Category: Giải tích

Tính đạo hàm của hàm số
Cách tính đạo hàm của hàm số

1. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

Chúng ta có 3 quy tắc sau để sử dụng:
- Đạo hàm của tổng, hiệu các hàm số $$ (u\pm v)’=u’\pm v’ $$
- Đạo hàm của tích hai hàm số
  $$ (uv)’=u’v+uv’$$
  Đặc biệt, nếu \( k \) là một hằng số thì
  $$ (k.u)’ = k. u’ $$
- Đạo hàm của thương 2 hàm số
  $$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2} $$
2. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản

Ngoài các công thức, chúng ta còn cần sử dụng bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản

3. Cách tính đạo hàm hàm số

Chi tiết về hướng dẫn tính đạo hàm của hàm số, mời các bạn xem trong bài giảng sau:

https://youtu.be/kfuPnowd098

3. Cách tìm đạo hàm của hàm số hợp

Nói riêng về hàm số hợp, nếu bạn vẫn chưa biết cách tìm đạo hàm của hàm số hợp thì có thể xem thêm video sau:

https://youtu.be/pawCA2VLpUc
05/04/2020
Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng
Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng

Xem chi tiết các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Bài toán. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số \[ y=\frac{1}{3}x^{3}-(m-1)x^{2}-(m-3)x+1 \] đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$.

Hướng dẫn.
- Đạo hàm của hàm số đã cho là \[ y’=x^{2}-2(m-1)x-(m-3) \]
- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$ khi và chỉ khi $$y’\geqslant0,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)$$
- Điều kiện này tương đương với
  \begin{align*}
  & m(2x+1)\leqslant x^{2}+2x+3,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)\\
  \Leftrightarrow & \begin{cases}
  m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]\\
  m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]
  \end{cases}
  \end{align*}
  Xét hàm số $g(x)=\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1}$ trên đọan $[-3;-1]$
  chúng ta có bảng biến thiên như sau:
Do đó, điều kiện $m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]$ tương đương với
\[ m\geqslant\max\limits _{[-3;-1]}g(x)=-1. \]
- Làm tương tự, điều kiện $m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]$
  cho ta $m\leqslant2.$
Kết hợp hai điều kiện, được đáp số cần tìm là $-1\leqslant m\leqslant2.$
20/01/2020
Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II
Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II

Bài toán. Đối với bài toán tìm nguyên hàm, tích phân có dạng
\[ \int f(u(x))\cdot u'(x)\,\mathrm{d}x \]
chúng ta thường sử dụng phương pháp đổi biến số [hoặc biến đổi vi phân] thành
\[ \int f(u) \,\mathrm{d}u \]
và sử dụng bảng các nguyên hàm mở rộng. Thường ta chọn những phần phức tạp của biểu thức để đổi biến, chẳng hạn
- Đặt $ u $ là mẫu thức, căn thức, cơ số, số mũ hoặc biểu thức dưới dấu căn.
- Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ f\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x} $ thì đặt $ u= \ln x.$
- Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ \sin^n x\cdot \cos^m x $, và $ n $ lẻ thì ta đặt $ u= \cos x$, nếu $ m $ lẻ thì đặt $ u=\sin x $, nếu không thì hạ bậc cho đến khi xuất hiện số mũ lẻ.
- Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì ta chia tử cho mẫu, sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tách thành các phân thức đơn giản.
Bài giảng phương pháp biến đổi vi phân, phương pháp đổi biến số loại 2

Một số bài tập trắc nghiệm phương pháp biến đổi vi phân, đổi biến số loại 2:
1. 1. Kết quả của $ I= \int \left(2x(x-1)+2^x\right)\,\mathrm{d}x $ là
    
    $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+\frac{2^x}{\ln 2} +C$}
    
    $ I=x^3-x^2+2^x +C$
    
    $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
    
    $ I=x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
  2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
    
    $ \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C $.
    
    $ \int e^{2x}\,\mathrm{d}x=e^{2x}+C $.
    
    $ \int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C $.
    
    $ \int \,\mathrm{d}x=x+C $.
  3. Cho $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x $ và $ t=\sqrt{x^2+1} $. Khẳng định nào sau đây là sai?
    
    $ x\,\mathrm{d}x=t\,\mathrm{d}t $.
    
    $ I=\int_{1}^{2}t^2\,\mathrm{d}t $.
    
    $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}t^2\,\mathrm{d}t $.
    
    $ I=\frac{7}{3} $.
  4. Biết $ \int f(u)du=F(u)+C $. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
    
    $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(x)-3+C $.
    
    $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=F(2x-3)+C $.
    
    $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}F(2x-3)+C $.
    
    $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(2x-3)+C $.
  5. Nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\sqrt{4x+2} $ là
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\sqrt{4x+2} +C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
  6. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x+2}$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = e^{3x+2}+C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}e^{3x+2}+C$.
  7. Cho $ I= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin^nx\cos x \,\mathrm{d}x=\frac{1}{64} $. Khi đó giá trị của $ n $ bằng bao nhiêu?
    
    $ n=3 $.
    
    $ n=6 $.
    
    $ n=5 $.
    
    $ n=4 $.
  8. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\cos2x. $
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sin2x +C. $
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{2} \sin2x +C. $
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=2\sin2x +C. $
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-2\sin2x +C. $
  9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos^2x$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\cos 2x}{4}+C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}+C$.
    
    $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$.
  10. Biết $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$ và $ F(2)=1. $ Tính $ F(3). $
    
    $ F(3)=\ln 2-1. $
    
    $ F(3)=\ln 2+1. $
    
    $ F(3)=\frac{1}{2}. $
    
    $ F(3)=\frac{7}{4}. $
  11. Tính tích phân $I =\int\limits_0^1 {\frac{x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1}} $.
    
    $I = – 1 +\ln 2$.
    
    $I =\frac{1}{2}\ln 2$.
    
    $I =\ln 2$.
    
    $I =\frac{1}{2}\left( – 1 +\ln 2\right)$.
  12. Biết $ \int\limits_0^1 {\frac{{5x + 18}}{{{x^2} + 7x + 12}}\,\mathrm{d}x} = \ln a$. Tính $a$.
    
    $a=\frac{27}{100}$.
    
    $a=\frac{100}{3}$.
    
    $a=\frac{100}{27}$.
    
    $a=\frac{100}{7}$.
  13. Tìm nguyên hàm $\int\frac{x + 3}{x^2 + 3x + 2}\,\mathrm{d}x $.
    
    $2\ln |x + 2| -\ln |x + 1| + C$.
    
    $\ln |x + 1| + 2\ln |x + 2| + C$.
    
    $2\ln |x + 1| +\ln |x + 2| + C$.
    
    $\ln |x + 1| – 2\ln |x + 2| + C$.
  14. Biết $ \int_{3}^{4}\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+x}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5 $ với $ a,b,c $ là các số nguyên. Tính giá trị $ S=a+b+c. $
    
    $ S=6. $
    
    $ S=2. $
    
    $ S=-2. $
    
    $ S=0. $
  15. Tìm nguyên hàm
    \[ \int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x \]
  16. Cho tích phân $ I=\int_0^4\frac{\,\mathrm{d}x}{3+\sqrt{2x+1}} =a+b\ln\frac{2}{3}$, với $ a,b $ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
    
    $ a+b=5 $.
    
    $ a-b=3 $.
    
    $ a-b=5 $.
    
    $ a+b=3 $.
  17. Tính tích phân
    $$ I=\int_0^1 x(x^2+1)^9\,\mathrm{d}x.$$
  18. Tính tích phân
    \[ I=\int_{0}^{1}x^3\cdot\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x \]
  19. Tính $I = \int\limits_{0}^{1} \frac{2x^2+5x-2}{x^3+2x^2-4x-8}\,\mathrm{d}x$.
    
    $I=\frac{1}{6}+\ln12$.
    
    $I=\frac{1}{6}+\ln \frac{3}{4}$.
    
    $I=\frac{1}{6}-\ln3+2\ln2$.
    
    $I=\frac{1}{6}- \ln \frac{3}{4}$.
  20. Tính tích phân $ I = \int_0^{\pi/6}\frac{\sin 3x}{4\cos^3 x – 3\cos x + 2}\,\mathrm{d}x$
    
    $I=\frac{1}{3}\ln 3 – \ln 2$.
    
    $I=\ln 3 – \ln 2$.
    
    $I=\frac{1}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln 3$.
    
    $I=\frac{1}{3}\ln3 – \frac{1}{3}\ln 2$.
  21. [Đề tham khảo 2018]
    Cho hàm số $ f(x) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{1}{2}\right\}$ và thỏa mãn
    \[ f'(x)=\frac{2}{2x-1},\quad f(0)=1,\quad f(1)=2. \]
  22. Tính giá trị của biểu thức $ f(-1)+f(3). $
    
    $ 4+\ln 15. $
    
    $ 2+\ln 15. $
    
    $ 3+\ln 15. $
    
    $ \ln 15. $
  23. [Đề tham khảo 2018]
    Biết $ \int_1^2\frac{\,\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c $, với $ a,b,c $ là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức $ P=a+b+c. $
    
    $ P=24. $
    
    $ P=12. $
    
    $ P=18. $
    
    $ P=46. $
20/01/2020