Câu đố hình học của thủ tướng Nga

Đầu năm 2020 Tổng cục trưởng Cục thuế Nga Mikhail Mishustin “đánh đùng một cái” được Putin chỉ định lên thay Thủ tướng Medvedev.

1/9/2021 nhân khai giảng Thủ tướng Nga Mikhail Mishustin đi thăm trường học – đây là trường chuyên lý mang tên viện sỹ Kapitsa, ở ngoại ô Moscow, dạy từ lớp 5 đến 12. Mỗi năm trường này cũng đem về vài chục huân chương từ các cuộc thi trong nước và quốc tế.

Vào thăm một lớp 11, ông thấy thày giáo và học sinh đang bàn về một đề án kinh doanh, Thủ tướng xin phát biểu, đại ý rằng kinh doanh thì rất tốt, nhưng theo tôi ở tuổi này các em nên học kiến thức khoa học cơ bản (toán, lý, hóa) cho giỏi, còn sau này ứng dụng tốt thì làm gì cũng được, kể cả kinh doanh.

Thế rồi Mishustin ra một đề toán, bảo các học sinh giải đi, ông đi thăm trường tiếp rồi chốc nữa quay lại xem thế nào. Khi quay lại các học sinh (không biết vô tình hay cố ý) vẫn chưa giải được bài toán ấy, các bạn thử sức xem, cũng đơn giản mà rất hay:

“Có một đường thẳng chạy qua tâm hình tròn, trên đường tròn có một điểm. Chỉ dùng thước kẻ hãy kẻ đường vuông góc từ điểm đó xuống đường thẳng kia”.

Điểm thú vị của bài toán này là việc chỉ sử dụng một chiếc thước kẻ không có chia độ, cũng không được phép được đánh dấu để đo khoảng cách, chỉ được sử dụng để vẽ các đường thẳng.

Lời giải Câu đố hình học của thủ tướng Nga

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm cách dựng một đường thẳng vuông góc với đường kính trước. Giả sử đường kính là $AB$, điểm cần dựng đường vuông góc xuống là $C$.

Lấy một điểm $D$ bất kì thuộc nửa đường tròn chứa điểm $C$, không trùng với $C$. Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$. Tam giác $ABE$ có hai đường cao là $AC$ và $BD$. Gao điểm của hai đường cao này chính là trực tâm $H$ của tam giác $ABE$ và ta có ngay $EH$ vuông góc với đường kính $AB$.

Tiếp theo, chúng ta đi dựng một đường thẳng đi quá $C$ và song song với $EH$ thì đó chính là đường thẳng mà đề bài yêu cầu.

Giả sử $EH$ cắt đường tròn tại hai điểm $I,J$ như hình vẽ. Nối $CI$ cắt đường kính $AB$ tại $K$. Nối $JK$ cắt đường tròn tại $M$ thì $CM$ chính là đường thẳng cần tìm. (Bạn đọc tự chỉ ra $CMIJ$ là hình thang để từ đó có $CM$ song song với $IJ$).