{ABC} $$
2.4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều thì đường cao đi qua đỉnh và tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
- Các em học sinh cần lưu ý hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau. Các cạnh bên này và cạnh đáy có thể bằng nhau hoặc không bằng nhau đều được.
- Một hình chóp đều thì có các cạnh bên bằng nhau nhưng hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chưa đủ điều kiện để là một hình chóp đều. Tuy nhiên, một hình chóp mà có các cạnh bên bằng nhau (bao gồm cả hình chóp đều) thì có tính chất:
- Hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp lên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
Chẳng hạn, với hình chóp đều tứ giác $S.ABCD$ thì gọi $ O $ là tâm hình vuông (tức là giao điểm hai đường chéo của hình vuông, đồng thời cũng là tâm đối xứng, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông) thì chứng minh được $ SO $ vuông góc với mặt phẳng đáy.
Như vậy, chiều cao hình chóp $S.ABCD$ là $ SO $ và thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ là $$ V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD} $$
3. Các dạng toán tính thể tích khối chóp
3.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. [TN2013] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $ và $ SA $ vuông góc với đáy. Cạnh $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 30^\circ. $ Tính thể tích khối chóp.
Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3} $.
Ví dụ 2. [TN2011] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D. $ Cạnh $ AD=CD=a,$ cạnh $AB=3a. $ Cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SC $ tạo với đáy một góc $ 45^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số $ V=\frac{2a^3\sqrt{2}}{3} $.
Ví dụ 3. [TN2010] cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy là $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy thì $ \widehat{SOA}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}. $
Ví dụ 4. [TN2009] Cho hình chóp $ S.ABC $ có mặt bên $ SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy, $ \widehat{BAC}=120^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Hai tam giác vuông $ SAB $ và $ SAC $ bằng nhau nên $ AB=AC. $ Áp dụng định lí cosin có $ BC=\frac{a\sqrt{3} }{3}. $ Từ đó tìm được $ SA =\frac{a\sqrt{3}}{6} $ và thể tích bằng $ \frac{a^3\sqrt{2}}{36}. $
Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật, cạnh $ AB=a,AD=2a. $ Cạnh $ SB $ vuông góc với đáy và khoảng cách từ $ B $ tới $ (SAD) $ bằng $ \frac{2a}{\sqrt{5}}. $ Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn. Dựng $ BH $ vuông góc với $ SA $ thì $ BH=\frac{2a}{\sqrt{5}}. $ Suy ra $ SB=2a $, và từ đó tìm được $ V=\frac{4}{3}a^3. $
3.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ đáy là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a, $ SC $ =5a $. Hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp?
Hướng dẫn. Từ giả thiết suy ra $ SA $ vuông góc với đáy và tìm được $ SA=3a. $ Đáp số $ V=6a^3. $
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,BC=2a. $ Hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với đáy, cạnh $ SC $ hợp với đáy góc $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?
Hướng dẫn. Chỉ ra $ \widehat{SCA}=60^\circ $ và tìm được $ SA=a\sqrt{15} $. Từ đó tìm được đáp số $ {{V}_{ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}. $
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Các mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy bằng $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Đáp số $ V = \frac{{a^3}\sqrt{2}}{6} $
Ví dụ 4. [A2009] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,$ cạnh $AB=AD=2a,$ cạnh $CD=a,$ góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABCD \right) $ bằng $ {{60}^\circ} $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ AD $. Biết rằng hai mặt phẳng $ \left( SBI \right) $ và $ \left( SCI \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?
Hướng dẫn. Vì hai mặt phẳng $ \left( SBI \right) $ và $ \left( SCI \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng cũng vuông góc với đáy, tức là $ SI\perp (ABCD) $. Kẻ $ IK\perp BC $ với $ K\in BC $ thì $ \widehat{SKI}=60^\circ. $ Gọi $ J $ là trung điểm $ BC $ từ tam giác vuông $ IKJ $ tìm được $ IK= \frac{3a\sqrt{5}}{5}. $ Từ đó tìm được $ SI=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$. Đáp số $ V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}. $
Ví dụ 5. [A2011] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân tại $ B, AB = BC = 2a $, hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB, $ mặt phẳng qua $ SM $ và song song với $ BC $, cắt $ AC $ tại $ N $. Biết góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ bằng $ 60^\circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.BCNM $.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ SA\perp(ABC) $ và góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ là $ \widehat{SBA} $. Mặt khác, chứng minh được $ N $ là trung điểm $ AC $. Từ đó, tìm được đáp số là $ {V_{S.BCNM}} = \sqrt 3 {a^3}. $
Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi, $ AC = 2\sqrt{3}a, BD = 2a.$ Hai cạnh $AC $ và $ BD $ cắt nhau tại $ O. $ Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ \frac{a\sqrt{3}}{4} $.Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến $ SO $ của chúng chính là đường cao của hình chóp. Chỉ ra tam giác $ ABD $ đều. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB, K $ là trung điểm của $ HB $ và $ I $ là hình chiếu của $ O $ lên $ SK $ thì $ OI $ chính là khoảng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có $$ \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} $$ và tìm được $SO = \frac{a}{2} $. Đáp số $ {{V}_{S.ABCD}}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}. $
3.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $, cho $ AB=a,AC=a\sqrt{3} $, mặt bên $ SBC $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.
Đáp số $ \frac{a^3}{2}. $
Ví dụ 2. [CĐ2010] Hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với đáy và $ SA=SB. $ Góc giữa $ SC $ và đáy là $ 45^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $ thì $ SI\perp (ABCD). $ Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{5}}{6}. $
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ B,$ cạnh $AB=BC=a,$ cạnh $AD=2a. $ Mặt phẳng $ SAD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SAD $ vuông tại $ S. $ Biết $ SB=a\sqrt{2} $, tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ BC=2a $ và đáy là tam giác vuông tại $ C. $ Tam giác $ SAB $ vuông cân tại $ S $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $ (SAC) $ hợp với đáy một góc $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Gọi $ H,K $ là trung điểm của $ AB,AC $ thì $ SH\perp(ABC) $ và $ \widehat{SKH}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}. $
Ví dụ 5. [B2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ 2a, SA = a, SB = a\sqrt{3} $ và mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm $ AB, BC $. Tính theo $ a $ thể tích khối chóp $ S.BMDN $ và tính cosin góc giữa hai đường thẳng $ SM, DN $.
Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{3}}$ và $\cos (SM,DN)=\frac{1}{\sqrt{5}} $.
Ví dụ 6. [B2006] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,$ $AD=a\sqrt{2},$ cạnh $SA=a $ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AD,SC $ và $ I $ là giao điểm của $ BM $ và $ AC $. Tính thể tích khối tứ diện $ ANIB $.
Hướng dẫn. Chỉ ra đường thẳng $ NO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD) $ nên ${{V}_{ANIB}}={{V}_{N.AIB}}$ và được tính bởi công thức $$\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta AIB}}.NO$$ Tính được $ AI,BI $ và suy ra tam giác $ AIB $ vuông tại $ I $. Từ đó tìm được đáp số ${{V}_{N.AIB}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36} $
Ví dụ 7. [A2007] Cho hình chóp $ S.ABCD $ đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, mặt bên $ SAD $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ SB,BC,CD $. Chứng minh rằng $ AM\perp PB $ và tính thể tích khối tứ diện $ CMNP $.
Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AD $ thì $ SH\perp AD $. Kẻ $ MK\parallel SH$ với $K\in HB $ thì chứng minh được $ MK\perp(ABCD) $ và $ MK=\frac{SH}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}. $ Do đó, thể tích khối chóp cần tính là \begin{align}
V&=V_{M.CNP}\\
&=\frac{1}{3}MK.S_{CNP}\\
&=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}
\end{align}
3.4. Hình chóp đều – Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
Ví dụ 1. Hình chóp tam giác đều $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ a $, các cạnh bên tạo với đáy một góc $ 60^\circ $. Hãy tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ và $ O $ là tâm của đáy thì $ \widehat{SAO}=60^\circ $. Từ đó tìm được $ SO=a $ và $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} $
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy $ 2a $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy, $ M $ là trung điểm của $ AB $ thì $ \widehat{SMO}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}. $
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ AB = a , AD = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều các đỉnh $ A,B,C,D $ của mặt đáy và $ SB = a\sqrt{5} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $
Hướng dẫn. Đáp số \begin{align} {V} &= \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \\ &= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{2}.2{a^2} \\ &= \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3} \end{align}
Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a,\widehat{ABC} =60^\circ$, cạnh $SB = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều các đỉnh $ A,B,C $ của mặt đáy $ ABCD $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD.$
Hướng dẫn. Chỉ ra tam giác $ ABC $ đều và gọi $ H $ là tâm của tam giác $ ABC $ thì $ SH\perp(ABCD). $ Từ đó tìm được \begin{align}
{{V}}&=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}\\
&=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{33}}{9}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\\
&=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}
\end{align}
Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a $ và $SA=a$. Các góc $\widehat{SAB},\widehat{SAD} ,\widehat{BAD}$ cùng bằng $60^\circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm hình thoi $ ABCD $. Từ $ SA=AB=AD=a $ và $ \widehat{SAB}=\widehat{SAD}=60^\circ $ suy ra các tam giác $ SAB,SAD $ đều.
Do đó, $ SA=SB=SD $ nên hình chiếu của đỉnh $S$ lên mặt đáy sẽ trùng với tâm $ H $ của tam giác $BAD $.
Có cạnh $ BD=a$ nên suy ra $ AC=a\sqrt{3}$ và tính được diện tích $ABCD$ là $\frac{1}{2}AC.BD=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}. $
Trong tam giác $ BAD $ có $ AH=\frac{2}{3}AO=\frac{a\sqrt{3}}{3} $ nên suy ra $ SH=\sqrt{SA^2-AH^2}$. Từ đó tính được $SH=\frac{a\sqrt{6}}{3}. $
Suy ra $ V=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}. $
4. Bài tập . thể tích khối chóp
Hình chóp có chứa một cạnh bên vuông góc với đáy
Bài tập 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ với $ AC=a,SA\perp \left( ABC \right) $ và $ SB $ hợp với mặt phẳng đáy $ (ABC) $ một góc $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp.
Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24} $.
Bài tập 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,SA\perp \left( ABC \right) $. Biết rằng $ AB=a, AC=2a $, góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABC \right) $ bằng $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $ theo $ a $.
Đáp số: $ V=\frac{a^3}{2} $.
Bài tập 3. [CĐ2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang, các góc $ \widehat{BAD}$, $\widehat{ABC}$ cùng bằng ${{90}^\circ}$, $AB=BC=a,$ $AD=2a$, cạnh $ SA$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ và dài bằng $2a $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA,SD $. Chứng minh rằng $ BCNM $ là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp $ S.BNM $?
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V_{S.BNM}&=V_{N.BMS}\\
&=\frac{1}{3}NM.S_{\Delta BMS} \\
&=\frac{a^3}{6}
\end{align}
Bài tập 4. [CĐKT Cao Thắng 2007] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ \Delta ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ và $ SA\perp \left( ABC \right) $ với $ \widehat{ACB}={{60}^\circ} $, $ BC=a,SA=a\sqrt{3} $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ SB $. Chứng minh $ \left( SAB \right)\perp \left( SBC \right) $ và tính thể tích khối tứ diện $ MABC $.
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V_{MABC }&=V_{C.MAB}\\
&=\frac{1}{3}CB.S_{\Delta MAB} \\
&=\frac{{{a}^{3}}}{4}.
\end{align}
Bài tập 5. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $SB\perp \left( ABC \right)$. Biết $SB=a,SC$ hợp với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{30}^\circ}$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ hợp với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{60}^\circ}$. Chứng minh $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2$ và tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ AC\perp (SAB) $ nên tam giác $ SAC $ vuông. Do đó $ SC^2=SA^2+AC^2$ và suy ra $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2. $ Thể tích $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.
Bài tập 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=3a, BC=4a $. Biết $ SD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SBC $ có diện tích $ 6\sqrt{2} a^2 $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Đáp số: $ 12a^3 $
Bài tập 7. [A2010] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $ và $ AD,H $ là giao điểm của $ CN $ và $ DM $. Biết $ SH\perp \left( ABCD \right) $ và $ SH=a\sqrt{3} $. Tính thể tích khối chóp $ S.CDNM $.
Hướng dẫn. Tính diện tích của tứ giác $ CDNM$ bằng cách lấy diện tích ${ABCD}$ trừ đi diện tích tam giác ${AMN}$ và ${BMC} $. Đáp số $ V=\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Bài tập 8. [DB A2006] Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=AD=a,$ cạnh bên $AA’=\frac{a\sqrt{3}}{2},$ góc ${BAD}={{60}^{0}}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A’D’$ và $A’B’$. Chứng minh rằng: $AC’\bot \left( BDMN \right)$ và tính thể tích khối chóp $A.BDMN$.
Hướng dẫn. Nhận thấy $ABCD$ là hình thoi nên chứng minh được $ BD\perp(ACC’A’) $. Do đó $ AC’\perp BD. $ Gọi $ E=MD\cap AA’ $ thì $ A’ $ là trung điểm $ AE $ và $ AA’,BN,DM $ đồng quy tại $ E. $ Hai tam giác vuông $ AOE $ và $ CC’A $ bằng nhau nên suy ra $ AC’\perp OE. $ Như vậy $ AC’ $ vuông góc với $ BD $ và $ OE $ nên $ AC’\perp(BDMN) $. Gọi $ H=AC’\cap OE $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp $ A.BDMN $. Khi đó, $ V=\frac{1}{3}AH.S_{BDMN}=\frac{3{{a}^{3}}}{16}. $
Hình chóp có chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy
Bài tập 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, hai mặt bên $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với $ \left( ABCD \right) $. Cho $ SB=3a $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCM $.
Đáp số: $ V=\frac{3\sqrt{2}a^3}{2} $
Bài tập 10. Hình chóp $ S.ABC $ có các cạnh $ SB,SC,BC,CA$ bằng nhau và cùng bằng $a, $ hai mặt $ (ABC) $ và $ (ASC) $ cùng vuông góc với $ (SBC). $ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Đáp số: Chọn $ A $ làm đỉnh hình chóp. Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12} $
Bài tập 11. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, các mặt bên $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ \left( ABCD \right) $, cho $ AB=a,AD=2a,$ cạnh $SC $ tạo với mặt đáy $ \left( ABCD \right) $ một góc $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số: $ V=\frac{2\sqrt{3}a^3}{3}.$
Bài tập 12. Hình chóp $ S.ABC $ có hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Biết rằng đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân đỉnh $ A $ với trung tuyến $ AD = a $, cạnh bên $ SB $ tạo với đáy một góc $ \alpha $. Biết $ $SA$=a\sqrt{6} $, hãy tìm góc $ \alpha $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABC$.
Đáp số:
$ \alpha=\widehat{SBA}=60^\circ $, $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3} $.
Bài tập 13. Cho hình chóp $ S.ABC $ có các mặt bên đôi một vuông góc. Diện tích các mặt bên lần lượt là $ 4a^2,6a^2 $ và $ 12a^2. $ Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ SA,SB,SC $ đôi một vuông góc. Đặt $ SA=x,$ $SB=y,$ $SC=z $ và biểu diễn tích $ xyz $ theo $ a. $ Từ đó tìm được thể tích $ V=8a^3 $.
Bài tập 14. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $, $ AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ \left( ABCD \right),SC $ tạo với mặt phẳng đáy $ \left( ABCD \right) $ một góc $ {{60}^\circ} $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SB $.
- Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
- Chứng minh tam giác $ SBC $ vuông và tính thể tích khối chóp $ S.ACI $.
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V&=V_{I.SAC}\\
&=\frac{1}{3}d(I,(SAC)).S_{\Delta SAC}\\
&= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d(B,(SAC)).S_{\Delta SAC}
\end{align} Đáp số $ V_{S.ABCD}=\frac{\sqrt{6}a^3}{2},$ và $V_{S.ACI}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}. $
Hình chóp có chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy
Bài tập 15. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang cân với $ AD\parallel BC $. Mặt phẳng $ (SAD) $ vuông góc với đáy. Cho $ AB=BC=CD=a$ và $SA=SD=AD=2a $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC$.
Đáp số: $ V_{S.ABCD}=\frac{3a^3}{4}$ và $V_{S.ABC}=\frac{a^3}{4}. $
Bài tập 16. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng $ \Delta SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ \left( ABCD \right) $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} $.
Bài tập 17. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ mặt phẳng $ (SAC) $ vuông góc với đáy, $ \widehat{ASC}=90^\circ $ và $ SA $ tạo với đáy một góc $ \alpha. $ Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn. Kẻ $ AH $ vuông góc với $ AC $ tại $ H $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp. Đáp số: $ V=\frac{a^3\sqrt{2}\sin2\alpha}{6} $
Bài tập 18. Hình chóp $ S.ABC $ có $ \widehat{BAC}=90^\circ,$ $\widehat{ABC}=\alpha.$ Tam giác $SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $ và $ (SAB)\perp (ABC). $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Hạ $ SH\perp AB $ thì có hai tam giác $ SHB,SHC $ bằng nhau nên suy ra $ HB=HC $. Gọi $ I $ là trung điểm $ BC $ thì $ HI $ là đường trung tuyến và đường cao của tam giác cân $ HBC $ nên tính được $ HB =\frac{a}{2\cos\alpha} $. Từ đó tìm được $ SH=\frac{a\sqrt{4\cos^2\alpha-1}}{2\cos\alpha} $. Đáp số: $ \frac{1}{12}a^3\sin\alpha\sqrt{4\cos^2\alpha-1} $
Bài tập 19. Hai hình thang $ ABCD $ và $ ABEF $ cùng vuông tại $ A,B $ và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Cho $ AB=5a$, $AD=AF=a$, $BC=4a$, $BE=x. $ Định $ x $ để hai tứ diện $ ABDF $ và $ ABCE $ có thể tích bằng nhau.
Đáp số: $ x=\frac{a}{4}. $
Hình chóp đều và hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
Bài tập 20. [TN2008] Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có cạnh đáy bằng $ a $, cạnh bên bằng $ 2a $. Gọi $ I $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Chứng minh: $ SA\perp BC $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABI $ theo $ a $.
Bài tập 21. Tính thể tích tứ diện đều có các cạnh bằng $ a $.
Đáp số: $ \frac{a^2\sqrt{2}}{12} $
Bài tập 22. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng $ a $.
Đáp số: $ \frac{a^2\sqrt{2}}{6} $
Bài tập 23. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, các cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích hình chóp đó.
Đáp số: $ \frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}} $
Bài tập 24. Cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, các cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp.
Đáp số: $ \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} $
Bài tập 25. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có chiều cao $ SH = h $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ \alpha $. Tính thể tích khối chóp theo $ h $ và $ \alpha $.
Đáp số: $ \frac{4{{h}^{3}}{{\cot }^{2}}\alpha }{3} $
Bài tập 26. [Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2007]
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng $ S.ABCD $ là hình chóp đều. Tính độ dài cạnh của hình chóp này khi biết thể tích của nó bằng $ \frac{9{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} $.
Đáp số: $ 3a $.
Bài tập 27. [DB D2006] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $. Gọi $ SH $ là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm $ I $ của $ SH $ đến mặt bên $ \left( SBC \right) $ bằng $ b $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $, hạ $ IK\perp SM $ thì $ IK $ chính là khoảng cách từ $ I $ đến mặt phẳng $ (SCD). $ Đáp số: $ V=\frac{2{{a}^{3}}b}{3\sqrt{{{a}^{2}}-16{{b}^{2}}}} $.
Bài tập 29. [B2004] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $ \varphi$. Tính tang góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và mặt phẳng $ \left( ABCD \right) $ theo $ \varphi $. Tính thể tích khối chóp theo $ a $ và $ \varphi $.
Đáp số: $ \sqrt{2}\tan \varphi$, $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}.\tan \varphi }{6} $.
