O₂ Education

Category: TOÁN HỌC

  • Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp

    Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp

    Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp

    Để giải quyết các bài toán đếm, ngoài 3 quy tắc đếm cơ bản, chúng ta còn cần thêm một số kiên thức nữa mới giúp việc trình bày lời giải một cách ngắn gọn, đơn giản. Chẳng hạn, các bài toán sau đều cần sử dụng công thức về hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp:

    Các bạn Xuân, Hạ, Thu, Đông đi chụp ảnh kỉ niệm, ông thợ ảnh sắp xếp bốn bạn thành một hàng ngang. Hỏi ông ta có mấy cách sắp xếp?
    Lớp 11A có 40 học sinh. Cô chủ nhiệm muốn chọn ra 5 học sinh để làm ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó lao động, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó văn nghệ và 1 thủ quỹ. Hỏi cô có bao nhiêu cách chọn?
    Vẫn lớp 11A đó, cô giáo muốn chọn ra 5 học sinh để đi dự lễ kỉ niệm ngày Quốc khánh. Hỏi cô có bao nhiêu cách?

    Hoán vị Tổ hợp Chỉnh hợp

    Xem thêm 1000 bài toán Đại số Tổ hợp – Xác Suất có lời giải

    1. Khái niệm Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp

    1.1. Hoán vị

    Cho tập hợp $ A $ gồm $ n $ phần tử $ (n\ge 1) $. Mỗi cách sắp xếp thứ tự $ n $ phần tử của tập hợp $ A $ được gọi là một hoán vị của $ n $ phần tử đó.

    Gọi $ P_n $ là số các hoán vị của tập gồm $ n $ phần tử thì ta có \[ P_n=n!=n(n-1)(n-2)….3.2.1 \]

    1.2. Chỉnh hợp.

    Cho tập hợp $ A $ gồm $ n $ phần tử $ (n\ge 1) $. Mỗi bộ gồm $ k $ phần tử $ (0\le k\le n) $ sắp thứ tự của tập hợp $ A $ được gọi là chỉnh hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử đã cho. Gọi $ A^k_n $ là số chỉnh hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử, thì ta có \[ A^k_n=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} \]

    1.3. Tổ hợp.

    Mỗi tập con gồm $ k $ phần tử của tập hợp $ A $ được gọi là một tổ hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử đã cho. Gọi $ C^k_n $ là số tổ hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử, thì ta có \[ C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{A^k_n}{k!} \]

    1.4. Các tính chất của hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

    • $ n!=n\cdot (n-1)! $
    • $ C^k_n=C^{n-k}_n $
    • $ C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1} $

    1.5. Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

    Hoán vị và chỉnh hợp có phân biệt thứ tự, vị trí, chức năng, vai trò, nhiệm vụ… giữa các phần tử được chọn ra; còn tổ hợp thì không!

    Để chọn ra các chỉnh hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử có thể hiểu là gồm hai bước:

    • Bước 1. Chọn ra $ k $ phần tử của $ n $ phần tử, nên có $ C^k_n $ cách.
    • Bước 2. Ứng với mỗi $ k $ phần tử được chọn, ta đem sắp xếp cả $ k $ phần tử này vào các thứ tự (nhiệm vụ…) khác nhau nên bước này có $ k! $ cách.

    Như vậy, theo quy tắc nhân có $ k!C^k_n $ cách, nghĩa là $ A^k_n=k!C^k_n $ hay $ C^k_n=\frac{A^k_n}{k!} $

    2. Các dạng toán về hoán vị – tổ hợp – chỉnh hợp

    2.1. Bài toán đếm

    Để giải quyết các bài toán đếm, ta có hai cách làm: đếm trực triếp (hỏi gì đếm nấy) và đếm gián tiếp (đây chính là sử dụng nguyên lý bù trừ đã nói ở bài 3 quy tắc đếm cơ bản và bài tập vận dụng, tức là đếm phần dễ đếm để suy ra phần cần đếm). Chúng ta sẽ lần lượt xét hai cách đó qua các ví dụ sau. Đầu tiên là phương pháp đếm trực tiếp:

    Ví dụ 1. Từ 5 chữ số $ 1, 2, 3, 4, 5 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

    Hướng dẫn. Mỗi cách sắp xếp bộ 5 chữ số $ 1,2,3,4,5 $ cho ta một số tự nhiên. Nói cách khác, mỗi một số tự nhiên cần lập tương ứng với một hoán vị của 5 phần tử đã cho. Do đó, có tất cả $ 5!=120 $ số.

    Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng, bao nhiêu véctơ được tạo thành từ 5 điểm đó?

    Hướng dẫn. Mỗi một đoạn thẳng tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử, nên có $ C^2_5=10 $ đoạn thẳng.

    Mỗi một véctơ tương ứng với một chỉnh hợp chập hai của 5 phần tử, nên có $ A^2_5= 20$ véctơ.

    Ví dụ 3. Từ các chữ số $ 0, 1, 2, 3, 4 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

    Hướng dẫn. Giả sử số cần lập là $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5} $ trong đó $ a_1\ne 0 $ và $ a_i\ne a_j. $ Để tạo thành số thỏa mãn yêu cầu ta phải trải qua hai bước:

    • Bước 1. Chọn $ a_1\ne 0 $ nên có 4 cách chọn, sau bước này còn lại $ 4 $ số chưa được chọn.
    • Bước 2. Sắp xếp bốn chữ số còn lại vào bốn vị trí còn lại, có $ 4!=24 $ cách.

    Như vậy, theo qui tắc nhân, ta có $ 4.24=96 $ số thỏa mãn yêu cầu.

    Ví dụ 4. [CĐ KTKT 2006] Cho tập $ E=\{1,2,3,4,5,6,7\} $. Từ tập $ E $ lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

    Hướng dẫn. Giả sử số cần lập là $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5} $ trong đó $a_i\in E, a_1\ne 0 $ và $ a_i\ne a_j,a_5 $ chẵn. Để lập được số thỏa mãn yêu cầu ta tiến hành hai bước:

    • Chọn $ a_5 $ chẵn từ các số $ 2,4,6 $: Có 3 cách.
    • Còn lại 6 chữ số chưa được chọn. Mỗi cách chọn có phân biệt thứ tự bộ 4 số $ a_1,a_2,a_3,a_4 $ từ 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập $ 4 $ của 6 phần tử. Do đó, có $ A^4_6=360 $ cách.

    Theo quy tắc nhân, có $ 3.360=1080 $ số thỏa mãn yêu cầu.

    Ví dụ 5. [CĐ2007] Từ các chữ số $ 0,1,2,3,4,5 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
    Hướng dẫn. Gọi số cần lập là $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5} $ với $ a_i\ne a_j, a_1\ne 0, (a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) $ chia hết cho 3.

    Có 6 chữ số tất cả, mà lập số có 5 chữ số khác nhau nên số cần lập được tạo thành từ các chữ số: $ 0,1,2,3,4 $ hoặc $ 0,1,2,3,5 $ hoặc $ 0,1,2,4,5 $ hoặc $ 0,1,3,4,5$ hoặc $ 0,2,3,4,5 $ hoặc $ 1,2,3,4,5. $

    Trong 6 trường hợp này, chỉ có hai trường hợp thỏa mãn yêu cầu $ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 $ chia hết cho 3. Do đó ta xét hai trường hợp:

    • TH1. Số cần lập được tạo thành từ các chữ số $ 1,2,3,4,5 $. Mỗi số cần lập tương ứng với một hoán vị của 5 phần tử, nên có $ 5!=120 $ số.
    • TH2. Số cần lập được tạo thành từ các chữ số $ 0,1,2,4,5 $. Ta tiến hành 2 bước:
      • Bước 1. Chọn $ a_1\ne 0 $: Có 4 cách chọn.
      • Sắp xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: Có $ 4!=24 $ cách.
        Theo qui tắc nhân, TH2 có $ 4.24=96 $ số.

    Vậy, có tất cả $ 120+96=216 $ số thỏa mãn yêu cầu.

    Ví dụ 6. [CĐ SPTW 2007] Một tổ học sinh 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra nhóm 5 người để làm trực nhật mà nhóm đó có không quá một nữ?

    Hướng dẫn. Vì nhóm đó có không quá một nữ nên ta xét hai phương án:

    • Phương án 1: Nhóm gồm 1 nữ và 4 nam. Việc lập nhóm gồm 2 bước:
      • Chọn 1 nữ từ 4 nữ, có $ C^1_4=4 $ cách.
      • Sau đó, chọn 4 nam từ 6 nam, có $ C^4_6=15 $ cách.

    Theo quy tắc nhân, phương án 1 có $ 4.15=60 $ cách.

    • Phương án 1: Nhóm gồm 0 nữ và 5 nam. Chọn 5 học sinh nam từ nhóm 6 học sinh nam, nên có $ C^5_6=6 $ cách.

    Theo quy tắc cộng, ta có $ 60+6=66 $ cách chọn nhóm 5 người thỏa mãn yêu cầu.

    Ví dụ 7. [ĐHY 2000] Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác có 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?

    Hướng dẫn. Xét ba trường hợp:

    • Có 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý: $C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1}$
    • Có 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý: $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}$
    • Có 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý: $C_{3}^{1}.C_{4}^{2}$

    Vậy có $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}+C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1}+C_{3}^{1}.C_{4}^{2}=90$ cách.

    Ví dụ 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, chia hết cho 2 mà chữ số đầu tiên của nó cũng là số chẵn?

    Hướng dẫn.

    Vì đề bài không có yêu cầu các chữ số phải khác nhau nên chúng ta chọn thoải mái.

    • Bước 1. Chọn chữ số đứng đầu tiên, chữ số này phải khác $0$ và chẵn, nên có $4$ cách chọn (một trong các chữ số $2,4,6,8$).
    • Bước 2. Chọn chữ số đứng thứ hai là một trong các chữ số $0,1,2,…,9$ nên có $10$ cách.
    • Bước 3. Chọn chữ số đứng thứ ba là một trong các chữ số $0,1,2,…,9$ nên có $10$ cách.
    • Bước 4. Chọn chữ số đứng thứ tư là một trong các chữ số $0,1,2,…,9$ nên có $10$ cách.
    • Bước 5. Chọn chữ số đứng cuối cùng là một chữ số chẵn $0,2,4,6,8$ nên có $5$ cách.

    Theo quy tắc nhân, có $ 4\times 10^3\times 5=20000 $ số.

    Ví dụ 9. [B2005]Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam 1 nữ.

    Hướng dẫn. Việc phân công đội thanh niên tình nguyện về ba tỉnh gồm các bước:

    • Phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất: Có $C_{3}^{1}C_{12}^{4}$ cách.
    • Phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai: Có $C_{2}^{1}C_{8}^{4}$ cách.
    • Phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba: Có $C_{1}^{1}C_{4}^{4}$ cách.

    Theo quy tắc nhân, có có: $C_{3}^{1}C_{12}^{4}$.$C_{2}^{1}C_{8}^{4}$.$C_{1}^{1}C_{4}^{4}$=207900 cách phân công đội thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ví dụ 10. [B2004] Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

    Hướng dẫn.  Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên ta có ba phương án:

    • Đề có 2 câu dễ, 02 câu trung bình, 01 câu khó, thì có số cách chọn là: $C_{15}^{2}.C_{10}^{2}.C_{5}^{1}=23625$
    • Đề có 2 câu dễ, 01 câu trung bình, 02 câu khó, thì có số cách chọn là: $C_{15}^{2}.C_{10}^{1}.C_{5}^{2}=10500$
    • Đề có 3 câu dễ, 01 câu trung bình, 01 câu khó, thì có số cách chọn là: $C_{15}^{3}.C_{10}^{1}.C_{5}^{1}=22750$

    Theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra có thể lập được là: $ 23625+10500+22750=56875. $

    Ví dụ 11. [CĐ2004] Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 3 học sinh làm nhiệm vụ trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?

    Hướng dẫn.  Chọn 3 học sinh, để đảm bảo luôn có cán bộ lớp ta xét 3 trường hợp:

    • Có 1 cán bộ lớp: Có $ C^1_3.C^2_{27}=1053 $ cách.
    • Có 2 cán bộ lớp: Có $ C^2_3.C^1_{27}=81 $ cách.
    • Có 3 cán bộ lớp: Có $ C^3_3=1 $ cách.

    Theo quy tắc cộng, ta có $ 1053+81+1=1135 $ cách chọn 3 học sinh thỏa mãn yêu cầu.

    Khi bài toán xuất hiện các cụm từ: {có ít nhất, luôn có…} ta thường dùng {phương pháp đếm gián tiếp!} Sau đây là một số ví dụ:
    Ví dụ 12. [CĐ2004] Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 3 học sinh làm nhiệm vụ trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?

    Hướng dẫn.  Chúng ta sẽ giải lại bài toán này theo phương pháp đếm gián tiếp.

    • Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ lớp có 30 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử. Do đó có $ C^3_{30}=4060 $ cách.
    • Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh không có cán bộ lớp là một tổ hợp chập 3 của 27 phần tử còn lại. Do đó có $ C^3_{27}=2925 $ cách.
    • Suy ra số cách chọn 3 học sinh luôn có cán bộ lớp là $ 4060-2925=1135 $ cách.

    Để thấy tính hiệu quả của phương pháp này ta xét tiếp các ví dụ sau:
    Ví dụ 13. Một nhóm 15 học sinh có 7 nam và 8 nữ. Chọn ra 5 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách?

    Hướng dẫn.  Nếu chọn cách tính trực tiếp, chia thành các trường hợp có 1 nữ, 2 nữ, 3 nữ… 5 nữ thì sẽ rất cồng kềnh, phức tạp. Nhưng nếu chọn phương pháp tính gián tiếp, ta xem có bao nhiêu cách chọn {không có học sinh nữ } nào thì lời giải sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

    • Chọn 5 học sinh từ 15 học sinh, có $ C^{5}_{15}=3003 $ cách.
    • Chọn 5 học sinh không có nữ thì có $C^5_7=21 $ cách.

    Do đó, số cách chọn 5 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ là $ 3003-21=2982 $ cách.

    Ví dụ 14. [CĐ SPHN 2005] Trong một tổ học sinh của lớp 12A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật trong đó có ít nhất 1 học sinh nam. Hỏi thầy có bao nhiêu cách chọn?

    Hướng dẫn.  Có $ C^3_{12}-C^3_4=216 $ cách.

    Ví dụ 15.[D2006] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

    Hướng dẫn.  Số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh là $C_{12}^{4}=495$.

    Số cách chọn 4 em học sinh mà mỗi lớp ít nhất 01 em là:

    • Lớp A có 2 học sinh, lớp B và C có 01 học sinh: $C_{5}^{2}.C_{4}^{1}.C_{3}^{1}=120$
    • Lớp B có 2 học sinh, lớp A và C có 01 học sinh: $C_{5}^{1}.C_{4}^{2}.C_{3}^{1}=90$
    • Lớp C có 2 học sinh, lớp B và A có 01 học sinh: $C_{5}^{1}.C_{4}^{1}.C_{3}^{2}=60$

    Số cách chọn 4 em mà mỗi lớp ít nhất một em là: $ 120+90+60=270 $.

    Vậy số cách chọn phải tìm là: $ 495-270=225 $.

    Ví dụ 16. [Chuyên Nguyễn Huệ L3 2015] Một hoppj đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn không có đủ ba màu?

    Hướng dẫn.  Nếu tính trực tiếp thì phải chia rất nhiều trường hợp! Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 18 viên bi, có $ C^4_{18}=3060 $ cách. Để chọn đủ ba màu ta xét 3 trường hợp:

    • 1 đỏ, 1 trắng và 2 vàng: Có $ C^1_5.C^1_6.C^2_7=630 $ cách.
    • 1 đỏ, 2 trắng và 1 vàng: Có $ C^1_5.C^2_6.C^1_7=525 $ cách.
    • 2 đỏ, 1 trắng và 1 vàng: Có $ C^2_5.C^1_6.C^1_7=420 $ cách.

    Do đó, số cách chọn {không đủ ba màu là}: $ 3060-630-525-420=1485 $ cách.

    2.2. Chứng minh các đẳng thức tổ hợp

    Trong phần này, chúng ta chủ yếu sử dụng các công thức tính số tổ hợp, số hoán vị và 3 công thức sau:

    • $ n!=n\cdot (n-1)! = n(n-1)\cdot (n-1)!=… $
    • $ C^k_n=C^{n-k}_n $
    • $ C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1} $

    Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

    • $A=\dfrac{3!.7!}{4!.6!}$
    • $ B=\dfrac{(m+1)!}{m!}-\dfrac{(m+2)!}{(m+1)!}$
    • $C=\dfrac{6!}{3!.2!}\left( {{P}_{4}}+{{P}_{3}}{{P}_{5}}-{{P}_{2}}{{P}_{6}} \right)$

    Ví dụ 2. Chứng minh rằng:

    • $ P_n – P_{n-1} = (n – 1)P_{n-1} $
    • $\frac{1}{A_{n}^{2}}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
    • $\frac{{{n}^{2}}}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{(n-2)!}$
    • ${{P}_{n}}=(n-1)\left( {{P}_{n-1}}+{{P}_{n-2}} \right)$
    • $k.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}$
    • $A_{n}^{k}=k!.C_{n}^{k}$
    • $C_{n+1}^{p}=\frac{n+1}{p}C_{n}^{p-1}$
    • $A_{n+k}^{n+2}+A_{n+k}^{n+1}={{k}^{2}}.A_{n+k}^{n}$
    • $\frac{A_{n+4}^{n}}{{{P}_{n+2}}}-\frac{143}{4{{P}_{n}}}=\frac{4{{n}^{2}}+28n-95}{4.n!}$

    Ví dụ 3. Chứng minh rằng

    • $ P_k.A^2_{n+1}.A^2_{n+3}.A^2_{n+5}=n.k!.A^5_{n+5} $
    • $k(k-1)C_{n}^{k}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2},\;( 2 < k < n)$
    • $C_{n}^{k}+3C_{n}^{k-1}+3C_{n}^{k-2}+C_{n}^{k-3}=C_{n+3}^{k},\; (3 \le k \le n)$
    • $C_{n}^{k}+4C_{n}^{k-1}+6C_{n}^{k-2}+4C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4}=C_{n+4}^{k},\;(4 \le k \le n)$
    • $\frac{1}{A_{2}^{2}}+\frac{1}{A_{3}^{2}}+…+\frac{1}{A_{n}^{2}}=\frac{n-1}{n},\; n\ge 1$

    2.3. Phương trình, bất phương trình tổ hợp

    Chú ý khi giải phương trình, bất phương trình chứa các biểu thức công thức hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp cần có điều kiện xét trên tập số nguyên.

    Ví dụ 1. [CĐ GTVT 2007] Giải phương trình $ P_xC^2_x+36=6(P_x+C^2_x)$

    Hướng dẫn. Điều kiện: $ x\ge 2, x\in \mathbb{N}. $ Phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    & x!\frac{x(x-1)}{2}+36=6(x!+\frac{x(x-1)}{2})\\
    \Leftrightarrow\;& (x!-6)(x^2-x-12)=0\\
    \Leftrightarrow\;& x=3,x=4.
    \end{align*}
    So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình đã cho là $ x=3,x=4. $

    Ví dụ 2. Giải các phương trình

    • (CĐSP TP HCM 99) $C_{14}^{x}+C_{14}^{x+2}=2C_{14}^{x+1}$
    • $4.C_{n}^{3}=5.C_{n+1}^{2}$
    • $30{{P}_{n}}=14{{P}_{n-1}}+7A_{n+1}^{n-1}$
    • (ĐHNN HN 99) $C_{n}^{1}+6C_{n}^{2}+C_{n}^{3}=9{{n}^{2}}-14n$
    • $\frac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{n-4}}=\frac{24}{23}$
    • $C_{x}^{1}+C_{x}^{2}+C_{x}^{3}=\frac{7}{2}x$

    Ví dụ 3. [D2005] Giải phương trình $ C^2{n+1}+2C^2{n+2}+2C^2{n+3}+C^2{n+4}=149 $

    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ n^2+4n-45=0. $ Đáp số $ n=5. $

    Ví dụ 4. [BKHN-2000] Giải bất phương trình: $$\frac{1}{2}A_{2x}^{2}-A_{x}^{2}\le \frac{6}{x}C_{x}^{3}+10 $$

    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in \mathbb{N} $ và $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\frac{\left( 2x-1 \right)2x}{2}-\left( x-1 \right)x\le \frac{6\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)}{3!x}+10 \\
    \Leftrightarrow\;& 2x\left( 2x-1 \right)-x\left( x-2 \right)\le \left( x-2 \right)\left( x-1 \right)+10 \\
    \Leftrightarrow \;& x\le 4
    \end{align*}
    Kết hợp điều kiện, tìm được $ x=3 $ và $ x=4. $

    Ví dụ 5. [ĐH SP Tiền Giang 2006] Giải bất phương trình $ A^2_x+C^2_{x+1}\le 20 $

    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 2, x\in \mathbb{N}. $ Với điều kiện đó, bất phương trình tương đương với
    \begin{align*}
    & x(x-1)+\frac{(x+1)x}{2}\le 20\\
    \Leftrightarrow\;& 3x^2-x-40\le 0\\
    \Leftrightarrow\;& \frac{1-\sqrt{481}}{6}\le x\le \frac{1+\sqrt{481}}{6}
    \end{align*}
    Kết hợp điều kiện được đáp số $ x=2,x=3. $

    Ví dụ 6. Giải các bất phương trình

    • $14{{P}_{3}}.C_{n-1}^{n-3}<A_{n+1}^{4}$
    • $14{{P}_{3}}<\frac{A_{x+1}^{4}}{C_{x-1}^{x-3}}$
    • $\frac{A_{x+4}^{4}}{(x+2)!}<\frac{15}{(x-1)!}$
    • $\frac{1}{2}A_{2n}^{2}-A_{n}^{2}-\frac{6}{n}C_{n}^{3}\le 10$
    • (ĐHHH 99) $\frac{C_{n-1}^{n-3}}{A_{n+1}^{4}}<\dfrac{1}{14{{P}_{3}}}$
    • (TN04-05) $ C^n_{n+3}>\frac{5}{2}A^2_n $

    Ví dụ 7. [TN2003-2004] Giải bất phương trình $ \frac{P_{n+5}}{(n-k)!}\le 60A^{k+2}_{n+3} $

    Hướng dẫn. Điều kiện $ n\ge k\ge -2; n,k\in \mathbb{Z}. $ Biến đổi bất phương trình thành \[ (n+5)(n+4)(n-k+1)\le 60 \]

    • Với $ n\ge 4 $ bất phương trình vô nghiệm.
    • Với $ n\in\{0,1,2,3\} $ tìm được các nghiệm $ (n,k) $ của bất phương trình là $ (0,0), (1,0),(1,1),(2,2),(3,3). $

    Ví dụ 8. Giải các hệ phương trình

    • $\left\{ \begin{array}{l} 3C_{{x}}^{y}=C_{x+2}^{y} \\ 24C_{x}^{y}=A_{x}^{y} \end{array} \right.$
    • (BK01)$\left\{ \begin{array}{l} 2A_{x}^{y}+5C_{x}^{y}=90 \\ 5A_{x}^{y}-2C_{x}^{y}=80\end{array} \right.$
    • $\left\{ \begin{array}{l} 5C_{x+1}^{y}=6C_{x}^{y+1} \\ C_{x+1}^{y}=3C_{x}^{y-1} \end{array} \right.$

    Một số tài liệu tiếng Anh về Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp hay:

  • 3 quy tắc đếm cơ bản và bài tập vận dụng

    3 quy tắc đếm cơ bản và bài tập vận dụng

    3 quy tắc đếm cơ bản, 3 nguyên lý của bài toán đếm

    Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng 3 quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân và quy tắc bù trừ) để giải quyết các bài toán có dạng như sau:

    • Bạn Nam có 2 hòn bi đen, 3 hòn bi trắng. Cần chọn một viên bi, màu gì cũng được. Hỏi có mấy cách chọn?
    • Bạn Nam cần đi từ Nam Định đến Hà Nội nhưng bắt buộc phải đi qua Phủ Lý. Biết rằng từ Nam Định đến Phủ Lý có 2 cách chọn đường đi, từ Phủ Lý đến Hà Nội có 3 cách chọn đường đi. Hỏi bạn Nam có mấy cách chọn đường đi từ Nam Định đến Hà Nội?

    Quy tắc đếm, quy tắc nhân Đề thi HSG Toán bằng tiếng Anh SGD Nam Định năm 2018

    1. Các quy tắc đếm cơ bản

    1.1. Quy tắc cộng (nguyên lý cộng)

    Giả sử một công việc được thực hiện theo một trong hai phương án (hướng, trường hợp, khả năng) $ A $ hoặc $ B $.

    • Phương án $ A $ có thể thực hiện theo $ n $ cách.
    • Phương án $ B $ có thể thực hiện theo $ m $ cách.

    Khi đó, để hoàn thành công việc có thể thực hiện theo $ n + m $ cách.

    Quy tắc cộng có thể mở rộng trong trường hợp tổng quát, khi công việc có nhiều hướng để xử lý không chỉ là $ A $ hoặc $ B $ nữa mà có thể là $ A $ hoặc $ B $ hoặc $C$ hoặc $D$… Lúc đó, chúng ta cộng tất cả các cách của từng trường hợp $A,B,C,D…$ này lại.

    1.2. Quy tắc nhân (nguyên lý nhân)

    Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn (giai đoạn, bước) 1 và 2.

    • Công đoạn 1: có thể thực hiện theo $ n $ cách
    • Công đoạn 2: có thể thực hiện theo $ m $ cách.

    Khi đó, để hoàn thành được công việc có thể thực hiện theo $ n.m $ cách.

    Quy tắc nhân có thể được mở rộng ra cho công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn.

    1.3. Quy tắc bù trừ (nguyên lý bù trừ)

    Tư tưởng của nguyên lí này là hãy đếm phần dễ đếm để suy ra phần khó đếm nhưng lại phải đếm. 

    Chẳng hạn, ở một ngôi làng có 100 thanh niên trai tráng, cần chọn ra 2 người trong số họ để lên đường đi giết rồng lửa cứu dân làng. Thì, số cách chọn ra 2 người đó cũng chính bằng số cách chọn ra 98 người để ở nhà. Vì nếu chọn được 98 người ở nhà thì đương nhiên 2 người còn lại sẽ là 2 người đi giết rồng.

    Dấu hiện để nhận biết khi nào sử dụng nguyên lý bù trừ là đề bài xuất hiện các cụm từ luôn có, ít nhất, có đủ, có nhiều nhất, có ít nhất.

    2. Các ví dụ về quy tắc đếm

    Ví dụ 1. Trong kì thi THPTQG 2015, trường Xuân Trường B có kết quả xuất sắc nên được chọn một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên từ các lớp 12A1,12A2 hoặc 12A3. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 12A1 có 5 học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên, lớp 12A2 có 4 học sinh và lớp 12A3 có 3 học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên.

    Hướng dẫn. Để chọn một học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên, chúng ta có thể chọn:

    • Chọn học sinh lớp 12A1: có 5 cách.
    • Chọn học sinh lớp 12A2: có 4 cách.
    • Chọn học sinh lớp 12A3: có 3 cách.

    Theo quy tắc cộng, có tất cả \( 5+4+3=12 \) cách chọn,

    Ví dụ 2. Có 8 bông hoa hồng khác nhau và 6 bông hoa cúc khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 bông hoa?

    Hướng dẫn. Để chọn một bông hoa, chúng ta có các hướng sau:

    • Chọn hoa hồng: có 8 cách chọn,
    • Chọn hoa cúc: có 6 cách chọn.

    Theo quy tắc cộng, có tất cả 8+6=14 cách chọn một bông hoa.

    Ví dụ 3. Trên kệ sách có 12 quyển sách tham khảo Toán 11 và 6 quyển sách tham khảo Lý 11. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách trong hai loại sách nói trên?

    Hướng dẫn. Để chọn một cuốn sách, học sinh có thể

    • Chọn sách Toán: có 12 cách
    • Chọn sách Lý: có 6 cách

    Theo Quy tắc cộng, học sinh có 12+6=18 cách chọn một cuốn sách.

    Ví dụ 4. Một em bé có thể mang họ cha là Nguyễn, hoặc họ mẹ là Lê; tên đệm có thể là Văn, Hữu hoặc Đình; tên có thể là Nhân, Nghĩa, Trí hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé?

    Hướng dẫn. Việc đặt tên cho bé phải trải qua ba bước:

    • Bước 1, lựa chọn họ: có 2 cách.
    • Bước 2, lựa chọn tên đệm: có 3 cách.
    • Bước 3, lựa chọn tên: có 4 cách.

    Theo quy tắc nhân, có tất cả $ 2.3.4=24 $ cách đặt tên cho bé.

    Ví dụ 5. Một lớp học có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban điều hành lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụ.

    Hướng dẫn. Để chọn một ban điều hành lớp, cô giáo phải thực hiện 3 bước:

    • Bước 1, chọn lớp trưởng: có 40 cách (vì ai cũng có khả năng làm lớp trưởng)
    • Bước 2, chọn lớp phó: có 39 cách (vì một học sinh đã được chọn làm lớp trưởng, nên chỉ còn 39 học sinh có thể làm lớp phó)
    • Bước 3, chọn thủ quỹ: còn lại 38 học sinh nên có 38 cách chọn

    Theo quy tắc nhân, có $ 40\cdot 39 \cdot 38 = 58280 $ cách chọn.

    Ví dụ 6. Từ các chữ số $ 1, 2, 3,4 $ có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số?

    Hướng dẫn. Để lập được số có hai chữ số, chúng ta thực hiện hai bước:

    • Bước 1, chọn chữ số hàng chục: có 4 cách chọn (chọn một trong bốn chữ số đã cho)
    • Bước 2, chọn chữ số hàng đơn vị: cũng có 4 cách chọn vì không yêu cầu phải khác chữ số hàng chục.

    Theo Quy tắc nhân, có thể lập được tất cả $ 4^2= 16$ số.

    Ví dụ 7. Từ các chữ số $ 1, 2, 3,4 $ có thể lập được bao nhiêu số gồm hai chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?

    Hướng dẫn. Tương tự ví dụ trươc, nhưng ở bước 2, chọn chữ số hàng đơn vị chỉ có 3 cách vì phải chọn chữ số khác với chữ số đã được chọn làm hàng chục.

    Đáp số: Có $ 4.3= 12$ số.

    Ví dụ 8. Cho tập $ E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. $ Từ các phần tử của $ E $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
    Hướng dẫn. Để chọn được số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu, chúng ta giả sử số đó là $\overline{abcd}$. Việc lập số được thực hiện qua 4 bước:

    • Bước 1: Chọn chữ số $d$ chẵn, có 4 cách chọn (chọn một trong bốn chữ số $2,4,6,8$)
    • Bước 2: Chọn chữ số $a$, có 8 cách (vì có tất cả 9 chữ số nhưng một số đã chọn viết vào vị trí $d$ nên chỉ còn lại 8 chữ số)
    • Bước 3: Chọn chữ số $b$, có 7 cách (phải chọn chữ số khác chữ số $a$ và $d$)
    • Bước 4: Chọn chữ số $c$, có 6 cách (khác $a,b,d$)

    Theo Quy tắc nhân, có tất cả $1344$ số.

    Ví dụ 9. Cần sắp xếp ba người $ A, B, C $ lên hai toa tàu (mỗi toa có thể chứa được 3 người). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

    Hướng dẫn.

    • Lời giải sai: Toa tàu thứ nhất có 3 cách chọn người, toa thứ hai có 3 cách chọn người. Do đó có 3.3 = 9 cách. Sai ở chỗ là toa thứ nhất có nhiều cách chọn (không chọn ai cả hoặc chọn 1 người, 2 người, cả 3 người) đồng thời khi chọn người A thì toa thứ hai không thể chọn người A được nữa!
    • Lời giải đúng: Việc xếp ba người lên tàu gồm 3 bước: Chọn toa cho người A, có 2 cách; sau đó chọn toa cho người B, cũng có 2 cách; và bước cuối cùng, chọn toa cho người C, có 2 cách. Vậy có $ 2.2.2=8 $ cách sắp xếp ba người lên hai toa tàu.

    Ví dụ 10. Trong vòng đấu loại của giải cờ vua “Master Chess 2016”, trường Xuân Trường B có 36 ứng viên tham gia. Mỗi người bốc thăm và chơi đúng 1 ván với một người khác. Mr Ban Ban cần biết có bao nhiêu trận đấu để xếp lịch, hãy tính giúp ông ấy!

    Hướng dẫn.  Xét 18 đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn).

    • Người thứ 1 có 35 cách chọn đối thủ, còn lại 34 người chưa thi đấu.
    • Người thứ 2 có 33 cách chọn đối thủ, còn lại 32 người chưa thi đấu.
    • Người thứ 3 có 30 cách chọn đối thủ, còn lại 28 người chưa thi đấu.
    • …
    • Người thứ 18 có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại.

    Theo quy tắc nhân có tất cả $ 35.33.31.29….3.1 $ trận đấu.

    Đôi khi, để giải quyết nhiều bài toán, chúng ta phải phối hợp sử dụng cả 2 quy tắc đếm một cách linh hoạt.

    Ví dụ 11. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?

    Hướng dẫn.  Ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0. Khi đó, chữ số thỏa mãn yêu cầu được thành lập qua các bước:
      • Chọn chữ số hàng đơn vị: chỉ có 1 cách chọn (là số 0).
      • Chọn chữ số hàng nghìn: có 9 cách chọn.
      • Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
      • Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.

    Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $ 1\cdot 9\cdot 8\cdot 7=504 $ số thỏa mãn yêu cầu.

    • Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0. Khi đó, chữ số thỏa mãn yêu cầu được thành lập qua các bước:
      • Chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn một trong các số 2,4,6,8.
      • Chọn chữ số hàng nghìn: có 8 cách chọn, vì phải khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị vừa được chọn.
      • Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
      • Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.

    Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $ 4\cdot 8\cdot 8\cdot 7= 1792 $ số thỏa mãn yêu cầu.

    Như vậy, tổng hợp cả hai trường hợp ta có $ 504+1792=2296 $ số thỏa mãn yêu cầu.

    Các bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ, xin đón xem ở bài viết https://o2.edu.vn/hoan-vi-to-hop-chinh-hop

    Xem thêm: Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

    Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

    Cách tính Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

    Muốn tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì các em học sinh cần nắm vững cách tính khoảng cách từ điểm tới một mặt phẳng và cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng. Chi tiết về vấn đề này, mời các em xem trong bài viết Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

    1. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

    Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) trong không gian, chúng ta có 3 hướng xử lý như sau:

    • Cách 1. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn vuông góc chung đó. Nói thêm, đường vuông góc chung của hai đường thẳng là một đường thẳng mà cắt cả hai và vuông góc với cả hai đường thẳng đã cho. $$ \begin{cases}
      AB \perp a\\ AB \perp b\\
      AB \cap a = A\\ AB \cap b = B
      \end{cases} \Rightarrow d(a,b)=AB$$

    đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

    • Cách 2. Chuyển về tính khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng thứ hai. $$ \begin{cases}
      a \parallel (P)\\ b \subset (P)
      \end{cases} \Rightarrow d(a,b) = d(a,(P))$$cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gianTrong thực tế, việc tạo ra mặt phẳng \((P)\) song song với đường thẳng $a$ thường được thực hiện bằng cách, dựng hoặc tìm một đường thẳng $a’$ nào đó song song với $a$ và cắt đường thẳng $b$. Lúc này, mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \(a’\) và \(b\). Và, việc tính khoảng cách tiếp tục quy về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng bằng cách lấy một điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng $a$ và tính khoảng cách từ $M$ tới $(P)$.
    • Cách 3. Chuyển về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đã cho. $$ \begin{cases}
      a\subset (P)\\
      b\subset (Q)\\
      (P)\parallel (Q)
      \end{cases} \Rightarrow d(a,b)=d((P),(Q))$$

    cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng hai mặt phẳng song song

    Cách 1 thì chỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau. Lúc đó việc dựng đoạn vuông góc chung là khá dễ dàng, còn khi \(a\) và \(b\) không vuông góc với nhau thì dựng đường vuông góc chung rất phức tạp. Xin xem phần 2.3 để biết thêm về cách dựng đoạn vuông góc chung.

    Cách 2 thường được sử dụng nhiều hơn cả, cách 3 chỉ sử dụng khi việc kẻ đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng ban đầu gặp khó khăn.

    Sau đây chúng ta cùng nhau tìm hiểu các ví dụ minh họa về tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau trong không gian.

    2. Các ví dụ minh họa xác định khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

    2.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

    Ví dụ 1. [Câu 40, Đề minh họa Tốt nghiệp 2020] Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy \( (ABC) \), \( SA=a \), tam giác \(ABC\) vuông tại \( A\) và \( AB=2a,\) \(AC=4a \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SM \) và \( BC \).

    Phân tích. Để dựng một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng \( SM \) và \( BC \) đồng thời vuông góc với đường còn lại thì chúng ta cần xem xét, việc dựng mặt phẳng song song với đường thẳng nào dễ dàng hơn.

    Rõ ràng việc kẻ một đường thẳng cắt \(SM\) và song song với \(BC\) rất đơn giản, chỉ việc qua \( M \) kẻ đường thẳng song song với \( BC \), đường thẳng này chính là đường trung bình của tam giác \( ABC \). Do đó, chúng ta sẽ ưu tiên chọn cách làm này.

    khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau đề minh họa 2020

    Hướng dẫn. Gọi \( N \) là trung điểm \( AC \) thì ta có
    $$ \begin{cases}
    BC\parallel MN\\
    MN\subset (SMN)
    BC \not \subset (SMN)
    \end{cases} $$ Do đó, khoảng cách cần tìm $$ d(BC,SM)=d(BC,(SMN) =d(B,(SMN))$$ Tuy nhiên, đường thẳng \( AB \) lại cắt mặt phẳng \( (SMN) \) tại trung điểm \( M \) của \( AB \) nên
    $$ \frac{d(B,(SMN))}{d(A,(SMN))} =\frac{BM}{AM}=1 $$ hay \( d(B,(SMN))=d(A,(SMN))\) và chúng ta chỉ cần đi tính khoảng cách từ điểm \( A \) tới mặt phẳng \( (SMN) \) là xong. Đây lại là một bài toán khá cơ bản, chỉ việc kẻ vuông góc hai lần \( AH\perp MN \) và \( AK\perp SH \), hoặc áp dụng trực tiếp kết quả đối với trường hợp hình chóp có ba tia \( AS,\) \(AC,\) \(AB \) đồng quy và đôi một vuông góc với nhau. Tóm lại, khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn \( AK \) như trong hình vẽ và có $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2} $$ Thay số vào và tìm được \( d(BC,SM)=AK= \frac{2a}{3}.\)

    Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ cạnh $ SA=a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC. $

    hình chóp s.abcd đáy là hình vuông khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau AD và SC
    Hướng dẫn. Có $ AB\parallel CD $ nên $ AB\parallel (SCD) $. Do đó $$ d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$$

    Đây chính là bài toán tính khoảng cách cơ bản, kẻ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$ thì khoảng cách cần tìm $$d(A,(SCD))=AK=\frac{a}{\sqrt{2}} $$

    Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Ví dụ 3. [Đề Đại học Khối D năm 2008] Cho lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông với $ BA=BC=a $, cạnh bên $ AA’=a\sqrt{2}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM $ và $ B’C $.

    Khối D năm 2008 Cho lang tru dung tam giac ABC
    Hướng dẫn. Lấy $ N $ là trung điểm của $ BB’ $, ta có $ MN $ là đường trung bình của tam giác $ B’BC $ nên $ B’C $ song song với $ MN $. Như vậy đường thẳng $ B’C $ song song với mặt phẳng $ (AMN) $, và do đó
    \[ {d}(B’C,AM)={d}(B’C,(AMN))={d}(B'(AMN)) \] Lại có $ BB’ $ cắt mặt phẳng $ (AMN) $ tại trung điểm $ N $ của $ BB’ $ nên
    \[ {d}(B’,(AMN))={d}( B,(AMN))\] Hình chóp $ B.AMN $ có ba tia $ BA,BM,BN $ đồng quy và đôi một vuông góc nên đặt $d=d(B,(AMN))$ thì có \[ \frac{1}{d^2}=\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BM^2}+\frac{1}{BN^2}=\frac{7}{a^2} \] Từ đó tìm được khoảng cách từ giữa $B’C $ và $ AM $ là $ \frac{a}{\sqrt{7}}. $

    Ví dụ 4. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ cạnh $ SA=a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC. $

    Hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a
    Hướng dẫn. Có $ AB\parallel CD $ nên $ AB\parallel (SCD) $. Do đó, gọi $ O $ là tâm hình vuông thì có $$ {d}(AB,SC)={d}(AB,(SCD))={d}(A,(SCD)) $$ Nhưng đường thẳng \( AO \) cắt mặt phẳng \( (SCD) \) tại điểm \( C \) nên có
    $$ \frac{d(A,(SCD))}{d(O,(SCD))}=\frac{AC}{OC}=2$$ Suy ra \( d(A,(SCD))=2d(O,(SCD)) \). Đây chính là bài toán 1, kẻ vuông góc hai lần và tìm được đáp số $ \mathrm{d}(AB,SC)=\frac{2a\sqrt{21}}{7}. $

    Ví dụ 5. [Đề ĐH khối A năm 2006] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $ có các cạnh bằng 1. Gọi $ M , N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ A C’ $ và $ MN $.

    Cho hình lập phương cạnh bằng 1 M N lần lượt là trung điểm AB CD

    Hướng dẫn. Chúng ta có \( MN\) song song với mặt phẳng \( (ADC’B’) \), mà mặt phẳng \( (ADC’B’) \) chứa đường thẳng \( AC’ \) nên suy ra $$ d(MN,AC’)=d(MN,(ADC’B’))=d(N,(ADC’B’) ).$$ Để dựng hình chiếu vuông góc của \( N \) lên mặt phẳng \( (ADC’B’) \) ta chú ý rằng \( N \) nằm trong mặt phẳng \( (CDD’C’) \) mà hai mặt phẳng \( (ADC’B’) \) và \( (CDD’C’) \) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến \( C’D \). Do đó, chúng ta chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của \( N \) lên giao tuyến \( C’D \) là được. Giả sử hình chiếu vuông góc đó là điểm \( H \) thì có $$ d(N,(ADC’B’))=NH=\frac{1}{2} CD’ $$ Từ đó tìm được đáp số $ d(MN,AC’)=\frac{a\sqrt{2}}{4}. $

    Ví dụ 6. [Đề ĐH khối  A năm 2004] Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi đường chéo $ AC=4,SO=2\sqrt{2}$ và $ SO $ vuông góc với đáy $ ABCD $, ở đây $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD$. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SC $. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ BM. $

    Hình chóp đáy là hình thoi M là trung điểm SC
    Hướng dẫn. Ta có $ MO $ là đường trung bình của tam giác $ SAC $ nên $ SA $ song song với $ MO. $ Do đó $ SA $ song song với mặt phẳng $ (MBD). $ Dẫn tới \[ {d}( SA,MB)={d}(SA,(MBD))={d}( S,(MBD)) \] Mặt khác $ SC $ cắt mặt phẳng $ (MBD) $ tại trung điểm $ M $ nên
    \[ {d}( S,(MBD))={d}( C,(MBD)) \] Gọi $ K $ là chân đường vuông góc hạ từ $ C $ xuống $ MO $ thì chứng minh được $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên mặt phẳng $ (MBD). $

    Bây giờ, để tính được độ dài đoạn \( CK \) thì ta sẽ tính diện tích tam giác \( MOC \) theo hai cách. Có
    $$ S_{\Delta MOC} =\frac{1}{4} S_{\Delta SAC}=\frac{1}{8}SO\cdot AC$$ Nhưng mặt khác $$ S_{\Delta MOC} =\frac{1}{2} CK \cdot OM=\frac{1}{4}CK\cdot SA$$ Từ đó suy ra
    $$ CK=\frac{SO\cdot AC}{2 SA}= \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BM $ là $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

    Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,$ $ AB = 2a,$ $\widehat{BAC}=60^\circ, $ cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=a\sqrt{3}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ CM $.

    Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông M là trung điểm AB
    Hướng dẫn.
    Gọi $ N $ là trung điểm $ SA $ thì $ MN\parallel SB $ nên $$ d(SB,CM)=d(SB,(CMN))=d(B,(CMN)). $$ Lại có đường thẳng \( AB \) cắt mặt phẳng \( (CMN) \) tại trung điểm \( M \) của \( AB \) nên suy ra $$ d(B,(CMN))=d(A,(CMN)) $$ Tính khoảng cách từ điểm \( A \) tới mặt phẳng \( (CMN) \) chúng ta sử dụng bài toán 1.

    Hạ $ AE\perp MC $ thì chú ý rằng, tam giác $ AMC $ có góc $\widehat{M} $ tù nên $ E $ nằm ngoài đoạn $ MC. $ Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc tính diện tích tam giác $ AMC $ theo hai cách, tính được $ AE=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}. $ Tiếp tục hạ $ AH\perp AE $ thì tính được $$ d(A,(CMN))=AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}.$$

    Ví dụ 8. Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có $ SA=2a,AB=a $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM,SB $.

    Hình chóp đều S.ABC có O là tâm của đáy M là trung điểm BC
    Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm tam giác đều $ ABC $. Gọi $ N $ là trung điểm $ SC $ thì $ MN\parallel SB $ nên $$ d(AM,SB)=d(SB,(AMN))=d(B,(AMN))$$ Mặt khác, vì $ M $ là trung điểm $ BC $ nên $d(B,(AMN))=d(C,(AMN))$.

    Gọi $ I $ là trung điểm $ OC $ thì $ NI\perp (ABC) $, hơn nữa $ d(C,(AMN))=2d(I,(AMN)). $ Từ $ I $ hạ $ IJ $ vuông góc xuống $ OM $ thì $ J $ là trung điểm $ OM. $ Tiếp tục hạ $ IK$ vuông góc xuống $NJ $ thì ta có $$ d(I,(AMN))=IK=a\sqrt{\frac{11}{188}} $$ Từ đó tìm được đáp số $d(AM,SB)= \frac{a\sqrt{517}}{47}. $

    2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

    Ví dụ 9. [Đề ĐH Khối B năm 2002] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $ cạnh $ a $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A’B $ và $ B’D. $

    Cho hình lập phương cạnh bằng a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A'B và B'D
    Hướng dẫn. Gọi $ M , N , P $ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $ A’ D ‘ ,BC , AD $ thì dễ dàng chứng minh được hai mặt phẳng \( (A’BP) \) và \( B’NDM \) song với nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng \( A’B \) và \( B’D \). Do đó, khoảng cách cần tìm
    \[ d(A’B,B’D)=d( (A’PB),(MDNB’))\] Khoảng cách này lại bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng còn lại, ở đây chúng ta chọn điểm \(D \), thì có $$ d( (A’PB),(MDNB’))= =d( D,(A’PB))$$ Nhưng, đoạn thẳng \( AD \) cắt mặt phẳng \( (A’PB) \) tại trung điểm \( P \) nên có $$ d( D,(A’PB))=d(A,(A’PB))=d$$ Rõ ràng \( AB,AP,AA’ \) là ba tia đồng quy và đôi một vuông góc nên có ngay $$ \frac{1}{d^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{A’A^2}$$ Thay số vào tìm được đáp số $d(A’B,B’D)=\frac{a}{3}. $

    Ví dụ 10. Cho hình hộp đứng \( ABCD.A’B’C’D’ \) có đáy là hình bình hành với \( AB=a \), \( AD=2a \), góc \(BAD\) bằng \( 60^\circ \) và \( AA’=a\sqrt{3}. \) Gọi \( M,N,P \) lần lượt là trung điểm của \( A’B’ \), \( BD \) và \( DD’ \). Gọi \(H \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( AD \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( MN \) và \( HP \).

    Hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành

    Hướng dẫn. Gọi \( Q \) là trung điểm của \( AB \) thì có ngay hai mặt phẳng \( (MNQ) \) và \( (ADD’A’) \) song song với nhau. Hơn nữa, hai mặt phẳng này còn lần lượt chứa hai đường thẳng \( MN \) và \( HP \) nên $$ d(MN,HP)=d((MNQ),(ADD’A’)) $$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này chính bằng khoảng cách từ \( Q \) tới mặt phẳng \( (ADD’A’) \) và bằng một nửa khoảng cách từ \( B \) tới mặt phẳng \( (ADD’A’) \). Từ đó tìm được đáp số \( d(MN,HP)=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

    2.3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dựng đoạn vuông góc chung

    Trong trường hợp đặc biệt khi hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau đồng thời lại vuông góc với nhau, thì  thường tồn tại một mặt phẳng $(\alpha)$ chứa \(a\) và vuông góc với \(b\). Ta dựng đoạn vuông góc chung qua hai bước sau:

    cach dung doan vuong goc chung cua hai duong thang cheo nhau va vuong goc voi nhau

    • Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \((\alpha)\).
    • Trong mặt phẳng \((\alpha)\), dựng \(HK\) vuông góc với \(a\) tại \( K\) thì \( HK\) chính là đoạn vuông góc chung.

    Tổng quát, việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau được thực hiện như sau:

    cach dung doan vuong goc chung

    • Dựng mặt phẳng \( (\alpha) \) chứa đường thẳng \( b \) và song song với đường thẳng \( a \).
    • Tìm hình chiếu vuông góc \( a’ \) của \( a \) trên mặt phẳng \((\alpha)\).
    • Tìm giao điểm \( N \) của \( a’ \) và \( b \), dựng đường thẳng qua \( N \) và vuông góc với \( (\alpha) \), đường thẳng này cắt \( a \) tại \( M \).

    Kết luận: Đoạn \( MN \) chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \( a \) và \( b \).

    Ví dụ 11. Cho tứ diện đều $ ABCD $ có độ dài các cạnh bằng $ 6\sqrt{2} $cm. Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ CD $.

    Hướng dẫn. Gọi $ M , N $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB , CD $. Chứng minh được $ MN $ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $ AB,CD $ và khoảng cách giữa chúng là $ MN=6 $cm.

    Ví dụ 12. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B , AB=a , BC=2a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=2a. $ Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ SC $.

    Hướng dẫn. Lấy điểm $ D $ sao cho $ ABCD $ là hình chữ nhật thì $ AB $ song song với $ (SCD). $ Gọi $ E $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống $ SD $ thì chứng minh được $ E $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ (SCD). $
    Qua $ E $ kẻ đường thẳng song song với $ CD $ cắt $ SC $ tại $ N $, qua $ N $ kẻ đường thẳng song song với $ AE $ cắt $ AB $ tại $ M $ thì $ MN $ là đường vuông góc chung cần tìm. Đáp số $ a\sqrt{2}. $

     

  • Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

    Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

    BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

    Bài toán khoảng cách trong hình học không gian là một vấn đề quan trọng, thường xuất hiện ở các câu hỏi có mức độ vận dụng và vận dụng cao. Các bài toán tính khoảng cách trong không gian bao gồm:

    1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng;
    2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên một mặt phẳng tới mặt phẳng còn lại;
    3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng tới mặt phẳng đã cho;
    4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.

    Như vậy, 3 dạng toán đầu tiên đều quy về Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chính là nội dung của bài viết này.

    BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

    Ngoài ra, các em cũng cần thành thạo 2 dạng toán liên quan đến góc trong không gian:

    1. Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bài toán quan trọng nhất là phải dựng được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng.

    Nếu như ở bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta đã biết trước mục tiêu cần hướng đến, thì ở bài toán dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chúng ta phải tự tìm ra đường thẳng (tự dựng hình) và chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho, tức là mức độ sẽ khó hơn bài toán chứng minh rất nhiều.

    Tuy nhiên, phương pháp xác định hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu chúng ta nắm chắc hai kết quả [bài toán] sau đây.

    Bài toán 1. Dựng hình chiếu vuông góc từ chân đường cao tới một mặt phẳng.

    Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ (ABC) $. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

    Phương pháp. Để dựng hình chiếu của điểm $ A $ lên mặt phẳng $ (SBC) $, ta chỉ việc kẻ vuông góc hai lần như sau:

    • Trong mặt phẳng đáy $ (ABC) $, kẻ $ AH $ vuông góc với $ BC, H $ thuộc $ BC. $
    • Trong mặt phẳng $ (SAH) $, kẻ $ AK $ vuông góc với $ SH, K $ thuộc $ SH. $
    Cách dựng hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBC) phương pháp tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P)

    Dễ dàng chứng minh được $ K $ chính là hình chiếu vuông góc của điểm $ A $ lên mặt phẳng $(P)$. Thật vậy, chúng ta có $$ \begin{cases}
    BC\perp SA\\
    BC \perp AH\\
    \end{cases} $$ Mà $SA$ và $AH$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $ (SAH)$, nên suy ra \( BC \) vuông góc với \( (SAH) \), nên \( BC\perp AK \). Như vậy lại có
    $$ \begin{cases}
    AK\perp BC\\ AK\perp SH
    \end{cases} $$ Mà $BC, AH $ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, nên suy ra \( AK \) vuông góc với \( (SBC) \), hay \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \).

    Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể  tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Dưới đây là hình minh họa trong các trường hợp đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $ A,$ vuông tại $B,$ vuông tại $C $, tam giác cân, tam giác đều…

    • Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, lúc đó $H$ chính là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác \(ABC\), và dễ dàng tìm được công thức tính độ dài đoạn $AK$ như sau: $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2} $$
    Dung hinh chieu vuong goc cua A len mat phang (SBC) voi tam giac ABC vuong tai A
    • Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $B$).
    Dựng hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SBC) với hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC vuông tại B
    • Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $C$).
    Dựng hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SBC) với hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC vuông tại C
    • Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ hoặc là tam giác đều (lúc đó $H$ chính là trung điểm của $BC$).
    Dung hinh chieu vuong goc cua A len mat phang (SBC) voi tam giac ABC can tai A tam giac deu

    Bài toán 2. Dựng hình chiếu vuông góc sử dụng giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc.

    Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ vuông góc với nhau. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

    Phương pháp. Rõ ràng ở đây hai mặt phẳng vuông góc $ (SBC) $ và $ (ABC) $ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $BC$. Nên để dựng hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \) ta chỉ việc hạ \( AK \) vuông góc với giao tuyến \( BC \) là xong. $$ \begin{cases}
    (SBC)\perp (ABC)\\ (SBC)\cap (ABC) = BC\\ AK\subset (ABC)\\ AK\perp BC \end{cases} $$ Suy ra đường thẳng $AK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, và $K$ chính là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.

    Dung hinh chieu vuong goc cua A len mat phang (SBC) khi hai mat phang (SBC) va (ABC) vuong goc voi nhau

    Ở đây chúng ta sử dụng định lý, hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau theo một giao tuyến. Đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng thứ nhất và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.

    2. Các ví dụ tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

    Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC,$ có $ SA $ vuông góc với đáy, $ SA=3a,$ $AB=a,$ $BC=2a,$ $\widehat{ABC}=60^\circ. $ Chứng minh tam giác $ ABC $ vuông và tính khoảng cách từ điểm $ B$ tới mặt phẳng $(SAC), $ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC). $

    Hướng dẫn. Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có $$ AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos\widehat{B}=3a^2 $$ Rõ ràng \( BC^2=AB^2+AC^2 \) nên tam giác \(ABC\) vuông tại $A$. Lúc này, dễ dàng nhận thấy \( A \) chính là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên mặt phẳng \( (SAC) \), và khoảng cách cần tìm $$ d(B,(SAC))=BA=a. $$

    Dung hinh chieu vuong goc cua A len mat phang (SBC) voi tam giac ABC vuong tai A

    Em nào chưa biết cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì có thể xem lại bài viết Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC) $, ta trình bày như bài toán 1 trường hợp đáy là tam giác vuông (ở đây thầy không viết lại nữa), đáp số$$ d(A,(SBC))=AK=\frac{3a}{\sqrt{13}}$$

    Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a.$ Hai mặt phẳng $ (SAB),$ $(SAD) $ cùng vuông góc với đáy và cạnh $ SD $ tạo với đáy một góc $ 45^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $.

    Hinh chop S.ABCD co day la hinh vuong cạnh bên SA vuông góc với đáy

    Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAB),(SAD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến của chúng, là đường thẳng \( SA \) cũng vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \).

    Nhặc lại định lý quan trọng, hai mặt phẳng vuông góc cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

    Lúc này, góc giữa đường thẳng \( SD \) và đáy chính là góc \( \widehat{SDA} \) và góc này bằng \( 45^\circ \). Suy ra, tam giác \( SAD \) vuông cân tại \( A \) và \( SA=AD=a \).

    Tam giác \( SAB \) vuông cân có \( AK \) là đường cao và cũng là trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \( AK=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

    Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ chúng ta cố gắng nhìn ra mô hình giống như trong bài toán 1. Bằng việc kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất, trong mặt phẳng \( (ABCD) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) tới \( BC \), chính là điểm \( B \) có sẵn luôn. Kẻ vuông góc lần thứ hai, trong mặt phẳng \( (SAB) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) xuống \( SB \), gọi là \( AK \) thì độ dài đoạn \( AK \) chính là khoảng cách cần tìm.

    Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $ ta vẫn tiếp tục làm như kỹ thuật trong bài toán 1. Chúng ta kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất từ \( A \) kẻ vuông góc xuống \( BC \), chính là tâm \( O \) của hình vuông luôn (vì hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau). Nối \( S \) với \( O \) và từ \( A \) tiếp tục hạ đường vuông góc xuống \( SO \), gọi là \(AH \) thì chứng minh được \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBD) \). Chúng ta có ngay

    $$ \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{3}{a^2} $$

    Từ đó tìm được $AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và khoảng cách cần tìm là $ d(A,(SBD)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

    Ví dụ 3. Cho hình tứ diện $ ABCD $ có cạnh $ AD $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $, ngoài ra $ AD = AC = 4 $ cm; $ AB = 3 $ cm; $ BC = 5 $ cm. Tìm khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD). $

    Ví dụ 4. [Đề thi ĐH khối D năm 2003] Cho hai mặt phẳng $ (P),(Q) $vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $ \Delta. $ Lấy $ A , B $ thuộc $ \Delta $ và đặt $ AB=a $. Lấy $ C , D $ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $ (P),(Q) $ sao cho $ AC , BD $ vuông góc với $ \Delta $ và $ AC=BD=a. $ Tính khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD).$

    Hướng dẫn. Hạ $ AH\perp BC $ thì $ d(A,(BCD))=AH=\frac{a}{\sqrt{2}} $.

    Ví dụ 5. [Đề thi ĐH Khối D năm 2012] Cho hình hộp đứng $ $ABCD$.A’B’C’D’ $ có đáy là hình vuông, tam giác $ A’AC $ vuông cân, $ A’C=a $. Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD’) $ theo $ a. $

    Hướng dẫn. Chú ý rằng mặt phẳng $ (BCD’) $ chính là mặt phẳng $ (BCD’A’) $. Đáp số, khoảng cách từ $ A$ đến mặt phẳng $(BCD’) $ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

    Khi việc tính trực tiếp gặp khó khăn, ta thường sử dụng kĩ thuật dời điểm, để đưa về tính khoảng cách của những điểm dễ tìm được hình chiếu vuông góc hơn.

    Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a. $ Biết cạnh bên $ AA’=4a$ và $ M $ là trung điểm $ AA’ $. Hãy tính khoảng cách $ {d}(M,(A’B’C)) $ và $ {d}(M,(A’B’C)) $.

    Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B,$ $AB=3a,$ $ BC=4a.$ Mặt phẳng $ (SBC) $ vuông góc với mặt đáy và $ SB=2a\sqrt{3},$ $\widehat{SBC}=30^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $B$ tới mặt phẳng $(SAC). $

    Hướng dẫn. Gọi $ SH $ là đường cao của tam giác $ SBC $ thì $ SH\perp (ABC). $ Ta có $$ \frac{{d}(B,(SAC))}{{d}(H,(SAC))}=\frac{BC}{HC}=4 $$ Từ đó tính được $ {d}(B,(ABC)) =\frac{6a}{\sqrt{7}}.$

    3. Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Mời thầy cô và các em học sinh tải các tài liệu về bài toán khoảng cách trong hình học không gian tại đây:

    Tổng hợp tài liệu HHKG lớp 11 và ôn thi ĐH, THPT QG đầy đủ nhất, mời thầy cô và các em xem trong bài viết 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất

  • Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

    Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cách dựng một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước là bài toán quyết định của hình học không gian lớp 11, và cũng là cơ sở để giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện ở lớp 12.

    Xem thêm Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

    1. Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Định nghĩa. Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.

    định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Tuy nhiên, để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta không cần chỉ ra nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng, mà ta chỉ cần sử dụng định lý sau.

    Định lý. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

    cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Như vậy, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì ta được sử dụng kết quả đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đã cho. Nhưng để chứng minh thì ta chỉ cần chỉ ra nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó là đủ.

    Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.

    2. Ví dụ dạng toán chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

    Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $ SA$ vuông góc với đáy $(ABC), $ tam giác $ABC$ vuông tại $ B. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB). $

    Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 vuông góc với đáy (𝐴𝐵𝐶), tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵

    Hướng dẫn. Muốn chỉ ra đường thẳng $ BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB) $ ta phải chỉ ra đường thẳng \(BC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng \( (SAB) \). Hiển nhiên ta đã có ngay \( BC\perp AB \) do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Cần phải tìm thêm một đường thẳng nữa cũng vuông góc với \( BC \) mà đường thẳng đó phải cắt \( AB \).
    Chú ý rằng giả thiết cho \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), tức là nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). Nên, tất nhiên \( SA \) cũng vuông góc với \( BC \). Tóm lại, chúng ta có lời giải như sau.

    Lời giải. Ta có \( SA\perp (ABC) \Rightarrow SA\perp BC \). Như vậy $$ \begin{cases}
    BC\perp SA\\ BC\perp AB\\
    AB,SA \subset (ABC)\\
    AB,SA \text{ cắt nhau}
    \end{cases}$$ Suy ra, $ BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB). $

    Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $ O, SA=SC $ và $ SB=SD. $

    1. Chứng minh rằng đường thẳng $ SO $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD).$

    2. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ SB $ và $ SD $. Chứng minh đường thẳng $ MN$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC). $

    Cho hinh chop S.ABCD có SA=SC, SB=SD, đáy là hình thoi tâm O

    Hướng dẫn. 

    1. Chỉ ra \( SO \) là đường cao trong tam giác cân \( SAC \) nên \( SO \perp AC\). Tương tự cũng chứng minh được \( SO\perp BD \). Mà \( AC \) và \( BD \) là hai đường thẳng cắt nhau, cùng nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \) nên suy ra \( SO \) vuông góc với \( (ABCD) \).

    2. Ta chứng minh đường thẳng \( BD\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC) \). Thật vậy, có
    $$ \begin{cases}
    BD\perp AC\\
    BD\perp SO\\
    AC,SO \subset (SAC)\\
    AC, SO \text{ cắt nhau}
    \end{cases} $$ Mặt khác \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( SBD \) nên \( MN\parallel BD \). Do đó, đường thẳng \( MN \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAC) \).

    Ví dụ 3. Tứ diện $ ABCD $ có $ AC=AD $ và $ BC=BD. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ CD$ vuông góc với đường thẳng $AB. $

    tứ diện ABCD

    Hướng dẫn. Giả thiết $ AC=AD $ và $ BC=BD $ gợi cho chúng ta nghĩ đến các tính chất của tam giác cân. Mà tam giác cân thì yếu tố vuông góc chính là các đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Do đó, chúng ta gọi trung điểm của \( CD \) là \( M \) thì có cách giải như sau.

    Lời giải. Gọi trung điểm của cạnh \( CD \) là \( M \) thì ta có tam giác \( ACD \) cân tại \( A \) nên \( AM\perp CD \), tam giác \( BCD \) cân tại \( B \) nên \( BM\perp CD \). Tóm lại chúng ta có $$ \begin{cases}
    CD\perp AM\\
    CD\perp BM\\
    AM,BM \subset (ABM)\\
    AM,BM \text{ cắt nhau}
    \end{cases} \Rightarrow CD \perp (ABM)$$ Mà đường thẳng \( AB \) nằm trong mặt phẳng \( (ABM) \) nên suy ra \( CD \) vuông góc với \( AB. \)

    Ví dụ 4. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $ SA $ vuông góc với đáy. Chứng minh rằng đường thẳng $ CD $ vuông góc với mặt phẳng $ (SAD). $

    hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA vuông góc với đáy

    Gợi ý. Hãy chỉ ra đường thẳng $ CD $ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $ (SAD). $

    Lời giải. Ta có \( ABCD \) là hình chữ nhật nên \( CD\perp AD \). Mặt khác, \( SA \) vuông góc với đáy \( (ABCD) \) nên \( SA \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \( (ABCD) \), đương nhiên trong đó có \( CD \). Tóm lại, chúng ta có được
    $$ \begin{cases}
    CD\perp AD\\
    CD\perp SA\\
    AD,SA\subset (SAD)\\
    AD,SA \text{ cắt nhau}
    \end{cases} $$  Suy ra, đường thẳng \( CD \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAD). \)

    Ví dụ 5. Hình chóp $ S.ABC $ có $ SA=SB=SC $. Chứng minh rằng $ O $ là hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $(ABC)$ khi và chỉ khi $ OA=OB=OC. $

    hình chóp đều S.ABC có O là tâm của đáy chứng minh SO vuông góc với (ABC)


    Hướng dẫn. Ta phải chứng minh cả hai chiều thuận và đảo của bài toán.

    • Thuận: Có đường thẳng $ SO$ vuông góc với $(ABC) $ nên $ SO $ vuông góc với các đường thẳng $ OA,OB,OC. $ Ba tam giác vuông $ SOA,SOB,SOC $ bằng nhau nên suy ra $ OA=OB=OC. $
    • Đảo: Từ $ OA=OB $ suy ra tam giác $ OAB $ cân tại $ O. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ AB $ thì $ AB $ vuông góc với $ OI $. Mặt khác, tam giác $SAB$ cũng cân tại $S$ nên và $ SI\perp AB. $ Do đó, $ AB $ vuông góc với $ SO. $
      Chứng minh tương tự có $ AC $ cũng vuông góc với $ SO. $ Từ đó suy ra $ SO $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $ hay $ O $ là hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ (ABC). $

    Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABC $ có tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $; cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy.

    1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

    2. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên $ SB $, chứng minh đường thẳng $ AH $ vuông góc với mặt phẳng $ (SBC) $.

    3. Gọi $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ SC, $ chứng minh đường thẳng $ SC $ vuông góc với mặt phẳng $ (AHK). $

    4. Gọi $ I $ là giao điểm của $ BC $ và $ HK, $ chứng minh đường thẳng $ AI $ vuông góc với mặt phẳng $ (SAC). $

    Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 vuông góc với đáy (𝐴𝐵𝐶), tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

    Hướng dẫn.

    1. Vì \( SA \) vuông góc với đáy \( (ABC) \) nên \( SA \) vuông góc với \( AB,AC \). Do đó, các tam giác \( SAB, SAC \) vuông tại \( A \).

    Để chứng minh tam giác \( SBC \) vuông, ta chứng minh \( BC\perp SB \) bằng cách chỉ ra \( BC \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAB) \). Thật vậy, chúng ta có
    $$ \begin{cases}
    BC\perp AB\\
    BC\perp SA\\
    AB, SA \text{ cắt nhau}\\
    AB, SA  \subset (SAB)
    \end{cases} $$

    2. Theo chứng minh ở phần trước, có \( BC\perp (SAB) \) nên suy ra \( BC\perp AH \). Như vậy, ta có
    $$ \begin{cases}
    AH\perp SB\\AH\perp BC\\
    BC, SB \text{ cắt nhau và nằm trong } (SBC)
    \end{cases} $$ Suy ra đường thẳng \( AH \) vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \).

    3. Chỉ ra \( SC \) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng \( (AHK) \) là \( AH \) và \( AK \).

    4. Chỉ ra \( AI \) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng \( (SAC) \) là \( SA \) và \( SC \).

    Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $, biết $ SA = SB = SC = a,$ $\widehat{ASB} = 60^\circ,$ $\widehat{BSC} = 90^\circ, $ $\widehat{CSA} = 120^\circ $. Gọi $ H $ là trung điểm $ AC $. Chứng minh $ SH $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $.

    Hướng dẫn. Tam giác $ SAB $ đều nên $ AB = SA = a $. Tam giác $ SBC $ vuông tại $ S $ nên có $$ BC = \sqrt{SB^2 + SC^2} = a\sqrt{2}.$$ Tam giác $ SAC $ có $$ AC =\sqrt{SA^2 + SC^2 – 2SA.SC.\cos60^\circ}= a\sqrt{3}.$$ Từ đó suy ra tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $. Vì $ H $ là trung điểm $ AC $ nên $ HA = HB = HC $, mà $ SA = SB = SC $ nên đường thẳng $ SH$ vuông góc với $(ABC) $.

    Ví dụ 8. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ 2a $; cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy; $ SA = a\sqrt{3} $. Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ SE $. Chứng minh hai đường thẳng $ AF $ và $ SC $ vuông góc với nhau.
    Gợi ý. Chỉ ra tam giác $ SAE $ vuông cân tại $ A $.

    Ví dụ 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $; cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA = a\sqrt{2}$. Gọi $ M, N $ lần lượt là hình chiếu của $ A $ trên $ SB $ và $ SD $, chứng minh đường thẳng $ SC $ vuông góc với mặt phẳng $ (AMN) $. Gọi $ K $ là giao điểm của $ SC $ và $ (AMN) $. Chứng minh $ AK $ và $ MN $ vuông góc với nhau và tính diện tích tứ giác $ AMKN $.

    Ví dụ 10. [Đề thi ĐH Khối B năm 2002] Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $. Gọi $ M, N, P $ lần lượt là trung điểm của $ BB’,CD,A’D’ $. Chứng minh đường thẳng $ MP $ vuông góc với $ C’N $.

    Ví dụ 11. Cho tứ diện $ OABC $ có $ OA, OB, OC $ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ O $ trên mặt phẳng $ (ABC) $. Chứng minh rằng đường thẳng $ BC $ vuông góc với mặt phẳng $ (OAH) $. Chứng minh $ H $ là trực tâm tam giác $ ABC $ và tính độ dài $ OH $ theo $ OA,OB,OC. $ Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác nhọn.

    Ví dụ 12. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Mặt bên $ SAB $ là tam giác đều còn $ SAD $ là tam giác vuông cân đỉnh $ S $. Gọi $ I, J $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Tính các cạnh của tam giác $ SIJ $ và chứng minh rằng $ SI $ vuông góc với $ (SCD), SJ $ vuông góc với $ (SAB) $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ trên $ IJ $. Chứng minh rằng $ SH $ vuông góc $ AC $. Gọi $ M $ là một điểm thuộc đường thẳng $ CD $ sao cho đường thẳng $ BM $ vuông góc với $ SA $. Tính độ dài đoạn $ AM $ theo $ a $.

    Đáp số.  $SI=\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2} $; $\frac{a\sqrt{5}}{2}. $

    3. Video bài giảng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    https://www.youtube.com/watch?v=aE-Ow2I5b7Q
    https://www.youtube.com/watch?v=dKQiFn55Yzs
    https://www.youtube.com/watch?v=LEcaaqpsCg4
  • Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

    Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

    Hướng dẫn cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

    Xem thêm

    Chúng ta thừa nhận một kết quả sau của hình học không gian:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Tập hợp các điểm chung đó của hai mặt phẳng tạo thành một đường thẳng, được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

    Do đó, phương pháp chung để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là ta chỉ ra hai điểm chung của chúng, và đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm.

    1. Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

    Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $, chúng ta xét các khả năng sau:

    • Nếu nhìn thấy ngay hai điểm chung $ A $ và $ B $ của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $.
      Kết luận đường thẳng $ AB $ chính là giao tuyến cần tìm.

    Cách tìm giao tuyến của 2 mp phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

    • Nếu chỉ chỉ tìm được ngay một điểm chung $ S $ của mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $. Lúc này, ta xét ba khả năng:
      • Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $ I $ thì $ SI $ chính là giao tuyến cần tìm.

    Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt trong không gian

    Đối với các em học sinh lớp 11 đầu năm thì chưa học đến quan hệ song song trong không gian nên sử dụng các kết quả trên là đủ. Sau khi các em học sang phần đường thẳng và mặt phẳng song song, hoặc các em học sinh lớp 12 thì sẽ sử dụng thêm các kết quả sau:

      • Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ song song với nhau thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $ S $ đồng thời song song với cả $ d_1,d_2. $

    Giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa 2 đường thẳng song song

      • Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $a$ mà $ a$ lại song song với $(\beta) $ thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $ S $ đồng thời song song với đường thẳng $ a. $

    Giao tuyến của hai mặt phẳng mà mặt phẳng này chứa đường thẳng song song với mặt phẳng còn lại

    Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

    Một số lưu ý.

    • Cho mặt phẳng $ (ABC) $ thì các điểm $ A,B,C $ thuộc mặt phẳng $(ABC);$ các đường thẳng $ AB,AC,BC $ nằm trong mặt phẳng $ (ABC)$, và do đó mọi điểm thuộc những đường thẳng này đều thuộc mặt phẳng $ (ABC). $
    • Hai đường thẳng chỉ cắt nhau được nếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng nào đó, nên khi gọi giao điểm của hai đường thẳng ta phải xét trong một mặt phẳng cụ thể.
    • Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta chú ý tới tên gọi của chúng.
    • Thường phải mở rộng mặt phẳng, tức là kéo dài các đường thẳng trong mặt phẳng đó.

    2. Một số ví dụ tìm giao tuyến của 2 mp

    Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I $ là trung điểm của $ BD. $ Gọi $ E,F $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD$ và $CBD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $

    Hướng dẫn.

    tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

    Rõ ràng $E$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ nên $E$ phải nằm trên đường thẳng $AI$. Suy ra, điểm $A$ thuộc vào đường thẳng $IE$. Tương tự, có điểm $F$ thuộc vào đường thẳng $CI$.

    • Như vậy, chúng ta có: $$ \begin{cases} A\in (ABC)\\ A\in IE \subset (IEF) \end{cases}$$ hay $A$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $
    • Tương tự, các em cũng chỉ ra được $C$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $

    Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC)$ là đường thẳng $AC$.

    Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $. Đáy $ABCD$ có $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E$, $AC$ cắt $ BD $ tại $ F. $ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

    1. $ (SAB) $ và $(SAC)$,
    2. $ (SAB) $ và $ (SCD)$,
    3. $(SAD)$ và $(SBC)$,
    4. $(SAC) $ và $ (SBD) $,
    5. $ (SEF) $ và $ (SAD)$,

    Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1

    Hướng dẫn.

    1. Dễ thấy  hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $(SAC)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $SA$.
      bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có lời giải
    2. Ta thấy ngay $ (SAB) $ và $ (SCD)$ có một điểm chung là $S$. Để tìm điểm chung thứ hai, chúng ta dựa vào đề bài $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E$. Tức là có $$\begin{cases} E\in AB\subset (SAB)\\ E\in CD\subset (SCD) \end{cases}$$. Như vậy $E$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SCD)$.
      Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SCD)$ là đường thẳng $SE$.
    3. Tương tự ý 2, các em tìm được giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SF$.
    4. Giao tuyến của $(SAC) $ và $ (SBD) $ là đường thẳng $SO$, trong đó $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
    5. $ (SEF) $ và $ (SAD)$ chính là đường thẳng $SF$.

    Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC $. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (ADM) $ và mặt phẳng $ (BCD) $.

    Hướng dẫn.

    Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 2

    Đầu tiên, chúng ta thấy ngay một điểm chung của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là điểm $D$. Như vậy, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm một điểm chung nữa của hai mặt phẳng này.

    Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $AM$ cắt $BC$ tại $N$. Ta thấy $$\begin{cases} N\in BC \subset (BCD)\\ N\in AM\subset (ADM)\end{cases}$$ nên $N$ chính là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $.

    Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là đường thẳng $DN$.

    Ví dụ 4. Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng $AB, AC, BD$ lấy lần lượt các điểm $M, N, P$ sao cho $MN$ không song song với $BC$. Tìm giao tuyến của $(BCD)$ và $(MNP)$.

    Hướng dẫn.

    Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 3

    Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).

    Chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.

    Khi đó,

    • I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)
    • I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)

    Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

    Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

    Ví dụ 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC$, $N $ thuộc miền trong tam giác $ ABD$. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (BMN) $ và mặt phẳng $ (ACD) $.

    Hướng dẫn.

    phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian

    Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $BM$ cắt $AC$ tại $P$ thì ta có:

    • $P\in MB$ mà $MB$ nằm trong mặt phẳng $(BMN)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(BMN)$;
    • $P\in AC$ mà $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(ACD)$;

    Như vậy, $P$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và  $ (ACD) $.

    Tương tự, trong mặt phẳng $(ABD)$ kéo dài $BN$ cắt $AD$ tại $Q$ thì cũng chỉ ra được $Q$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và  $ (ACD) $.

    Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và  $ (ACD) $ là đường thẳng $PQ$.

    Ví dụ 6. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABD,N $ thuộc miền trong tam giác $ ACD. $ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (AMN) $ và mặt phẳng $ (BCD) $; mặt phẳng $ (DMN) $ và $ (ABC) $.

    Hướng dẫn.

    Ví dụ 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BC. $ Lấy $ K $ thuộc $ BD $ sao cho $ KD<KB. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IJK) $ và $ (ACD),(IJK) $ và $ (ABD). $

    Hướng dẫn.

    Ví dụ 8. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AD,BC. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IBC) $ và $ (JAD). $ Gọi $ M,N $ là hai điểm trên cạnh $ AB,AC. $ Xác định giao tuyến của $ (IBC) $ và $ (DMN). $

    Hướng dẫn.

    Ví dụ 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SC $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (ABCD),(SAB),(SAD)$ và $ (SAC) $.

    Hướng dẫn.

    Ví dụ 10. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SO $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (SAB),(SAD),(SBC) $ và $ (SCD)$.

    Hướng dẫn.

  • Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn

    Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn

    Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức

    Thông thường, ý tưởng chung để giải bất cứ một phương trình bậc cao, phương trình vô tỷ là đều qui về các phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

    Trong bài viết này, O2 Education xin giới thiệu phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình chứa căn bậc hai. Cách giải các phương trình chứa căn bậc 2 cơ bản, xin mời bạn đọc xem tại đây Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn.

    Đối với phương pháp biến đổi tương đương, ta thường sử dụng những cách sau:

    1. Biến đổi tương đương bằng bình phương hai vế phương trình (nâng lên lũy thừa)

    Chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình rồi biến đổi, chú ý rằng trước khi bình phương hai vế phải đảm bảo điều kiện cả hai vế không âm. Một số dạng cơ bản (biến đổi tương đương luôn mà không cần tìm điều kiện riêng, vì đưa về hệ đã bao hàm cả điều kiện xác định trong đó rồi):

    • $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $ hoặc $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $
      (Tùy theo mức độ đơn giản của biểu thức $ A $ hay $ B $ mà ta lựa chọn cách biến đổi nào cho dễ dàng nhất)
    • $ \sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B^2 \end{array} \right. $
    • $ \sqrt A \le B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0\\ A \le {B^2} \end{array} \right. $
    • $ \sqrt A \ge B \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A \ge {B^2} \end{array} \right. \end{array} $

    Sau đây, mời các bạn theo dõi một số ví dụ cụ thể.

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}=x-1$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \[ \left\{ \begin{array}{l}
    x – 1 \ge 0\\
    {x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    x = 1
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1. \] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}=\sqrt{-2{{x}^{2}}-3x+12}$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
    {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}.$$

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-\frac{4}{3}. $

    Ví dụ 3. Giải bất phương trình $$x+1\ge \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}$$
    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với

    $$ \left\{ \begin{array}{l}
    x + 1 \ge 0\\
    {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    {x^2} – 2x – 3 \le 0\\
    {x^2} – 1 \ge 0
    \end{array} \right.$$ Từ đó tìm được tập nghiệm là $S=\left[ 1;3 \right]\cup \left\{ -1 \right\}$.

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$2x-5<\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}$$
    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với
    \[ \Bigg[ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 < 0\\ – {x^2} + 4x – 3 \ge 0\end{array} \right. & \left( 1 \right)\\
    \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 \ge 0\\ {\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3 \end{array} \right. & \left( 2 \right)
    \end{array}\]
    Giải từng hệ bất phương trình $ (1) $ và $ (2) $ rồi lấy hợp hai tập nghiệm, được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ 1;\frac{14}{5} \right)$.

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    & {\left( {1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 – x} } \right)^2}\\
    \Leftrightarrow\;& 4\left( {x – {x^2}} \right) – 6\sqrt {x – {x^2}} = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x – {x^2}} \left( {4\sqrt {x – {x^2}} – 6} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    \sqrt {x – {x^2}} = 0\\
    \sqrt {x – {x^2}} = \frac{3}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*}

    Ví dụ 6. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$$
    Hướng dẫn. Điều kiện ${{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 5x + \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2} \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = 1 – 3x
    \end{array} \right. \\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    \frac{1}{3} \ge x\\
    {x^3} + 2x + 1 = {\left( {1 – 3x} \right)^2}
    \end{array} \right. \\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    – 1 \le x \le \frac{1}{3}\\
    x = 0;x = 1;x = 8
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.
    \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x = 0. $

    Đôi khi, việc đặt điều kiện để bình phương khá phức tạp, ta sẽ bình phương để thu được phương trình hệ quả, sau đó thử lại nghiệm. Xét ví dụ sau:
    Ví dụ 7. Giải phương trình $$ \sqrt{1-x}+1-2x^2-2x\sqrt{1-x^2}=0 $$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \[ \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2} \]
    Bình phương thu được phương trình hệ quả, rút gọn được
    \[ x\left(4(1-2x^2)\sqrt{1-x^2}-1\right)=0 \] Giải phương trình này tìm được nghiệm $ x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} $.

    Ví dụ 8. [Đề thi ĐH khối A năm 2004] Giải bất phương trình \[\frac{{\sqrt {2({x^2} – 16)} }}{{\sqrt {x – 3} }} + \sqrt {x – 3} > \frac{{7 – x}}{{\sqrt {x – 3} }}\]
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 4. $ Biến đổi phương trình thành \[\sqrt {2({x^2} – 16)} > 10 – 2x \Leftrightarrow \Bigg[ {\begin{array}{l}
    {\left\{ {\begin{array}{l}
    {{x^2} – 16 \ge 0}\\
    {10 – 2x < 0}
    \end{array}} \right.}\\
    {\left\{ {\begin{array}{l}
    {10 – 2x \ge 0}\\
    {2({x^2} – 16) > {{(10 – 2x)}^2}}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}}\] Từ đó tìm được đáp số $ x > 10 – \sqrt {34}. $

    Ví dụ 9. Giải bất phương trình $$\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}}\le \frac{1}{\sqrt{5-2x}} $$
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in[-2,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},\frac{5}{2}). $ Ta xét hai trường hợp:

    • Với $-2\le x<\frac{1}{2}$ thì $\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}<0$ và $\sqrt{5-2x}>0$, nên bất phương trình đã cho luôn đúng.
    • Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$ thì phương trình đã cho tương đương với $ \sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}\ge \sqrt{5-2x}\Leftrightarrow 2\le x<\frac{5}{2}$

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ -2;\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 2;\frac{5}{2} \right)$

    Ví dụ 10. [Đề thi ĐH khối A năm 2010] Giải bất phương trình
    \[ \dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\ge 1 \]
    Hướng dẫn. Vì $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{x^2+(x-1)^2+1}>1 $ nên $ 1-\sqrt{2(x^2-x+1)}<0 $, do đó bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-\sqrt{x}\le 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} &(1)\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt{2(x^2-x+1)}\le 1-x+\sqrt{x} &
    \end{align*} Lại có $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{2(x-1)^2+2(\sqrt{x})^2}\ge 1-x+\sqrt{x} $. Do đó, bất phương trình $ (1) $ chỉ có thể xảy ra dấu bằng.
    \[ x-\sqrt{x}= 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} \] Từ đó tìm được đáp số: $ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}. $

    2. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về tích

    Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

    • $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
    • $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$
    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
    \sqrt {x + 3} – 2x = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*}
    Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = – 1
    \end{array} \right.$$
    Đáp số $ x=0,x=-1. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$

    Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:

    • $ x = 1 $ là nghiệm.
    • $ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
    • $x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.
      \end{itemize}

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$
    Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
    \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
    \end{align*}
    Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

    3. Phương pháp nhân liên hợp

    Đôi khi, chúng ta còn nhân chia với biểu thức liên hợp để dễ dàng phương trình thành tích các nhân tử là phương trình, bất phương trình chứa căn đơn giản hơn. Riêng phương pháp này, chúng tôi xin hẹn ở một bài viết khác.

    Mời thầy cô và các em xem trong bài viết sau: Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

  • Bất đẳng thức Iranian MO 2014 vòng 2

    Bất đẳng thức Iranian MO 2014 vòng 2

    Bất đẳng thức Iranian MO 2014 vòng 2

    Đề bài. (Iranian MO 2014, round 2)

    Cho các số thực \(x, y, z \geq 0\) thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x y+y z+z x) .\) Chứng minh rằng:
    $$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{2 x y z}$$

    Lời giải: Chúng ta có $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x y+y z+z x) \Leftrightarrow(x+y-z)^{2}=4 x y$$

    Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(z=\min \{x, y, z\},\) thì \(x+y-z \geq 0\). Áp dụng BĐT AM-GM:
    $$
    \frac{x+y+z}{3}=\frac{\frac{x+y-z}{2}+\frac{x+y-z}{2}+2 z}{3} \geq \frac{3 \sqrt[3]{\left(\frac{x+y-z}{4}\right)^{2}} \cdot 2 z}{3}=\sqrt[3]{2 x y z}
    $$

    Đây chính là điều phải chứng minh.

    (Lời giải của thầy Nguyễn Thái Vũ – Nhóm FB Học Toán với thầy Vũ)

  • Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

    Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

    Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

    Bài toán. Trong không gian cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$. Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\).

    Phương pháp. Để tìm giao điểm của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ ta làm như sau:

    • Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $ b $ mà $ b $ cắt đường thẳng $a$ tại $ M $ thì $ M $ chính là giao điểm cần tìm.

    Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    • Nếu chưa nhìn thấy đường thẳng nào trong mặt phẳng $(P)$ mà cắt đường thẳng $a$, thì ta thực hiện các bước sau:
      • Chọn một mặt phẳng $(Q)$ nào đó chứa đường thẳng $a$.
      • Xác định giao tuyến $ b $ của mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$.
      • Giao điểm $M$ của $ a $ và $ b $ chính là giao điểm cần tìm.

    Cach tim Giao diem cua duong thang va mat phang trong khong gian