Bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°
Để làm được các bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°, các em học sinh cần khi nắm vững định nghĩa và các công thức trong bài Giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ.
Bài 1. Cho $\sin x =\frac{5}{13}\left(90^{\circ}<x<180^{\circ}\right)$. Tính các giá trị lượng giác còn lại.
Hướng dẫn. Từ đẳng thức $\sin^2x+\cos^2x=1$ ta suy ra $$\cos ^{2} x =1-\sin ^{2} x =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$ Mặt khác, $90^{\circ}<x<180^{\circ}$ nên $\cos x <0$. Do đó, $$\cos x=-\frac{12}{13}$$
Từ đó tính được $\tan x=\frac{5}{13} \cdot-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}, \cot x=-\frac{12}{5}$.
Bài 2. Biết $\cot 15^\circ=2+\sqrt{3}$. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc $15^{\circ}$.
Hướng dẫn. Dễ dàng có ngay $$\tan 15^{\circ}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} $$ Để tính $\cos 15^\circ$, chúng ta sử dụng hằng đẳng thức $$1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2x}$$
Ta có $$\frac{1}{\cos ^{2} 15^{\circ}}=1+\tan ^{2} 15^{\circ}=4(2-\sqrt{3}) $$ Suy ra $$\cos ^{2} 15^\circ=\frac{1}{4(2-\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4} $$ Lưu ý rằng $15^\circ$ là góc nhọn nên $$\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} $$ Cuối cùng, ta tính $$\sin 15^\circ=\tan 15^\circ \cdot \cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$
Bài 3. Cho $\tan \alpha=3$. Tính:
- $\frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha}$
- $\frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha}$
Hướng dẫn.
- Chia hai vế cho $\cos\alpha $ ta được $$\frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha}=\frac{2 \tan \alpha+3}{4 \tan \alpha-11}=11$$
- Chia hai vế cho $\cos^3\alpha $ ta được \begin{align} \frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha}&=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\\
&=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17}\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)=7\end{align}
Bài 4. Cho tana $+$ cota $={m}$, hãy tính theo ${m}$:
- $\tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a}$
- $\tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a}$
- $\mid \tan a- \cot a \mid$
Hướng dẫn.
- $ \tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a}=(\tan {a}+\cot a)^{2}-2 \tan a \cdot \cot a={m}^{2}-2$
- $\tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a}=(\tan {a}+\cot {a})^{3}-3 \tan a \cdot \cot {a}(\tan {a}+\cot {a})={m}^{3}-3 {m}$
- $|\tan a-\cot a|=\sqrt{(\tan a+\cot a)^{2}-2 \tan a \cot a}=\sqrt{m^{2}-2}$
Bài 5. Cho $\sin a +\cos a=m$, hãy tính theo $m$ các biểu thức sau:
- $\sin a \cos a$
- $ |\sin a – \cos a |$
- $\sin ^{3} a+\cos ^{3} a$
- $\sin ^{4} a+\cos ^{4} a$
Bài 6. Chứng minh rằng:
- $\frac{\tan ^{2} a-\sin ^{2} a}{\cot ^{2} a-\cos ^{2} a}=\tan ^{6} a$
- $\sin ^{2} a\tan^{2} a+4 \sin ^{2} a-\tan ^{2} a+3 \cos ^{2} a=3$
- $\frac{\sin a+\cos a}{\cos ^{3} a}=1+\tan a+\tan ^{2} a+\tan ^{3} a $
Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
- $ \cos ^{4} x-\sin ^{4} x=2 \cos ^{2} x-1$
- $\cot ^{2} x-\cos ^{2} x=\cos ^{2} x \cdot \cot ^{2} x$
- $\tan ^{2} x-\sin ^{2} x=\tan ^{2} x \cdot \sin ^{2} x$
- $(\sin x+\cos x)^{2}+(\sin x-\cos x)^{2}=2$
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
- $2\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right) $
- $2 \cos ^{4} x-\sin ^{4} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x $
- $\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x-1\right)\left(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x+2\right) $