Category: THCS

Công thức tính chu vi hình thoi, tính diện tích hình thoi là gì?
Công thức tính chu vi hình thoi, diện tích hình thoi đầy đủ nhất

Hình thoi các bạn học sinh đã được tìm hiểu từ những năm còn học tiếu học. Đây cũng là phần kiến thức hình học vô cùng quan trọng đối với học sinh. Tuy nhiên, để nắm rõ các công thức tính chu vi hình thoi, diện tích hình thoi đầy đủ nhất không phải ai cũng làm được. Nếu bạn lỡ quên hay muốn tìm hiểu thêm về hình thoi, hãy cùng THPT Sóc Trăng chia sẻ bài viết sau đây nhé !

1. Hình thoi là gì ?

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, có các góc đối diện bằng nhau.

Hình thoi là một dạng đặc biệt của một hình bình hành.

2. Cách tính chu vi hình thoi

Chu vi hình thoi được tính bằng tổng độ dài 4 cạnh của hình thoi. Mà 4 cạnh của hình thoi bằng nhau, nên chu vi hình thoi cạnh dài bằng a là

P = 4xa

Ví dụ: Một mảnh đất hình thoi có cạnh dài 600 cm. Hãy tính chu vi mảnh đất với đơn vị m.

Lời giải:

Đổi: 600 cm = 6 m

Chu vi của mảnh đất là:

6 . 4 = 24 (m)

Đáp số: 24m

3. Công thức tính diện tích hình thoi

Diện tích của hình thoi bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.

Giả sử tứ giác ABCD là hình thoi. Hai đường chéo là AC và BD có độ dài lần lượt là d₁ và d₂ thì diện tích là $$S=\frac{1}{2}d_1 \times d_2$$

Ví dụ: Tính diện tích hình thoi ABCD, biết độ dài hai đường chéo lần lượt là 9cm và 12cm.

Lời giải:

Diện tích của hình thoi ABCD là:

12 x 9 : 2 = 54(cm²)

Đáp số: 54cm²

4. Các tính chất của hình thoi

Hình thoi có:
- Các góc đối nhau bằng nhau.
- Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
- Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.
5. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Hình thoi là một tứ giác đặc biệt:
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.
- Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.
6. Bài tập về hình thoi

Bài 1: Một hình thoi có diện tích 4dm2, độ dài đường chéo là 3/5 dm. Tính độ dài của đường chéo thứ hai.

Bài 2: Tính diện tích hình thoi biết đường chéo thứ nhất bằng 45cm, đường chéo thứ hai bằng 3/5 đường chéo thứ nhất.

Bài 3:

1) Diện tích hình thoi 250 m2, độ dài đường chéo thứ nhất là 25m. Tính độ dài đường chéo thứ hai.

2) Một hình thoi có độ dài trung bình cộng của độ dài 2 đường chéo là 3dm 6cm, độ dài đường chéo lớn gấp đôi độ dài đường chéo bé. Tính diện tích của hình thoi đó?

Bài 4: Một thửa ruộng hình thoi có đường chéo lớn bằng 120 m, độ dài đường chéo bé bằng 3/4 độ dài đường chéo lớn. Người ta cấy lúa trên thửa ruộng đó, cứ 1 m2 thu hoạch được 2 kg thóc. Hỏi trên thửa ruộng đó người ta thu được bao nhiêu tạ thóc?

Bài 5: Một thửa ruộng hình thoi có tổng độ dài 2 đường chéo là 28m và hiệu độ dài 2 đường chéo là 12m. Tính diện tích thửa ruộng đó?

Bài 6: Tính diện tích hình thoi biết độ dài hai đường chéo lần lượt là:
1. a) 3m 8dm và 5m
2. b) 4m 3cm và 60dm
Bài 7: Một hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 270cm, biết độ dài đường chéo ngắn bằng 4/5 độ dài đường chéo dài. Tính diện tích hình thoi.

Bài 8: Một khu đất hình thoi có độ dài đường chéo thứ nhất là 72m, đường chéo thứ hai có độ dài bằng 2/3 độ dài đường chéo thứ nhất. Người ta trồng sắn trên khu đấy, mỗi mét vuông thu hoạch được 5kg sắn. Hỏi người ta thu hoạch được ở khu đất bao nhiêu ki-lô-gam sắn?

Bài 9: Người ta trồng rau trên một thửa ruộng hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 50m và đường chéo thứ nhất dài hơn đường chéo thứ hai 10m. Trên thửa ruộng đó người ta thu hoạch được 100kg rau. Hỏi trung bình mỗi mét vuông đất người ta thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam rau?

Bài 10: Một tấm gỗ hình chữ nhật có chu vi là 40cm, chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Người ta cắt và ghép tấm gỗ thành hình thoi. Tính diện tích hình thoi đó.

Bài 11: Cho hình thoi có diện tích bằng diện tích hình vuông cạnh 10cm, biết 1 đường chéo hình thoi bằng độ dài cạnh hình vuông. Tính độ dài đường chéo còn lại của hình thoi.

Bài 12: Tỉ số giữa hai đường chéo một hình thoi là 4/9. Hiệu của hai đường chéo là 20m. Tính diện tích của hình thoi?
01/07/2022
Đề thi tuyển sinh lớp 6 môn Toán trường Amsterdam năm 2022

Phần I. Trắc nghiệm – Điền câu trả lời vào ô trống.

Câu 1. Tính: (0,14 \times 253 \times 3-4,2 \times 5,3).

Câu 2. Biết số (\overline{2022 a b}) chia hết cho cả 5 và (9(b>0)). Tìm (a, b).

Câu 3. Tính (\left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{1}{3}\right) \times\left(1-\frac{1}{4}\right) \times \ldots \times\left(1-\frac{1}{2022}\right)).

Câu 4. Cho ba số có tổng bằng 2022. Biết số thứ nhất bằng 1/3 số thứ hai, số thứ ba gấp đôi số thứ nhất. Tìm số lớn nhất.

Câu 5. Một ô tô đi từ địa điểm A đến địa điểm B. Cùng lúc đó, một ô tô khác đi từ B về A, gặp ô tô thứ nhất tại điểm cách điểm A 140 km. Biết ô tô thứ nhất đi từ A đến B hết 8 giờ và ô tô thứ hai đi từ B về A hết 7 giờ. Tính quãng đường AB.

Câu 6. Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 3m chiều rộng 2m và chiều cao 1,6m. Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể thì sau 1 giờ 15 phút bể đầy. Biết trong 1 giờ vòi chảy được 6756 lít nước. Hỏi ban đầu, trong bể có bao nhiêu lít nước?

Câu 7. Cho hai số có tổng là 4055. Biết số bé có hai chữ số tận cùng là 23 và khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số lớn. Tìm tích hai số đó.

Câu 8. Có 18 lít nước được đựng trong các chai loại 400ml, 600ml, và 1 lít, mỗi loại có ít nhất 1 chai. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chai loại 600ml.

Câu 9. Có 2 hộp bi A, B, mỗi hộp có 9 viên bi trắng, 9 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ. Chuyển từ hộp A sang hộp B 10 viên bi. Hỏi cần chuyển từ hộp B sang hộp A bao nhiêu viên bi để chắc chắn hộp A có ít nhất 8 viên bi mỗi loại.

Câu 10. Cho 4 mảnh được tạo thành từ các ô vuông cạnh 1cm như hình vẽ. Ghép 4 mảnh đó thành 1 hình chữ nhật, tính chu vi hình chữ nhật ghép được.

Câu 11. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 16cm, AD = 12cm. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm Q trên cạnh CD sao cho AP = CQ. Tính diện tích tam giác PMQ.

Câu 12. Cho 5 số (a, b, c, d, e) thỏa mãn (\frac{487}{340}=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d+\frac{1}{e}}}}). Tính (a+b+c+d+e).

Phần II. Tự luận.

Bài 1. Lớp 5A có số học sinh nam gấp đôi số học sinh nữ. Sau khi chuyển đi 2 học sinh nữ thì số học sinh nam bằng 5/2 số học sinh nữ. Hỏi ban đầu lớp đó có bao nhiêu học sinh?

Bài 2. Minh đi từ A đến B, cùng lúc đó Ngọc đi từ B về A. Hai bạn gặp nhau lần thứ nhất ở điểm cách A 7km. Sau đó, Minh lại đi tiếp tới B, Ngọc lại đi tiếp tới A rồi hai bạn quay trở về. Họ gặp nhau lần thứ hai ở điểm cách B 5km. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?

Bài 3. Cho hình thang ABCD, lấy điểm M trên đường chéo AC sao cho AM = 2×MC. Lấy điểm N trên cạnh CD sao cho BDNM là hình thang.

a/ So sánh diện tích hai tam giác BDN và BDM.
b/ Tính tỉ số diện tích ABND÷ diện tích BNC.

Xem thêm 100 đề thi Toán vào lớp 6 chuyên.

01/07/2022
Giải phương trình $ \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}=x^2+1. $

Giải phương trình \[ \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}=x^2+1. \]

Hướng dẫn. Điều kiện $ x \geqslant \frac{2}{3}. $ Dự đoán nghiệm của phương trình là $ 1 $ nên ta nhân hai vế của phương trình với 2 và thêm bớt $ 4x $ ta được
\[2x^2-4x+2 + x-2\sqrt{x}+1 +3x-2 -2\sqrt{3x-2}+1=0 \]
\[ \Leftrightarrow 2(x-1)^2 + \left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0 \]
Từ đó suy ra \[ (x-1)^2= \left(\sqrt{x}-1\right)^2=\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0 \] và tìm được nghiệm duy nhất $ x=1 $.
\end{proof}
Cách khác, đặt $ u= \sqrt{x}, v=\sqrt{3x-2} $ ta suy ra $ u+v=x^2+1, u^2=x, v^2=3x-2 $ ta đưa về đánh giá các biểu thức đại số không chứa căn.
Cách khác nữa, sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\[ \frac{x +1}{2} \geqslant \sqrt{x}; \frac{3x-2+1}{2} \geqslant \sqrt{3x-2} \]
Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta được \[ 2x \geqslant \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}. \] Mà $ \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}=x^2+1 $ nên suy ra \[ 2x \geqslant x^2+1 \Leftrightarrow (x-1)^2 \leqslant 0. \] Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi $ x=1. $

05/06/2022
Đề thi tiếng Anh vào lớp 6 trường Nguyễn Tất Thành – HN

Đề thi tiếng Anh vào lớp 6 trường Nguyễn Tất Thành

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 6 NĂM 2020

MÔN: TIẾNG ANH

Circle the letter A, B, C or D to indicate the correct answer to each of the following questions.

Question 1. I like going to the beach in because it’s hot and sunny.

A. spring                          B. summer                       C. winter                          D. autumn

Question 2. A triangle has_________sides.

A. one                              B. two                               C. three                            D. four

Question 3. When the traffic light changes into , we must stop.

A. yellow                          B. red                               C. green                           D. pink

Question 4.        work outside in fields in the countryside, with animals and plants.

A. Mechanics                  B. Dentists                       C. Farmers                      D. Teachers

Question 5. I can’t sing___________I can play the piano.

A. but                                B. or                                  C. because                      D. and Question 6. She is a very     old woman. She has given most of her wealth to a charity organization.

A. mean                           B. generous                    C. humourous                 D. cold

Question 7. The brother of your mother or father or the husband of your aunt is called____________.

A. grandfather                 B. uncle                            C. brother                        D. father

Question 8. The red hat is £25 and the white hat is £35. The red hat is_________than the white hat.

A. cheaper                       B. more cheaper            C. more expensive         D. cheapest

Question 9. My younger brother often________comic books in his free time.

A. reads                           B. read                             C. is reading                   D. was reading

Question 10. Last weekend Kevin’s parents_______him to the zoo.

A. took                              B. take                              C. takes                           D. taken

Question 11: Look at four step-by-step processes for effective hand washing. Circle the letter A, B, C or D to indicate the correct one.

Question 12: Look at the notice. Circle the correct answer

Question 13: Look at the message. Circle the letter A, B, C or D to indicate the correct sentence.

Question 14-16: Circle the letter A, B, C or D to indicate the most suitable response to each of the following questions.

Question 14: Jane: “Mum, I’ve won the girl’s long jump.” Mary: “____________”

A. It’s nothing.
B. All right.
C. Don’t be proud!
D. Congratulations!

Question 15: Daisy: “How often do you go to the cinema?”

                        Paul: “ ___________”

A. By bus                               B. I go with my brother
C. Watching films                 D. Twice a month

Question 16: John: “What does your sister do?”

Sarah: “ _________________”

A. She is a shopkeeper.                                         B. I’m so excited about it.

C. Playing table tennis and doing judo                 D. I’m fine, thanks.

Question 17-19: Read the passage and answer the following question and circle the letter A, B, C or D to indicate the correct answer to each of the following questions.

Ants are incredible creatures. Each colony has its own smell. Each of the ants in the colony knows the smell. Enemies will not be able to enter their camp without being discovered. Several types of ants have a sting to protect their nest when strangers get in.

The queen ant is the only one who can lay eggs for the colony. None of the other ants can lay eggs at all. The worker ants cannot lay eggs. They take care of new-born baby ants. They also search for food. These worker ants protect their nest from enemies. They also keep the nest spick and span. They take out the “trash” from the nest and place it in one area.

Slave-maker ants rob the nest of other ants. They steal the pupae, the cases that hold the ant eggs. Then they bring the pupae back to their camp. When the stolen cases hatch, these stolen become slaves.

Question 17: Which ants can keep the nest clean and tidy?

A. worker ants
B. queen ants
C. slave-maker ants
D. new-born baby ants

Question 18: What do several types of ants have to protect their nest when strangers get in?

A. sting                             B. eggs                            C. nest                             D. food

Question 19: Do the queen ants lay eggs? Write down the answer.

………………………………………

Question 20: The following sentence has ONE WORD that is not correct. Write the correction in the box.

My parents want to sunbath in the morning when the sun is not hot. …………………….

Question 21-25: Complete the following passage by writing ONE WORD for each gap with given pictures.

I have really great time at the (21)                    this weekend with my mum and dad. We saw a lot of big (22) _________ and even got to feed some.

I also saw some (23) ________. There were not too scary. I can show some funny pictures of them. Do you know what I liked most about the trip? I got to see (24)                         jumping and (25)        in the water.

Question 26: Vietnam has tried to save the British pilot, a coronavirus patient. He is getting better. Play the role of the pilot, write a note/ letter of about 30-50 words to Vietnamese doctors and Vietnam to share feelings.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

————— The end —————

Đáp án tiếng Anh vào lớp 6 trường Nguyễn Tất Thành

1. B

2. C *triangle: hình tam giác

side: cạnh

3. B

4. C

mechanic: thợ máy

dentist: nha sĩ

teacher: giáo viên

farmer: nông dân

5. A

6. B

mean: keo kiệt

generous: hào phóng

humorous: hài hước

cold: lạnh lùng

wealth: tài sản

a charity organization: một tổ chức từ thiện

7. C

8. A

9. A

10. A

*take somebody to somewhere: đưa ai đến đâu

11. A

12. B

“Because of … School Hall” => Vì thời tiết xấu nên bữa tiệc của chúng ta sẽ được tổ chức tại Sảnh trường học”.

13. D

“Can you … this afternoon…?” => Bạn có thể đưa tôi tiền vào chiều nay khi chúng ta gặp nhau không?”

14. D

*Congratulations: chúc mừng

15. D

“How often ….?” là câu hỏi về tần suất xảy ra của một hoạt động

*twice a month: 2 lần/tháng

16. A

17. A (lines 5-7)

18. B (line 8-10)

pupae: con nhộng

19. Yes (line 4)

20. sunbath => sunbathe

21. aquarium (thủy cung)

22. fish

23. sharks

24. penguins

25. swimming

26. *a coronavirus patient: một bệnh nhân mắc bệnh covid

In the letter you should:

– Give greetings, tell who you are

– Shortly retell what happened and how you were treated by the doctors

– Express your gratitude (I thank you a lot for…, I feel grateful for…)

– End the letter, sign your name

In your writing, you should:

– Use a wide range of vocabulary related to the topic coronavirus (pandemic, suffer from,….)

– Avoid grammar mistakes

– Flexibly use differents structures

23/05/2022

Lời giải Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021-2022
Đề thi môn: TOÁN
Ngày thi: 18/7/2021
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Bài I (2,0 diếm)
Cho hai biếu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$ với 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 9.

Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.
Chứng minh $$A+B=\frac{3}{\sqrt{x+3}}$$

Bài II (2,5 diểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoăc hệ phương trình:
Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hiểm y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng só bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.)
Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6 m và bán kính đáy 0,5 m. Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tỉnh diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy 𝜋 ≈ 3,14 ).

Bài III (2,0 điểm)

Giải hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{3}{6x+1}-2y=-1\\ \frac{5}{2x+1}+3y=11\end{cases}$$
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): $y=x^2$ và đường thẳng (d): y=2x+m-2. Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $|x_1-x_2|=2$.

Bài IV (3,0 diểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CA. Từ điềm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn (C; CA) ( M là tiếp điềm, M và A nằm khác phía đối với đường thằng BC).

Chứng minh bốn điểm A, C, M, B cùng thuộc một đường tròn.
Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B). Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP = AN. Chứng minh tam giác CNP là tam giác cân và đường thằng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP.

Bài V (0,5 điểm)
Với các số thực a vàb thỏa mãn $ a^2+b^2 =2$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=3(a+b)+ab.$$

Lời giải Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2021

02/04/2022

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN

Bài 1.1.

a) Với điều kiện bài toán, ta đặt

$$\begin{cases}a=\sqrt{1-x}\\ b=\sqrt{1+x}\\ a^2+b^2=2 \end{cases}$$
Biểu thức $A(x)$ viết lại như sau \begin{align}A(x)&=\dfrac{\sqrt{1+ab}(b^3-a^3)}{2+ab}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2+2ab}(b-a)(a^2+b^2+ab)}{2+ab}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot |a+b|(b-a)\\
&=\pm x \sqrt{2}\end{align}
b) $\sin\alpha= A\left( \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Từ đây ta có $x=45^\circ $

Bài 1.2. Với $x=3$ không là nghiệm ta viết phương trình nghiệm nguyên lại như sau

$$y=3+\dfrac{9}{x-3}.$$ Để $y$ nguyên thì \begin{align}
\left[\begin{array}{l}x-3=\pm 1 \\ x-3=\pm 3 \\ x-3=\pm 9 \end{array} \right.
\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=4,y=12\\x=2,y=-6\\ x=0,y=0 \\ x=6, y=6\\ x=12, y=4\\ x=-6, y=2 \end{array}\right.
\end{align}

Bài 2.1. Điều kiện là $x\neq 0$ và $x-\dfrac{1}{x}\ge 0$. Với điều kiện đó, ta viết lại phương trình như sau $$x-\dfrac{1}{x}+2 \sqrt{x-\dfrac{1}{x }} =3,$$ hay $$ \sqrt{x-\dfrac{1}{x }}=1.$$

Bình phương 2 vế ta có ngay $x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}.$

Bài 2.2. Hệ viết lại như sau $$\begin{cases}(x+y)^2=4+xy \\ x+y=2-xy\end{cases}$$ $\Leftrightarrow \begin{cases}(x+y)^2=6-(x+y) \\ x+y=2-xy
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l}x+y=2\\ x+y=-3\end{array} \right.\\ x+y=2-xy \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases}x+y=2 \\ xy=0\end{cases} \\ \begin{cases}x+y=-3 \\ xy=5\end{cases} \end{array}\right. $

Vì $(x+y)^2\ge 4xy$ nên ta có các cặp nghiệm $(x,y)\sim (0,2)\sim (2,0)$\\

Bài 3.1. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$, ta có $$DE=CM\cdot\sin{\angle ACB}\ge CH \cdot\sin{\angle ACB}=constant $$ Vây nên $DE$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ trùng với $H$

Bài 3.

a.) Gọi $H$ là trực tâm. Ta phải chứng minh $EF$ là đường trung bình của $\Delta HQN $. Có $$\begin{cases}\angle NQC=\angle NBC=\angle EBC= \angle EFC\\
\angle AQC= \angle ABC=\angle AEB=\angle AHF
\end{cases}$$

b) Do các các đường cao đồng qui tại tại $H$ nên, ta có $$\dfrac{DH}{DA}+\dfrac{EH}{EB}+\dfrac{FH}{FC}=1, $$ hay $$\dfrac{AM-MD}{DA}+\dfrac{BN-NE}{EB}+\dfrac{CQ=QF}{FC}=2, $$

$$\dfrac{AM-AD}{DA}+\dfrac{BN-BE}{EB}+\dfrac{CQ-CF}{FC}=1, $$

$$\dfrac{AM}{DA}+\dfrac{BN}{EB}+\dfrac{CQ}{FC}=4. $$

Bài 4. Ta có $$\dfrac{S_1}{S}\cdot \dfrac{S_2}{S}\cdot\dfrac{S_3}{S}=\dfrac{AF\cdot FB\cdot BD\cdot DC\cdot CE\cdot EA}{AB^2\cdot BC^2\cdot CA^2}\le \dfrac{1}{4^4}.$$

Theo nguyên lí dirichlet ta được điều phải chứng minh.

Dùng bất đẳng thức $xy\le \dfrac{(x+y)^2}{4}.$

Bài 5.

a) Áp dụng AM-GM, ta có $$(x-3)+1\ge 2 \sqrt{x-3},$$ hay $$\dfrac{x+ 8 \sqrt{x-3}+38}{ \sqrt{x-3} +4}\ge 10.$$

b) Đưa bài toán về thuần nhất $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c},$$

$$\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c(a+b+c)}=0,$$

$$(a+b) \left[\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c(a+b+c)}\right]=0,$$

$$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(a+b+c)}.$$

Lại có $a+b+c=2022.$ Nên có ít nhất 1 số bằng 2022.

31/03/2022
ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9
ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

I. ĐỀ BÀI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

Dạng 1. Giải hệ phương trình
1. $\left\{ \begin{align} & x-4y=3 \\ & 2x-y=4 \\ \end{align} \right.$.
2. $\left\{ \begin{align} & \frac{x+y}{2}=\frac{x-y}{4} \\ & \frac{x}{3}=\frac{y}{5}+1 \\ \end{align} \right.$
3. $\left\{ \begin{align} & \left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=xy-1 \\ & \left( x-3 \right)\left( y-3 \right)=xy-3 \\ \end{align} \right.$
4. $\left\{ \begin{align} & \frac{1}{2x-1}+\frac{4}{y+5}=3 \\ & \frac{3}{2x-1}-\frac{2}{y+5}=-5 \\ \end{align} \right.$
5. $\left\{ \begin{align} & \left| x+5 \right|-\frac{2}{\sqrt{y}-2}=4 \\ & \left| x+5 \right|+\frac{1}{\sqrt{y}-2}=3 \\ \end{align} \right.$
6. $\left\{ \begin{align} & \frac{x-1}{2x+1}-\frac{y-2}{y+2}=1 \\ & \frac{3x-3}{2x+1}+\frac{2y-4}{y+2}=3 \\ \end{align} \right.$
7. $\left\{ \begin{align} & 2\left( x+2 \right)-3\left( x-3y \right)=4 \\ & 3\left( x+2 \right)+\left( x-3y \right)=6 \\ \end{align} \right.$
8. $\left\{ \begin{align} & 2\left( x+y \right)+\sqrt{x+2}=7 \\ & 5\left( x+y \right)-2\sqrt{x+2}=4 \\ \end{align} \right.$
9. $\left\{ \begin{align} & 2\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}=4 \\ & 6\sqrt{x-1}-2\sqrt{y+2}=2 \\ \end{align} \right.$
10. $\left\{ \begin{align} & \frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 2y-1 \right|}=5 \\ & \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 1-2y \right|}=3 \\
  \end{align} \right.$
11. $\left\{ \begin{align} & \frac{x}{\sqrt{2x+3}}-2\sqrt{y+1}=3 \\ & \frac{2x}{\sqrt{2x+3}}+\sqrt{y+1}=4 \\ \end{align} \right.$
12. $\left\{ \begin{align} & \frac{2y-5x}{3}+5=\frac{y+27}{4}-2x \\ & \frac{x+1}{3}+y=\frac{6y-5x}{7} \\
  \end{align} \right.$
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bài 1. Cho hệ phương trình $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x + my = 2m – 1}\\ {mx – y = {m^2} – 2} \end{array}} \right.$$
1. Giải hệ phương trình khi $m=1$.
2. Chứng minh hệ PT có nghiệm duy nhất với mọi $m$.
3. Với $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa $x$, $y$ không phụ thuộc vào $m$.
4. Gọi $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
  1. $\sqrt{2 x+1}=y$
  2. $\left| x \right|=2\left| y \right|$
  3. Biểu thức $P=xy$ đạt giá trị lớn nhất.
  4. $x-y<0$
Bài 2. Cho hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & mx+4y=m+2 \\ & x+my=m \\ \end{align} \right.$$
1. Giải hệ phương trình với $m=-3$
2. Với $\left( x;y \right)$là nghiệm duy nhất hệ phương trình, tìm hệ thức $x;y$ không phụ thuộc vào $m$.
3. Gọi $\left( x,y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
  1. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ iii) Biểu thức $P=x-2{{y}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất
  2. $\left| 1-x \right|+y=3$ iv) $x+y=\frac{2m}{m-4}$
Dạng 3. Giải toán bằng cách lập hệ phương trình.

Em nào chưa nắm vững dạng toán này có thể tham khảo thêm trong bài Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Toán tìm số

Bài 1. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng $19$và tổng các bình phương của chúng bằng $185$.

Bài 2. Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng là $2216$ và nếu lấy số lớn chia cho $9$thì được thương là số kia và dư là $56$.

Bài 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng $13$. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là $25$. Tìm số đã cho.

Bài 4. Tổng ba lần chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là $14$. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là $18$ đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.

Toán làm chung, làm riêng

Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau $1$ giờ $20$ giờ sẽ đầy bể. Nếu để vòi $1$hảy một mình trong $10$phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi $2$chảy trong $12$phút thì cả hai vòi chảy được $\frac{2}{15}$bể. Tính thời gian mỗi vòi chảu một mình đầy bể ?

Bài 2. Để hoàn thành một công việc, hai tổ làm chung và dự kiến hoàn thành sau 6 giờ. Trên thực tế, sau 2 giờ hai tổ làm chung, tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình mà đầy bể?

Toán chuyển động

Bài 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sơm hơn dự định 3 giờ; còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB?

Bài 2. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km. Một lần khác cũng trong 7 giờ ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km.Tính vận tốc nước chảy và vận tốc canô lúc nước yên lặng?

Bài 3. Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5km?

Bài 4. Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau $38km$. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau $4$ giờ. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai $2km$.

Toán liên quan tới yếu tố hình học

Bài 1. Một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm $2m$ và tăng chiều rộng $3m$ thì diện tích tăng $100{{m}^{2}}$. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng $2m$ thì diện tích giảm $68{{m}^{2}}$. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Bài 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là $720{{m}^{2}}$, nếu tăng chiều dài thêm $6m$ và giảm chiều rộng đi $4m$ thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn.

Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $90m$. Nếu giảm chiều rộng đi $4m$ và giảm chiều dài $20%$ thì chu vi mảnh đất giảm đi $18m$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu?

Bài 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $28m$ và độ dài đường chéo bằng $10m$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Toán phần trăm

Câu 1. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 12%, xí nghiệp 2 vượt mức 10% do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ của mỗi xí nghiệp phải làm.

Câu 2. Hai trường A, B có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10 đạt tỉ lệ trúng tuyển 84%. Biết số học sinh đỗ của trường A chiếm 80%, số học sinh đỗ của trường B chiếm 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.

Câu 3. Trong tuẩn đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ 2, tổ 1 vượt mức 25%, tổ 2 giảm mức 18% nên trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ quần áo. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo?

Dạng 4. Hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$. Phương trình bậc hai một ẩn

Câu 1. Cho hàm số $y={{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x+2$ có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$.
1. Chứng minh $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
2. Hãy xác định tọa độ các giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$.
3. Tính diện tích của tam giác $OAB$ ($O$ là gốc tọa độ).
Bài 2: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$có đồ thị là Parabol (P)
1. Xác định $a$biết Parabol (P) đi qua điểm $M\left( -1;1 \right)$
2. Vẽ đồ thị hàm số $y=a{{x}^{2}}$với $a$vừa tìm được ở câu trên.
3. Cho đường thẳng $\left( d \right):y=2x+3$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$với hệ số $a$ tìm được.
4. Tính diện tích tam giác $AOB$với $A,B$ là các giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$
Bài 3: Cho hàm số $y=-{{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x-2$có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$. Gọi $A,B$là giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$. Tính diện tích tam giác $AOB$

Bài 4: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị là Parabol (P)và đường thẳng $\left( d \right):y=-2x+3$
1. Xác định hệ số $a$ biết rằng $\left( P \right)$đi qua điểm $\left( -2;4 \right)$
2. Gọi $A,B$là hai giao điểm của $\left( P \right),\left( d \right)$, $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác $AHKB$.
Câu 5. Giải phương trình bậc hai
1. (2{{x}^{2}}-3x-5=0\)
2. ${{x}^{2}}-6x+8=0$
3. $9{{x}^{2}}-12x+4=0$
4. $-3{{x}^{2}}+4x-4=0$
Câu 6. Cho phương trình $\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2mx+m-3=0$ ($m$ là tham số)
1. Giải phương trình với $m=2$.
2. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 7. Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m-6=0$ ($m$ là tham số)
1. Giải phương trình với $m=-5$.
2. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.
Câu 8. Cho phương trình $m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3=0$ ($m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình:
1. Có hai nghiệm phân biệt
2. Có nghiệm kép
3. Vô nghiệm
4. Có nghiệm.
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\left( P \right):\,y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $\left( d \right):\,y=mx+3$.
1. Chứng tỏ $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
2. Tìm tọa độ các giao điểm $A\,,\,B$ của Parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $\left( d \right)$ khi $m=2$. Tính diện tích $\Delta AOB$.
Dạng 5: Góc với đường tròn

Mời các em xem lại kiến thức và bài tập mẫu tại đây:
- Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
- TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
Câu 1. Cho đường tròn $\left( O;R \right)$ và điểm $A$ cố định ngoài đường tròn. Qua $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AM,AN$ tới đường tròn ($M,N$ là hai tiếp điểm). Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt đường tròn $\left( O;R \right)$ tại $B$ và $C$$\left( AB<AC \right)$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$.
1. Chứng minh năm điểm $A,M,N,O,I$ thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh $A{{M}^{2}}=AB.AC$.
3. Đường thẳng qua $B$song song với $AM$ cắt $MN$ tại $E$. Chứng minh $IE\text{//}MC$.
4. Chứng minh khi $d$ thay đổi quay quanh điểm $A$ thì trọng tâm $G$ của tam giác $MBC$ luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Câu 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AC$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $MC$ cắt $BC$ tại $E$. Nối $BM$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $N$, $AN$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $D$. Lấy $I$ đối xứng với $M$ qua $A$, $K$ đối xứng với $M$ qua $E$.
1. Chứng minh $BANC$ là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh $CA$ là tia phân giác của $\widehat{BCD}$.
3. Chứng minh $ABED$ là hình thang.
4. Tìm vị trí $M$ để đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIK$ có bán kính nhỏ nhất.
Câu 3. Cho hai số thực $x,\,\,y$thỏa mãn điều kiện $xy=1$ và $x>y$. Chứng minh rằng $A=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x-y}\ge 2\sqrt{2}$

Câu 4. Cho các số thực dương $x,\,\,y,\,\,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+\frac{y}{\sqrt{{{y}^{2}}+3}}+\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+3}}$

II. LỜI GIẢI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9

Mời thầy cô và các em xem trong file sau: DC-GK2-TOAN 9
07/02/2022
TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG

Cung và dây cung có mối liên hệ như thế nào? Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 9. Mời các em cùng tham khảo:
- Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
  1. Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
  2. Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
2. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
  1. Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
  2. Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
4. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
5. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
6. Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O;R \right),\text{ }\left( AB\text{ }<\text{ }BC \right)$. Vẽ dây $BD$ của $\left( O \right)$ và $BD\bot OA$. So sánh $\overset\frown{AD}$ và $\overset\frown{BC}$.

Lời giải

Ta có $BD\bot OA$ nên $OB=OD$.
Tam giác $ABD$ có $OA$ vừa là đường cao và là đường trung tuyến nên cân tại $A$.
Suy ra $AD=AB$.
Mà $AB<BC$ (gt). Suy ra $AD<BC\Rightarrow \overset\frown{AD}<\overset\frown{BC}$.

Ví dụ 2. Cho $\left( O;R \right)$ và $~A,\text{ }B$ thuộc $\left( O \right)$ sao cho sđ$\overset\frown{AB}=120{}^\circ $, $C$là điểm thuộc $AB$ sao cho $AC=R$. Chứng minh rằng $OC\bot AB$.

Lời giải

Tam giác $OAC$ có $OA=OB=AC=R$ nên là tam giác đều. Suy ra $\widehat{AOC}=60{}^\circ $. Mà sđ$\overset\frown{AB}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ $.

Suy ra $\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}\Rightarrow $$OC$ là phân giác $\widehat{AOB}$.

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OC$ là phân giác nên cũng là đường cao. Suy ra $OC\bot AB$.

2. BÀI TẬP CUNG VÀ DÂY CUNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN

Bài 6. Cho $\Delta ABC$cân tại A nội tiếp $\left( O;R \right)$, có $\widehat{A}=80{}^\circ $. So sánh các cung:

$\overset\frown{AB}$, $\overset\frown{BC}$,$\overset\frown{CA}$.

Lời giải

Vì $\Delta ABC$cân tại $A$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=50{}^\circ $. Vì $\widehat{BAC}$ chắn $\overset\frown{BC}$, $\widehat{ABC}$ chắn cung $\overset\frown{CA}$ và $\widehat{ACB}$ chắn cung $\overset\frown{AB}$ nên ta có $\overset\frown{AB}$ = $\overset\frown{CA}$ ; $\overset\frown{BC}>\overset\frown{AB}$ ; $\overset\frown{BC}$ > $\overset\frown{CA}$.

Bài 7. Cho $AB$ là dây cung của đường tròn $\left( O;R \right)\text{ (AB}\ne \text{2R)}$. Vẽ $OH\bot AB$tại $H$. Tia $OH$ cắt đường tròn $(O)$ ở $C$. Vẽ dây $AD$ của (O) và $AD\,\text{//}\,BC$. Chứng minh rằng $AC=\text{ }BC=\text{ }BD.$

Lời giải

Nhận thấy $OC$ nằm trên đường kính của đường tròn $\left( O \right)$, mặt khác $OC$ lại đi qua trung điểm $H$của dây cung $AB$ và vuông góc với $AB$. Suy ra $OC$đi qua điểm chính giữa của cung $\overset\frown{AB}$,từ đó suy ra $\overset\frown{AC}=\overset\frown{BC}$. Vì hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên suy ra $AC=BC$ (1) .
Mặt khác trong một đường tròn hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau nên từ $AD\,\text{//}\,BC$ suy ra $AC=BD$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AC=\text{ }BC=\text{ }BD.$

Bài 8. Cho nửa đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$. Các điểm $M,N$ thuộc đường kính $BC$ sao cho $BM=MN=NC$. Các điểm $D,E$ thuộc $\overset\frown{BC}$ sao cho $BD=DE=EC$. Gọi $A$ là giao điểm của $DM$và $EN$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.

Lời giải

Nối $DO$, ta dễ dàng chứng minh được $DOCE$ là hình thoi. Suy ra $DE=OC=R$.
Vì $MN=\frac{BC}{3}=\frac{2R}{3}$ nên ta có $\frac{MN}{DE}=\frac{2R}{3}:R=\frac{2}{3}$.
Mặt khác $MN//DE$ nên $\frac{MA}{DA}=\frac{MN}{DE}=\frac{2}{3}$.
Từ đó suy ra $\Delta MDB\backsim \Delta MCA$ (c.g.c) $\Rightarrow $$AC=2BD=2R$. (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có $AB=2R$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta ABC$có $AB=AC=BC$ nên $\Delta ABC$đều.

Bài 9. Cho nửa đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$, đường kính $AB=4cm$. Dây $CD\,\text{//}\,AB$ ($D$thuộc $\overset\frown{AC}$). Cho biết chu vi của hình thang $ABCD$ bằng $10cm$. Tính độ dài các cạnh của hình thang $ABCD$.

Lời giải

Vì $CD\,\text{//}\,AB$nên $\overset\frown{AD}=\overset\frown{CB}$$\Rightarrow $$AD=CB$. Gọi $AD=CB=x$$\left( x>0 \right)$ thì ta có $CD=10-2x-4=6-2x$.
Từ $D$ và $C$ dựng các đường thẳng vuông góc với $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$.
Suy ra $BF$= $\frac{AB-DC}{2}=\frac{2x-2}{2}$.
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu vào tam giác $ACB$vuông tại $C$ ta có: $AB.BF=B{{C}^{2}}$ $\Leftrightarrow $$4.\frac{2x-2}{2}={{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow $${{x}^{2}}-4x+4=0$$\Leftrightarrow $${{\left( x-2 \right)}^{2}}=0$$\Leftrightarrow $$x=2$.
Suy ra $CD=6-2.2=2cm$.
Vậy $AD=BC=CD=2cm$.

Bài 10. Cho nửa đường tròn $\left( O;R \right)$ $\left( AB\ne 2R \right)$, $I$là trung điểm của dây $AB$; tia $OI$ cắt $\left( O \right)$ở $C$.

a) So sánh $\overset\frown{AC}$ và $\overset\frown{BC}$
b) Vẽ dây $MN$qua $I$. So sánh $\overset\frown{MN}$ và $\overset\frown{AB}$

Lời giải

a) Có $I$ là trung điểm của $AB$ và $AB$ là dây cung $(AB\ne 2R)$. Suy ra $ OI\bot AB$ tại $I$ (đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Mà: $OA=OB$
$AI=IB$(gt)
$OI\bot AB$(cmt)
$\Rightarrow OC$là đường trung trực của $AB$
$\Rightarrow AC=BC\Rightarrow \overset\frown{AC}=\overset\frown{BC}$
b) Kẻ $OH\bot MN$
$\Rightarrow \Delta OHI$ vuông tại H nên $OH<OI$ Mà $OH,OI$ lần lượt là các khoảng cách từ $O$ đến hai dây $MN$ và $AB$ $\Rightarrow MN>AB$$\Rightarrow \overset\frown{MN}>\overset\frown{AB}$

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, nội tiếp $\left( O\,;\,R \right)$. Qua $B$ vẽ dây cung $BD\parallel AC$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Lời giải

Xét đường tròn $(O)$ có
- $BD\parallel AC$(gt)
- $AC\bot AB$( vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
$\Rightarrow BD\bot AB\Rightarrow \widehat{ABD}=90{}^\circ $

Xét $\Delta BCD$ có $D\in (O)$

Suy ra $\Delta BCD$ vuông tại $D$. Do đó, $BD\bot DC\Rightarrow \widehat{BDC}=90{}^\circ $

Xét tứ giác $ABCD$ có:
$\begin{align}
& \widehat{ABD}=90{}^\circ \\
& \widehat{BDC}=90{}^\circ \\
& \widehat{BAC}=90{}^\circ \\
\end{align}$
$\Rightarrow $Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật

Bài 12. Cho điểm $A$ cố định nằm trong đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$ $\left( A\ne O \right)$. $BC$ là dây cung di động qua $A$. Xác định vị trí của dây $BC$ để cung $BC$ nhỏ nhất.

Lời giải

Giả sử dây $BC$đi qua $A$và $BC\bot OA$tại $A$
Vẽ dây cung $MN$ đi qua $A$ $\left( M,N\ne B,C \right)$
Kẻ $OH\bot MN$
Xét $\Delta OHA$ vuông tại $H$$\Rightarrow OA>OH$$\Rightarrow d(O,BC)>d(O,MN)\Rightarrow BC<MN$
Vậy dây $BC$nhỏ nhất khi đi qua $A$là dây vuông góc với $OA$
07/02/2022
Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn
Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn là một kiến thức hình học quan trọng của lớp 9, thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Mời các em tham khảo thêm một số dạng toán thường xuất hiện trong kì thi vào 10:
1. Lý thuyết góc ở tâm, số đo cung

Góc ở tâm là gì?

Trong đường tròn, góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

$\widehat{AOB}$: góc ở tâm của $\left( O \right)$

Số đo cung trong đường tròn

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó $\left( \widehat{AOB}=sđ\overset\frown{AB} \right)$.
1. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ $ và số đo của cung nhỏ.
2. Số đo của nửa đường tròn bằng $180^\circ $.
Chú ý: Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^\circ $, cung lớn có số đo lớn hơn $180^\circ $.

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
1. Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
2. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$ thì $$sđ\overset\frown{AB}=sđ\overset\frown{AC}+sđ\overset\frown{CB}$$

Ví dụ. Cho đường tròn $\left( O\,;R \right)$, trên$\left( O \right)$ lấy các điểm $A,\,B,\,C$sao cho $AB=R$, $BC=R\sqrt{2}$, tia $BO$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BC$.
1. Tính số đo $\widehat{BOC}$.
2. Tính số đo các cung $\overset\frown{AB}\,,\,\overset\frown{AC},\,\overset\frown{BC}$.
3. Cho điểm $D$ là điểm nằm trên cung lớn $AC$sao cho $sđ\overset\frown{CD}=120^\circ $. Tính số đo cung $AD$.
Lời giải

a) Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ ($OB=OC=R$), ta có #$CB^{2}={{\left( R\sqrt{2} \right)}^{2}}=2{{R}^{2}};\,\,O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}={{R}^{2}}+{{R}^{2}}=2{{R}^{2}}$$ Suy ra $O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta OBC$ vuông cân tại $O$.

Như vậy $\widehat{COB}=90^\circ $.

b) Ta có $\widehat{COB}=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{CB}=90^\circ $
Tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{AOB}=60^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AB}=60^\circ $
$\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=150^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AC}=150^\circ $.

c) $\widehat{DOA}=360^\circ -\left( \widehat{AOC}+\widehat{COD} \right)=360^\circ -\left( 150^\circ +120^\circ \right)=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{DA}=90^\circ $.

2. Bài tập Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

Bài 1. Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A}=70^\circ $. Vẽ đường tròn $\left( A;AB \right)$, $D$ là điểm trên $\left( A \right)$ sao cho sđ$\overset\frown{CD}=30^\circ $. Tính số đo $\widehat{BAD}$.

Lời giải

TH1: Điểm $D$ nằm trong cung lớn $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{1}}$
$\widehat{BA{{D}_{1}}}=\widehat{BAC}+\widehat{CA{{D}_{1}}}=70^\circ +30^\circ =100^\circ $
TH2: Điểm $D$ nằm trong cung nhỏ $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{2}}$
$\widehat{BA{{D}_{2}}}=\widehat{BAC}-\widehat{{{D}_{2}}AC}=70^\circ -30^\circ =40^\circ $

Bài 2. Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O;R \right)$, $OA=2R$. Vẽ $AB,\,AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$. Tính sđ$\overset\frown{BC}$, độ dài cạnh $BC$ theo $R$.

Lời giải

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $B$ có $AO=2BO$ nên $\widehat{OAB}=30^\circ,\,\,\widehat{AOB}=60^\circ $
$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{BOA}=60^\circ \Rightarrow \widehat{BOC}=120^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{BC}=120^\circ $.

Bài 3. Cho đường tròn $\left( O;R \right)$, $AB$ là dây cung $\left( AB\ne 2R \right)$. Trên cung nhỏ $AB$ lấy các điểm $E,\,F$sao cho $\overset\frown{AE}=\overset\frown{EF}=\overset\frown{FB}$. Bán kính $OE,\,OF$ cắt $AB$ lần lượt tại $C$ và $D$. Chứng minh rằng $AC=BD>CD$.

Lời giải

Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OBD}$.
Khi đó: $\widehat{OAC}=\widehat{OBD};OA=OB;\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$
$\Rightarrow \Delta OCA=\Delta ODB\,$(g-c-g).
$\Rightarrow AC=BD$.
Xét $\Delta OBC$ có phân giác $OD$ $\Rightarrow \frac{OC}{OB}=\frac{DC}{DB}$.
Mà $OC<OB\Rightarrow CD<BD$.

Bài 4. Cho đường tròn $\left( O;R \right)$, $AB$ là dây cung $\left( AB\ne 2R \right)$. Trên dây $AB$ lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $AC=CD=DB$. Vẽ bán kính $OE$ qua $C$, bán kính $OF$ qua $D$. Chứng minh rằng:
a) $\overset\frown{AE}=\overset\frown{BF}$.
b) $\overset\frown{AE}<\overset\frown{EF}$.

Lời giải

a) Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}$.
Khi đó: $AC=BD;\widehat{A}=\widehat{B};OA=OB\Rightarrow \Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOD}$.

b) Từ câu a ta có $\Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow OC=OD$$\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại $O$.
khi đó $\widehat{CDO}<90^\circ \Rightarrow \widehat{CDF}>90^\circ $ ($\widehat{CDF}+\widehat{CDO}=180^\circ $)
$\Rightarrow CF>CD$ hay $CF>AC$ ($AC=CD$).
Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OCF$ có $OA=OF$; $OC$ chung và $CF>AC$ $\Rightarrow \widehat{COF}>\widehat{COA}$.

Bài 5. Cho $\Delta ABC$ đều. Về phía ngoài $\Delta ABC$ vẽ nửa đường tròn$\left( O \right)$ đường kính $BC$. Trên nửa đường tròn $\left( O \right)$lấy các điểm $M,\,N$ sao cho $\overset\frown{BM}=\overset\frown{MN}=\overset\frown{NC}$, $AM$ và $AN$ cắt $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh: $BE=BF=FC$.
Lời giải
$OB=OM;\widehat{BOM}=60^\circ $ $\Rightarrow \Delta OBM$ đều.
$AB=AC;\widehat{ABM}=\widehat{ACN}=120^\circ ;BM=CN$$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$(c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAN}$.
$\widehat{BAE}=\widehat{CAF};AB=AC;\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=60^\circ \Rightarrow \Delta ABE=\Delta ACF$ (g-c-g)
$\Rightarrow BE=CF$ (1).

$\Delta OBM$ đều nên $AC=2BO=2BM\Rightarrow \frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$.
Xét $\Delta EBM;\Delta ECA$ có $\widehat{BEM}=\widehat{CEA};\widehat{MBE}=\widehat{ACE}=60^\circ $
$\Rightarrow \Delta EBM\backsim \Delta ECA$$\Rightarrow \frac{EB}{EC}=\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$; $BE=CF$
$\Rightarrow BE=EF$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $BE=EF=FC$.
07/02/2022