Category: Hình học

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian
Cách tính Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Muốn tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì các em học sinh cần nắm vững cách tính khoảng cách từ điểm tới một mặt phẳng và cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng. Chi tiết về vấn đề này, mời các em xem trong bài viết Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) trong không gian, chúng ta có 3 hướng xử lý như sau:
- Cách 1. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn vuông góc chung đó. Nói thêm, đường vuông góc chung của hai đường thẳng là một đường thẳng mà cắt cả hai và vuông góc với cả hai đường thẳng đã cho. $$ \begin{cases}
  AB \perp a\\ AB \perp b\\
  AB \cap a = A\\ AB \cap b = B
  \end{cases} \Rightarrow d(a,b)=AB$$
- Cách 2. Chuyển về tính khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng thứ hai. $$ \begin{cases}
  a \parallel (P)\\ b \subset (P)
  \end{cases} \Rightarrow d(a,b) = d(a,(P))$$Trong thực tế, việc tạo ra mặt phẳng \((P)\) song song với đường thẳng $a$ thường được thực hiện bằng cách, dựng hoặc tìm một đường thẳng $a’$ nào đó song song với $a$ và cắt đường thẳng $b$. Lúc này, mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \(a’\) và \(b\). Và, việc tính khoảng cách tiếp tục quy về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng bằng cách lấy một điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng $a$ và tính khoảng cách từ $M$ tới $(P)$.
- Cách 3. Chuyển về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đã cho. $$ \begin{cases}
  a\subset (P)\\
  b\subset (Q)\\
  (P)\parallel (Q)
  \end{cases} \Rightarrow d(a,b)=d((P),(Q))$$
Cách 1 thì chỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau. Lúc đó việc dựng đoạn vuông góc chung là khá dễ dàng, còn khi \(a\) và \(b\) không vuông góc với nhau thì dựng đường vuông góc chung rất phức tạp. Xin xem phần 2.3 để biết thêm về cách dựng đoạn vuông góc chung.

Cách 2 thường được sử dụng nhiều hơn cả, cách 3 chỉ sử dụng khi việc kẻ đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng ban đầu gặp khó khăn.

Sau đây chúng ta cùng nhau tìm hiểu các ví dụ minh họa về tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau trong không gian.

2. Các ví dụ minh họa xác định khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

2.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Ví dụ 1. [Câu 40, Đề minh họa Tốt nghiệp 2020] Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy \( (ABC) \), \( SA=a \), tam giác \(ABC\) vuông tại \( A\) và \( AB=2a,\) \(AC=4a \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SM \) và \( BC \).

Phân tích. Để dựng một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng \( SM \) và \( BC \) đồng thời vuông góc với đường còn lại thì chúng ta cần xem xét, việc dựng mặt phẳng song song với đường thẳng nào dễ dàng hơn.

Rõ ràng việc kẻ một đường thẳng cắt \(SM\) và song song với \(BC\) rất đơn giản, chỉ việc qua \( M \) kẻ đường thẳng song song với \( BC \), đường thẳng này chính là đường trung bình của tam giác \( ABC \). Do đó, chúng ta sẽ ưu tiên chọn cách làm này.

Hướng dẫn. Gọi \( N \) là trung điểm \( AC \) thì ta có
$$ \begin{cases}
BC\parallel MN\\
MN\subset (SMN)
BC \not \subset (SMN)
\end{cases} $$ Do đó, khoảng cách cần tìm $$ d(BC,SM)=d(BC,(SMN) =d(B,(SMN))$$ Tuy nhiên, đường thẳng \( AB \) lại cắt mặt phẳng \( (SMN) \) tại trung điểm \( M \) của \( AB \) nên
$$ \frac{d(B,(SMN))}{d(A,(SMN))} =\frac{BM}{AM}=1 $$ hay \( d(B,(SMN))=d(A,(SMN))\) và chúng ta chỉ cần đi tính khoảng cách từ điểm \( A \) tới mặt phẳng \( (SMN) \) là xong. Đây lại là một bài toán khá cơ bản, chỉ việc kẻ vuông góc hai lần \( AH\perp MN \) và \( AK\perp SH \), hoặc áp dụng trực tiếp kết quả đối với trường hợp hình chóp có ba tia \( AS,\) \(AC,\) \(AB \) đồng quy và đôi một vuông góc với nhau. Tóm lại, khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn \( AK \) như trong hình vẽ và có $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2} $$ Thay số vào và tìm được \( d(BC,SM)=AK= \frac{2a}{3}.\)

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ cạnh $ SA=a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC. $

Hướng dẫn. Có $ AB\parallel CD $ nên $ AB\parallel (SCD) $. Do đó $$ d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$$

Đây chính là bài toán tính khoảng cách cơ bản, kẻ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$ thì khoảng cách cần tìm $$d(A,(SCD))=AK=\frac{a}{\sqrt{2}} $$

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Ví dụ 3. [Đề Đại học Khối D năm 2008] Cho lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông với $ BA=BC=a $, cạnh bên $ AA’=a\sqrt{2}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM $ và $ B’C $.

Hướng dẫn. Lấy $ N $ là trung điểm của $ BB’ $, ta có $ MN $ là đường trung bình của tam giác $ B’BC $ nên $ B’C $ song song với $ MN $. Như vậy đường thẳng $ B’C $ song song với mặt phẳng $ (AMN) $, và do đó
\[ {d}(B’C,AM)={d}(B’C,(AMN))={d}(B'(AMN)) \] Lại có $ BB’ $ cắt mặt phẳng $ (AMN) $ tại trung điểm $ N $ của $ BB’ $ nên
\[ {d}(B’,(AMN))={d}( B,(AMN))\] Hình chóp $ B.AMN $ có ba tia $ BA,BM,BN $ đồng quy và đôi một vuông góc nên đặt $d=d(B,(AMN))$ thì có \[ \frac{1}{d^2}=\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BM^2}+\frac{1}{BN^2}=\frac{7}{a^2} \] Từ đó tìm được khoảng cách từ giữa $B’C $ và $ AM $ là $ \frac{a}{\sqrt{7}}. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ cạnh $ SA=a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC. $

Hướng dẫn. Có $ AB\parallel CD $ nên $ AB\parallel (SCD) $. Do đó, gọi $ O $ là tâm hình vuông thì có $$ {d}(AB,SC)={d}(AB,(SCD))={d}(A,(SCD)) $$ Nhưng đường thẳng \( AO \) cắt mặt phẳng \( (SCD) \) tại điểm \( C \) nên có
$$ \frac{d(A,(SCD))}{d(O,(SCD))}=\frac{AC}{OC}=2$$ Suy ra \( d(A,(SCD))=2d(O,(SCD)) \). Đây chính là bài toán 1, kẻ vuông góc hai lần và tìm được đáp số $ \mathrm{d}(AB,SC)=\frac{2a\sqrt{21}}{7}. $

Ví dụ 5. [Đề ĐH khối A năm 2006] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $ có các cạnh bằng 1. Gọi $ M , N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ A C’ $ và $ MN $.

Hướng dẫn. Chúng ta có \( MN\) song song với mặt phẳng \( (ADC’B’) \), mà mặt phẳng \( (ADC’B’) \) chứa đường thẳng \( AC’ \) nên suy ra $$ d(MN,AC’)=d(MN,(ADC’B’))=d(N,(ADC’B’) ).$$ Để dựng hình chiếu vuông góc của \( N \) lên mặt phẳng \( (ADC’B’) \) ta chú ý rằng \( N \) nằm trong mặt phẳng \( (CDD’C’) \) mà hai mặt phẳng \( (ADC’B’) \) và \( (CDD’C’) \) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến \( C’D \). Do đó, chúng ta chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của \( N \) lên giao tuyến \( C’D \) là được. Giả sử hình chiếu vuông góc đó là điểm \( H \) thì có $$ d(N,(ADC’B’))=NH=\frac{1}{2} CD’ $$ Từ đó tìm được đáp số $ d(MN,AC’)=\frac{a\sqrt{2}}{4}. $

Ví dụ 6. [Đề ĐH khối A năm 2004] Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi đường chéo $ AC=4,SO=2\sqrt{2}$ và $ SO $ vuông góc với đáy $ ABCD $, ở đây $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD$. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SC $. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ BM. $

Hướng dẫn. Ta có $ MO $ là đường trung bình của tam giác $ SAC $ nên $ SA $ song song với $ MO. $ Do đó $ SA $ song song với mặt phẳng $ (MBD). $ Dẫn tới \[ {d}( SA,MB)={d}(SA,(MBD))={d}( S,(MBD)) \] Mặt khác $ SC $ cắt mặt phẳng $ (MBD) $ tại trung điểm $ M $ nên
\[ {d}( S,(MBD))={d}( C,(MBD)) \] Gọi $ K $ là chân đường vuông góc hạ từ $ C $ xuống $ MO $ thì chứng minh được $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên mặt phẳng $ (MBD). $

Bây giờ, để tính được độ dài đoạn \( CK \) thì ta sẽ tính diện tích tam giác \( MOC \) theo hai cách. Có
$$ S_{\Delta MOC} =\frac{1}{4} S_{\Delta SAC}=\frac{1}{8}SO\cdot AC$$ Nhưng mặt khác $$ S_{\Delta MOC} =\frac{1}{2} CK \cdot OM=\frac{1}{4}CK\cdot SA$$ Từ đó suy ra
$$ CK=\frac{SO\cdot AC}{2 SA}= \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BM $ là $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,$ $ AB = 2a,$ $\widehat{BAC}=60^\circ, $ cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=a\sqrt{3}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ CM $.

Hướng dẫn.
Gọi $ N $ là trung điểm $ SA $ thì $ MN\parallel SB $ nên $$ d(SB,CM)=d(SB,(CMN))=d(B,(CMN)). $$ Lại có đường thẳng \( AB \) cắt mặt phẳng \( (CMN) \) tại trung điểm \( M \) của \( AB \) nên suy ra $$ d(B,(CMN))=d(A,(CMN)) $$ Tính khoảng cách từ điểm \( A \) tới mặt phẳng \( (CMN) \) chúng ta sử dụng bài toán 1.

Hạ $ AE\perp MC $ thì chú ý rằng, tam giác $ AMC $ có góc $\widehat{M} $ tù nên $ E $ nằm ngoài đoạn $ MC. $ Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc tính diện tích tam giác $ AMC $ theo hai cách, tính được $ AE=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}. $ Tiếp tục hạ $ AH\perp AE $ thì tính được $$ d(A,(CMN))=AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}.$$

Ví dụ 8. Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có $ SA=2a,AB=a $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM,SB $.

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm tam giác đều $ ABC $. Gọi $ N $ là trung điểm $ SC $ thì $ MN\parallel SB $ nên $$ d(AM,SB)=d(SB,(AMN))=d(B,(AMN))$$ Mặt khác, vì $ M $ là trung điểm $ BC $ nên $d(B,(AMN))=d(C,(AMN))$.

Gọi $ I $ là trung điểm $ OC $ thì $ NI\perp (ABC) $, hơn nữa $ d(C,(AMN))=2d(I,(AMN)). $ Từ $ I $ hạ $ IJ $ vuông góc xuống $ OM $ thì $ J $ là trung điểm $ OM. $ Tiếp tục hạ $ IK$ vuông góc xuống $NJ $ thì ta có $$ d(I,(AMN))=IK=a\sqrt{\frac{11}{188}} $$ Từ đó tìm được đáp số $d(AM,SB)= \frac{a\sqrt{517}}{47}. $

2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Ví dụ 9. [Đề ĐH Khối B năm 2002] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $ cạnh $ a $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A’B $ và $ B’D. $

Hướng dẫn. Gọi $ M , N , P $ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $ A’ D ‘ ,BC , AD $ thì dễ dàng chứng minh được hai mặt phẳng \( (A’BP) \) và \( B’NDM \) song với nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng \( A’B \) và \( B’D \). Do đó, khoảng cách cần tìm
\[ d(A’B,B’D)=d( (A’PB),(MDNB’))\] Khoảng cách này lại bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng còn lại, ở đây chúng ta chọn điểm \(D \), thì có $$ d( (A’PB),(MDNB’))= =d( D,(A’PB))$$ Nhưng, đoạn thẳng \( AD \) cắt mặt phẳng \( (A’PB) \) tại trung điểm \( P \) nên có $$ d( D,(A’PB))=d(A,(A’PB))=d$$ Rõ ràng \( AB,AP,AA’ \) là ba tia đồng quy và đôi một vuông góc nên có ngay $$ \frac{1}{d^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{A’A^2}$$ Thay số vào tìm được đáp số $d(A’B,B’D)=\frac{a}{3}. $

Ví dụ 10. Cho hình hộp đứng \( ABCD.A’B’C’D’ \) có đáy là hình bình hành với \( AB=a \), \( AD=2a \), góc \(BAD\) bằng \( 60^\circ \) và \( AA’=a\sqrt{3}. \) Gọi \( M,N,P \) lần lượt là trung điểm của \( A’B’ \), \( BD \) và \( DD’ \). Gọi \(H \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( AD \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( MN \) và \( HP \).

Hướng dẫn. Gọi \( Q \) là trung điểm của \( AB \) thì có ngay hai mặt phẳng \( (MNQ) \) và \( (ADD’A’) \) song song với nhau. Hơn nữa, hai mặt phẳng này còn lần lượt chứa hai đường thẳng \( MN \) và \( HP \) nên $$ d(MN,HP)=d((MNQ),(ADD’A’)) $$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này chính bằng khoảng cách từ \( Q \) tới mặt phẳng \( (ADD’A’) \) và bằng một nửa khoảng cách từ \( B \) tới mặt phẳng \( (ADD’A’) \). Từ đó tìm được đáp số \( d(MN,HP)=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

2.3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dựng đoạn vuông góc chung

Trong trường hợp đặc biệt khi hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau đồng thời lại vuông góc với nhau, thì thường tồn tại một mặt phẳng $(\alpha)$ chứa \(a\) và vuông góc với \(b\). Ta dựng đoạn vuông góc chung qua hai bước sau:
- Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \((\alpha)\).
- Trong mặt phẳng \((\alpha)\), dựng \(HK\) vuông góc với \(a\) tại \( K\) thì \( HK\) chính là đoạn vuông góc chung.
Tổng quát, việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau được thực hiện như sau:
- Dựng mặt phẳng \( (\alpha) \) chứa đường thẳng \( b \) và song song với đường thẳng \( a \).
- Tìm hình chiếu vuông góc \( a’ \) của \( a \) trên mặt phẳng \((\alpha)\).
- Tìm giao điểm \( N \) của \( a’ \) và \( b \), dựng đường thẳng qua \( N \) và vuông góc với \( (\alpha) \), đường thẳng này cắt \( a \) tại \( M \).
Kết luận: Đoạn \( MN \) chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \( a \) và \( b \).

Ví dụ 11. Cho tứ diện đều $ ABCD $ có độ dài các cạnh bằng $ 6\sqrt{2} $cm. Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ CD $.

Hướng dẫn. Gọi $ M , N $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB , CD $. Chứng minh được $ MN $ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $ AB,CD $ và khoảng cách giữa chúng là $ MN=6 $cm.

Ví dụ 12. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B , AB=a , BC=2a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=2a. $ Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ SC $.

Hướng dẫn. Lấy điểm $ D $ sao cho $ ABCD $ là hình chữ nhật thì $ AB $ song song với $ (SCD). $ Gọi $ E $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống $ SD $ thì chứng minh được $ E $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ (SCD). $
Qua $ E $ kẻ đường thẳng song song với $ CD $ cắt $ SC $ tại $ N $, qua $ N $ kẻ đường thẳng song song với $ AE $ cắt $ AB $ tại $ M $ thì $ MN $ là đường vuông góc chung cần tìm. Đáp số $ a\sqrt{2}. $
03/06/2020
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Bài toán khoảng cách trong hình học không gian là một vấn đề quan trọng, thường xuất hiện ở các câu hỏi có mức độ vận dụng và vận dụng cao. Các bài toán tính khoảng cách trong không gian bao gồm:
1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng;
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên một mặt phẳng tới mặt phẳng còn lại;
3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng tới mặt phẳng đã cho;
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Như vậy, 3 dạng toán đầu tiên đều quy về Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chính là nội dung của bài viết này.

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Ngoài ra, các em cũng cần thành thạo 2 dạng toán liên quan đến góc trong không gian:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
1. Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bài toán quan trọng nhất là phải dựng được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng.

Nếu như ở bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta đã biết trước mục tiêu cần hướng đến, thì ở bài toán dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chúng ta phải tự tìm ra đường thẳng (tự dựng hình) và chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho, tức là mức độ sẽ khó hơn bài toán chứng minh rất nhiều.

Tuy nhiên, phương pháp xác định hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu chúng ta nắm chắc hai kết quả [bài toán] sau đây.

Bài toán 1. Dựng hình chiếu vuông góc từ chân đường cao tới một mặt phẳng.

Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ (ABC) $. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

Phương pháp. Để dựng hình chiếu của điểm $ A $ lên mặt phẳng $ (SBC) $, ta chỉ việc kẻ vuông góc hai lần như sau:
- Trong mặt phẳng đáy $ (ABC) $, kẻ $ AH $ vuông góc với $ BC, H $ thuộc $ BC. $
- Trong mặt phẳng $ (SAH) $, kẻ $ AK $ vuông góc với $ SH, K $ thuộc $ SH. $
Dễ dàng chứng minh được $ K $ chính là hình chiếu vuông góc của điểm $ A $ lên mặt phẳng $(P)$. Thật vậy, chúng ta có $$ \begin{cases}
BC\perp SA\\
BC \perp AH\\
\end{cases} $$ Mà $SA$ và $AH$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $ (SAH)$, nên suy ra \( BC \) vuông góc với \( (SAH) \), nên \( BC\perp AK \). Như vậy lại có
$$ \begin{cases}
AK\perp BC\\ AK\perp SH
\end{cases} $$ Mà $BC, AH $ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, nên suy ra \( AK \) vuông góc với \( (SBC) \), hay \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \).

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Dưới đây là hình minh họa trong các trường hợp đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $ A,$ vuông tại $B,$ vuông tại $C $, tam giác cân, tam giác đều…
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, lúc đó $H$ chính là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác \(ABC\), và dễ dàng tìm được công thức tính độ dài đoạn $AK$ như sau: $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2} $$
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $B$).
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $C$).
- Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ hoặc là tam giác đều (lúc đó $H$ chính là trung điểm của $BC$).
Bài toán 2. Dựng hình chiếu vuông góc sử dụng giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc.

Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ vuông góc với nhau. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

Phương pháp. Rõ ràng ở đây hai mặt phẳng vuông góc $ (SBC) $ và $ (ABC) $ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $BC$. Nên để dựng hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \) ta chỉ việc hạ \( AK \) vuông góc với giao tuyến \( BC \) là xong. $$ \begin{cases}
(SBC)\perp (ABC)\\ (SBC)\cap (ABC) = BC\\ AK\subset (ABC)\\ AK\perp BC \end{cases} $$ Suy ra đường thẳng $AK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, và $K$ chính là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

Ở đây chúng ta sử dụng định lý, hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau theo một giao tuyến. Đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng thứ nhất và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.

2. Các ví dụ tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC,$ có $ SA $ vuông góc với đáy, $ SA=3a,$ $AB=a,$ $BC=2a,$ $\widehat{ABC}=60^\circ. $ Chứng minh tam giác $ ABC $ vuông và tính khoảng cách từ điểm $ B$ tới mặt phẳng $(SAC), $ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC). $

Hướng dẫn. Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có $$ AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos\widehat{B}=3a^2 $$ Rõ ràng \( BC^2=AB^2+AC^2 \) nên tam giác \(ABC\) vuông tại $A$. Lúc này, dễ dàng nhận thấy \( A \) chính là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên mặt phẳng \( (SAC) \), và khoảng cách cần tìm $$ d(B,(SAC))=BA=a. $$

Em nào chưa biết cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì có thể xem lại bài viết Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC) $, ta trình bày như bài toán 1 trường hợp đáy là tam giác vuông (ở đây thầy không viết lại nữa), đáp số$$ d(A,(SBC))=AK=\frac{3a}{\sqrt{13}}$$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a.$ Hai mặt phẳng $ (SAB),$ $(SAD) $ cùng vuông góc với đáy và cạnh $ SD $ tạo với đáy một góc $ 45^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $.

Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAB),(SAD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến của chúng, là đường thẳng \( SA \) cũng vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \).

Nhặc lại định lý quan trọng, hai mặt phẳng vuông góc cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Lúc này, góc giữa đường thẳng \( SD \) và đáy chính là góc \( \widehat{SDA} \) và góc này bằng \( 45^\circ \). Suy ra, tam giác \( SAD \) vuông cân tại \( A \) và \( SA=AD=a \).

Tam giác \( SAB \) vuông cân có \( AK \) là đường cao và cũng là trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \( AK=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ chúng ta cố gắng nhìn ra mô hình giống như trong bài toán 1. Bằng việc kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất, trong mặt phẳng \( (ABCD) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) tới \( BC \), chính là điểm \( B \) có sẵn luôn. Kẻ vuông góc lần thứ hai, trong mặt phẳng \( (SAB) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) xuống \( SB \), gọi là \( AK \) thì độ dài đoạn \( AK \) chính là khoảng cách cần tìm.

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $ ta vẫn tiếp tục làm như kỹ thuật trong bài toán 1. Chúng ta kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất từ \( A \) kẻ vuông góc xuống \( BC \), chính là tâm \( O \) của hình vuông luôn (vì hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau). Nối \( S \) với \( O \) và từ \( A \) tiếp tục hạ đường vuông góc xuống \( SO \), gọi là \(AH \) thì chứng minh được \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBD) \). Chúng ta có ngay

$$ \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{3}{a^2} $$

Từ đó tìm được $AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và khoảng cách cần tìm là $ d(A,(SBD)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ví dụ 3. Cho hình tứ diện $ ABCD $ có cạnh $ AD $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $, ngoài ra $ AD = AC = 4 $ cm; $ AB = 3 $ cm; $ BC = 5 $ cm. Tìm khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD). $

Ví dụ 4. [Đề thi ĐH khối D năm 2003] Cho hai mặt phẳng $ (P),(Q) $vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $ \Delta. $ Lấy $ A , B $ thuộc $ \Delta $ và đặt $ AB=a $. Lấy $ C , D $ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $ (P),(Q) $ sao cho $ AC , BD $ vuông góc với $ \Delta $ và $ AC=BD=a. $ Tính khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD).$

Hướng dẫn. Hạ $ AH\perp BC $ thì $ d(A,(BCD))=AH=\frac{a}{\sqrt{2}} $.

Ví dụ 5. [Đề thi ĐH Khối D năm 2012] Cho hình hộp đứng $ $ABCD$.A’B’C’D’ $ có đáy là hình vuông, tam giác $ A’AC $ vuông cân, $ A’C=a $. Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD’) $ theo $ a. $

Hướng dẫn. Chú ý rằng mặt phẳng $ (BCD’) $ chính là mặt phẳng $ (BCD’A’) $. Đáp số, khoảng cách từ $ A$ đến mặt phẳng $(BCD’) $ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Khi việc tính trực tiếp gặp khó khăn, ta thường sử dụng kĩ thuật dời điểm, để đưa về tính khoảng cách của những điểm dễ tìm được hình chiếu vuông góc hơn.

Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a. $ Biết cạnh bên $ AA’=4a$ và $ M $ là trung điểm $ AA’ $. Hãy tính khoảng cách $ {d}(M,(A’B’C)) $ và $ {d}(M,(A’B’C)) $.

Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B,$ $AB=3a,$ $ BC=4a.$ Mặt phẳng $ (SBC) $ vuông góc với mặt đáy và $ SB=2a\sqrt{3},$ $\widehat{SBC}=30^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $B$ tới mặt phẳng $(SAC). $

Hướng dẫn. Gọi $ SH $ là đường cao của tam giác $ SBC $ thì $ SH\perp (ABC). $ Ta có $$ \frac{{d}(B,(SAC))}{{d}(H,(SAC))}=\frac{BC}{HC}=4 $$ Từ đó tính được $ {d}(B,(ABC)) =\frac{6a}{\sqrt{7}}.$

3. Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Mời thầy cô và các em học sinh tải các tài liệu về bài toán khoảng cách trong hình học không gian tại đây:
Tổng hợp tài liệu HHKG lớp 11 và ôn thi ĐH, THPT QG đầy đủ nhất, mời thầy cô và các em xem trong bài viết 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất
02/06/2020
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cách dựng một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước là bài toán quyết định của hình học không gian lớp 11, và cũng là cơ sở để giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện ở lớp 12.

Xem thêm Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1. Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa. Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.

Tuy nhiên, để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta không cần chỉ ra nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng, mà ta chỉ cần sử dụng định lý sau.

Định lý. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Như vậy, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì ta được sử dụng kết quả đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đã cho. Nhưng để chứng minh thì ta chỉ cần chỉ ra nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó là đủ.

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.

2. Ví dụ dạng toán chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $ SA$ vuông góc với đáy $(ABC), $ tam giác $ABC$ vuông tại $ B. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB). $

Hướng dẫn. Muốn chỉ ra đường thẳng $ BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB) $ ta phải chỉ ra đường thẳng \(BC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng \( (SAB) \). Hiển nhiên ta đã có ngay \( BC\perp AB \) do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Cần phải tìm thêm một đường thẳng nữa cũng vuông góc với \( BC \) mà đường thẳng đó phải cắt \( AB \).
Chú ý rằng giả thiết cho \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), tức là nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). Nên, tất nhiên \( SA \) cũng vuông góc với \( BC \). Tóm lại, chúng ta có lời giải như sau.

Lời giải. Ta có \( SA\perp (ABC) \Rightarrow SA\perp BC \). Như vậy $$ \begin{cases}
BC\perp SA\\ BC\perp AB\\
AB,SA \subset (ABC)\\
AB,SA \text{ cắt nhau}
\end{cases}$$ Suy ra, $ BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB). $

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $ O, SA=SC $ và $ SB=SD. $

1. Chứng minh rằng đường thẳng $ SO $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD).$

2. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ SB $ và $ SD $. Chứng minh đường thẳng $ MN$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC). $

Hướng dẫn.

1. Chỉ ra \( SO \) là đường cao trong tam giác cân \( SAC \) nên \( SO \perp AC\). Tương tự cũng chứng minh được \( SO\perp BD \). Mà \( AC \) và \( BD \) là hai đường thẳng cắt nhau, cùng nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \) nên suy ra \( SO \) vuông góc với \( (ABCD) \).

2. Ta chứng minh đường thẳng \( BD\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC) \). Thật vậy, có
$$ \begin{cases}
BD\perp AC\\
BD\perp SO\\
AC,SO \subset (SAC)\\
AC, SO \text{ cắt nhau}
\end{cases} $$ Mặt khác \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( SBD \) nên \( MN\parallel BD \). Do đó, đường thẳng \( MN \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAC) \).

Ví dụ 3. Tứ diện $ ABCD $ có $ AC=AD $ và $ BC=BD. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ CD$ vuông góc với đường thẳng $AB. $

Hướng dẫn. Giả thiết $ AC=AD $ và $ BC=BD $ gợi cho chúng ta nghĩ đến các tính chất của tam giác cân. Mà tam giác cân thì yếu tố vuông góc chính là các đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Do đó, chúng ta gọi trung điểm của \( CD \) là \( M \) thì có cách giải như sau.

Lời giải. Gọi trung điểm của cạnh \( CD \) là \( M \) thì ta có tam giác \( ACD \) cân tại \( A \) nên \( AM\perp CD \), tam giác \( BCD \) cân tại \( B \) nên \( BM\perp CD \). Tóm lại chúng ta có $$ \begin{cases}
CD\perp AM\\
CD\perp BM\\
AM,BM \subset (ABM)\\
AM,BM \text{ cắt nhau}
\end{cases} \Rightarrow CD \perp (ABM)$$ Mà đường thẳng \( AB \) nằm trong mặt phẳng \( (ABM) \) nên suy ra \( CD \) vuông góc với \( AB. \)

Ví dụ 4. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $ SA $ vuông góc với đáy. Chứng minh rằng đường thẳng $ CD $ vuông góc với mặt phẳng $ (SAD). $

Gợi ý. Hãy chỉ ra đường thẳng $ CD $ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $ (SAD). $

Lời giải. Ta có \( ABCD \) là hình chữ nhật nên \( CD\perp AD \). Mặt khác, \( SA \) vuông góc với đáy \( (ABCD) \) nên \( SA \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \( (ABCD) \), đương nhiên trong đó có \( CD \). Tóm lại, chúng ta có được
$$ \begin{cases}
CD\perp AD\\
CD\perp SA\\
AD,SA\subset (SAD)\\
AD,SA \text{ cắt nhau}
\end{cases} $$ Suy ra, đường thẳng \( CD \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAD). \)

Ví dụ 5. Hình chóp $ S.ABC $ có $ SA=SB=SC $. Chứng minh rằng $ O $ là hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $(ABC)$ khi và chỉ khi $ OA=OB=OC. $

Hướng dẫn. Ta phải chứng minh cả hai chiều thuận và đảo của bài toán.
- Thuận: Có đường thẳng $ SO$ vuông góc với $(ABC) $ nên $ SO $ vuông góc với các đường thẳng $ OA,OB,OC. $ Ba tam giác vuông $ SOA,SOB,SOC $ bằng nhau nên suy ra $ OA=OB=OC. $
- Đảo: Từ $ OA=OB $ suy ra tam giác $ OAB $ cân tại $ O. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ AB $ thì $ AB $ vuông góc với $ OI $. Mặt khác, tam giác $SAB$ cũng cân tại $S$ nên và $ SI\perp AB. $ Do đó, $ AB $ vuông góc với $ SO. $
  Chứng minh tương tự có $ AC $ cũng vuông góc với $ SO. $ Từ đó suy ra $ SO $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $ hay $ O $ là hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ (ABC). $
Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABC $ có tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $; cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy.

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên $ SB $, chứng minh đường thẳng $ AH $ vuông góc với mặt phẳng $ (SBC) $.

3. Gọi $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ SC, $ chứng minh đường thẳng $ SC $ vuông góc với mặt phẳng $ (AHK). $

4. Gọi $ I $ là giao điểm của $ BC $ và $ HK, $ chứng minh đường thẳng $ AI $ vuông góc với mặt phẳng $ (SAC). $

Hướng dẫn.

1. Vì \( SA \) vuông góc với đáy \( (ABC) \) nên \( SA \) vuông góc với \( AB,AC \). Do đó, các tam giác \( SAB, SAC \) vuông tại \( A \).

Để chứng minh tam giác \( SBC \) vuông, ta chứng minh \( BC\perp SB \) bằng cách chỉ ra \( BC \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAB) \). Thật vậy, chúng ta có
$$ \begin{cases}
BC\perp AB\\
BC\perp SA\\
AB, SA \text{ cắt nhau}\\
AB, SA \subset (SAB)
\end{cases} $$

2. Theo chứng minh ở phần trước, có \( BC\perp (SAB) \) nên suy ra \( BC\perp AH \). Như vậy, ta có
$$ \begin{cases}
AH\perp SB\\AH\perp BC\\
BC, SB \text{ cắt nhau và nằm trong } (SBC)
\end{cases} $$ Suy ra đường thẳng \( AH \) vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \).

3. Chỉ ra \( SC \) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng \( (AHK) \) là \( AH \) và \( AK \).

4. Chỉ ra \( AI \) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng \( (SAC) \) là \( SA \) và \( SC \).

Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $, biết $ SA = SB = SC = a,$ $\widehat{ASB} = 60^\circ,$ $\widehat{BSC} = 90^\circ, $ $\widehat{CSA} = 120^\circ $. Gọi $ H $ là trung điểm $ AC $. Chứng minh $ SH $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $.

Hướng dẫn. Tam giác $ SAB $ đều nên $ AB = SA = a $. Tam giác $ SBC $ vuông tại $ S $ nên có $$ BC = \sqrt{SB^2 + SC^2} = a\sqrt{2}.$$ Tam giác $ SAC $ có $$ AC =\sqrt{SA^2 + SC^2 – 2SA.SC.\cos60^\circ}= a\sqrt{3}.$$ Từ đó suy ra tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $. Vì $ H $ là trung điểm $ AC $ nên $ HA = HB = HC $, mà $ SA = SB = SC $ nên đường thẳng $ SH$ vuông góc với $(ABC) $.

Ví dụ 8. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ 2a $; cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy; $ SA = a\sqrt{3} $. Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ SE $. Chứng minh hai đường thẳng $ AF $ và $ SC $ vuông góc với nhau.
Gợi ý. Chỉ ra tam giác $ SAE $ vuông cân tại $ A $.

Ví dụ 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $; cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA = a\sqrt{2}$. Gọi $ M, N $ lần lượt là hình chiếu của $ A $ trên $ SB $ và $ SD $, chứng minh đường thẳng $ SC $ vuông góc với mặt phẳng $ (AMN) $. Gọi $ K $ là giao điểm của $ SC $ và $ (AMN) $. Chứng minh $ AK $ và $ MN $ vuông góc với nhau và tính diện tích tứ giác $ AMKN $.

Ví dụ 10. [Đề thi ĐH Khối B năm 2002] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $. Gọi $ M, N, P $ lần lượt là trung điểm của $ BB’,CD,A’D’ $. Chứng minh đường thẳng $ MP $ vuông góc với $ C’N $.

Ví dụ 11. Cho tứ diện $ OABC $ có $ OA, OB, OC $ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ O $ trên mặt phẳng $ (ABC) $. Chứng minh rằng đường thẳng $ BC $ vuông góc với mặt phẳng $ (OAH) $. Chứng minh $ H $ là trực tâm tam giác $ ABC $ và tính độ dài $ OH $ theo $ OA,OB,OC. $ Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác nhọn.

Ví dụ 12. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Mặt bên $ SAB $ là tam giác đều còn $ SAD $ là tam giác vuông cân đỉnh $ S $. Gọi $ I, J $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Tính các cạnh của tam giác $ SIJ $ và chứng minh rằng $ SI $ vuông góc với $ (SCD), SJ $ vuông góc với $ (SAB) $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ trên $ IJ $. Chứng minh rằng $ SH $ vuông góc $ AC $. Gọi $ M $ là một điểm thuộc đường thẳng $ CD $ sao cho đường thẳng $ BM $ vuông góc với $ SA $. Tính độ dài đoạn $ AM $ theo $ a $.

Đáp số. $SI=\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2} $; $\frac{a\sqrt{5}}{2}. $

3. Video bài giảng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

https://www.youtube.com/watch?v=aE-Ow2I5b7Q

https://www.youtube.com/watch?v=dKQiFn55Yzs

https://www.youtube.com/watch?v=LEcaaqpsCg4
02/06/2020
Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Hướng dẫn cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Xem thêm
- Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Chúng ta thừa nhận một kết quả sau của hình học không gian:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Tập hợp các điểm chung đó của hai mặt phẳng tạo thành một đường thẳng, được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Do đó, phương pháp chung để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là ta chỉ ra hai điểm chung của chúng, và đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm.

1. Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $, chúng ta xét các khả năng sau:
- Nếu nhìn thấy ngay hai điểm chung $ A $ và $ B $ của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $.
  Kết luận đường thẳng $ AB $ chính là giao tuyến cần tìm.
- Nếu chỉ chỉ tìm được ngay một điểm chung $ S $ của mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $. Lúc này, ta xét ba khả năng:
  - Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $ I $ thì $ SI $ chính là giao tuyến cần tìm.
Đối với các em học sinh lớp 11 đầu năm thì chưa học đến quan hệ song song trong không gian nên sử dụng các kết quả trên là đủ. Sau khi các em học sang phần đường thẳng và mặt phẳng song song, hoặc các em học sinh lớp 12 thì sẽ sử dụng thêm các kết quả sau:
- - Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ song song với nhau thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $ S $ đồng thời song song với cả $ d_1,d_2. $
- - Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $a$ mà $ a$ lại song song với $(\beta) $ thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $ S $ đồng thời song song với đường thẳng $ a. $
Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Một số lưu ý.
- Cho mặt phẳng $ (ABC) $ thì các điểm $ A,B,C $ thuộc mặt phẳng $(ABC);$ các đường thẳng $ AB,AC,BC $ nằm trong mặt phẳng $ (ABC)$, và do đó mọi điểm thuộc những đường thẳng này đều thuộc mặt phẳng $ (ABC). $
- Hai đường thẳng chỉ cắt nhau được nếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng nào đó, nên khi gọi giao điểm của hai đường thẳng ta phải xét trong một mặt phẳng cụ thể.
- Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta chú ý tới tên gọi của chúng.
- Thường phải mở rộng mặt phẳng, tức là kéo dài các đường thẳng trong mặt phẳng đó.
2. Một số ví dụ tìm giao tuyến của 2 mp

Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I $ là trung điểm của $ BD. $ Gọi $ E,F $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD$ và $CBD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $

Hướng dẫn.

Rõ ràng $E$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ nên $E$ phải nằm trên đường thẳng $AI$. Suy ra, điểm $A$ thuộc vào đường thẳng $IE$. Tương tự, có điểm $F$ thuộc vào đường thẳng $CI$.
- Như vậy, chúng ta có: $$ \begin{cases} A\in (ABC)\\ A\in IE \subset (IEF) \end{cases}$$ hay $A$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $
- Tương tự, các em cũng chỉ ra được $C$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC)$ là đường thẳng $AC$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $. Đáy $ABCD$ có $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E$, $AC$ cắt $ BD $ tại $ F. $ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
1. $ (SAB) $ và $(SAC)$,
2. $ (SAB) $ và $ (SCD)$,
3. $(SAD)$ và $(SBC)$,
4. $(SAC) $ và $ (SBD) $,
5. $ (SEF) $ và $ (SAD)$,
Hướng dẫn.
1. Dễ thấy hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $(SAC)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $SA$.
2. Ta thấy ngay $ (SAB) $ và $ (SCD)$ có một điểm chung là $S$. Để tìm điểm chung thứ hai, chúng ta dựa vào đề bài $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E$. Tức là có $$\begin{cases} E\in AB\subset (SAB)\\ E\in CD\subset (SCD) \end{cases}$$. Như vậy $E$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SCD)$.
  Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SCD)$ là đường thẳng $SE$.
3. Tương tự ý 2, các em tìm được giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SF$.
4. Giao tuyến của $(SAC) $ và $ (SBD) $ là đường thẳng $SO$, trong đó $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
5. $ (SEF) $ và $ (SAD)$ chính là đường thẳng $SF$.
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC $. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (ADM) $ và mặt phẳng $ (BCD) $.

Hướng dẫn.

Đầu tiên, chúng ta thấy ngay một điểm chung của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là điểm $D$. Như vậy, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm một điểm chung nữa của hai mặt phẳng này.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $AM$ cắt $BC$ tại $N$. Ta thấy $$\begin{cases} N\in BC \subset (BCD)\\ N\in AM\subset (ADM)\end{cases}$$ nên $N$ chính là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $.

Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là đường thẳng $DN$.

Ví dụ 4. Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng $AB, AC, BD$ lấy lần lượt các điểm $M, N, P$ sao cho $MN$ không song song với $BC$. Tìm giao tuyến của $(BCD)$ và $(MNP)$.

Hướng dẫn.

Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).

Chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.

Khi đó,
- I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)
- I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)
Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Ví dụ 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC$, $N $ thuộc miền trong tam giác $ ABD$. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (BMN) $ và mặt phẳng $ (ACD) $.

Hướng dẫn.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $BM$ cắt $AC$ tại $P$ thì ta có:
- $P\in MB$ mà $MB$ nằm trong mặt phẳng $(BMN)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(BMN)$;
- $P\in AC$ mà $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(ACD)$;
Như vậy, $P$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $.

Tương tự, trong mặt phẳng $(ABD)$ kéo dài $BN$ cắt $AD$ tại $Q$ thì cũng chỉ ra được $Q$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $.

Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $ là đường thẳng $PQ$.

Ví dụ 6. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABD,N $ thuộc miền trong tam giác $ ACD. $ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (AMN) $ và mặt phẳng $ (BCD) $; mặt phẳng $ (DMN) $ và $ (ABC) $.

Hướng dẫn.

Ví dụ 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BC. $ Lấy $ K $ thuộc $ BD $ sao cho $ KD<KB. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IJK) $ và $ (ACD),(IJK) $ và $ (ABD). $

Hướng dẫn.

Ví dụ 8. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AD,BC. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IBC) $ và $ (JAD). $ Gọi $ M,N $ là hai điểm trên cạnh $ AB,AC. $ Xác định giao tuyến của $ (IBC) $ và $ (DMN). $

Hướng dẫn.

Ví dụ 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SC $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (ABCD),(SAB),(SAD)$ và $ (SAC) $.

Hướng dẫn.

Ví dụ 10. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SO $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (SAB),(SAD),(SBC) $ và $ (SCD)$.

Hướng dẫn.
01/06/2020
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
- Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
Bài toán. Trong không gian cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$. Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\).

Phương pháp. Để tìm giao điểm của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ ta làm như sau:
- Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $ b $ mà $ b $ cắt đường thẳng $a$ tại $ M $ thì $ M $ chính là giao điểm cần tìm.
- Nếu chưa nhìn thấy đường thẳng nào trong mặt phẳng $(P)$ mà cắt đường thẳng $a$, thì ta thực hiện các bước sau:
  - Chọn một mặt phẳng $(Q)$ nào đó chứa đường thẳng $a$.
  - Xác định giao tuyến $ b $ của mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$.
  - Giao điểm $M$ của $ a $ và $ b $ chính là giao điểm cần tìm.
30/05/2020
Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
Thiết diện là gì là một câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi của chương trình lớp 11. Đây là một bài toán gây khó khăn cho rất nhiều em học sinh khi mới bước đầu tiếp xúc với hình học không gian. Bài viết này, O2 Education sẽ giúp các em học sinh trả lời được câu hỏi thế nào là thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng. Đồng thời, chúng tôi xin giới thiệu hai cách xác định thiết diện của hình chóp, đó là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

CHUYÊN ĐỀ THIẾT DIỆN FILE PDF

Mời các em học sinh lớp 11 xem thêm:
1. Thiết diện của một hình là gì?

Định nghĩa: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung nhau của mặt phẳng (P) và hình H. Tìm thiết diện tức là tìm hình dạng mặt cắt này, thường là một đa giác như tam giác, tứ giác… Như trong hình vẽ sau thì thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) chính là ngũ giác MKNPQ (được tô màu xanh lá cây).

Giải đáp chi tiết cho câu hỏi thế nào là thiết diện, mời các em xem trong video sau:

https://www.youtube.com/watch?v=MNIP5U5AfGs

2. Cách để xác định thiết diện làm như thế nào?

Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng, ta có hai phương pháp tìm thiết diện chính là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

Xem thêm: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Nếu bài viết hữu ích, bạn hãy tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Với các bài toán liên quan thiết diện, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản như sau:
- Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P), phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt).
- Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng một trong hai đường thẳng đó.
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.
Các cách xác định mặt phẳng: Biết ba điểm không thẳng hàng; hai đường thẳng cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đường thẳng; hai đường thẳng song song.

Lưu ý.
- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T. Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có.
- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T.
- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T. Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu bài.
Chúng ta cùng thực hành bằng một bài toán sau:

Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. P là điểm trên cạnh SC sao cho SP lớn hơn PC (tức là MP không song song với AC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

https://www.youtube.com/watch?v=y5ljnpx5gc8

Các bài toán liên quan thiết diện thường là: Tính diện tích thiết diện; tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất; thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước.(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).

3. Một số phương pháp tìm thiết diện nhanh nhất

Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng…

Phương pháp giao tuyến gốc.
- Trước tiên, tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (giao tuyến này thường được gọi là giao tuyến gốc).
- Trên mặt phẳng này của T, tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung.
- Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện.
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình bình hành). Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của BC,CD,SA. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

https://www.youtube.com/watch?v=Aag4lMyGRqI

Các ví dụ về phương pháp giao tuyến gốc xin mời xem tại đây

Phương pháp phép chiếu xuyên tâm

Mời thầy cô và các em học sinh xem trong bài viết sau Xác định thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm.
16/04/2020