O₂ Education

Category: Đại số

  • Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.

    Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

    Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.

    Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $\sqrt{A}\pm\sqrt{B}$ là $\sqrt{A}\mp\sqrt{B}$, tức là biến đổi:
    $$ \sqrt{A}\pm \sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}$ là $(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2$ $$ \sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}=\frac{A\pm B}{(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2} $$

    • Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
    • Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.

    Xem thêm:

    2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3\sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như sau\begin{align*}
    & x^3+8-3\sqrt{x+3}+3=0 \\
    \Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x+3}+1}=0\\
    \Leftrightarrow &(x+2)\left(x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}\right)=0\\
    \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}
    x+2=0\\x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}=0 \qquad (*)
    \end{array}\right.
    \end{align*} Ta có \[\begin{array}{l}
    {x^2} + 2x + 4 \ge 3\\
    – \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge – 3\\
    \Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge 0.
    \end{array}\] Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức nên phương trình (*) vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

    Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể  tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{x+1}~+1=4{{x}^{2}}+\sqrt{3x} $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ x\ge0 $ thì phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    &4{{x}^{2}}-1+\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}=0\\
    \Leftrightarrow & (2x+1)(2x-1)+\frac{2x-1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}=0\\
    \Leftrightarrow & (2x-1)\left( 2x+1+\frac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}} \right)=0\\
    \Leftrightarrow & 2x-1=0\\
    \Leftrightarrow & x=\frac{1}{2}
    \end{align*} So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=\frac{1}{2}. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+x=\sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge \sqrt[3]{2}$. Đoán được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
    &\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = \sqrt {{x^3} – 2} – 5 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {x – 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \\
    \Leftrightarrow\;& x = 3
    \end{align*} Ta có \[\begin{array}{*{20}{c}}{1 + \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} \right)}^2} + 3}}}\\
    {}&{ < 2 < \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}}}
    \end{array}\] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=3. $

    Ví dụ 4. Giải phương trình $$ \sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4} $$ Hướng dẫn. Nhận xét $\left( 3{{x}^{2}}-5x+1 \right)-\left( 3{{x}^{2}}-3x-3 \right)=-2(x-2)$ và $\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=3(x-2)$ nên ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
    &\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}=\sqrt{{{x}^{2}}-2}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}\\
    \Leftrightarrow\;& \frac{-2(x-2)}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\\
    \Leftrightarrow\;& (x-2)\left[ \frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}} \right]=0
    \end{align*} Ta có $ \dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}>0 $ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+15}=3x-2 +\sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau \begin{align}
    &\sqrt{x^2+15}-4=3x-3+\sqrt{x^2+8}-3 \notag\\
    \Leftrightarrow &\frac{x^2+15-16}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2+8-9}{\sqrt{x^2+8}+3}\notag\\
    \Leftrightarrow &\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \,\,\,(*)
    \end{align} Xét hai trường hợp:

    • $ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
    • $ x\ne 1 $ thì phương trình $$ (*)\Leftrightarrow\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3$$ Vì $ \sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8} $ nên từ phương trình đã cho, chúng ta suy ra
      \begin{align*} &3x-2=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}\\
      \Leftrightarrow \;& 3x-2>0 \Leftrightarrow x>\frac{2}{3}
      \end{align*} Suy ra $ x+1>0 $ và như vậy $ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3>\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}} $ hay phương trình $(*)$ vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

    Ví dụ 6. Giải phương trình\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ -\frac{1}{3}\le x\le 6. $ Đoán được nghiệm $ x=5 $ nên ta tách phương trình đã cho thành:
    \[ (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0 \] Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:
    \begin{align*}
    &\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\\
    \Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right)=0
    \end{align*} Vì $ -\frac{1}{3}\le x\le 6 $ nên $$ \dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0,$$ do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

    Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.

    Ví dụ 7. Giải phương trình \[ (x+3)\sqrt{x+4}+(x+9)\sqrt{x+11}=x^2+9x+10 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge -4 $. Dễ dàng đoán được nghiệm $ x=5 $, nên ta tách thành: \[ (x+3)\left(\sqrt{x+4}-3\right)+(x+9)\left(\sqrt{x+11}-4\right)=x^2+2x-35 \] Sau đó, nhân liên hợp được: \begin{align*}
    &(x+3)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+4}+3}+(x+9)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\\
    \Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7\right)=0
    \end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7=0\,\,(*)
    $$ Vì điều kiện là $ x\ge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ \frac{1}{\sqrt{x+4}+3} $ và $ \frac{1}{\sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ \frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau:
    \begin{align*}
    VT(*)&= \frac{x+4}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{x+4}{2}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{x+9}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
    &=(x+4)\left(\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{1}{2}\right)+(x+9)\left(\frac{1}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
    &<0
    \end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

    Ví dụ 8. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}=2x-1 $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách PT đã cho thành \[ \left(\sqrt{x^2+8}-3\right)-\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)-2(x-1)=0 \] Sử dụng phương pháp nhân liên hợp được \[ (x-1)\left((x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2\right)=0 \] Nhận xét rằng $ \sqrt{x^2+8}+3>\sqrt{x^2+3}+2 $ nên $$ \frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}<0 $$ Mặt khác, từ phương trình đã cho có $ 2x-1=\sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}>0 \Leftrightarrow x>\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+1>\frac{3}{2} . $ Do đó, $$ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)<0 $$ và dẫn tới \[ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2<0 \] Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

    Ví dụ 9. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+5}+\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.

    Ví dụ 10. Giải phương trình $$\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$$ Hướng dẫn. Điều kiện xác định của phương trình là $x\ge 1$. Với diều kiện đó, ta có: $(x+2)-(x-1)=3>0$ nên $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}>0$ với $x\ge 1$. Nhân hai vế của phương trình với $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}$ ta được \begin{align*}
    &\bigg( (x+2)-(x-1) \bigg)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}\ge 1 \\
    {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}} \\
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    {{x}^{2}}+x-3\ge 0\\
    {{x}^{2}}+x-1-2\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2\sqrt{x+2}.\sqrt{x-1} \\
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    {{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
    {{x}^{2}}-x-2=0 \\
    \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
    x=-1\vee x=2 \\
    \end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1\vee x=2.
    \end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $

    Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ \left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}-3} \right)\ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    & 4\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} \right)\ge 4\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1} \right)\\
    \Leftrightarrow & 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\\
    \Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge 2x+2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\\
    \Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4\ge 0\\
    \Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l}x\le -2 \\ x\ge 2 \\ \end{array} \right.
    \end{align*} Kết hợp với điều kiện $x\ge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+\infty)$.

    Nhận xét. Bất phương trình này hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!

    Ví dụ 12. Giải bất phương trình $$2x+5>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ 1\le x\le 2. $ Chúng ta có $$ 2x+5=3x+4-(x-1)=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right) $$ nên bất phương trình đã cho tương đương với tương đương với \begin{align*}
    & \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right)>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\\
    \Leftrightarrow & \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2-x} \text{\quad (vì $ \sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}>0 $)}
    \end{align*} Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $

    Ví dụ 13. Giải phương trình $$\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$\left( 2{{x}^{2}}+x+9 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)=2\left( x+4 \right)$$ Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ x\ne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được $$\frac{2x+8}{\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4\Rightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$$ Thu được hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt {2{x^2} + x + 9} – \sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2\\
    \sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4
    \end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = \frac{8}{7}
    \end{array} \right. \] Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = \frac{8}{7}. $

    3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

    Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.

    Bài 1. Giải phương trình $ \sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6 $

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 2. Giải phương trình $ \sqrt{4x^2 +5x+1}-2\sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $

    Đáp số. $ x=\frac{1}{3}. $

    Bài 3. Giải phương trình $ \sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2} $

    Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4}\right)+\left(\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2}\right)=0, $ rồi nhân liên hợp…
    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 4. Giải phương trình $ \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $

    Hướng dẫn. Tách thành $ \left(\sqrt{x-2}-1\right) +\left(\sqrt{4-x}-1\right)-\left(2x^2-5x-3\right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại…
    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 5. Giải phương trình $2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 5-x \right)}=x+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 10-x \right)}$

    Đáp số. $ x=1,x=\frac{15+5\sqrt{5} }{2} $

    Bài 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

    Đáp số. $ x=2 $

    Bài 7. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+\sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$

    Bài 8. [Đề thi Olympic 30/4 năm 2007] Giải phương trình $2{{x}^{2}}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$

    Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$

    Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=\left( x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

    Bài 11. Giải phương trình $1+\sqrt{x}=4x^{2}+\sqrt{3x-1}$

    Đáp số. $x=\frac{1}{2}$

    Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{x}=1-\sqrt[3]{3x^2+x-1}+\sqrt[3]{2x+1} $

    Đáp số. $ x=1 $

    Bài 13. Giải phương trình $ 2\sqrt {{x^2} + 5} = 2\sqrt {x – 1} + {x^2} $

    Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2\sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2\sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow 2\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ \frac{2(x+2)}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+x+2\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {x – 1} + 1}} + \left( {x + 2} \right)\left( {1 – \frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} \right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.

    Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5} $

    Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{{{x}^{2}}+12}-\sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành \begin{align*}
    & \sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+\sqrt{{{x}^{2}}+5}-3\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3\left( x-2 \right)+\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \\
    & \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 \right)=0\Leftrightarrow x=2
    \end{align*} Chứng minh được $\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3<0,\forall x>\frac{5}{3}$.
    Đáp số. $ x=2 $

    Bài 15. Giải bất phương trình $\frac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$

    Đáp số. $ \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$

  • Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn thức, bất PT chứa căn (PT, BPT vô tỷ) ngoài cách nâng lên lũy thừa thì chúng ta còn có thể phân tích thành tích các nhân tử, mỗi nhân tử là một PT, BPT đơn giản hơn.

    Xem thêm:

    Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

    • $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
    • $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$

    Sau đây, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ.

    1. Ví dụ giải phương trình, bất phương trình chứa căn bằng phân tích thành tích

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    & \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
    \sqrt {x + 3} – 2x = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến PT đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = – 1
    \end{array} \right.$$ Đáp số $ x=0,x=-1. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:

    • $ x = 1 $ là nghiệm.
    • $ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
    • $x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
    \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
    \end{align*} Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

    Ví dụ 5. Giải phương trình $${{x}^{2}}-2x-3=\sqrt{x+3}$$ Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,{x^2} – x + \frac{1}{4} = x + 3 + \sqrt {x + 3} + \frac{1}{4}\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 3} + \frac{1}{2}} \right)^2}
    \end{array}\] Đến đây tách thành hai phương trình đơn giản hơn. Đáp số. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \vee x = 1 – \sqrt {13}$.

    Ví dụ 6. Giải phương trình $$x-2\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\left( x-1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}-x}=0$$ Hướng dẫn. Bình phương, biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,2x\sqrt {{x^2} – x} – 4\sqrt {{x^2} – x} + {x^3} – 4{x^2} + 6x – 4 = 0\\
    \Leftrightarrow (x – 2)(2\sqrt {{x^2} – x} + {x^2} – 2x + 2) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $x=2$.

    Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số $ m, $ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \[{{x}^{2}}+2x-8=\sqrt{m\left( x-2 \right)}\] Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 2$, do $ m > 0. $ PT tương đương với \[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right) = \sqrt {m\left( {x – 2} \right)} .\]Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT \[{x^3} + 6{x^2} – 32 = 0\,\,\,\,\,\,\,(*)\] có một nghiệm khác 2.

    Thật vậy, đặt $ f\left( x \right)={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-32,x\ge 2 $ thì ta có \[f(2) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = + \infty ,f’\left( x \right) = 3{x^2} + 12x > 0,\forall x \ge 2\] Suy ra $ f(x) $ là hàm liên tục trên $ \left[ 2;+\infty \right) $ và đồng biến trên khoảng đó. Do đó, với mọi $m>0$ phương trình (*) luôn có nghiệm $ x_0 $ mà $2 < x_0 <+\infty $.

    2. Bài tập phân tích thành tích giải phương trình, bất phương trình

    Giải các phương trình, bất phương trình sau:

    Bài 1. Giải phương trình $ (x+3)\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12 $
    Đáp số. $ x=-3 $

    Bài 2. Giải phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$
    Đáp số. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right]\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left[ 3;+\infty \right)$

    Bài 3. Giải bất phương trình $\left( x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\le {{x}^{2}}-9$
    Hướng dẫn. Xét ba trường hợp $ x=3, x>3 và x<3. $ Đáp số. $x<-\frac{5}{6}\vee x\ge 3$

    Bài 4. Giải BPT $ \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{x-11}\ge \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{2x-9} $
    Đáp số. $ -3;\left[-2,4\right] $

    Bài 5. Giải bất phương trình chứa căn $\frac{\sqrt{51-2x-{{x}^{2}}}}{1-x}<1$
    Hướng dẫn. Xét hai trường hợp của $ x-1. $ Đáp số. $1-\sqrt{52}\le x<-5\vee x>1$

    Bài 6. Giải BPT $\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+\sqrt{1+x} \right)}^{2}}}>x-4$
    Đáp số. $-1\le x<8$

    Bài 7. Giải PT $ \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^2+3x+2} $
    Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt[3]{x+1}-1\right) +\left(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x^2+3x+2}\right)=0$ rồi phân tích thành tích.
    Đáp số. $ x=0,x=-1 $

    Bài 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$
    Hướng dẫn. Nhận xét $ x=0 $ không là nghiệm, chia hai vế cho $ x $ được: $$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}+\sqrt[3]{x}=1+\sqrt[3]{x+1}$$ $$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)=0$$ Đáp số. $x=1$

    Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
    Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ và biến đổi \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\
    \Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\
    \Leftrightarrow x = 1.
    \end{array}\]

    Bài 10. Giải phương trình $ x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(x-1-2\sqrt{x-1}\right) +\left(2\sqrt{7-x}-\sqrt{(7-x)(x-1)}\right)=0$…
    Đáp số. $ x=5,x=4 $

    Bài 11. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6 $
    Hướng dẫn. $ \sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+7}-3\right)-2\left(\sqrt{x+7}-3\right)=0 $
    Đáp số. $ x=1,x=2 $

    Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+3x}+2 \sqrt{ x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5} $
    Hướng dẫn. \[\begin{array}{l}
    x\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – \sqrt {\frac{{(x + 2)(x + 3)}}{x}} + 2\sqrt {x + 2} – 2x = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt {x – 2} } \right)\left( {\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – 2} \right) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $ x=1,x=2 $

    Bài 13. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left( \sqrt{x+3}-2x \right)\left( \sqrt{x+1}-1 \right)=0 $
    Đáp số. $x=0,x=1$

    Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $
    Đáp số. $x= 1;x=2-\sqrt{2} $

    Bài 15. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
    Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ được $ \left( 1-\sqrt{\frac{4x}{x+3}} \right)^2=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 16. Giải phương trình $ 2 x^2-6x+10-5(x-2)\sqrt{x+1}=0 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    2{(x – 2)^2} + 2(x + 1) – 5(x – 2)\sqrt {x + 1} = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {2(x – 2) – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {(x – 2) – 2\sqrt {x + 1} } \right) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $ x=3,x=8 $

    Bài 17. Giải phương trình $ 4x^2+\sqrt{ 2x+3}=8x+1 $
    Hướng dẫn. $ 4x^2-6x+\frac{9}{4}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^2-2\sqrt{2x+3}+\frac{1}{4}$
    Đáp số. $x= \frac{5-\sqrt{21}}{4},x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} $

    Bài 18. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+x+2}=\frac{x^2+5x+2}{2x+2} $
    Hướng dẫn. Nhân chéo, nhóm thành $$ \left(\sqrt{x^2+x+2}\right)^2-2x\sqrt{x^2+x+2}-2\sqrt{x^2+x+2}+4x=0 $$
    Đáp số. $ x=1,x=-2 $

    Bài 19. Giải phương trình $ 2\sqrt{2x+3}-\frac{3}{x}=x+2 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \frac{1}{x}\left(x-\sqrt{2x+3}\right)^2=0 $
    Đáp số. $x=3$

    Bài 20. $ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[6]{x^5-2x^4+x^3} $
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left(1-\sqrt[3]{x-1}\right)(1-\sqrt{x})=0 $
    Đáp số. $x=1,x=2$

    Bài 21. Giải phương trình $ 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x^2+6x}=2\sqrt{2x}+\sqrt{x^2+4x+3} $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(\sqrt{ x+1}-\sqrt{ 2x}\right)\left(2-\sqrt{x+3}\right)=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 22. Giải phương trình $ 4x\sqrt{x+7}+3x\sqrt{7x-3}=6x^2+2\sqrt{ 7x^2 +46x-21} $
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$ \left(2x-\sqrt{7x-3}\right)\left(2\sqrt{x+7}-3x\right)=0 $$Đáp số. $x=1,x=2,x=\frac{3}{4}$

    Bài 23. Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }}
    \end{array}\] Đáp số. $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$

    Bài 24. Giải phương trình $2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành ${{\left( 1+\sqrt{3+x} \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}$
    Đáp số. $x=1,x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$

    Bài 25. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)^3=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 26. Giải phương trình $\sqrt[4]{x+1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[4]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$
    Đáp số. $x=0, x=1$

    Bài 27. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$Đáp số. $x=0, x=1$

    Bài 28. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
    Hướng dẫn. Sử dụng biến đổi $ a^3-b^3=0 \Leftrightarrow a=b$
    Đáp số. $x=1$

    Bài 29. Giải phương trình $4{{x}^{2}}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$\left( 4{{x}^{2}}-4x\sqrt{x+3}+x+3 \right)\left( 1-2\sqrt{2x-1}+2x-1 \right)=0$$Đáp số. $x=1$

    Bài 30. Giải phương trình $\frac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$
    Đáp số. $ x=1 $

    Bài 31. Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3x+3}+\sqrt{2x}=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2x}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$ Đáp số. $x=0$

  • Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Xem thêm Các dạng toán về căn bậc hai

    1. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

    Bài 1: Với giá trị nào của $m$ và $n$ thì hàm số $$y = \left( {{m^2} – 5m + 6} \right){x^2} + \left( {{m^2} + mn – 6{n^2}} \right)x + 3$$ là hàm số bậc nhất?

    Bài 2: Cho hai hàm số $f(x) = ax + \sqrt 3 $ và $g(x) = \left( {{a^2} + 1} \right)x – 1$. Chứng minh rằng:

    a) Các hàm số $f(x) + g(x)$ và $g(x) – f(x)$ là hàm số  đồng biến.
    b) Hàm số $f(x) – g(x)$ là nghịch biến.

    Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ vẽ tam giác ABC, biết $A(0;4),$ $B(3;0),$ $C (-2;0)$.

    a) Tính diện tích tam giác \(ABC\).
    b) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\).

    Bài 4: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm sốbậc nhất sau: $$\left( {{d_1}} \right):y = x + 2;\left( {{d_2}} \right): – \frac{1}{2}x + 1$$

    a) Gọi $A$ là giao của hai đường thẳng. Tìm tọa độ điểm $A$.
    b) Giả sử $\left( {{d_3}} \right)$ là đường thẳng đi qua điểm $K\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ và song song với trục hoành. Đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ lần lượt tại $B$ và $C$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$, tính diện tích tam giác $ABC$.

    Bài 5: Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng $y = \frac{2}{{m – 1}}x + \frac{1}{{m – 1}}$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

    Bài 6: Tìm tọa độ các giao điểm của các đường thẳng sau với trục $Ox$:
    $$\left( d \right):y = x – 2, \left( {d’} \right):y = – x + 2$$ Tìm các giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( {d’} \right)$ với trục $Oy$.  Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Nhận xét. Chứng minh điều nhận xét.

    Bài 7: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ đồ thị các hàm số:
    $$\begin{align}
    & \left( {{d}_{1}} \right):y=x+2 \\
    & \left( {{d}_{2}} \right):y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2} \\
    & \left( {{d}_{3}} \right):y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4} \\
    \end{align}$$ Căn cứ vào đồ thị cho biết tọa độ giao điểm $A$ của $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$; giao điểm $B$ của $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ và giao điểm $C$ của $\left( {{d}_{2}} \right)$ và $\left( {{d}_{3}} \right)$.

    Bài 8: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số $$\left( d \right):y = 2x, \left( {d’} \right):y = \left( {\sqrt 3 – 1} \right)x$$
    Gọi $A$ là điểm trên đường thẳng $\left( d \right)$ có hoành độ bằng $\frac{2}{3}$, $B$ là điểm trên đường thẳng $\left( d’ \right)$ có hoành độ bằng 3. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

    Bài 9: Cho hàm số $y=\sqrt{2}x$.

    a) Vẽ đồ thị hàm số.
    b) Ba điểm $A, B, C$ thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là $-1; 1; 2$. Xác định tung độ của các điểm đó.
    c) Tính khoảng cách từ các điểm A, B, C đến gốc tọa độ.

    Bài 10: Chứng minh rằng khi tham số $a$ thay đổi, các đường thẳng lần lượt có phương trình sau luôn luôn đi qua một điểm cố định:

    a) $ax-2y=6$
    b) $a\left( x-1 \right)+3y=1$

    2. GÓC TẠO BỞI ĐƯỜNG THẲNG VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

    Bài 1: a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ các hàm số sau: $$\begin{array}{l}
    \left( {{d_1}} \right):y = x + 1\\
    \left( {{d_2}} \right):y = 2x + 1\\
    \left( {{d_3}} \right):y = – x + 1
    \end{array}$$ Có nhận xét gì về 3 đồ thị hàm số bậc nhất đó? Gọi ${\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}$ lần lược là góc tạo bởi $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)$ với tia $Ox$. Tính ${\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}$.

    Bài 2: Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

    a) Đi qua điểm $A\left( \frac{1}{2};\frac{7}{4} \right)$ và song song với đường thẳng $y=\frac{3}{2}x$.
    b) Cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $3$ và đi qua $B\left( 2;1 \right)$.

    Bài 3: Vẽ lên cùng hệ trục tọa độ các hàm số: $y=\sqrt{3}x$ và $y=x+1$.

    a) Tìm số đo góc lập bởi mỗi đồ thị hàm số với $Ox$.
    b) Giả sử $A$ là giao điểm của hai đồ thị, $B$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x$ với $Ox$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

    Bài 4: Tìm hệ số góc của đường thẳng $\left( d \right):y=ax+2$ trong các trường hợp:

    a) Đường thẳng đó đi qua điểm $A\left( 1;\frac{6-\sqrt{3}}{3} \right)$.
    b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\sqrt{2}$.

    Bài 5: Xác định hệ số góc $k$ của đường thẳng $y=kx+3-k$ trong mỗi trường hợp sau đây:

    a) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}x$.
    b) Cắt trục tung có tung độ bằng $2$.
    c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$.

    Bài 6: Cho hàm số có phương trình $\left( d \right):y=\left( m-1 \right)x+m$

    a) Xác định giá trị của $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua gốc tọa độ.
    b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1-\sqrt{2}$.
    c) Xác định giá trị của $m$ để $\left( d \right)$ song song với đướng thẳng $y=-5x+1$.
    c) Với giá trị nào của $m$ thì góc $\alpha $ tạo bởi đường thẳng $\left( d \right)$ với $Ox$ là góc tù? là góc vuông?

    Bài 7: Cho hàm số $y=ax$ có đồ thị đi qua điểm $A\left( 3;\sqrt{3} \right)$. Xác định hệ số $a$ và tính góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất đó với $Ox$.

    Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm $A\left( -2\sqrt{3};0 \right)$, $B\left( -2;0 \right)$, $C\left( 0;2 \right)$.

    1. Tìm phương trình các hàm số có đồ thị là các đường thẳng $AB, BC$.
    2. Tìm số đo các góc của tam giác \(ABC\).

    Bài 9: Tìm giá trị của $a$ để 3 đường thẳng:$$\begin{align} & \left( {{d}_{1}} \right):y=2x-5 \\ & \left( {{d}_{2}} \right):y=x+2 \\ & \left( {{d}_{3}} \right):y=ax-12 \\ \end{align}$$ đồng quy tại một điểm.

    Bài 10: Cho hàm số $y=\left( 2m-3 \right)x-1$.

    a) Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y=-5x+3$.
    b) Tìm giá trị của $m$ để hàm số đã cho và các đường thẳng $y=-x+1$ và $y=2x-5$ đồng quy.

    3. HÀM SỐ QUY VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT

    Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số:

    a) $y = \left| x \right|$
    b) $y = \left| {2x – 3} \right|$

    Bài 2: Vẽ đồ thị của hai hàm số $y= \left| x \right| – 2$ và $y = 2 – \left| x \right|$ trên cùng hệ trục tọa độ.

    Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {1 + x} \right| + 2\left| {1 – x} \right|$.

    Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số: $$y = \left\{ \begin{array}{ll}- 2x – 2& (x \le – 1)\\0& (x=-1)\\x – 2&(x \ge 1)\end{array} \right.$$

    Bài 5: Vẽ đồ thị các hàm số:

    1. $y = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 3} \right|$
    2. $y = \left| {x – \left| x \right|} \right|$
    3. $y = \sqrt {{x^2} – 6x + 9} $
    4. $y = 2x + 1 + \sqrt {{x^2} – 4x + 4} $
    5. $y = \sqrt {4{x^2} – 4x + 1} – x$

    4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    Bài 1: Với mỗi phương trình cho dưới đây, hãy viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tập nghiệm đó:

    a) $2x – y = 3$
    b) $4x – 0y = 6$
    c) $0x – 2y = 3$

    Bài 2: Cho phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ sau: $$mx + y = m – 2$$
    Chứng tỏ rằng với mọi $m \in R$ phương trình trên có một nghiệm là một nghiệm của phương trình $3x + 2y = – 1$.

    Bài 3: Cho phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ $$\left( {2m – 1} \right)x + my + 3 = 0$$

    a) Tùy theo giá trị của m hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
    b) Tìm nghiệm của phương trình không phụ thuộc giá trị của $m$.

    Bài 4: Giải phương trình vô định $5x + 3y = 50$. Từ đó tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên.

    Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:

    a) $16x + 40y = 27$
    b) $5x – 13y = 2$
    c) $32x + 48y = 112$

    5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

    a) $\left\{ \begin{array}{l} x – y = 1\\ 3x + 2y = 8 \end{array} \right.$
    b) $\left\{ \begin{array}{l} 2x – 7y = 8\\ 12x + 11y = 3 \end{array} \right.$
    c) $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\ 3x – 2y = 4 \end{array} \right.$
    d) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{4} + \frac{{7y}}{3} = 41\\\frac{{5x}}{2} – \frac{{3y}}{5} = 11\end{array} \right.$
    e) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 5} \right)\left( {y – 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {y – 1} \right)\\\left( {x – 4} \right)\left( {y + 7} \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.$
    f) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x – 3}} + \frac{5}{{y + 1}} = 2\\\frac{5}{{x – 3}} + \frac{1}{{y + 1}} = \frac{{29}}{{20}}
    \end{array} \right.$
    g) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{3} + \frac{2}{3} = 3\\\frac{{4x – y}}{6} + \frac{x}{4} = 1\end{array} \right.$
    h) $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 1} \right) + 2y = – x\\5\left( {x + y} \right) = – 3x + y – 5\end{array} \right.$
    k) $\left\{ \begin{array}{l}- x + 2y = – 4\left( {x – 1} \right)\\5x + 3y = – \left( {x + y} \right) + 8\end{array} \right.$
    l) $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2x + 3y} \right) = 3\left( {2x – 3y} \right) + 10\\4x – 3y = 4\left( {6y – 2x} \right) + 3
    \end{array} \right.$
    m) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)x + y = \sqrt 2 \\x + \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)y = \sqrt 6
    \end{array} \right.$
    n) $\left\{ \begin{array}{l}2x – 3y = 1\\2x + 5y = 9\end{array} \right.$
    o) $\left\{ \begin{array}{l}3x – 7y = 10\\5x + 3y = 2\end{array} \right.$
    p) $\left\{ \begin{array}{l}12x – 5y = 63\\8x + 15y = 13\end{array} \right.$
    q) $\left\{ \begin{array}{l}12x + 7y = 71\\18x + 13y = 89\end{array} \right.$

    Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

    a) $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 13\\5x – 3y = – 31\end{array} \right.$
    b) $\left\{ \begin{array}{l}7x + 5y = 19\\3x + 5y = 31\end{array} \right.$
    c) $\left\{ \begin{array}{l}7x – 5y = 3\\3x + 10y = 62\end{array} \right.$
    d) $\left\{ \begin{array}{l}x + 5y = – 5\\3x + 2y = 11\end{array} \right.$
    e) $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 8\\4x – 3y = – 12\end{array} \right.$
    f) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + 3y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\2x + 12y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.$
    g) $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – y} \right| + 2\left| {x + y – 1} \right| = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.$
    h) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{y + 1}} + \frac{1}{{x + 2}} = 1\\\frac{4}{{y + 1}} – \frac{2}{{x + 2}} = 2\end{array} \right.$
    i) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x – 3}} + \frac{5}{{y + 1}} = 2\\\frac{5}{{x – 3}} + \frac{1}{{y + 1}} = \frac{{29}}{{20}}\end{array} \right.$
    k) $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} + 6\sqrt y = 12\\3\sqrt {x + 1} 2\sqrt y = 1\end{array} \right.$
    l) $\left\{ \begin{array}{l}xy + yz = – 39\\yz + zx = 16\\zx + xy = 25
    \end{array} \right.$
    m) $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 14\\x + y – z – t = – 4\\x – y + z – t = – 4\\x – y – – z + t = 0
    \end{array} \right.$

    6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

    Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

    • Bước 1: Lập hệ phương trình.
      • Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số $x$ và $y$ (thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt $x$ là chiều dải mảnh vườn, $y$ là chiều rộng mảnh vườn…). Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…).
      • Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
      • Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
    • Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
    • Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

    Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

    Hướng dẫn.  Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị m, điều kiện $x > 0, y > 0$).

    Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là: $$2(x + y) = 34$$ Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài $(y + 3)$ m, chiều rộng $(x +2)$ m nên có diện tích là $(x + 2)(y + 3)$. Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình: $$(x+2)(y+3)= xy + 45 $$ Từ đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}
    2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}34\\
    \left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = {\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}45
    \end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này tìm được $x=5$ và $y=12$.

    Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài $12$ m và chiều rộng $5$ m.

    Bài 2: Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một chiếc ôtô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ôtô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

    Hướng dẫn. Gọi vận tốc của ôtô và xe máy lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị km/h, điều kiện $x > 0, y > 0$). Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ôtô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (bằng 0,5h) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

    • Quãng đường AC dài 2y (km), quãng đường BC dài 0,5x (km).
    • Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là 2y/x (km/h).
    • Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là 0,5x/y (km/h).

    Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {0,5x + 2y = 90}\\
    {\frac{{0,5x}}{y} = \frac{{2y}}{x}}
    \end{array}} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {0,5x + 2y = 90}\\
    {{x^2} = 4{y^2}}
    \end{array}} \right.
    \end{array}\] Vì \( x,y>0 \) nên từ phương trình \( {{x^2} = 4{y^2}} \) suy ra $x = 2y$. Thay vào phương trình còn lại của hệ, ta được
    $$3y = 90 \Leftrightarrow y = 30$$ Suy ra, $x = 60$ (thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$).
    Vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

    Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng $31$ và có hiệu bằng $9$.

    Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp bảy lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $4$ và dư là $3$.

    Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20 phút, thời gian về BA là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h. Tính AC, CB.

    Bài 6: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

    Bài 7: Lúc 7 h, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8h30’ một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

    Bài 8: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

    Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

    Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 11: Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 4 giờ,xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu ô tô tằng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h thì sẽ đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.

    Bài 13: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

    Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Bài 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?

    Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

    Bài 17: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 lit dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại?

    Bài 18: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {3x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right) = \left( {2x – 1} \right)\left( {3y + 4} \right)\\ {x^2} – {y^2} = 2x – 5 \end{array} \right.$$

    Bài 19: Giải phương trình: $\left| {x + 1} \right| + 2\left| {x – 1} \right| = x + 2 + \left| x \right| + 2\left| {x – 2} \right|$.

    Bài 20: Với giá trị nào của $k$, hệ phương trình sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left( {1 + k} \right)y = 0\\ \left( {1 – k} \right)x + ky = 1 + k \end{array} \right.$$

  • Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

    Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

    Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

    Bài viết này tổng hợp các dạng toán về căn bậc hai trong chương trình Toán 9. Gồm các dạng toán sau:

    • Khái niệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$,
    • Các phép tính về căn thức bậc hai,
    • Các phép biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai,
    • Phương trình chứa căn thức bậc hai.

    Lời giải chi tiết các bài tập sẽ được cập nhật sau, mời thầy cô và các em học sinh đón đọc.

    Xem thêm Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Đối với các em học sinh lớp 10, xin mời xem bài Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

    1: CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

    Bài 1: Viết các biểu thức sau thành nhân tử:

    a) $36{{x}^{2}}-5$
    b) $25-3{{x}^{2}}$
    c) $x-4$ với $x>0$
    d) $11+9x$ với $x<0$
    e) $31+7x$ với $x<0$

    Bài 2: So sánh các số sau:

    a) $1+\sqrt{2}$ và $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
    b) $5+\sqrt{3}$ và $\sqrt{34-10\sqrt{3}}$
    c) $\frac{1}{\sqrt{15}}$ và $\frac{1}{4}$
    d) $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ và $\frac{1}{\sqrt{37}}$

    Bài 3: Rút gọn biểu thức $$\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$

    Bài 4: Chứng minh đẳng thức $$\left( \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}} \right)-\left( \sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}} \right)=0$$

    Bài 5: Giải phương trình:

    a) $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}=6$
    b) $\sqrt{4+4x+{{x}^{2}}}=x-2$

    Bài 6:

    a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $y = \sqrt { – {x^2} + 2x + 2} $.
    b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = 5 + \sqrt {2{x^2} – 8x + 9} $
    c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 10} $

    2: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI

    Bài 1: Giải các phương trình:

    a) $\dfrac{{\left( {5 – x} \right)\sqrt {5 – x} + \left( {x – 3} \right)\sqrt {x – 3} }}{{\sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 3} }} = 2$
    b) $\sqrt {x – 5} – \dfrac{{x – 14}}{{3 + \sqrt {x – 5} }} = 3$

    Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của $$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$$ Từ đó giải phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}={{x}^{2}}-6x+11$$

    Bài 3: Tính:

    a) $\dfrac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}$
    b) $\left( 7\sqrt{3}-3\sqrt{7} \right):\sqrt{21}$
    c) $\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ với $x>0;y>0;x\ne y$
    d) $\left( x-2y \right)\sqrt{\dfrac{xy}{{{\left( x-2y \right)}^{2}}}}$ với $xy\ge 0$

    Bài 4: Rút gọn các biểu thức:

    A=$\sqrt{2}\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)$
    B=$\sqrt{2-\sqrt{3}}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)$

    Bài 5: So sánh các sốsau đây:

    a) $2+\sqrt{3}$ và $\sqrt{5+4\sqrt{3}}$
    b) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{15}}$
    c) $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$ với $0$

    Bài 6: Rút gọn biểu thức:
    $$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

    Bài 7: Rút gọn biểu thức:
    $$\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$$

    Bài 8: Giải phương trình: $\sqrt {x – \frac{1}{x}} + \sqrt {1 – \frac{1}{x}} = 0$

    Bài 9: Cho biểu thức $$A=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$$

    a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $A$ có nghĩa.
    b) Tìm GTLN và GTNN của $A$.

    Bài 10: Tính: $$X=\frac{{{\left( \sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}} \right)}^{2}}}{\sqrt{29+8\sqrt{13}}}$$

    Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M=\sqrt {{x^2} – 4x + 4} + x – 3$$

    3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

    Bài 1: Tính:

    a) $\sqrt{125}-4\sqrt{45}+3\sqrt{20}-\sqrt{80}$
    b) $2\sqrt{\frac{27}{4}}-\sqrt{\frac{48}{9}}-\frac{2}{5}\sqrt{\frac{75}{16}}$
    c) $\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}$ với $x>0;y>0$

    Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

    a) $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$
    b) $\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}}$
    c) $\sqrt{{{a}^{3}}b}+\sqrt{a{{b}^{3}}}+\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}}$

    Bài 3: Giải các phương trình:

    a) $\sqrt{4x-8}+5\sqrt{x-2}-\sqrt{9x-18}=20$
    b) $5\sqrt{x-1}-\sqrt{36x-36}+\sqrt{9x-9}=\sqrt{8x+12}$

    Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:

    a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
    b) $\dfrac{2}{2\sqrt{2}-1}$
    c) $\dfrac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$
    d) $\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

    Bài 5: Cho biểu thức: $$\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{a}^{3}}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}+\sqrt{ax} \right)\left( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} \right)$$ Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức.

    Bài 6: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

    a) $\left( 2-a \right)\sqrt{\frac{2a}{a-2}}$ với $a>2$
    b) $\left( x-5 \right)\sqrt{\frac{x}{25-{{x}^{2}}}}$ với $0<x<5$
    c) $\left( a-b \right)\sqrt{\frac{3a}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}$ với $0<a<b$

    Bài 7: Tính:

    a) $\left( 3-\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3+\sqrt{5}} \right)+\left( 3+\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)$
    b) $\left( 2\sqrt{8}+3\sqrt{5}-7\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{72}-5\sqrt{20}-2\sqrt{2} \right)$

    Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:

    $A=\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ với $x=6+4\sqrt{2};y=5-2\sqrt{6}$
    $B=\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ với $a,b\ge 0;a\ne b$

    Bài 9: Giải các phương trình:

    a) $\sqrt {4x + 12} + \sqrt {x + 3} – \frac{1}{4}\sqrt {16x + 48} = 6$
    b)$\sqrt {20x} – 3\sqrt {5x} = 10 – \sqrt {45x} $
    c) $\sqrt {{x^2} – 3x – 2} = x – 2$
    d) $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}=3$
    e) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$

    Bài 10: Cho biểu thức: $$A=\left( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1+x} \right)\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}-\frac{1}{x} \right)$$

    a) Tìm điều kiện để biểu thức $A$ xác định.
    b) Rút gọn biểu thức $A$.
    c) Tính giá trị của $A$ khi $x=\frac{1}{2}$, $x=-\frac{1}{2}$.

    Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của $$A=\sqrt{x-2011}+\sqrt{2012-x}$$

    Bài 12: Đơn giản biểu thức $$M=\frac{\sqrt{a}+1}{a\sqrt{a}+a+\sqrt{a}}:\frac{1}{{{a}^{2}}-\sqrt{a}}$$ với $a>0\ne 1$.

    4: BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC BA.

    Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

    a) $\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}$
    b) $\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{-54}-\sqrt[3]{128}$

    Bài 2: Giải các phương trình:

    a) $\left( 2\sqrt[3]{x}+5 \right)\left( 2\sqrt[3]{x}-5 \right)=-21$
    b) $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x-2} \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4$

    Bài 3: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

    a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4}}$
    b) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{5}}$
    c) $\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{5}}$

    Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    a) $\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{21}$; $3-\sqrt[3]{3}$; $\sqrt[3]{{{a}^{2}}x}+\sqrt[3]{{{b}^{2}}x}$
    b) $\sqrt[3]{6{{a}^{2}}b}-\sqrt[3]{9a{{b}^{2}}}$; $a-b-\sqrt[3]{a-b}$
    c) $\sqrt[3]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}-\sqrt[3]{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$

    Bài 5: So sánh các số sau:

    a) $2\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{25}$
    b) $2\sqrt[3]{3}$ và $3\sqrt[3]{2}$
    c) $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ và $2\sqrt{5}$

    Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:

    a) A=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}}$
    b) B=$\sqrt[3]{72-32\sqrt{5}}.\sqrt{7+3\sqrt{5}}$

    Bài 7: Chứng minh các đẳng thức:

    a) $\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25} \right)\left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5} \right)=7$
    b) $\left( \sqrt[3]{{{m}^{2}}}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{{{n}^{2}}} \right)\left( \sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n} \right)=m-n$

    Bài 8: Rút gọn các biểu thức:

    a) $\dfrac{a}{2}\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\dfrac{b}{3{{a}^{2}}}\sqrt{\dfrac{15a}{{{b}^{2}}}}-\dfrac{4a}{5b}\sqrt[3]{\dfrac{b}{2{{a}^{2}}}} \right):\dfrac{2{{a}^{3}}}{15{{b}^{2}}}\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{2b}}$
    b) $\left[ \left( \dfrac{1}{a}-\sqrt[6]{\dfrac{1}{a}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right)+\left( \dfrac{a}{{{a}^{2}}}\sqrt[6]{{{a}^{5}}}-\dfrac{3}{a}\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right) \right]a\sqrt[3]{a}$
    c) $\sqrt{{{a}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{2}}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}$

    Bài 9: Trục căn thức ở mẫu:

    a) $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}+1}$
    b) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}}$
    c) $\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{4}}$
    d) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$

    Bài 7: Cho $a, b, c$ là các số thực dương, từng đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

    a) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$
    b) $\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 9abc$

    Bài 8: Rút gọn biểu thức $$\frac{a+b}{a-b}\sqrt[3]{\frac{a{{\left( a-b \right)}^{6}}}{{{\left( a+b \right)}^{3}}}}$$

    5: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

    Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn, còn được gọi là phương trình chứa căn thức.

    Giải các phương trình sau:

    a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{7-x}=2$
    b) $3{x^2} + 21x + 18 + 2\sqrt {{x^2} + 7x + 7} = 2$
    c) $\dfrac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{x} = 2$
    d) $\sqrt{81{{\left( 2-x \right)}^{2}}}-3=0$
    e) $\dfrac{1}{11}\left( 17-3\sqrt{x-1} \right)=\dfrac{1}{15}\left( 23-4\sqrt{x-1} \right)$
    f) $\sqrt {2 – y} = \sqrt {4 + y} $
    g) $\sqrt {{z^2} – 1} = 1 – z$
    h) $\sqrt {4 – 2z – {z^2}} = z – 2$
    i) $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$
    k) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}=4-2x$
    l) $\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=1$
    m) $2\sqrt[3]{2x-1}={{x}^{3}}+1$
    n) $\sqrt[3]{\dfrac{{{x}^{3}}-3x-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2}}=2-\sqrt{3}$
    o) $\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}=1$
    p) $\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}=2$
    q) $\sqrt{{{x}^{2}}-3x+5}=\sqrt{x+5}$
    r) $2\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=3$
    s) $\dfrac{\sqrt{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}}{\sqrt{x-1}}=x-2$

  • Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn

    Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn

    Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức

    Thông thường, ý tưởng chung để giải bất cứ một phương trình bậc cao, phương trình vô tỷ là đều qui về các phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

    Trong bài viết này, O2 Education xin giới thiệu phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình chứa căn bậc hai. Cách giải các phương trình chứa căn bậc 2 cơ bản, xin mời bạn đọc xem tại đây Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn.

    Đối với phương pháp biến đổi tương đương, ta thường sử dụng những cách sau:

    1. Biến đổi tương đương bằng bình phương hai vế phương trình (nâng lên lũy thừa)

    Chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình rồi biến đổi, chú ý rằng trước khi bình phương hai vế phải đảm bảo điều kiện cả hai vế không âm. Một số dạng cơ bản (biến đổi tương đương luôn mà không cần tìm điều kiện riêng, vì đưa về hệ đã bao hàm cả điều kiện xác định trong đó rồi):

    • $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $ hoặc $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $
      (Tùy theo mức độ đơn giản của biểu thức $ A $ hay $ B $ mà ta lựa chọn cách biến đổi nào cho dễ dàng nhất)
    • $ \sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B^2 \end{array} \right. $
    • $ \sqrt A \le B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0\\ A \le {B^2} \end{array} \right. $
    • $ \sqrt A \ge B \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A \ge {B^2} \end{array} \right. \end{array} $

    Sau đây, mời các bạn theo dõi một số ví dụ cụ thể.

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}=x-1$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \[ \left\{ \begin{array}{l}
    x – 1 \ge 0\\
    {x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    x = 1
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1. \] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}=\sqrt{-2{{x}^{2}}-3x+12}$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
    {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}.$$

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-\frac{4}{3}. $

    Ví dụ 3. Giải bất phương trình $$x+1\ge \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}$$
    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với

    $$ \left\{ \begin{array}{l}
    x + 1 \ge 0\\
    {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    {x^2} – 2x – 3 \le 0\\
    {x^2} – 1 \ge 0
    \end{array} \right.$$ Từ đó tìm được tập nghiệm là $S=\left[ 1;3 \right]\cup \left\{ -1 \right\}$.

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$2x-5<\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}$$
    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với
    \[ \Bigg[ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 < 0\\ – {x^2} + 4x – 3 \ge 0\end{array} \right. & \left( 1 \right)\\
    \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 \ge 0\\ {\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3 \end{array} \right. & \left( 2 \right)
    \end{array}\]
    Giải từng hệ bất phương trình $ (1) $ và $ (2) $ rồi lấy hợp hai tập nghiệm, được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ 1;\frac{14}{5} \right)$.

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    & {\left( {1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 – x} } \right)^2}\\
    \Leftrightarrow\;& 4\left( {x – {x^2}} \right) – 6\sqrt {x – {x^2}} = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x – {x^2}} \left( {4\sqrt {x – {x^2}} – 6} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    \sqrt {x – {x^2}} = 0\\
    \sqrt {x – {x^2}} = \frac{3}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*}

    Ví dụ 6. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$$
    Hướng dẫn. Điều kiện ${{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 5x + \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2} \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = 1 – 3x
    \end{array} \right. \\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    \frac{1}{3} \ge x\\
    {x^3} + 2x + 1 = {\left( {1 – 3x} \right)^2}
    \end{array} \right. \\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    – 1 \le x \le \frac{1}{3}\\
    x = 0;x = 1;x = 8
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.
    \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x = 0. $

    Đôi khi, việc đặt điều kiện để bình phương khá phức tạp, ta sẽ bình phương để thu được phương trình hệ quả, sau đó thử lại nghiệm. Xét ví dụ sau:
    Ví dụ 7. Giải phương trình $$ \sqrt{1-x}+1-2x^2-2x\sqrt{1-x^2}=0 $$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \[ \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2} \]
    Bình phương thu được phương trình hệ quả, rút gọn được
    \[ x\left(4(1-2x^2)\sqrt{1-x^2}-1\right)=0 \] Giải phương trình này tìm được nghiệm $ x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} $.

    Ví dụ 8. [Đề thi ĐH khối A năm 2004] Giải bất phương trình \[\frac{{\sqrt {2({x^2} – 16)} }}{{\sqrt {x – 3} }} + \sqrt {x – 3} > \frac{{7 – x}}{{\sqrt {x – 3} }}\]
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 4. $ Biến đổi phương trình thành \[\sqrt {2({x^2} – 16)} > 10 – 2x \Leftrightarrow \Bigg[ {\begin{array}{l}
    {\left\{ {\begin{array}{l}
    {{x^2} – 16 \ge 0}\\
    {10 – 2x < 0}
    \end{array}} \right.}\\
    {\left\{ {\begin{array}{l}
    {10 – 2x \ge 0}\\
    {2({x^2} – 16) > {{(10 – 2x)}^2}}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}}\] Từ đó tìm được đáp số $ x > 10 – \sqrt {34}. $

    Ví dụ 9. Giải bất phương trình $$\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}}\le \frac{1}{\sqrt{5-2x}} $$
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in[-2,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},\frac{5}{2}). $ Ta xét hai trường hợp:

    • Với $-2\le x<\frac{1}{2}$ thì $\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}<0$ và $\sqrt{5-2x}>0$, nên bất phương trình đã cho luôn đúng.
    • Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$ thì phương trình đã cho tương đương với $ \sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}\ge \sqrt{5-2x}\Leftrightarrow 2\le x<\frac{5}{2}$

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ -2;\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 2;\frac{5}{2} \right)$

    Ví dụ 10. [Đề thi ĐH khối A năm 2010] Giải bất phương trình
    \[ \dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\ge 1 \]
    Hướng dẫn. Vì $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{x^2+(x-1)^2+1}>1 $ nên $ 1-\sqrt{2(x^2-x+1)}<0 $, do đó bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-\sqrt{x}\le 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} &(1)\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt{2(x^2-x+1)}\le 1-x+\sqrt{x} &
    \end{align*} Lại có $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{2(x-1)^2+2(\sqrt{x})^2}\ge 1-x+\sqrt{x} $. Do đó, bất phương trình $ (1) $ chỉ có thể xảy ra dấu bằng.
    \[ x-\sqrt{x}= 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} \] Từ đó tìm được đáp số: $ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}. $

    2. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về tích

    Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

    • $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
    • $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
    \sqrt {x + 3} – 2x = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*}
    Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = – 1
    \end{array} \right.$$
    Đáp số $ x=0,x=-1. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$

    Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:

    • $ x = 1 $ là nghiệm.
    • $ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
    • $x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.
      \end{itemize}

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
    \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
    \end{align*}
    Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

    3. Phương pháp nhân liên hợp

    Đôi khi, chúng ta còn nhân chia với biểu thức liên hợp để dễ dàng phương trình thành tích các nhân tử là phương trình, bất phương trình chứa căn đơn giản hơn. Riêng phương pháp này, chúng tôi xin hẹn ở một bài viết khác.

    Mời thầy cô và các em xem trong bài viết sau: Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

  • Bất đẳng thức Iranian MO 2014 vòng 2

    Bất đẳng thức Iranian MO 2014 vòng 2

    Bất đẳng thức Iranian MO 2014 vòng 2

    Đề bài. (Iranian MO 2014, round 2)

    Cho các số thực \(x, y, z \geq 0\) thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x y+y z+z x) .\) Chứng minh rằng:
    $$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{2 x y z}$$

    Lời giải: Chúng ta có $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x y+y z+z x) \Leftrightarrow(x+y-z)^{2}=4 x y$$

    Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(z=\min \{x, y, z\},\) thì \(x+y-z \geq 0\). Áp dụng BĐT AM-GM:
    $$
    \frac{x+y+z}{3}=\frac{\frac{x+y-z}{2}+\frac{x+y-z}{2}+2 z}{3} \geq \frac{3 \sqrt[3]{\left(\frac{x+y-z}{4}\right)^{2}} \cdot 2 z}{3}=\sqrt[3]{2 x y z}
    $$

    Đây chính là điều phải chứng minh.

    (Lời giải của thầy Nguyễn Thái Vũ – Nhóm FB Học Toán với thầy Vũ)

  • Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai trên tập số phức

    Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

    1. Căn bậc hai của số phức

    Cho số phức $z=a+bi$ (với $a,b\in R$). Một số phức $w$ được gọi là một căn bậc hai của số phức $z$ nếu $w^{2}=z$. Số phức $z=0$ có một căn bậc hai là $0$. Mỗi số phức $z\ne 0$ luôn có hai căn bậc hai, cách tìm căn bậc 2 như trong ví dụ sau đây.

    Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức $z=4+6\sqrt{5}i$.
    Giả sử căn bậc hai của số phức là $w=x+yi$ với $x,y\in R$ thì ta có

    ${{w}^{2}}={{\left( x+yi \right)}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+2xyi$

    Đồng nhất phần thực và phần ảo của hai vế, ta được hệ phương trình:
    $$ \begin{cases}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4 \\
    xy=3\sqrt{5}
    \end{cases}$$

    Giải hệ phương trình trên ta được $ x=\pm 3,  y=\pm \sqrt{5}$. Vậy, số phức $z=4+6\sqrt{5}i$ có hai căn bậc hai là $3+i\sqrt{5}$ và $-3-i\sqrt{5}$.

    Luyện tập: Tìm căn bậc hai của số phức $z=-1-2\sqrt{6}i$. Đáp số: Có hai căn bậc hai là $\sqrt{2}-i\sqrt{5}$ và $-\sqrt{2}+i\sqrt{5}$.

    Chú ý: Mỗi số thực dương $a$ luôn có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}$, mỗi số thực âm $a$ đều có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}.i$

    2. Phương trình trên tập số phức

    2.1. Phương trình bậc nhất $az+b=0$ với $ a,b\in C, a\ne 0 $

    Phương pháp giải. Biến đổi tương đương $az+b=0 \Leftrightarrow z=-\frac{b}{a}$ rồi thực hiện phép chia hai số phức để rút gọn nghiệm, đưa nghiệm về dạng $z=x+yi$ với $x,y\in R$.

    Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

    • $\left( 3+4i \right)z=(1+2i)(4+i)$
    • $2iz+3=5z+4$
    • $3(2-i)z+1=2iz(1+i)+3i$

    Hướng dẫn.

    • Chúng ta có ngay $z=\frac{(1+2i)(4+i)}{3+4i}=\frac{42}{25}+\frac{19}{25}i $.
    • Chuyển vế, đặt nhân tử chung, ta được $$ (-5+2i)z=1 $$ Suy ra $z=\frac{1}{-5+2i}=\frac{-5}{29}-\frac{2}{29}i$
    • Đặt nhân tử chung, đưa về dạng $az+b=0$ chúng ta được $$ (3(2-i)-2i(1+i))z=-1+3i $$ Rút gọn được $(8-5i)z=-1+3i$, suy ra nghiệm của phương trình là $$z=\frac{-1+3i}{8-5i}=\frac{-23}{89}+\frac{19}{89}i$$

    Ví dụ 2: Giải phương trình $$\frac{2+i}{1-i}z=\frac{-1+3i}{2+i}.$$

    Hướng dẫn.

    Có thể rút gọn trực tiếp $\frac{2+i}{1-i}$ và $\frac{-1+3i}{2+i}.$ Tuy nhiên, cách làm đó chắc chắn xuất hiện phân số, nên chúng ta sẽ nhân chéo để tránh xuất hiện phép chia hai số phức. Phương trình đã cho trở thành $$(2+i)(2+i)z=(-1+3i)(1-i)$$ hay chính là $(3+4i)z=2+4i$. Suy ra, nghiệm của phương trình là $$z=\frac{2+4i}{3+4i}=\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i.$$

    2.2. Phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.

    Phương pháp giải. Tính $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, lúc này ta xét 2 trường hợp sau:

    • Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.
    • Nếu $\Delta \ne 0$ thì giả sử $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta $. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

    $${{z}_{1}}=\frac{-b-\delta }{2a};{{z}_{2}}=\frac{-b+\delta }{2a}$$

    Chú ý rằng hệ thức Viét vẫn đúng với phương trình bậc hai ẩn phức, do đó có thể nhẩm nghiệm hoặc tính giá trị biểu thức đối xứng với hai nghiệm z1, z2 như đối với phương trình ẩn thực như bình thường.

    Ví dụ 1: Giải các phương trình bậc hai sau

    • ${{z}^{2}}+2z+5=0$
    • ${{z}^{2}}+(1-3i)z-2(1+i)=0$
    • ${{z}^{2}}-2(1+i)z-2i-3=0$
    • $i{{z}^{2}}-4z-i+4=0$

    Ví dụ 2: Cho phương trình

    $${{z}^{2}}+\left( \sqrt{3}-1-i \right)z-\sqrt{3}\left( 1+i \right)=0$$

    Giả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{2}}+\frac{1}{z_{2}^{2}}$

    Luyện tập: Cho phương trình ${{z}^{2}}+\left( 3-2i \right)z+5\left( 1-i \right)=0$. Giả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{{}}}+\frac{1}{z_{2}^{{}}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$

    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

    $$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4+i \\
    z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=5-2i \\
    \end{cases}$$

    Luyện tập: Giải hệ phương trình

    $$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=8-8i \\
    z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=63-16i \end{cases}$$

    Ví dụ 4: Giả sử phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ với $b,c\in R$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi các điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ trên mặt phảng toạ độ $Oxy$. Tìm điều kiện của $b$ và $c$ để tam giác $OM_1M_2$ vuông cân tại đỉnh $O$.

    Nhận xét. Nếu phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thì chúng phải có dạng $${{z}_{1}}=m+ni;{{z}_{2}}=m-ni$$

    Do đó luôn có tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ cân đỉnh $O$. Để tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ vuông cân thì một trong hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ phải có một argument là $45^\circ$ hoặc $135^\circ$ do đó $m=\pm n$.

    Một số phương trình có dạng đặc biệt, ngoài cách làm trên có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

    Ví dụ: Giải phương trình

    $${{\left( \frac{z+i}{z-i} \right)}^{4}}=-1$$

    2.3. Phương trình bậc ba $a{{z}^{3}}+b{{z}^{2}}+cz+d=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.

    Ví dụ 1: Giải phương trình $\left( iz+\frac{1}{2i} \right)\left( \left( 2-i \right)\overline{z}+i+3 \right)=0$

    Nhận xét: Trên cơ sở ví dụ 1, khi giải phương trình bậc ba ẩn phức em chỉ cần nhẩm nghiệm rồi biến đổi phương trình về dạng tích.

    Ví dụ 2: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2(1+i){{z}^{2}}+3iz+1-i=0$$
    Hướng dẫn: nhận thấy $a+b+c+d=0$ nên $z=1$ là một nghiệm

    Ví dụ 3: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2i{{z}^{2}}+z-2i=0$$
    Hướng dẫn: Dùng định lí Bezout nhẩm được 1 nghiệm là $z=1$.

    Nếu các hệ số của phương trình đều là số thực thì bấm Casio để tìm một nghiệm.

    Ví dụ 4: Giải các phương trình

    • $2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+z-1=0$
    • ${{z}^{3}}+i{{z}^{2}}-iz+1=0$

    2.4. Phương trình trùng phương $a{{z}^{4}}+b{{z}^{2}}+c=0$ với hệ số phức, $a\ne 0 $.

    Phương pháp: Chỉ cần đặt $t={{z}^{2}}$ tương tự như với phương trình thực nhưng không có điều kiện $t\ge 0$

    Chú ý: Một số phương trình chưa có sẵn dạng trùng phương như trên thì phải thực hiện các phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng trùng phương

    Ví dụ: Giải các phương trình

    • ${{\left( \frac{z+i}{z-i} \right)}^{4}}=-1$
    • ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+\frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$
    • ${{z}^{4}}+5{{z}^{3}}-4{{z}^{2}}+5z+1=0$

    2.5. Một số dạng phương trình có chứa $z;\overline{z};\left| z \right|$.

    Phương pháp: Chỉ cần giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in R$ rồi sử dụng điều kiện bằng nhau của hai số phức để lập và giải hệ hai phương trình hai ẩn $x,y\in R$

    Ví dụ: Giải các phương trình

    • ${{z}^{2}}+\left| z \right|=0$
    • $z+2\overline{z}=2-4i$
    • $\left| z \right|-2z=-1-8i$
    • ${{z}^{2}}+\overline{z}=0$

    Chú ý: Cách làm trên cũng được áp dụng với hệ phương trình ẩn phức

    Ví dụ: Giải hệ phương trình

    $$\begin{cases} \left| z-2i \right|=\left| z \right| \\
    \left| z-i \right|=\left| z-1 \right| \\
    \end{cases}$$

  • Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Từ định lí về dấu tam thức bậc hai chúng ta có thể giải được các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 (bất phương trình bậc hai) luôn dương, luôn âm với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\), tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\), tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm… Đây là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt chương trình Đại số và Giải tích ở cấp THPT.

    Nếu bài viết hữu ích, bạn hãy tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Để hiểu về các dạng toán tìm điều kiện để phương trình luôn đúng, vô nghiệm… chúng ta cần thành thạo các dạng bài Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai.

    ✅Xem thêm ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10 

    1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) >0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R}\).

    Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

    • Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \(f(x)\) là một tam thức bậc hai, nên \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \[\begin{cases}
      a>0\\ \Delta <0
      \end{cases}\]

    Tương tự, chúng ta có các bài toán sau:

    Bài toán 2. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) <0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

    Cần xét hai trường hợp:

    • Kiểm tra khi \( a=0 \).
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases}
      a<0\\ \Delta <0
      \end{cases}\]

    Bài toán 3. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \ge 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

    Xét hai trường hợp:

    • Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases}
      a>0\\ \Delta \le 0
      \end{cases}\]

    Bài toán 4. Cho hàm số \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \le 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

    Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

    • Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases}
      a<0\\ \Delta \le 0
      \end{cases}\]

    Ví dụ 1. Tìm \(m\) để hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

    Hướng dẫn. Hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases}
    a=3>0\\ \Delta =-12m-11<0
    \end{cases} \] Giải hệ này, từ đó tìm được đáp số \( m<\frac{-11}{12} \).

    Ví dụ 2.  Tìm \(m\) để biểu thức sau luôn dương với mọi \(x\) \[f(x)=(m-1) x^{2}+(2 m+1) x+m+1.\]

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. \( m-1=0 \Leftrightarrow m=1 \). Lúc này bất phương trình \(f(x)>0\) tương đương với \( 3 x+2>0 \Leftrightarrow x>-\frac{2}{3} \) Rõ ràng tập nghiệm này không đáp ứng được mong muốn của đề bài (đề bài yêu cầu là \(f(x)>0\) với mọi \( x\in R \)), do đó \( m=1 \) không thỏa mãn yêu cầu.
    • Trường hợp 2. \(m \neq 1\), khi đó  \(f(x)>0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) tương đương với \( \begin{array}{l}
      & \left\{\begin{array}{l}
      m-1>0 \\
      \Delta=4 m+5<0
      \end{array}\right. \\
      \Leftrightarrow& \left\{\begin{array}{l}
      m>1 \\
      m<-\frac{5}{4}
      \end{array}\right.
      \end{array} \) Rất tiếc hệ này cũng vô nghiệm.

    Tóm lại, không tìm được giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

    2. Tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm

    Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng (nghiệm đúng) với mọi \(x\) thuộc \( \mathbb{R}\) thì ta làm như phần trên. Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm thì ta sử dụng các lập luận sau

    • Bất phương trình \( f(x)>0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) \le 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
    • Bất phương trình \( f(x)<0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
    • Bất phương trình \( f(x)\ge 0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) < 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
    • Bất phương trình \( f(x)\le 0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) > 0, \forall x\in \mathbb{R}\]

    Đây chính là 4 bài toán đã xét ở phần trước. Sau đây chúng ta sử dụng các kết quả trên để giải quyết một số bài tập.

    Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \[ (m-1){{{x}}^{2}}+2(m-1)x+1\ge 0 \] nghiệm đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \).

    Hướng dẫn. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì cũng chính là \[f(x)\ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R},\]  trong đó \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2(m-1)x+1\). Do đó, chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. Khi \(m=1\), bất phương trình trở thành \[0x^2+0x+1\ge 0\] Rõ ràng bất phương trình này luôn đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Nên giá trị \(m=1\) thỏa mãn yêu cầu.
    • Trường hợp 2. Khi \( m\ne 1 \), thì \(f(x)\) là tam thức bậc hai nên \(f(x) \ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
      \begin{align}
      &\begin{cases}
      m-1>0 \\
      {{(m-1)}^{2}}-(m-1)\le 0 \\
      \end{cases}\\
      \Leftrightarrow & \begin{cases}
      m>1 \\
      {{m}^{2}}-3m+2\le 0 \\
      \end{cases}\\
      \Leftrightarrow & \begin{cases}
      m>1 \\
      1\le m\le 2 \\
      \end{cases} \Leftrightarrow 1<m\le 2
      \end{align}

    Kết luận. Kết hợp cả 2 trường hợp, chúng ta có đáp số \( m\in \left[ 1;2 \right] \).

    Ví dụ 2. Cho hàm số \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2mx-3\) trong đó \(m\) là tham số. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f(x)>0\) vô nghiệm.

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Khi \( m=1 \), bất phương trình \(f(x)>0\) trở thành \[ 2x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}. \] Suy ra \(m=1\) không thỏa mãn yêu cầu.
    • Khi \( m\ne 1 \) thì \(f(x)\) là tam thức bậc hai. Yêu cầu bài toán tương đương với \[f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\]
      Điều kiện cần và đủ là \[ \left\{ \begin{align}
      & m-1<0 \\
      & \Delta’={{m}^{2}}+3(m-1)\le 0 \\
      \end{align} \right. \]Giải hệ bất phương trình trên, tìm được đáp số \( m\in \left[ \frac{-3-\sqrt{21}}{2};\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right]. \)

    Ví dụ 3. Cho \(f(x)=(m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\), với \(m\) là tham số.

    1. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f(x)=0\) nhận \( x=-2 \) làm nghiệm.
    2. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \( y=\sqrt{f(x)} \) được xác định với mọi giá trị của \( x\in \mathbb{R} \).

    Hướng dẫn. 

    1. Phương trình \(f(x)=0\) nhận \(x=-2\) làm nghiệm khi và chỉ khi \(f(-2)=0\). Điều này tương đương với
    \[ (m-2){{(-2)}^{2}}-2(2-m)(-2)+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \] Vậy \( m=\frac{1}{2} \) là giá trị cần tìm.

    2. Hàm số \( y=\sqrt{f(x)} \) được xác định với mọi giá trị của \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi: \[f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow (m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,(1) \] Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1: \( m-2=0\Leftrightarrow m=2 \) thì (1) có dạng \(3\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\) (luôn đúng)
    • Trường hợp 2: \( m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2 \). Lúc đó (1) xảy ra khi và chỉ khi: \begin{align}
      &\left\{ \begin{array}{l}
      m \ne 2\\
      \Delta’ \le 0\\
      m – 2 > 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
      m > 2\\
      {(2 – m)^2} – (m – 2)(2m – 1) \le 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
      m > 2\\
      (2 – m)(m + 1) \le 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
      m > 2\\
      \left[ \begin{array}{l}
      m \le – 1\\
      m \ge 2
      \end{array} \right.
      \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2
      \end{align}

    Kết luận: Vậy các số thực \( m\ge 2 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    3. Bài giảng về bất phương trình bậc 2

    Chi tiết về các dạng toán trên, mời các bạn xem trong video sau:

    https://youtu.be/7Kl3U3qa5HY
  • Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

    Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

    Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn

    Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

    Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

    1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

    Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

    Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

    Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể  tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

    Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

    phương trình chứa căn bất phương trình chứa căn

    3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

    Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

    4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

    Ví dụ 1. Giải phương trình

    $$\sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x – 2 \ge 0\\
    4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    {x^2} – 3x = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    x = 0\, \vee \,x = 3
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
    \end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

    Ví dụ 2. Giải phương trình

    \[\sqrt {25 – {x^2}} = x – 1\]

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x – 1 \ge 0\\
    25 – {x^2} = {(x – 1)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    2{x^2} – 2x – 24 = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    x = 4\, \vee \,x = – 3
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 4
    \end{array}\] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.

    Ví dụ 3. Giải phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x\]

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\\
    \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x – 2 \ge 0\\
    3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    2{x^2} – 5x – 3 = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    x = 3 \vee \,x = – \frac{1}{2}
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
    \end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

    Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x – 1 \ge 0\\
    {x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    x = 1
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 1
    \end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 5x + 4} = \sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
    {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) \ge 0\\
    3{x^2} – 2x – 8 = 0
    \end{array} \right. & \\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \left[ \begin{array}{l}
    x \le 1\\
    x \ge 4
    \end{array} \right.\\
    \left[ \begin{array}{l}
    x = 2\\
    x = \frac{{ – 8}}{6}
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 8}}{6}
    \end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{-8}{6}$.

    Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 \ge \sqrt {2\left( {{x^2} – 1} \right)} $$

    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x + 1 \ge 0\\
    {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    {x^2} – 2x – 3 \le 0\\
    {x^2} – 1 \ge 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    – 1 \le x \le 3\\
    \left[ \begin{array}{l}
    x \le – 1\\
    x \ge 1
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = – 1\\
    1 \le x \le 3
    \end{array} \right.
    \end{array}$$

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;3} \right] \cup \left\{ { – 1} \right\}$.

    Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < \sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    2x – 5 < 0\\
    – {x^2} + 4x – 3 \ge 0
    \end{array} \right. &  \left( 1 \right)\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    2x – 5 \ge 0\\
    {\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3
    \end{array} \right. & \left( 2 \right)
    \end{array} \right.$$

    • Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$\left\{ \begin{array}{l}
      x < \frac{5}{2}\\
      1 \le x \le 3
      \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < \frac{5}{2}$$
    • Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$\begin{array}{l}
      \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
      x \ge \frac{5}{2}\\
      5{x^2} – 24x + 28 < 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
      x \ge \frac{5}{2}\\
      2 < x < \frac{{14}}{5}
      \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le x < \frac{{14}}{4}
      \end{array}$$

    Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = \left[ {1;\frac{{14}}{5}} \right)$.

    Ví dụ 8. Giải phương trình $$\sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} = \sqrt {1 – 2x} $$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 4} = \sqrt {1 – 2x} + \sqrt {1 – x} \\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
    x + 4 = 1 – x + 2\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
    \sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
    x \ge – \frac{1}{2}\\
    (1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\
    x = 0 \vee x = – \frac{7}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0
    \end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.

    Ví dụ 9. Giải phương trình $$\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} $$

    Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align}  & 3x+1\ge 0 \\ & 2x-1\ge 0 \\ & 6-x\ge 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \frac{1}{2}\le x\le 6 \right.$

    Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} \\
    \Leftrightarrow \,\,\,\sqrt {3x + 1} = \sqrt {6 – x} + \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,\,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,\,2x – 4 = 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,x – 2 = \sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,{x^2} – 4x + 4 = – 2{x^2} + 13x – 6\,\,\,(x \ge 2)\\
    \Leftrightarrow \,\,3{x^2} – 17x + 10 = 0\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 5\\
    x = \frac{2}{3}\left( l \right)
    \end{array} \right.
    \end{array}.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

    Ví dụ 10. Giải bất phương trình $$2\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{9-2x}\ge \frac{3}{2}$$

    Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align}  & x-3\ge 0 \\ & 9-2x\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 3\le x\le \frac{9}{2}$

    Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,2\sqrt {x – 3} \ge \frac{1}{2}\sqrt {9 – 2x} + \frac{3}{2}\\
    \Leftrightarrow 4\left( {x – 3} \right) \ge \frac{1}{4}\left( {9 – 2x} \right) + \frac{9}{4} + \frac{3}{2}\sqrt {9 – 2x} \\
    \Leftrightarrow 16x – 48 \ge 18 – 2x + 6\sqrt {9 – 2x} \\
    \Leftrightarrow 9x – 33 \ge 3\sqrt {9 – 2x} \\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    18x – 64 \ge 0\\
    {\left( {9x – 33} \right)^2} \ge 9\left( {9 – 2x} \right)
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge \frac{{32}}{9}\\
    81{x^2} – 576x + 1008 \ge 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge \frac{{32}}{9}\\
    \left[ \begin{array}{l}
    x \le \frac{{28}}{9}\\
    x \ge 4
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 4
    \end{array}\]

    Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 4;\,\frac{9}{2} \right]$.

    Xem các ví dụ khác nữa tại đây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn