dàn âm thanh hội trường, âm thanh lớp học, âm thanh phòng họp, loa trợ giảng

Một số ý tưởng khai thác tính chất của hàm số nhằm phát triển năng lực Toán học cho học sinh THPT qua các bài toán vận dụng cao liên quan tới hàm số

Một số ý tưởng khai thác tính chất của hàm số nhằm phát triển năng lực Toán học cho học sinh THPT qua các bài toán vận dụng cao liên quan tới hàm số

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Đổi mới giáo dục là điều tất yếu và đang diễn ra ở khắp các mặt của
ngành giáo dục nước ta, trong đó xu hướng thay đổi quan trọng bậc nhất là các
hoạt động dạy và học, đánh giá diễn ra theo phẩm chất và năng lực đúng của
người học, giúp phát triển năng lực cho người học. Ở môn Toán, năng lực Toán
học có những đặc thù riêng và cần thiết phải phát hiện và bồi dưỡng cho học
sinh, nhất là những học sinh có tố chất tốt để có thể trở thành nguồn nhân lực
tốt cho xã hội.
Bắt đầu từ năm học 2016-2017, bài thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh
Đại học, cao đẳng theo cách gọi trước đây đối với môn Toán chuyển sang hình
thức trắc nghiệm (ta tạm gọi là thi tốt nghiệp THPT). Kể từ năm học đó đến
nay các dạng câu hỏi trong bài thi này ngày càng phong phú về nội dung, cách
phát biểu và có những yêu cầu sâu hơn về kiến thức, kĩ năng mà học sinh cần
được trang bị. Nội dung ứng dụng của hàm số (ứng với kiến thức thuộc Chương
1 và Chương 2 của Đại số và Giải tích 12) là mảng được khai thác nhiều nhất
và có tập trung nhiều câu hỏi vận dụng cao. Để tiếp cận được những câu hỏi
này trong đề thi thường đòi hỏi ở học sinh phải có những năng lực Toán học
tốt. Do vậy chúng tôi thấy cần thiết phải rèn luyện cho học sinh những kĩ năng
cơ bản, kĩ thuật tiếp cận vấn đề ở những câu hỏi vận dụng cao, thông qua đó
phát triển năng lực Toán học cho các em để không chỉ đáp ứng yêu cầu trước
mắt của bài thi mà còn là cách thức tư duy, tiếp cận và giải quyết vấn đề trong
cuộc sống. Các nội dung trong báo cáo này bàn về định hướng phát triển năng
lực Toán học cho học sinh khi học mảng ứng dụng của hàm số và đạo hàm đã
3

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

được chúng tôi triển khai qua một số năm khi giảng dạy môn Toán cho học sinh
lớp 12 tiếp cận chương trình thi THPT quốc gia. Đây có thể là những giải pháp
tốt đáp ứng được yêu cầu hiện tại của việc học và thi Toán ở THPT, đồng thời
tiếp cận đúng theo chương trình giáo dục phổ thông mới đang triển khai.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
Tóm tắt: Trong phần này, báo cáo sẽ trình bày những nội dung sau:
Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

  • Nêu thực trạng trong việc dạy và học Toán để thi trắc nghiệm hiện nay.
  • Một số năng lực Toán học cần phát triển cho học sinh hiện nay.
  • Tóm tắt một số nội dung kiến thức liên quan tới hàm số (giải tích).
    Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
    Phần này trong báo cáo trình bày một ý tưởng cụ thể nhằm phát triển
    năng lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc tiếp cận các câu hỏi vận
    dụng cao có nội dung về hàm số ở chương trình lớp 12. Thông qua việc trình
    bày một số ý tưởng sau đây, các tác giả muốn nhấn mạnh điều: Năng lực Toán
    học của học sinh không chỉ hình phát huy qua việc tiếp cận các vấn đề theo các
    quy trình “chuẩn” nói chung đã được trang bị mà còn có thể phát triển qua việc
    hiểu đúng, hiểu sâu bản chất của bài toán và sáng tạo trong việc liên kết các
    mạch kiến thức với nhau để có công cụ mới.
    Các giải pháp trình bày trong báo cáo bao gồm:
    Một là: Khai thác mối quan hệ giữa các điểm đặc biệt của hàm số
  • Mối quan hệ giữa điểm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với điểm cực trị.
  • Mối quan hệ về dấu của giá trị hàm số tại điểm liên tục và trong lân cận của
    điểm đó.
  • Mối quan hệ giữa không điểm của hàm số và vấn đề hàm số không đổi dấu.
  • Mối quan hệ giữa số nghiệm và số điểm cực trị của hàm đa thức.
    4

Hai là: Khai thác các tính chất đặc biệt của hàm số (tính đơn điệu, tính chẵn
lẻ, …).
Điểm mới và sáng tạo của báo cáo là:

  • Từ ý tưởng hình thành các Mệnh đề dùng trong suy luận nhanh các
    câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao. Các Mệnh đề này cũng là nền
    tảng cho việc sáng tạo bài toán mới của giáo viên.
  • Thể hiện tính liên hệ chặt chẽ giữa các mạch kiến thức giải tích có
    liên quan tới hàm số, xem đó như là một trong các biện pháp quan
    trọng để phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học.
  • Chú trọng sử dụng phương tiện toán học (máy tính cầm tay) đáp ứng
    yêu cầu thực tế của việc làm bài trắc nghiệm.
  1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
    1.1. Thực trạng trong việc dạy và học Toán để thi trắc nghiệm hiện nay
    Liên quan tới báo cáo này, chúng tôi quan tâm tới hai vấn đề chính trong
    dạy và học Toán hiện nay: Một là việc dạy học phát triển năng lực người học,
    hai là tác động của việc thi trắc nghiệm môn Toán tới cách học bộ môn của học
    sinh hiện nay. Bên cạnh những mặt tích cực mà phương pháp đánh giá kiểm tra
    bằng hình thức trắc nghiệm tạo ra thì có không ít những điều hạn chế và mâu
    thuẫn đang phát sinh:
  • Mâu thuẫn giữa việc dạy học môn Toán nhằm phát triển năng lực học
    sinh, hướng tới cái hay cái đẹp nội tại của môn Toán và tính ứng dụng của Toán
    trong đời sống với việc học để làm bài thi trắc nghiệm (bài thi mà ở đó ít thể
    hiện được các yêu cầu đặc trưng riêng của môn Toán).
  • Không ít học sinh học để thi trắc nghiệm, chạy theo cách học “giải
    nhanh, giải tắt” mà bỏ qua tính chặt chẽ trong các lập luận Toán học, không
    5

nắm rõ bản chất các vấn đề lý thuyết. Nhiều trường hợp điểm bài đánh giá bằng
hình thức trắc nghiệm không phản ánh đúng năng lực Toán học của học sinh
đó.

  • Trong giải bài tập toán, phần lớn học sinh gặp khó khăn ở bước tìm
    cách giải. Học sinh thường áp dụng máy móc các công thức hay thuật toán (điều
    này hầu như ít thành công ở câu hỏi vận dụng cao mang tính phân loại), không
    có thói quen chuyển hướng tư duy. Học sinh cũng có thói quen dừng lại khi đã
    tìm được một lời giải cho bài toán, không tìm kiếm lời giải khác hay các bài
    toán tương tự hoặc thay đổi giả thiết bài toán hay khái quát hóa bài toán. Thói
    quen này làm cho học sinh thấy mệt mỏi trong học toán khi lượng câu hỏi và
    dạng bài trắc nghiệm khá nhiều, không nhìn ra điểm chốt kiến thức kĩ năng
    chính trong câu hỏi, không thấy được mối liên hệ của các kiến thức với nhau.
  • Học sinh bị “mất gốc” khi học tiếp bộ môn Giải tích ở bậc Đại học vì
    ở bậc THPT đã không học và làm bài toán theo đúng bản chất Toán học.
    1.2. Một số năng lực Toán học cần phát triển cho học sinh hiện nay
    Trước khi đưa được Toán học vào đời sống, thấy được ứng dụng của
    Toán trong đời sống, có lẽ cần phát triển những năng lực đặc thù cho học sinh
    để việc học và làm Toán trở về với đúng “chất” của Toán. Một số năng lực sau
    đây đóng vai trò rất quan trọng, đặc biệt đối với những học sinh có khả năng tư
    duy tốt về Toán trong bối cảnh chung là đánh giá học sinh qua trắc nghiệm:
  • Năng lực tư duy và lập luận toán học.
  • Năng lực giải quyết vấn đề toán học.
  • Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
    Chi tiết về những năng lực trên có trong tài liệu tham khảo [2]-trang 9
    đến trang 15, có thể nói gọn một số yêu cầu cần phát triển cho học sinh là: Phải
    đảm bảo tính logic trong các suy luận (sử dụng định nghĩa, định lý một cách
    6

đúng đắn, không cảm tính, ngộ nhận về chiều suy luận …), nhìn bài toán ở
nhiều góc độ để có hướng giải quyết sáng tạo, có thói quen khai thác kiến thức
và khai thác bài toán, biết sử dụng các công cụ (máy tính) hỗ trợ việc giải toán

1.3. Tóm tắt một số nội dung kiến thức liên quan tới hàm số (giải tích)
1.3.1 – Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số f x  xác định trên tập D .

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ
  • Hàm số f x  gọi là hàm số chẵn trên tập D nếu    
    ,
    , .
    x x D x D
    x D f x f x
        

        
  • Hàm số f x  gọi là hàm số lẻ trên tập D nếu    
    ,
    , .
    x x D x D
    x D f x f x
        

         
    1.3.2 – Hàm số liên tục tại điểm:
    Cho hàm số f x  xác định trên khoảng K và 0
    x K  . Hàm số f x 
    được gọi là liên tục tại 0
    x nếu    
    0
    0
    limx x
    f x f x

     .
    Nói cách khác: Với mỗi số thực dương  tùy ý, tồn tại số thực dương 
    sao cho    0
    f x f x   đúng với mọi x thỏa mãn 0
    x x   .
    1.3.3 – Đạo hàm của hàm số tại một điểm:
    Cho hàm số f x  xác định trên khoảng a b;  và   0
    x a b  ; . Nếu tồn tại
    giới hạn hữu hạn
       
    0
    0
    0
    limx x
    f x f x
     x x


    thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của
    hàm số f x  tại điểm 0
    x . Giới hạn này còn được viết ở dạng
     0 0   
    0
    limx
    f x x f x
      x
     

    .
    1.3.4 – Điều kiện đủ để hàm số đồng biến
    Cho hàm số y f x    có đạo hàm trên khoảng K .
    7
  • Nếu f x x K ‘ 0,      thì hàm số y f x    đồng biến trên K .
  • Nếu f x x K ‘ 0,      thì hàm số y f x    nghịch biến trên K .
    Lưu ý : Nếu f x x a b ‘ 0, ;       và hàm số y f x    liên tục trên đoạn a b; 
    thì hàm số y f x    đồng biến trên đoạn a b; .
    1.3.5 – Điểm cực trị của hàm số:
    Định nghĩa: Cho hàm số f x  xác định và liên tục trên khoảng a b;  (ở đó a
    có thể là  và b có thể là ), điểm   0
    x a b  ; .
  • Nếu tồn tại h 0 sao cho f x f x x x h x h x        0 0 0 0 , ; \     thì
    ta nói f x  đạt cực đại tại điểm 0
    x .
  • Nếu tồn tại h 0 sao cho f x f x x x h x h x        0 0 0 0 , ; \     thì
    ta nói f x  đạt cực tiểu tại điểm 0
    x .
    Định lý Fermat: Nếu hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng a b;  chứa 0
    x và
    f x  đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại 0
    x thì  
    /
    0
    f x  0 .
    Định lý (Quy tắc I – tìm cực trị): Giả sử hàm số f x  liên tục trên khoảng
      0 0 K x h x h    ; và có đạo hàm tại mọi điểm trên K x \  0 , h 0 .
  • Nếu    
    /
    0 0 f x x x h x     0, ; và    
    /
    0 0 f x x x x h     0, ; thì 0
    x là
    điểm cực đại của hàm số f x .
  • Nếu    
    /
    0 0 f x x x h x     0, ; và    
    /
    0 0 f x x x x h     0, ; thì 0
    x là
    điểm cực tiểu của hàm số f x .
    1.3.6 – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
    Định nghĩa: Cho hàm số f x  xác định trên K . Khi đó:
  •  
     
      0 0
    ,
    min
    : . K
    f x m x K
    f x m
    x K f x m
          

       
  •  
     
      0 0
    ,
    max
    : . K
    f x M x K
    f x M
    x K f x M
          

       
    8
  1. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
    Phần 2.1: Khai thác mối quan hệ giữa các điểm đặc biệt của hàm số
    2.1.1 – Mối quan hệ giữa điểm đạt giá trị lớn nhất, điểm đạt giá trị nhỏ
    nhất với điểm cực trị.
    Ý tưởng:
    Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất có thể là
    điểm cực trị của hàm số.
    Mệnh đề 1. Giả sử hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng a b;  và trên khoảng
    a b; nó đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc đạt giá trị lớn nhất) tại điểm   0
    x a b  ; , khi
    đó  
    /
    0
    f x 0.
    Chứng minh:
    Giả sử có
     
       0
    ;
    min
    a b
    f x f x  , khi đó có       0
    f x f x x a b    , ; .
    Ta có  
            / 0 0 0 0
    0
    0 0
    lim lim x x
    f x x f x f x x f x f x
    x x
         
       
     
     
    (1).
    Từ
        0 0
    0
    f x x f x
    x
      


     
    suy ra
     0 0   
    0
    lim 0
    x
    f x x f x
    x
      
     


    (2).
    Từ
     0 0   
    0
    f x x f x
    x
      


     
    suy ra
        0 0
    0
    lim 0
    x
    f x x f x
    x
      
     


    (3).
    Kết hợp (1), (2), (3) dẫn đến  
    /
    0
    f x  0 .
    Tương tự, có thể chứng minh được các kết quả sau:
  • Nếu trên   0
    x b; hàm số f x  có đạo hàm và đạt giá trị nhỏ nhất tại
    0
    x thì  
    /
    0
    f x 0
      (như vậy có thể hiểu theo nghĩa là hàm số có “xu
    hướng đồng biến ở lân cận phải của 0
    x ”).
    9
  • Nếu trên   0
    x b; hàm số f x  có đạo hàm và đạt giá trị lớn nhất tại 0
    x
    thì  
    /
    0
    f x 0
      (như vậy có thể hiểu theo nghĩa là hàm số có “xu
    hướng nghịch biến ở lân cận phải của 0
    x ”).
  • Nếu trên   0
    a x; hàm số f x  có đạo hàm và đạt giá trị nhỏ nhất tại
    0
    x thì  
    /
    0
    f x 0
      (như vậy có thể hiểu theo nghĩa là hàm số có “xu
    hướng nghịch biến ở lân cận trái của 0
    x ”).
  • Nếu trên   0
    a x; hàm số f x  có đạo hàm và đạt giá trị lớn nhất tại 0
    x
    thì  
    /
    0
    f x 0
      (như vậy có thể hiểu theo nghĩa là hàm số có “xu
    hướng đồng biến ở lân cận trái của 0
    x ”).
    Ví dụ 1. Cho hàm số      
    2 2
    f x x ax ax a b       1 4 2 với a b, . Biết
    trên khoảng 4
    ;0
    3
        
      hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x  1. Hỏi trên đoạn
    5
    2;
    4
     
          hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào sau đây?
    A. 5
    4
    x   . B. 4
    3
    x   . C. 3
    2
    x   . D. x  2 .
    Phân tích: Hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  .
        
    / 2 f x x ax ax a b       2 1 2 5 3 2 .
  • Trên khoảng 4
    ;0
    3
        
      hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x  1 nên theo Mệnh
    đề 1, hàm số đạt cực trị tại x  1  
    /    f 1 0
             4 6 2 0 6 2  a b b a  .
    Khi đó có     
    / 2 f x a x x x     2 1 2 5 3
    Phải có a 0 , khi đó  
    /
    f x có các nghiệm 3
    ; 1
    2
    x
            .
    Hàm f x  đạt cực đại tại x  1 nên có bảng biến thiên như sau (với a  0):
    10

x 
3
2
 1 1 
 
/
f x  0  0  0 
f x 
 
Quan sát bảng biến thiên thấy trên đoạn
5
2;
4
 
     , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
tại 3
2
x   . Chọn phương án C.
Ví dụ 2. Xét tất cả các tham số thực m thỏa mãn điều kiện hàm số
 
2
4
2
x mx f x
x
  


có giá trị lớn nhất trên đoạn 1;1 bằng 2. Phát biểu
nào sau đây đúng?
A. m . B. m  2;0. C. m0;1. D. m1;3.
Phân tích:

  • Đây là kiểu bài biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất theo tham số.
  • Cách giải quyết theo mạch tư duy thông thường sẽ là:
  • Tìm đạo hàm;
  • Xác định điểm tới hạn của hàm số trên đoạn 1;1;
  • Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút và so sánh
    để xác định giá trị lớn nhất (tùy thuộc theo các trường hợp của m);
  • Giải điều kiện về giá trị lớn nhất bằng 2.
  • Khó khăn khi tiến hành theo cách trên:
    Ta thấy
     
    2
    /
    2
    4 2 4
    2
    x x m
    y
    x
       


    .
    Việc /
    y có nghiệm khi nào và khi có nghiệm thì phải so sánh các nghiệm
    của nó với 1 sẽ dẫn đến nhiều trường hợp biện luận và việc tính toán, so sánh
    giá trị trở lên phức tạp.
    11

Phát hiện vấn đề:

  •  
     
     
    1;1
    f f x 0 2 max

      , f x  liên tục trên 1;1
  • Điểm 0
    x  0 thuộc bên trong của miền khảo sát 1;1.
    Giải quyết vấn đề:
  • Phát hiện trên dẫn đến 0
    x  0 là một điểm cực trị của hàm số, suy ra
     
    /
    f m 0 0 2    .
  • Thử lại: Với m  2 thì  
    2
    2 4
    2
    x x f x
    x
      


    . Dễ dàng kiểm tra được
     
     
    1;1
    max 2 f x

     bằng phương pháp khảo sát hoặc dùng MTCT (mode 8). Vậy
    phương án cần chọn là D.
    Hướng tiếp cận khác cho Ví dụ 2: Sử dụng định nghĩa giá trị lớn nhất.

  •  
     
    1;1
    max 2 f x

     khi và chỉ khi xảy ra đồng thời các điều (1) và (2) sau:
    (1) là: Bất phương trình f x  2 nghiệm đúng với mọi x  1;1.
    (2) là: Phương trình f x  2 có nghiệm x  1;1.
  • Điều (2) luôn được thỏa mãn vì x  0 là một nghiệm của phương trình
    f x  2.
    Để giải quyết yêu cầu (1) ta có thể dùng phương pháp “cô lập-khảo sát”:
     
    2
    4
    2, 1;1
    2
    x mx
    x
    x
          

       
    2          x mx x x 4 2 2 , 1;1 (do x x      2 0, 1;1  )
    x m x x  2 0, 1;1              
     
     
    2 , 0;1 2
    2
    2 , 1;0 2
    m x x m
    m
    m x x m
    

         
                    
    .
    Nhận xét: Một cách tổng quát, bài toán tìm điều kiện để max  
    D
    f x a  (hoặc
    min  
    D
    f x a  ) có thể chuyển về hệ hai bài toán: một bài toán là tìm điều kiện

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ


Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *