SKKN Ứng dụng cấu trúc nhóm trong một số bài toán số học
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Mục tiêu giáo dục của chúng ta hiện nay là đào tạo những con người lao động tự
chủ, năng động, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, góp phần
xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng và văn minh, đưa đất nước Việt
Nam tiến nhanh trên con đường phát triển hòa nhập với thế giới ở đầu thế kỉ XXI.
Đứng trước tình hình đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục và Đào tạo cũng
như nhà trường đã đề ra nhiều biện pháp tích cực. Một trong những biện pháp đó là
cải tiến chương trình dạy học, cải tiến phương pháp dạy của thầy và phương pháp
học của trò, phải có cuộc cách mạng thực sự về phương pháp giáo dục, cũng như
cách thức tổ chức kiểm tra chất lượng học sinh để hưởng ứng cuộc vận động của Bộ
trưởng Bộ GD – ĐT về chống tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong giáo
dục.
Đối với bộ môn Toán – Bộ môn then chốt của khoa học tự nhiên, thì một trong
những khâu quan trọng của quá trình cải tiến chương trình dạy học là tiếp nhận và
giải quyết một vấn đề theo nhiều hướng khác nhau, cố gắng tìm đến bản chất của
nó, từ đó có mối liên hệ giữa các bài toán riêng lẻ với nhau.
II. Mô tả giải pháp
- Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Có lẽ, Số Học là phân nhánh Toán Học có lịch sử lâu đời nhất. Rất nhiều các câu
hỏi quan trọng của Toán Học hiện đại cũng thuộc hoặc liên quan mật thiết đến lĩnh
vực này.
Giả thuyết Riemann, một trong 7 bài toán thiên niên kỷ do Viện Toán Clay đề ra
cũng liên quan trực tiếp đến tính phân bố của các số nguyên tố trên trục số thực R.
Vấn đề này hấp dẫn đến mức David Hilbert từng nói “Nếu Tôi thức dậy sau một giấc
ngủ 1000 năm, câu hỏi đầu tiên của Tôi sẽ là :giả thuyết Riemann đã được chứng
minh chưa?”
Ở một khía cạnh khác, rất nhiều nhà Toán Học cho rằng, trong các phân nhánh
của Toán Học bao gồm Số Học, Hình Học, Đại Số, Giải Tích, Xác suất – Thống Kê
(cách phân chia này có tính chất rất tương đối), Số Học chính là phân nhánh có
nhiều thách thức nhất. Câu hỏi tự nhiên nảy sinh là Vì SAO HỌ NGHĨ NHƯ VẬY?
Năm 1994, Andrew Wiles chứng minh định lý cuối cùng của Fermat và từ đó Toán
học mất đi con gà đẻ trứng vàng. Người ta nói như vậy, vì để chinh phục định lý
của Fermat, những nhà Toán Học đã tạo ra rất nhiều công cụ, kỹ thuật mới, không
chỉ trong Số Học mà còn trong Đại Số, Giải Tích để xử lý một bài toán Số Học!!!
Câu trả lời của câu hỏi trên cũng nằm ở đây, nếu so sánh Số Học với các phân nhánh
Toán Học khác thì những công cụ, kỹ thuật chưa phong phú bằng. Do đó, để giải
2
quyết một vấn đề Số Học, người ta có thể nghĩ đến công cụ thuộc phân nhánh Toán
Học khác. - Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Sáng kiến này được viết cũng với ý tưởng như vậy. Chúng tôi muốn khai thác sâu
lý thuyết Nhóm, một công cụ trong Đại Số để giải quyết, sáng tạo những bài toán
Số Học ở trình độ THPT. Báo cáo sẽ cung cấp một cái nhìn mới về một số đối
tượng trong Số Học mà học sinh cũng đã quen thuộc như phần tử nghịch đảo trong
modulo, cấp số, căn nguyên thủy. Tuy nhiên, có hai khó khăn chính khi thực hiện
đề tài này được diễn đạt thông qua 2 câu hỏi: - Lý thuyết Nhóm là một lý thuyết rất rộng, sâu. Vậy ở mức độ THPT, ta nên
chọn lọc những mảng kiến thức nào để giới thiệu cho học sinh? Xin tóm tắt bằng
một câu hỏi:
Dạy học sinh cái gì? - Lý thuyết Nhóm chỉ được dạy một cách chính quy, với một hệ thống các ký hiệu,
quy ước cho sinh viên đại học, vậy làm thế nào để diễn đạt những quy ước, ký
hiệu này cho học sinh phổ thông mà không phải dùng đến hệ thống các ký hiệu,
quy ước trên. Xin tóm tắt bằng một câu hỏi:
Dạy học sinh tư duy và trình bày như thế nào?
Với mục tiêu trả lời 2 câu hỏi trên, báo cáo của chúng tôi có những đóng góp cụ thể
như sau:
- Hệ thống lại lý thuyết nhóm một cách phù hợp hơn với học sinh THPT và hướng
dẫn cách tư duy, vận dụng lý thuyết nhóm vào việc giải một số bài toán Số Học. - Hướng dẫn cách trình bày lời giải một bài toán Số Học có sử dụng công cụ lý
thuyết nhóm một cách tương đối phù hợp ở mức độ học sinh THPT.
Về cấu trúc của nội dung sáng kiến, chúng tôi có 3 phần chính: - Phần I: Chúng tôi trình bày những mảng lý thuyết quan trọng, ngoài ra chúng
tôi có giới thiệu 2 định lý mặc dù không thể áp dụng trực tiếp vào lời giải, nhưng
có ích rất nhiều trong việc tư duy tìm ra lời giải sơ cấp của bài toán. Ngoài ra,
chúng tôi đưa ra một số bài tập lý thuyết để củng cố lại các đơn vị kiến thức
này. - Phần II: Chúng tôi đưa ra một số bài toán thực tế đã được dùng trong các kì
thi học sinh giỏi, với mỗi bài toán chúng tôi phân tích cấu trúc nhóm xuất hiện
như thế nào và hướng tìm ra lời giải của những bài toán này. Sau đó, chúng tôi
trình bày lời giải hoàn chỉnh.
3 - Phần III: Chúng tôi kết luận và đề ra hướng phát triển cho sáng kiến này.
Với tinh thần cầu thị, chúng tôi hy vọng chuyên đề này một mặt có thể giúp đỡ các
thầy cô trong công tác giảng dạy HSG, một mặt khác, cũng mong các thầy cô đóng
góp ý kiến, chỉnh sửa những chỗ chưa hợp lý trong bản thảo này.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Các tác giả
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Một đối tượng trong Toán học có cấu trúc thì sẽ dễ nghiên cứu hơn rất nhiều. Hơn nữa,
người ta nhận thấy những tập hợp quen thuộc như tập số tự nhiên, tập số nguyên,
tập số hữu tỷ, . . . đều có những điểm chung về cấu trúc. Đây cũng là một trong những
động lực cho sự ra đời của lý thuyết nhóm. Để mở đầu, ta hãy cùng tìm hiểu một số
định nghĩa và ví dụ phổ biến. Phần lý thuyết này có liên hệ với khái niệm phần tử
nghịch đảo trong modulo của một số tự nhiên, cấp của một số và căn nguyên thủy.
1.1 Nhóm, nhóm con
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G khác rỗng và một phép toán ∗. Cặp (G, ∗) được
gọi một một nhóm nếu nó thỏa mãn 4 tính chất:
- Tập G đóng với phép toán ∗, tức là a, b ∈ G thì a ∗ b = c ∈ G.
- Tính kết hợp: Với mọi a, b, c ∈ G thì (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
- Tồn tại phần tử đơn vị: tồn tại phần tử e ∈ G sao cho ∀ a ∈ G thì a ∗ e = e ∗ a = a.
- Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mọi phần tử a ∈ G thì tồn tại phần tử b ∈ G sao
cho a ∗ b = b ∗ a = e. Phần tử b còn gọi là phần tử nghịch đảo của phần tử a và ký
hiệu là a
−1
.
Chú ý:
- Phép toán ∗ ở đây thường là phép cộng, nhân, hoặc ánh xạ hợp.
- Nếu tập G có hữu hạn phần tử thì (G, ∗) còn được gọi là một nhóm hữu hạn.
- Lực lượng của tập G còn gọi là cấp của nhóm G.
- Nhóm (G, ∗) gọi là một nhóm giao hoán nếu với mọi a, b ∈ G thì a ∗ b = b ∗ a. Từ
giờ, nếu không có lưu ý nào thì ta chỉ xét những nhóm giao hoán vì đây là đối
tượng xuất hiện chủ yếu trong các bài toán mà ta quan tâm.
4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 5
Ví dụ 1.1.2. Các cặp (Z, +), (Q, +), (Q∗
, .) đều là các nhóm.
Thật vậy, ta thấy: - Nhóm (Z, +) có phần tử đơn vị là số 0. Phần tử nghịch đảo của a là −a.
- Nhóm (Q, +) có phần tử đơn vị là số 0. Phần tử nghịch đảo của x là −x.
- Nhóm(Q∗
, .) có phần tử đơn vị là số 1. Phần tử nghịch đảo của a là 1
a
.
Ví dụ 1.1.3. Các cặp (N, +), (Q, .) đều không phải là nhóm.
Thật vậy, ta thấy: - Cặp (N, +) thì mọi số nguyên dương đều không tồn tại phần tử nghịch đảo.
- Cặp (Q, .) thì không tồn tại phần tử nghịch đảo của số 0.
Bài tập lý thuyết 1 ∗
Ký hiệu Zp là tập tất cả các lớp thặng dư phân biệt trong modulo p với p là
một số nguyên tố. Chứng minh rằng:
a) Cặp (Zp, +) là một nhóm.
b) Cặp (Z
∗
p
, .) là một nhóm với Z
∗
p
là tập tất cả các lớp thặng dư phân biệt khác
0 trong modulo p.
Lời giải:
a) Ta có thể kiểm tra (Zp, +) là một nhóm vì - Tập Zp đóng với phép cộng của 2 lớp thặng dư.
- Phép toán này có tính chất kết hợp.
- Nhóm này có phần tử đơn vị là lớp thặng dư 0.
- Phần tử nghịch đảo của lớp thặng dư a bất kỳ là lớp −a.
Chú ý rằng đây là nhóm hữu hạn, giao hoán và có cấp n.
b) Tương tự như vậy (Z
∗
p
, .) cũng là một nhóm vì - Tập Z
∗
p đóng với phép nhân của 2 lớp thặng dư. - Phép toán này có tính chất kết hợp.
- Nhóm này có phần tử đơn vị là lớp thặng dư 1.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6 - Với mỗi lớp thặng dư a khác lớp 0 thì a và p nguyên tố cùng nhau. Do đó, theo
Bezout, sẽ tồn tại hai số nguyên b, d sao cho
ab + cd = 1.
Hay ab ≡ 1 (mod p) và lớp thặng dư b là phần tử nghịch đảo của lớp thặng dư a.
Hơn nữa, đây là nhóm hữu hạn, giao hoán có cấp n − 1.
Bài tập lý thuyết 2 ∗
Cho n là một số nguyên dương. Ký hiệu Sn là tập tất cả các hoán vị của tập
{1, . . . , n}. Chứng minh Sn với phép toán hợp của hai hoán vị là một nhóm.
Lời giải:
Ta ký hiệu phép toán hợp của hai hoán vị là ◦. - Ta thấy hợp 2 song ánh là 1 song ánh nên Sn đóng phép toán hợp 2 ánh xạ.
- Phép toán này có tính chất kết hợp.
- Nhóm này có phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất.
- Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất. Phần tử nghịch đảo của một hoán vị f là
ánh xạ ngược f
−1
Vậy (Sn, ◦) là một nhóm. Có thể thấy đây là nhóm hữu hạn có cấp n! nhưng không
phải là nhóm giao hoán.
Bài tập lý thuyết 3 ∗
Cho (G, .) là một nhóm. Chứng minh sự duy nhất của phần tử đơn vị và sự duy
nhất của phần tử nghịch đảo của một phần tử trong nhóm G.
Lời giải:
Giả sử x, y đều là phần tử đơn vị của nhóm (G, .) Khi đó x.y = x nhưng đồng thời
x.y = y, do đó x = y.
Ký hiện phần tử nghịch đảo của nhóm G là e. Giả sử phần tử nghịch đảo của a là
b và c. Vậy
ab = ba = ac = ca = e.
Ta xét a.b = e vậy c.a.b = c, nhưng c.a = e nên theo tính chất kết hợp, ta có e.b = c
hay b = c. Tóm lại trong một nhóm thì phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo của một
phần tử là duy nhất.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 7
Bài tập lý thuyết 4 ∗∗
Cho n là một số tự nhiên khác không. Chứng minh (Z
∗
n
, .) là một nhóm trong
modulo n với Z
∗
n
là tất cả các lớp thặng dư ứng với tất cả các số tự nhiên nhỏ
hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n.
Lời giải:
Bộ (Z
∗
n
, .) thỏa mãn các điều kiện của một nhóm: - Tích của 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với n thì cũng là 1 số nguyên tố cùng
nhau với n. Do đó Z
∗
n đóng với phép toán nhân hai lớp thặng dư. - Phần tử đơn vị 1 ∈ Z
∗
n
. - Phép toán nhân hai lớp thặng dư đương nhiên có tính kết hợp.
- Lấy phần tử a ∈ Z
∗
n
thì (a, n) = 1 nên tồn tại c, d ∈ Z sao cho ac + nd = 1. Ta
chú ý rằng (c, n) = 1, nên ta có thể chọn phần tử nghịch đảo của lớp thặng dư a
chính là lớp thặng dư c.
Định nghĩa 1.1.4. Cho nhóm (G, ∗), tập con H của G với phép toán ∗ gọi là một
nhóm con của nhóm G nếu (H, ∗) là một nhóm.
Bài tập lý thuyết 5 ∗
Cho nhóm (G, ∗), tập con H của G với phép toán ∗ là một nhóm con của G khi
và chỉ khi a
−1
.b ∈ H với mọi a, b ∈ H.
Lời giải: Ta thấy các điều kiện của 1 nhóm đều thỏa mãn: - Tập H chứa phần tử đơn vị vì lấy a ∈ H thì e = a
−1
.a ∈ H. - Phép toán ∗ hiển nhiên có tính chất kết hợp vì (G, ∗) là một nhóm.
- Với mỗi phần tử a ∈ H thì a
−1 ∗ e = a
−1 ∈ B (do e ∈ H theo chứng minh trên). - Lấy a, b ∈ H thì a
−1 ∈ H, vậy (a
−1
)
−1 ∗ b = a ∗ b ∈ H.
Định lí 1.1.5. (Lagrange) Cho (G, .) là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con
của G. Khi đó lực lượng của G chia hết cho lực lượng của H.
Chứng minh. Ta gọi H = {h1, . . . , hk}. Lấy 2 phần tử a, b ∈ G và định nghĩa
aH = {a.h1, . . . , a.hk}; bH = {b.h1, . . . , b.hk}.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 8
Ta đi chứng minh nếu 2 tập Sa và Sb hoặc giao nhau bằng rỗng hoặc phải trùng nhau
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: