Category: Toán 10

Toán 10 – Khái niệm hàm số. Hàm số là gì?
Toán 10 – Khái niệm hàm số lớp 10. Hàm số là gì?

1. Hàm số là gì?

Hàm số chính là các quy tắc áp dụng trên các số. Nếu một đại lượng $y$ phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi $x$ mà với một giá trị của $x$ ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$, và $x$ gọi là biến số. Nói chung hàm số xuất hiện khi có một đại lượng số nào đó phụ thuộc vào một đại lượng số khác. Các em đã được làm quen với hàm số từ lớp 7, lớp 9.

1.1. Khái niệm hàm số

Định nghĩa hàm số: Cho $ \mathbb{D} $ là tập con khác rỗng của $ \mathbb{R}. $ Hàm số $ f $ xác định trên $ \mathbb{D} $ là một quy tắc cho tương ứng mỗi số $ x\in \mathbb{D} $ với một và chỉ một số thực $ y $ gọi là giá trị của hàm số $ f $ tại $ x, $ kí hiệu $ y=f(x). $

Tập $ \mathbb{D} $ gọi là tập xác định (miền xác định, domain), $ x $ là đối số (biến số) của hàm số $ f, $ ta viết
\begin{align*}
f: \mathbb{D}& \longrightarrow \mathbb{R}\\
x\, &\longmapsto y=f(x)
\end{align*}

$ T=\left\{y=f(x)|x\in \mathbb{D} \right\} $ được gọi là tập giá trị hoặc miền giá trị của hàm số.

1.2. Cách cho một hàm số

Một hàm số có thể được cho bằng bốn cách: Mô tả bằng lời, cho bằng bảng giá trị, cho bằng đồ thị, hoặc cho bằng công thức tường minh.

Khi một hàm số được cho bởi công thức $ y=f(x) $ thì tập xác định của nó là tập hợp tất cả các số thực $ x $ sao cho biểu thức $ f(x) $ có nghĩa, tức là tập tất cả các giá trị của biến số $x$ mà có thể tính được giá trị $y$ tương ứng của hàm số (tính được giá trị $ f(x) $).

1.3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số bậc hai

Một trong những cách thường dùng nhất để minh họa một hàm số là sử dụng đồ thị. Nếu $ f $ là một hàm số có tập xác định $ \mathbb{D} $ thì đồ thị của nó là tập hợp $ (G) $ các điểm có tọa độ $\left( x;f(x) \right)$ với $x \in \mathbb{D}$.

Từ đó, điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in (G) $khi và chỉ khi ${{x}_{0}}\in \mathbb{D}$ và ${{y}_{0}}=f({{x}_{0}})$. Mỗi hàm số có một đồ thị duy nhất và ngược lại đồng thời qua đồ thị của một hàm số, ta có thể nhận biết được hầu hết các tính chất của hàm số đó.

1.4. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $ y = f(x) $ xác định trên khoảng $ (a,b)\subset \mathbb{R}. $
- Hàm số $ f $ gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $ (a,b) $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in (a,b) $ mà $ x_1<x_2 $ thì $ f(x_1)<f(x_2). $
- Hàm số $ f $ gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $ (a,b) $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in (a,b) $ mà $ x_1<x_2 $ thì $ f(x_1)>f(x_2). $
- Hàm số $ f $ gọi là không đổi (hàm số hằng) trên khoảng $ (a,b) $ nếu $f(x)=const$ với mọi $ x\in (a,b) $.
Thông thường, để xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng $ (a,b) $ ta xét tỉ số $ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $ với $ x_1\ne x_2\in (a,b). $

1.5. Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathbb{D}. $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathbb{D} $ và $ f(-x)=f(x) $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathbb{D} $ và $ f(-x)=f(x) $
Chú ý, đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng; đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Các dạng toán hàm số lớp 10

2.1. Tìm tập xác định của hàm số

Xem chi tiết dạng toán tìm TXĐ tại đây Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số

2.2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Xem bài chi tiết tại đây Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

2.3. Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Các em học sinh xem tại đây Toán 10 – Xét sự biến thiên của hàm số

2.4. Tìm tập giá trị của hàm số

2.5. Vẽ đồ thị hàm số
18/10/2020
Toán lớp 10 – Chứng minh thẳng hàng bằng vectơ
Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Một ứng dụng của phép toán nhân véc-tơ với một số thực chính là chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy bằng phương pháp véc-tơ. Trong bài học này, chúng tôi xin giới thiệu phương pháp và các ví dụ, bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ.

Quý thầy cô và các em có thể xem thêm:
- Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)
- Bài tập Các phép toán véc-tơ
1. Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Muốn chứng minh ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:
- Chỉ ra $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}, $ với $ k$ là một số thực nào đó.
- Sử dụng kết quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng là $$ \overrightarrow {MC} = t\overrightarrow {MA} + (1 – t)\overrightarrow {MB}, $$ với điểm tuỳ ý $ M$ và số thực $ t$ bất kỳ.
Lưu ý khi chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp véctơ.
- Đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ có thể thay bởi $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AB}$… miễn là hai véc-tơ đó có các điểm đầu và cuối là 2 trong 3 điểm $A,B,C$.
- Để có được đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ ta có thể:
  - Biến đổi sử dụng các quy tắc véc-tơ đã học (quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm);
  - Biểu diễn (phân tích) các $ \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$ qua 2 véc-tơ không cùng phương đã biết.
2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có $$ \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $$ Suy ra $ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}.$ (*)
Mặt khác, vì $ ABCD$ là hình bình hành nên $ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.
Mà $ I$ là trung điểm $ CD$ nên $ \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$. Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có \begin{align}
&2\overrightarrow{CI} +\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}
\end{align} Đẳng thức $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$ chứng tỏ ba điểm $ A,M,C$ thẳng hàng.

Qua ví dụ này chúng ta có nhận xét sau. Muốn chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng ta phải từ các đẳng thức véc-tơ đã có, biến đổi để xuất hiện được các véc-tơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MC}…$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC$, lấy các điểm $ I, J$ thoả mãn $$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB}, 3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0.$$Chứng minh rằng đường thẳng $ IJ$ đi qua trọng tâm $ G$ của tam giác $ABC$.

Hướng dẫn. Ta có $ G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì với điểm $J$ bất kỳ, ta luôn có $$ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG} $$ Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG} $$ Thay giả thiết $ 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$ vào ta được $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG} $$ hay $$ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}.$$ Mặt khác, từ đẳng thức $ \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì có $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB} $$ Tiếp tục thay kết quả $ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$ vừa có ở phần trước vào ta được $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA} $$
Thu gọn, ta được $$ \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}. $$ Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm $ I,J,G$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $ M, N, P$ thoả mãn: $$ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0, 3\overrightarrow {AN} – 2\overrightarrow {AC} = \vec 0, \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {PC}. $$ Chứng minh rằng $ M, N, P$ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

Từ đẳng thức $ 3\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì được \begin{align}
&3\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}
\end{align}
Thay giả thiết $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $ 2\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {PB}$ vào ta được \begin{align}
&\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM} +\overrightarrow{BP}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MP} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow & 3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}.
\end{align}

Đẳng thức $3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}$ chứng tỏ ba điểm $ M, N, P$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. Xác định vị trí điểm $ C $ sao cho $$ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $$ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $$ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn.
- Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $
- Từ đẳng thức $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}$ ta sử dụng quy tắc ba điểm thì có \begin{align}
  \overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}\\
  &=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})\\
  &=-\overrightarrow{MC} +\left(\overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}\right)\\
  &=-\overrightarrow{MC}.\end{align}
  Vậy ba điểm $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.
3. Bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Bài tập 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $$ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $$ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 3. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $$ Phân tích các véc-tơ $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

Bài tập 4. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $$
- Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $.
- Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $
Hướng dẫn.
- Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
- Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $, điều này tương đương với $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $$ Mặt khác $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}$ tương đương với $$\overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}.$$ Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $
Bài tập 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.
1. Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
3. Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $
Hướng dẫn.
1. Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
2. Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
3. Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
  Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $
Bài tập 6. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

Bài tập 7. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài tập 8. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực. Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $$ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $$ Mặt khác, ta có $$ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. $$ Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số $ k $ sao cho $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BI}$. Điều này tương đương với $$(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow 2(1-x)=3x \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}.$$
18/10/2020
Toán 10 – Xét sự biến thiên của hàm số
Xét sự biến thiên của hàm số lớp 10

Với hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$, chúng ta có hai đại lượng thay đổi là $x$ và $y$. Nếu chúng thay đổi “cùng chiều” (cùng tăng hoặc cùng giảm) ta có hàm số đồng biến, nếu chúng thay đổi “ngược chiều” ta có hàm số nghịch biến. Do sự thay đổi của $y$ phụ thuộc vào $x$ nên ta có thể chọn $x$ thay đổi từ nhỏ đến lớn để xét sự thay đổi của $y$.

Xem thêm:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10
1. Xét sự biến thiên của hàm số

1.1. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{K}$ (là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn).
- Hàm số đó được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$.
- Hàm số đó được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến hoặc có thể không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó trong tập xác định của nó.

Đồ thị của hàm số đồng biến

Xét theo hướng từ trái qua phải (tức là chiều tăng của đối số $x$) thì:
- Đồ thị hàm số đồng biến có hướng đi lên (tăng).
- Đồ thị hàm số nghịch biến có hướng đi xuống (giảm).
Từ định nghĩa, ta có các cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)$ trên $\mathbb{K}$.

1.2. Cách xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Cách 1. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng định nghĩa. Sử dụng giả thiết ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, đánh giá trực tiếp và so sánh $f(x_1)$ với $f(x_2)$.

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\sqrt{1-2x}$ trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Ta có, $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ,\left. \frac{1}{2} \right] \right.,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $$1-2{{x}_{1}}>1-2{{x}_{2}}\geqslant 0 \Rightarrow \sqrt{1-2{{x}_{1}}}>\sqrt{1-2{{x}_{2}}}$$ hay hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Cách 2. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng xét dấu tỷ số biến thiên $$T=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ và ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$.
- Nếu $T > 0$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{K}$;
- Nếu $T < 0$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{K}$.
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y = f(x) = x + 3$.

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
- Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align} T&= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= \frac{{({x_1} + 3) – ({x_2} + 3)}}{{{x_1} – {x_2}}} = 1 > 0, \forall x\in \mathbb{R} \end{align}
- Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $ y = f(x) = x^3 + 2x + 8.$

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
- Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}
  T &= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= \frac{{(x_1^3 + 2{x_1} + 8) – (x_2^3 + 2{x_2} + 8)}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= \frac{{(x_1^3 – x_2^3) + (2{x_1} – 2{x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 + 2\\
  &= \frac{1}{2}(x_1 + x_2)^2 + \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) + 2 > 0, \forall x\in \mathbb{R}.
  \end{align}
- Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$ trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$.

Xét tỉ số biến thiên \begin{align} T&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\ &=\frac{\frac{3{{x}_{1}}+1}{{{x}_{1}}-2}-\frac{3{{x}_{2}}+1}{{{x}_{2}}-2}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\ &=\frac{\left( 3+\frac{7}{{{x}_{1}}-2} \right)-\left( 3+\frac{7}{{{x}_{2}}-2} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\& =-\frac{7}{\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)}
\end{align}

Suy ra với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;\,2 \right)$ hoặc ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2;+\infty \right)$ thì $T < 0$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$,$\left( 2;+\infty \right)$.

Cũng có thể xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số một cách gián tiếp thông qua tính đồng biến nghịch biến của các hàm số quen thuộc hoặc đã được xét trước đó.

Chẳng hạn ta dễ dàng có các tính chất sau: tổng của hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến (nghịch biến) trên đó; tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến trên đó…

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f(x) = \sqrt {{x^2} + 2}$.

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}$.
- Với $ x_1, x_2 \in \mathcal{D} $ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}
  T&=\frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &=\frac{{\sqrt {x_1^2 + 2} – \sqrt {x_2^2 + 2} }}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &=\frac{{(x_1^2 + 2) – (x_2^2 + 2)}}{{({x_1} – {x_2})(\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} )}}\\
  &=\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} }}.
  \end{align}
- Khi đó:
  - Nếu $x_1, x_2 >$ 0 thì $ T > 0$ và do đó hàm số đồng biến trên $ (0; +\infty)$.
  - Nếu $ x_1, x_2 < 0$ thì $ T < 0$ suy ra hàm số nghịch biến trên $ (-\infty; 0)$.
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn. Ta có hàm số đã cho có tập xác định là $\mathcal{D}=\left[ -\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Các hàm số $y={{x}^{3}}$ và $y=\sqrt{2x+3}$ đều là các hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$ nên hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ là hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$.

Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1. $f(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x-3}$;
2. $g(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x+3}$.
2. Các ví dụ khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10

Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng $(1; +\infty)$
- $y = \frac{3}{x-1}$
- $y = x + \frac{1}{x}$
Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên tập xác định của nó:
- $y = \sqrt{3x-1}+\sqrt{x}$
- $y = x^3 +\sqrt{x}$
Bài 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra
- $f(x)=-2x^2-7$ trên khoảng $(-4,0)$ và trên khoảng $(3,10)$;
- $f(x)=\frac{x}{x-7}$ trên khoảng $(-\infty,7)$ và trên khoảng $(7,+\infty)$;
- $y=-3x+2$ trên $\mathbb{R}$;
- $y=x^2+10x+9$ trên khoảng $(-5,+\infty)$;
- $y=-\frac{1}{x+1}$ trên khoảng $(-3,-2)$ và $(2,3)$.
Bài 4. Xét tính đồng biến hay nghịch biến của các hàm số trên khoảng cho trước:
- $y=\sqrt{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$;
- $y=\frac{1}{x+2}$ trên $\left( -\infty ;-2 \right)$;
- $y={{x}^{2}}-3x$ trên $\left( 2;+\infty \right)$;
- $y={{x}^{3}}+2x-1$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$;
- $y={{x}^{3}}-3x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$;
- $y=\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Bài 5. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\frac{x}{x-2} $ trên tập xác định của nó.

Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\big| x+|2x-1|\big|$ trên tập xác định của nó.
15/10/2020
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Xem thêm:
- Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số
- Đề cương ôn tập Toán 10 Giữa kì 1 năm 2020
1. Hàm số chẵn hàm số lẻ là gì?

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathcal{D}. $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=-f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
Chú ý:
- Một tập $\mathcal{D}$ thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $ được gọi là một tập đối xứng.
- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng (ví dụ hàm số $y=x^2$ là hàm số chẵn); đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng (ví dụ hàm số $y=x$ là hàm số lẻ).
- Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
Đồ thị của một hàm số không chẵn không lẻ

2. Các ví dụ Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số được thực hiện qua 3 bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Kiểm tra
  - Nếu $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$ thì chuyển qua bước tiếp theo.
  - Nếu $ \exists x_0\in \mathbb{D} $ mà $ -x_0\not\in \mathbb{D}$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
3. Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$ để kết luận:
  - Nếu $f(-x) = f(x)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
  - Nếu $f(-x)=-f(x)$ thì kết luận hàm số là lẻ.
  - Nếu tồn tại một giá trị $ x_0\in \mathbb{D}$ mà $f(-x_0)\ne \pm f(x_0)$ thì kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = f(x) = x^3 + x$.

Lời giải.
- TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
- Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn)
- Với mọi $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -( x^3 + x)= -f(x).$$ Kết luận: Hàm số $y = f(x) = x^3 + x$ là hàm số lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = x^4 + 2$.

Lời giải.
- TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
- Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn).
- Với mọi $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^4+2 = x^4+2=f(x).$$ Suy ra, hàm sốđã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=\sqrt{x+1}+2$.

Lời giải.
- Điều kiện xác định: $$x+1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -1$$ Suy ra, TXĐ: $\mathcal{D}= [-1; +\infty)$$
- Tập $\mathcal{D} $ này không thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$. Thật vậy, xét số $x_0=5$ thuộc vào $\mathcal{D}$ nhưng $-x_0$ là $-5$ lại không thuộc $\mathcal{D}$.
- Kết luận: Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$.

Hướng dẫn.
- Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5]$.
- Với mọi $x \in [-5;5]$ ta có $-x \in [-5;5]$.
- Có $f(-x)=\sqrt{(-x)+5}+\sqrt{5-(-x)}=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=f(x)$.
- Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$.

Hướng dẫn.
- Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5)$.
- Với mọi $x \in [-5;5]$ thì ta không có $-x \in [-5;5]$. Thật vậy, xét một số $x_0=-5\in [-5;5)$ nhưng $-x_0=-(-5)=5$ lại không thuộc $[-5;5)$.
- Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
3. Bài tập Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Bài 1. Hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ, vì sao”
1. $ f(x)=x+\frac{1}{x}$
2. $ f(x)=\frac{1}{|x|+1}+x^2$
3. $ f(x)=\sqrt{x-3}+5$
4. $ f(x)=x^4+x^6+|x|$
5. $ f(x)=|x-2|$
Bài 2. Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
1. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
2. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
3. $f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}.$
4. $f\left( x \right)=\frac{x-5}{x-1}.$
5. $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
6. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}.$
7. $f(x)=\frac{\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|}{\left| 2x-1 \right|+\left| 2x+1 \right|}.$
8. $f(x)=\frac{\left| x+2 \right|+\left| x-2 \right|}{\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|}$
Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$$

Bài 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1}} $$

Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x+2} $$

Bài 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x} $$

Bài 7. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}} $$

Bài 8. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:
- Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
- Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Bài 9. Tìm $m$ để hàm số: $y=f\left( x \right)$ $=\frac{x\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.

Bài 10. Chứng minh rằng với hàm số $f(x)$ bất kỳ, $ f(x)$ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
15/10/2020
Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số
Tìm tập xác định của hàm số

Bài chi tiết về hàm số xin mời xem Khái niệm hàm số. Xem thêm các dạng toán lớp 10:
- Xét tính chẵn lẻ của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
1. Tập xác định của hàm số là gì?

Đối với một hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$ thì tập xác định (TXĐ) của hàm số là tập tất cả các giá trị của $x$ mà có thể tính được giá trị $y$ tương ứng, tức là tìm tập các giá trị của $x$ để biểu thức $f(x)$ có nghĩa (xác định).

Ví dụ, xét hàm số $y=\frac{1}{x-5}$. Số $5$ không thuộc tập xác định của hàm số vì khi ta thay $x=5$ vào biểu thức $\frac{1}{x-5}$ thì không tính được (biểu thức không xác định). Số $3$ thuộc tập xác định vì khi thay $x=3$ vào ta tính được kết quả là $y=-\frac{1}{2}$. Ngoài ra, đối với hàm số này chúng ta thấy có rất nhiều giá trị khác thuộc tập xác định, như $1,2,4,-1,-5…$. Nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm tất cả các giá trị này.

Để tìm TXĐ của hàm số $y=f(x)$ chúng ta đi tìm tập các giá trị của $x$ mà biểu thức $f(x)$ có nghĩa (xác định). Lưu ý rằng:
- $ \frac{A}{B} $ xác định khi $ B\ne 0,$
- $ \sqrt{A}$ xác định khi $ A\ge 0,$
- $ \frac{A}{\sqrt{B}} $ xác định khi $ B>0. $
- $AB \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ne 0\\B \ne 0\end{array} \right.$
Chú ý, cần viết tập xác định của hàm số dưới dạng khoảng đoạn.

2. Các ví dụ tìm tập xác định của hàm số

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $f(x)=\sqrt{x-3}$
2. $g(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$
3. $ h(x)= 2\sqrt{x-1}-\frac{3}{|x|-2}$
Hướng dẫn.
1. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ x-3 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 3$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=[3,+\infty) $.
2. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ x^2-4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm2$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{\pm 2\} $.
3. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x-1 \geqslant 0\\ |x|-2\ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
  x \geqslant 1\\ x\ne \pm 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geqslant 1\\ x\ne 2 \end{cases}$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=[1,2)\cup(2,+\infty) $.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số $$ f(x)= \sqrt{2x-3}+\frac{x+2}{\sqrt{3-x}}$$

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} 2x-3 \geqslant 0\\ 3-x >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geqslant \frac{3}{2}\\ x<3 \end{cases}$$ Kết luận. TXĐ $ \mathbb{D}=[\frac{3}{2},3) $.

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số $$ f(x)= \sqrt{x^2-2x+3}+\frac{1}{|x|+1}$$

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x^2-2x+3 \geqslant 0 \\ |x|+1 \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+2\geqslant 0 \\ |x|+1 \ne 0 \end{cases}$$ Các điều kiện này đều luôn luôn đúng với mọi số thực $x$ do đó, tập xác định của hàm số là $ \mathbb{D}=\mathbb{R} $.

Ví dụ 4. Tìm $ m $ để hàm số $ f(x)=\frac{2x}{x-m+1} $ xác định trên $ (0,2). $

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ x\ne m-1$$Do đó, muốn hàm số xác định trên $ (0,2) $ thì $ m-1$ không được nằm trong khoảng $ (0,2). $ Tức là $$ \left[\begin{array}{l} m-1 \leqslant 0\\ m-1 \geqslant 2 \end{array}\right. $$ Từ đó tìm được đáp số $ m\leqslant 1 $ hoặc $ m \geqslant 3. $

Ví dụ 5. Tìm $ m $ để hàm số $ f(x)= \sqrt{x-m+1}+\sqrt{2x-m} $ xác định với mọi $ x>0. $

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x -m+1\geqslant 0\\ 2x-m \geqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geqslant m-1\\ x \geqslant \frac{m}{2} \end{cases}$$Do đó, muốn hàm số xác định với mọi $ x>0$ thì $$ \begin{cases} m-1 \leqslant 0\\ \frac{m}{2} \leqslant 0 \end{cases} $$ Từ đó tìm được đáp số $ m \leqslant 0. $

Ví dụ 6. Cho hàm số $$ f(x)=\begin{cases} 2x-1 &\text{ khi } -2\le x<0\\ -x &\text{ khi } 0\le x<1 \\ -2x+1 &\text{ khi } 1\le x<3 \end{cases} $$ Tìm tập xác định của hàm số và tính $ f(0),f(-1),f(1),f(2). $

Hướng dẫn. Tập xác định của hàm số là $ \mathbb{D}=[-2;3). $

3. Bài tập tìm tập xác định của hàm số Toán 10

Bài 1. Một sớm mai đầy sương thu và gió lạnh, ông Phương đi taxi đến nhà một người bạn chơi, quãng đường đi là 6 km, giá tiền được tính phụ thuộc vào độ dài đường đi như sau:
- Từ 1 km đến 10 km giá 10.000 đ/km.
- Bắt đầu từ km thứ 10 trở đi có giá 8.000 đ/km.
Hỏi ông phải trả bao nhiêu tiền taxi. Đến buổi chiều, ông và người bạn này đi câu cá ở cách đó 23 km nữa. Hỏi hai người phải trả số tiền là bao nhiêu?

Bài 2. Cho hàm số $$y=f(x)=\begin{cases} \frac{2x-3}{x-1} &\text{ với } x\leqslant 0\\ -x^2+3x &\text{ với } x>0. \end{cases}$$ Tìm tập xác định của hàm số và tính giá trị của hàm số đó tại $x=5,x=-2,x=0,x=2$.

Bài 3. Cho hàm số $$y=g(x)=\begin{cases} \sqrt{-3x+8} &\text{ với } x<2 \\ \sqrt{x+7} &\text{ với } x\geqslant 2. \end{cases}$$ Tìm tập xác định của hàm số và tính giá trị của hàm số đó tại $x=-3,x=2,x=1,x=9$.

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $y=\frac{2x-3}{4x^2+5x-9}$
2. $y=\frac{2x+3}{x-3}+\sqrt{3x-7}$
3. $y=-x^3+3x-2$
4. $y=\frac{3+x}{x^2+2x-5}$
5. $y=\sqrt{4x+2}+\sqrt{-2x+1}$
6. $y=\frac{\sqrt{x+4}}{x^2+8x-20}$
7. $y=\frac{2x+3}{(2x-1)(x+3)}$
8. $y=\frac{x-2}{\sqrt{3x-6}}$
9. $y=\frac{1}{x^2-4}+\sqrt{x+2} $
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số:
1. $y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$
2. $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-1}$
3. $y=\sqrt{x-\sqrt{x+1}-1}$
4. $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-\sqrt{{{x}^{2}}+x}-6}$
5. $ y=\frac{\sqrt{x+1}}{x}+\frac{x}{\sqrt{2-x}} $
6. $ y=\frac{1}{x-1}+\sqrt{-x^2+5x} $
Bài 6. Tìm $ a $ để hàm số $ y=\frac{1}{\sqrt{x+a-2}+\sqrt{a+1-x}} $ xác định trên đoạn $ [-1,1]. $

Bài 7. Tìm $a$ để hàm số
1. $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-6x+a-2}$ xác định trên $\mathbb{R}$.
2. $y=\frac{3x+1}{{{x}^{2}}-2ax+4}$xác định trên $\mathbb{R}$.
3. $y=\sqrt{x-a}+\sqrt{2x-a-1}$ xác định trên $(0;+\infty)$.
4. $y=\sqrt{2x-3a+4}+\frac{x-a}{x+a-1}$ xác định trên $(0;+\infty)$.
5. $y=\frac{x+2a}{x-a+1}$ xác định trên $(-1;0)$.
6. $y=\frac{1}{\sqrt{x-a}}+\sqrt{-x+2a+6}$ xác định trên $(-1;0)$.
7. $y=\sqrt{2x+a+1}+\frac{1}{x-a}$ xác định trên $(1;+\infty)$.
Đáp số.

1. $a > 11$. 2. $–2 < a < 2$. 3. $a \le 1$. 4. $1\le a\le \frac{4}{3}$. 5. $a \le 0$ hoặc $a \ge 1$. 6. $–3 \le a \le –1$. 7. $–1 \le a \le 1$

Bài 8. Tìm $ m $ để hàm số $ y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1} $ xác định với mọi $ x>0. $

Hướng dẫn. Hàm số xác định khi $ \begin{cases} x-m\geqslant 0 \\2x-m+1\geqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\geqslant m\\ x\geqslant \frac{m-1}{2} \end{cases} $

Do đó, hàm số xác định với mọi $ x>0 \Leftrightarrow \begin{cases} m\leqslant 0\\ \frac{m-1}{2}\leqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leqslant 0 $.

Đáp số. $ m\leqslant 0 $

Bài 9. Tìm $ m $ để
1. Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+2m-1}+\sqrt{4-x}$ là $\left[ 1;4 \right]$.
2. Hàm số $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{x-3m+1}$ xác định trên $\left( 2;+\infty \right)$.
3. Hàm số $y=\sqrt{\frac{x-1}{2x-m}}$ xác định trên $\left( -\infty ;1 \right)$.
15/10/2020
Đề cương ôn tập Toán 10 Giữa kì 1 năm 2020
Đề cương ôn tập Toán 10 Giữa kì 1 năm 2020

1. Nội dung đề cương ôn tập toán 10 giữa kì 1
1. Mệnh đề toán học
2. Tập hợp và các phép toán tập hợp
3. Hàm số – Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai
4. Véc-tơ là gì? Khái niệm Vectơ
5. Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ
6. Phép nhân véc-tơ với một số thực
2. Bài tập đề cương ôn tập toán 10 giữa học kỳ I

Bài 1. Cho hai tập hợp $ A=\{n\in \mathbb{N} \mid n \leqslant 7\} $ và $ B=\{n\in \mathbb{Z} \mid \frac{1}{|n+2|}>\frac{1}{3}\} $. Viết lại hai tập $ A,B $ bằng cách liệt kê phần tử; và xác định các tập $ A\cup B, A\cap B, A\setminus B. $

Bài 2. Viết tập hợp $ A=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2-x-12)(x+3)=0\} $ bằng cách liệt kê các phần tử.

Bài 3. Cho hai tập hợp $ C=\{x\in \mathbb{R} \mid |x-1| \geqslant 2\} $ và $ D=\{x\in \mathbb{R} \mid -5<x \leqslant 6\} $. Viết lại hai tập $ C,D $ bằng kí hiệu khoảng đoạn; và xác định các tập $ C\cup D, C\cap D, C\setminus D. $

Bài 4. Cho các tập hợp $ A=[-3;1], B=[-5;5], C=(-5;+\infty) $. Cho biết tập hợp nào là tập con của tập khác trong các tập hợp đó. Xác định các tập hợp $ A\cap B, A\cap C, B\setminus C, C\setminus B, C_R A.$

Bài 5. Cho các tập hợp \begin{align}
M=&\{x\in \mathbb{R}\mid -6 \leqslant x \leqslant 10 \},\\
N=&\{x\in \mathbb{R}\mid 7 \leqslant x \leqslant 12 \},
P=&\{x\in \mathbb{R}\mid 2x+4>0\} $ và $ Q=\{x\in \mathbb{R}\mid -3x+1 >0 \}
\end{align}

Dùng các kí hiệu khoảng đoạn để viết lại các tập hợp trên. Biểu diễn các tập đã cho trên trục số. Xác định các tập $ M\cap N, M\cup N, M\cap P, Q\setminus P. $

Bài 6. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
1. $ f(x)=\sqrt{1-3x} $
2. $ f(x)=\frac{x+2}{x^2-1} $
3. $ f(x)=\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-3x} $
4. $ f(x)=\sqrt{x^2-3} $
5. $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} $
6. $f\left( x \right)=\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}$
7. $ f(x)=\frac{2x}{|x-1|-|x-2|} $
8. $f\left( x \right)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-1}$
9. $f\left( x \right)=\sqrt{x-\sqrt{x+1}-1}$
Bài 7. Tìm $ a $ để tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+2a-1}+\sqrt{4-x}$ là $D=\left[ 1;4 \right]$.

Bài 8. Tìm $ m $ để hàm số $\displaystyle y=\frac{2x}{x^2-mx+4}$ xác định với mọi số thực $ x. $
Đáp số. $ -4<m<4. $

Bài 9. Cho hàm số $y=\sqrt{4-x}+\sqrt{x}$. Tìm tập xác định của hàm số và chứng minh rằng $2\leqslant y\leqslant 2\sqrt{2}$.

Bài 10. Xét tính đồng biến hay nghịch biến của các hàm số trên khoảng cho trước:
1. $y=\sqrt{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$
2. $y=\frac{1}{x+2}$ trên $\left( -\infty ;-2 \right)$
3. $y={{x}^{2}}-3x$ trên $\left( 2;+\infty \right)$
4. $y={{x}^{3}}+2x-1$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
Bài 11. Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số sau:
1. $ f(x)=\frac{|x|}{x^2+1} $
2. $f(x)=\sqrt{3x+1}+\sqrt{1-3x}$
3. $ f(x)=\frac{x^2+2x}{x-3} $
Bài 12. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=-2x+4.$ Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số trên và hai trục tọa độ.

Bài 13. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=|-2x+4|$.

Bài 14. Cho hàm số $ y=-x^2+3x $ có đồ thị là parabol $ (P) $. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Lập phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của $ (P) $ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $ -\frac{5}{2}. $

Bài 15. Cho hàm số $ y=2x^2 -3x+1 $ có đồ thị là parabol $ (P) $. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $ (P). $ Dựa vào đồ thị $ (P) $, tìm $ x $ để $ y>0,y<0,y \geqslant 1. $ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập $ R; $ trên đoạn $ [-3;7]. $

Bài 16. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=x^2+2x-3 $. Từ đó vẽ đồ thị hàm số $ y=|x^2+2x-3|. $

Bài 17. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=-x^2-2x+3.$ Căn cứ vào đồ thị, tìm những giá trị của $ x $ sao cho $ y \leqslant -5. $ Vẽ đồ thị hàm số $ y=-|-x^2-2x+3| $, rồi lập bảng biến thiên của hàm số này.

Bài 18. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=2x+m $ cắt parabol $ (P):y=x^2-3x+5 $ tại hai điểm phân biệt.

Bài 19. Xác định parabol $ (P) $ biết nó có đỉnh là $ I(\frac{3}{2};-\frac{11}{4}) $ và đi qua điểm $ M(1;-3). $

Đáp số. $ y=-x^2+3x-5 $

Bài 20. Tìm phương trình của parabol $ (P) $ biết nó đi qua hai điểm $ A(2;4), B(5;31) $ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $ -5. $

Bài 21. Cho tứ giác $ ABCD $ có $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Gọi $ O $ là trung điểm của $ MN $.
1. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$
2. Chứng minh $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
3. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giá $ BCD $. Chứng minh $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$ và $ A, O, G $ thẳng hàng.
Bài 22. Cho tam giác $ ABC $, gọi $ D, E $ là các điểm thuộc đoạn $ AB, AC $ sao cho $ DA = DB, EC = 2EA $. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm $ DE, BC $.
1. Giả sử $\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ . Tìm $ x, y? $
2. Gọi $ G $ là điểm thỏa $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{BC}$ . Tính $\overrightarrow{DG}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ . Chứng minh $ D, E, G $ thẳng hàng.
3. Lấy điểm $ J $ thỏa $\overrightarrow{AJ}=k.\overrightarrow{AC}$ . Tính $\overrightarrow{MJ}$ theo $k,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ . Tìm k để $ J, M, N $ thẳng hàng.
Bài 23. Cho hình bình hành $ ABCD $, gọi $ M $ là điểm đối xứng của $ A $ qua $ D $, $ N $ thuộc đoạn $ CD $ sao cho $ NC = 3ND $. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}$.
1. Tính $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.
2. Đặt $\overrightarrow{BJ}=k.\overrightarrow{BD}$ . Tìm $ k $ để $ J, M, N $ thẳng hàng.
3. Tìm $ x, y, z $ để $x\overrightarrow{NA}+y\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$.
15/10/2020
Phép nhân véc-tơ với một số thực
Phép nhân véc-tơ với một số thực

1. Phép nhân véc-tơ với một số thực

1.1. Tích của véctơ với một số thực

Phép nhân véc-tơ $ \vec{a}$ với một số thực $k $ kết quả là một véc-tơ, kí hiệu là $ k\vec{a} $ thỏa mãn:
- Nếu $ k=0 $ thì $ k\vec{a}=\vec{0}. $
- Nếu $ k>0 $ thì $ k\vec{a} $ cùng hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=k|\vec{a}| $
- Nếu $ k<0 $ thì $ k\vec{a}$ ngược hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=-k|\vec{a}| $
Chú ý: Không có định nghĩa phép chia hai véc-tơ nên không được viết $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$.

1.2. Qui tắc trung điểm

Điểm $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.

Với điểm $ M $ tùy ý, $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} $.

2. Các dạng toán và ví dụ

2.1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ

Ví dụ 1. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ E,F $ là trung điểm của $ AB,CD $ và $ O $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng:
1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{EF}$
3. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$
Ví dụ 2. Chứng minh rằng $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ khi và chỉ khi:
1. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} =\vec{0} $
2. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG} $ với mọi điểm $ M. $
Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC. $ Lần lượt lấy các điểm $ M, N, P $ trên các đoạn $ AB,BC,CA $ sao cho $ AB=3AM,BC=3BN,AC=3CP. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $$

Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\
\overrightarrow{CP}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
\end{align*}
Cộng từng vế ba đẳng thức trên được $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}) $$

Mà theo quy tắc ba điểm thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \vec{0}$, nên đẳng thức trên tương đương với $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $

Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}. $$

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng:
1. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{CM} =2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
2. $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}$
Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5$cm và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng các véc-tơ sau có độ dài không đổi.
1. $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD} $
2. $\vec{v}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM} -2\overrightarrow{MD}$
Ví dụ 7. Cho tam giác $ ABC $ với $ G $ là trọng tâm. Gọi $ B’ $ đối xứng với $ B $ qua $ G,G’ $ đối xứng với $ G $ qua $ B $ và $ M $ là trung điểm $ BC. $ Chứng minh rằng:
1. $ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},$
2. $\overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}),$
3. $\overrightarrow{MB’}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
4. $ \overrightarrow{G’A}-5\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}=\vec{0}. $
Hướng dẫn.
1. Gọi $ N $ là trung điểm $ AC. $ Ta có
  $$ \overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB’}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}). $$
  Mà $ 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC},2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} $ nên
  $$ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}. $$
2. Tương tự có
  $$ \overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}).$$
3. Có $ \overrightarrow{MB’}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB’}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
4. Ta có $ \overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’C}=2\overrightarrow{G’N}=2(\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{BN})=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN} $
  Mà $ \overrightarrow{G’B}=\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN} \Rightarrow 5\overrightarrow{G’B}=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
2.2. Phân tích véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương cho trước

Để phân tích một véc-tơ $\vec{u}$ theo hai véc-tơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cho trước. (Biểu diễn một véc-tơ theo 2 vecto không cùng phương). Chúng ta sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành (xem bài Tổng hiệu của hai véc-tơ), quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm và định nghĩa tích của một vectơ với một số thực để tìm được một đẳng thức có dạng

$$\vec{u}=x \vec{a} + y \vec{b}$$

Chú ý rằng, cặp hệ số $x,y$ trong đẳng thức trên là duy nhất.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích véc-tơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\
&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}
\end{align*}

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $, gọi $ I $ là điểm trên $ BC $ kéo dài sao cho $ IB=3IC. $
1. Tính véc-tơ $ \overrightarrow{AI} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
2. Gọi $ J,K $ là những điểm trên cạnh $ AC,AB $ sao cho $ \overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC} $ và $ \overrightarrow{KB}=-3\overrightarrow{KA}. $ Tính $ \overrightarrow{JK} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}.$
3. Tính $ \overrightarrow{ BC} $ theo $ \overrightarrow{ AI} $ và $ \overrightarrow{ JK}. $
Hướng dẫn.
1. Có $ \overrightarrow{ IB}=3 \overrightarrow{ IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{ AB}-\overrightarrow{ AI}=3(\overrightarrow{ AC}-\overrightarrow{ AI}) \Leftrightarrow \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}.$
2. Chỉ ra $ \overrightarrow{ AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} $ và $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}. $ Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
3. Ta có $ \begin{cases} \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}\\ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6\overrightarrow{AI}=9 \overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\\12\overrightarrow{JK}=3\overrightarrow{AB}-8 \overrightarrow{AC}\end{cases}
  \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{AI}+12\overrightarrow{JK}\\ \overrightarrow{AC}=16\overrightarrow{AI}+36\overrightarrow{JK}\end{cases} $Trừ từng vế được $ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}. $
Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $ D,E,F $ lần lượt là chân đường phân giác trong kẻ từ $ A,B,C $. Hãy phân tích véc-tơ $ AD $ theo hai véc-tơ $ AB,AC. $ Chứng minh rằng nếu có $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}=\vec{0} $ thì tam giác $ABC$ đều.

2.3. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc-tơ cho trước

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L $ biết rằng
1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0}. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $
3. $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{BC}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}. $
Hướng dẫn.
1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}. $ Vậy $ I $ là điểm đối xứng của điểm $ A $ qua $ B. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $
3. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ thì $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}. $ Do đó $ \overrightarrow{GK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AL}=2 \overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. $
Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và một điểm $M$ thỏa mãn $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC} $$

Hướng dẫn. Ta có $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.$

Ví dụ 3. Cho hai điểm $ A,B $ và hai số $ \alpha,\beta $ thỏa mãn $ \alpha+\beta\ne0 $.
1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} $
2. Với $ M $ là điểm bất kì thì $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} $
Hướng dẫn.
1. Có $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{IA}+\beta (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$
  Do $ A,B $ cố định và hai số $ \alpha,\beta $ không đổi nên véc-tơ $ \frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB} $ không đổi.
  Vậy tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0}.$
2. Ta có $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} +\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}. $
Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Hãy tìm số $ k $ và điểm điểm $ I $ cố định sao cho các đẳng thức sao thỏa mãn với mọi điểm $M$.
1. $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=k\overrightarrow{MI} $
2. $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=k \overrightarrow{MI} $
3. $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=k \overrightarrow{MI} $
Hướng dẫn.
1. Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, thì $ \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3 \overrightarrow{MG}. $ Suy ra
  $$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=3( \overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{MD})=6\overrightarrow{MI} $$
  trong đó $I$ là trung điểm của $ GD. $
2. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}+2 \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}. $ Khi đó $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=3\overrightarrow{MI} $
3. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}. $
  Khi đó $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=…=2 \overrightarrow{MI} $
2.4. Chứng minh thẳng hàng. Tìm quỹ tích.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Từ giả thiết có $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $ nên \begin{align} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}&=2(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}&=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}. \end{align}
Mà $ 2\overrightarrow{AI}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} $ nên $ 3\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{AC}. $ Điều này chứng tỏ $ A,M,C $ thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm của $ BC. $ Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn
$$ |2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $$

Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} $ nên $ $|2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \Leftrightarrow |2\overrightarrow{MA}|=|2\overrightarrow{MI}| \Leftrightarrow MA=MI$$ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường trung trực của $ AI. $

Ví dụ 3. Tìm điểm $ C $ trên đoạn $ AB $ sao cho: $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi: $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $ Suy ra $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})=-\overrightarrow{MC}. $$ Vậy $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.

Ví dụ 4. Cho tứ giác $ABCD$ có hai điểm $ M,N $ thay đổi trên cạnh $AB,CD$ sao cho $ \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ MN? $

Hướng dẫn. Theo giả thiết có $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}. $ với $ 0\le k\le1. $

Gọi $ P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BD $ thì \begin{align*}
\overrightarrow{PI}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})\\
\overrightarrow{PQ}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})
\end{align*} Suy ra $ \overrightarrow{PI}=k\overrightarrow{PQ} $ hay $ P,I,Q $ thẳng hàng. Mà $ 0\le k\le1 $ nên $ I $ thuộc đoạn $ PQ. $
Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn $ MN $ là đoạn $ PQ. $

Ví dụ 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là một điểm di động trên cạnh $ BC. $ Kẻ $ MP,MQ $ lần lượt song song với $ AC,AB $ và cắt $ AB,AC $ tại $ P,Q. $ Dựng cách hình bình hành $ BMPR $ và $ CMQS. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ RS? $

Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
\overrightarrow{AR}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}\\
\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AM}
\end{align*} Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}. $$ Vì $ M $ thuộc đoạn $ BC $ nên $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+(1-k) \overrightarrow{AC} $ với $ k\in [0,1]. $ Do đó $ \overrightarrow{AI}=(1-k)\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}=(1-k)\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{AF} $ với $ E,F $ là trung điểm $ AB,AC. $
Suy ra $ I $ thuộc đoạn $ EF. $
16/09/2020
Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)
Phép cộng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

Phép cộng véc-tơ, phép trừ hai véc-tơ là những phép toán cơ bản, cùng với phép nhân véc-tơ với một số thực và tích vô hướng của hai véc-tơ.

Nguồn gốc sinh ra véc-tơ là để biểu diễn các lực trong Vật lý, khi đó có một vấn đề được đặt ra là bài toán tổng hợp lực. Bài học này sẽ giúp trả lời vấn đề trên.

Trước khi học bài này, các em học sinh cần nắm vững kiến thức Véc-tơ là gì?

1. Phép cộng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)

1.1. Phép cộng hai véc-tơ

Phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}+\vec{b}$ trong mặt phẳng.

Từ điểm $ O $ bất kì, dựng $ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b} $ thì véc-tơ $ \overrightarrow{OB}$ được gọi là tổng của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OB}. $

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các véc-tơ:
1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} $.
Hướng dẫn.
1. Lấy một điểm $O$ bất kì trong mặt phẳng. Lần lượt dựng các véc-tơ $ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$ thì ta có $$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$
2. Vẫn sử dụng điểm $O$ ở trên, ta dựng tiếp $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AC}$ thì ta có $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$
1.2. Quy tắc ba điểm

Chú ý rằng, định nghĩa trên hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn vị trí điểm $ O $. Do đó ta có thể chọn nó trùng với điểm đầu của một trong hai véc-tơ và việc dựng các véc-tơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AB}$ sẽ trở nên dễ dàng hơn. Chẳng hạn, chúng ta chọn $O$ trùng với điểm đầu của $\vec{a}$ thì $\overrightarrow{OA}$ chính là $\vec{a}$ nên ta chỉ cần dựng $\overrightarrow{AB}$.

Khi đó, chúng ta có quy tắc ba điểm quy tắc ba điểm như sau:

Cho véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ thì với một điểm $M$ tùy ý, ta luôn có $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}. $$

Tức là, để di chuyển một vật từ vị trí $ A $ đến vị trí $ B $, thay vì đi thẳng trực tiếp từ $ A $ tới $ B $, chúng ta có thể đi từ $ A $ tới một điểm $ M $ nào đó, rồi mới từ $ M $ tới $ B. $ Quy tắc này cũng có thể mở rộng ra cho $ n $ điểm.

Lưu ý, về mặt bản chất, phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$ là chúng ta thay thế (dựng) các véc-tơ đó bằng các véc-tơ lần lượt bằng $ \vec{a}, \vec{b}$. Nhưng các véc-tơ mới này có đặc điểm là chúng nối tiếp nhau (điểm đầu của véc-tơ này lại là điểm cuối của véc-tơ kia).

Hiển nhiên, nếu có $\vec{c}=\vec{b}$ thì $$\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}.$$

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ:
1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$,
3. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $
Hướng dẫn. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
1. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên suy ra $\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right| =\left| \overrightarrow{AC}\right| = AC=5\sqrt{2}$ cm.
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$, vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right| =0$.
3. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $ Dựng $\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{DC}$ thì $B$ là trung điểm $AE$. Khi đó, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$. Từ đó tìm được đáp số $10$ cm.
Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A, AB=a,AC=2a. $ Tính độ dài của véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{CB} $.

1.3. Quy tắc hình bình hành

Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành thì $$ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}. $$

Chứng minh. Theo quy tắc ba điểm, chúng ta có $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$ Mặt khác, vì $ ABCD $ là hình bình hành nên dễ dàng chỉ ra được $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, do đó $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

Ví dụ 4. Cho hai lực $ \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} $ đều có độ lớn 50N, điểm đặt tại $ O $ và hợp với nhau góc $ 60^\circ. $ Tính độ lớn lực tổng hợp của hai lực này.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OF} $ trong đó tứ giác $ OF_1FF_2 $ là hình thoi. Do đó $ |\overrightarrow{F}|=50\sqrt{3} $ N.

Ví dụ 5. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm là điểm $ O $. Hãy dựng và tính độ dài của các véc-tơ sau:
- $ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}. $
- $ \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}. $
- $ \vec{k}=\overrightarrow{AO} +\overrightarrow{DO} +\overrightarrow{CD}. $
Ví dụ 6. Cho bốn điểm $ A,B,C,D $, chứng minh rằng \[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

Hướng dẫn. Chúng ta biến đổi vế trái của đẳng thức trên

$$VT = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} } \right) = VP$$

Ví dụ 7. Cho năm điểm $ A,B,C,D,E $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} $$

Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} $$

Ví dụ 9. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}.$$

2. Phép trừ hai vecto (Hiệu của hai véc-tơ)

2.1. Véc-tơ đối

Hai véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véc-tơ đối của $ \vec{a} $ được lí hiệu là $ -\vec{a}. $

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra một số cặp véc-tơ đối nhau.

Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $$

2.2. Hiệu của hai véc-tơ

Hiệu của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $ là tổng của $ \vec{a} $ và véc-tơ đối của $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}-\vec{b} $.
$$ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).$$

Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $ AB=3,AD=4. $ Dựng và tính độ dài của véc-tơ
\[ \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CA} – \overrightarrow{AB}. \]

Ví dụ 4. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ a $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tính độ dài của các véc-tơ
$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}. $$

Ví dụ 5. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD} \]

Ví dụ 6. Cho tứ giác $ ABCD $ có $ O $ là trung điểm $ AB $. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]

Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ có $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC, CA, AB $ và $ O $ là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{CP} = \vec{0}. \]
\[ \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP}.\]

Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $. Chứng minh rằng
- $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FB}$.
- $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}$.
- $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{FE}=\vec{0}$.
Ví dụ 9. Cho tam giác $ ABC $. Hãy xác định điểm $ M $ sao cho:
- $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
- $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$.
- $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$.
Hướng dẫn.
- $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}$ hay $ BAMC $ là hình bình hành.
- $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$ hay $ M $ là điểm tuỳ ý.
- $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM}$ hay $ CBMA $ là hình bình hành.
Ví dụ 10. Cho hai điểm $ A $ và $ B $ phân biệt, có thể tìm được điểm $ M $ thoả mãn một trong các điều kiện sau hay không?
- $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{AB }}$.
- $\overrightarrow{{MA}}{-}\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{{BA}}$
- $\overrightarrow{{MA}}+\overrightarrow{{MB}}=\overrightarrow{0}$
14/09/2020
Véc-tơ là gì? Khái niệm Vecto
Véc-tơ là gì? Khái niệm Vector

Bài này giới thiệu khái niệm véc-tơ là gì, các véc-tơ cùng phương, vecto bằng nhau… Phần bài tập, mời các em tham khảo các bài viết sau:
1. Véc-tơ là gì?
- Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng, tức là chỉ rõ điểm nào là điểm đầu (gốc), điểm nào là điểm cuối (ngọn).
- Véc-tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.
- Một véc-tơ nói chung được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u},\vec{v},…$
- Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc-tơ không, kí hiệu là $\vec{0}$.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, hãy kể tên các véc-tơ có điểm đầu là $A$.

Ví dụ 2. Cho 4 điểm $ A, B, C, D$ phân biệt. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong bốn điểm đó.

2. Hai véc-tơ cùng phương
- Đường thẳng chứa một véc-tơ được gọi là giá của véc-tơ đó.
- Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Nếu hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Quy ước, véc-tơ $\vec{0}$ cùng phương với mọi véc-tơ.
Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BO}$.

Hướng dẫn.
- Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$.
- Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{BO}$ là $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{DO}$.
Ví dụ 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm là điểm $I$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$.

3. Độ dài của một véc-tơ
- Độ dài của một véc-tơ là khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối của véc-tơ đó. Độ dài của $\vec{a}$ kí hiệu là $|\vec{a}|$.
- Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ chính là độ dài đoạn thẳng $AB$.
- Độ dài của $\vec{0}$ đương nhiên bằng $0$.
Ví dụ 5. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh dài bằng $5 $ cm, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính độ dài của các véc-tơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AM}$.

Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các véc-tơ $AC$, $DC$, $OB$.

4. Hai véc-tơ bằng nhau
- Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
- Để xác định một véc-tơ, chúng ta cần biết một trong hai điều kiện sau:
  - Điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ.
  - Độ dài và hướng.
Ví dụ 7. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $

Ví dụ 8. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?

Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$.
- Hãy dựng điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
- Hãy dựng điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CB}$.
- Hãy dựng điểm $F$ sao cho $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}$.
Ví dụ 10. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.

Hướng dẫn. Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ nên suy ra hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ phải cùng phương (tất nhiên chúng phải cùng hướng nhưng ở đây ta chỉ cần sử dụng kết quả cùng phương là đủ). Do đó, hai đường thẳng $AB$ và $BC$ phải song song hoặc trùng nhau. Đương nhiên $AB$ và $BC$ có một điểm chung là $A$ nên không thể song song. Tức là hai đường thẳng $AB$ và $BC$ trùng nhau, hay ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

Ví dụ 11. Chứng minh rằng, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Hướng dẫn. Chúng ta cần chứng minh hai chiều thuận và đảo của bài toán này.
- Thuận. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì hiển nhiên chúng ta có hai kết quả sau:
  - $AB=CD$ hay chính là $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$,
  - Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Hơn nữa, ta còn thấy chúng cùng hướng.
Từ hai điều trên, ta có quyền kết luận $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
- Đảo. Nếu có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì suy ra:
  - $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, hay $AB=CD$,
  - Hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng. Nên hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song hoặc trùng nhau. Hiển nhiên $AB$ và $CD$ không thể trùng nhau, vì khi đó sẽ không tồn tại tứ giác $ABCD$, nên suy ra $AB$ và $CD$ song song.
Từ hai điều trên, chúng ta có quyền kết luận, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Ví dụ 12. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $

Ví dụ 13. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.

Ví dụ 14. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương?

Ví dụ 15. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm.

Hướng dẫn. Ta có $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm tương đương với $MA=4$ cm. Mà điểm $ A $ cố định nên suy ra tập hợp điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ 4$ cm.

Từ vec-tơ là từ nhập từ tiếng Pháp vào Việt Nam. Tiếng Pháp viết là vecteur, đọc là véc-tơ, tiếng Anh viết là vector và đọc cũng thành véc-tơ. Phần lớn các thứ tiếng phương Tây khác cũng viết và đọc từ này tương tự như vậy. Nó có gốc La-tinh, xuất phát từ động từ vehere (mang đi, đưa đi, cưỡi đi). Nghĩa gốc của từ vector chính là “vật/người chở đi, mang đi, cưỡi đi”. Động từ vehere còn sinh ra một từ quen thuộc khác, là từ vehicle (hay vehicule tiếng Pháp), chính là cỗ xe để chở đi.

Với gốc như vậy, từ vector trong mỗi lĩnh vực khác nhau có thể có một nghĩa khác nhau. Chẳng hạn trong sinh vật học, nó được dùng với nghĩa “vật truyền cái gì đó”. Ví dụ như các con muỗi được gọi là vector của bệnh sốt rét (malaria).

Trong hình học ngày nay, vec-tơ được hiểu là một đại lượng vừa có hướng vừa có độ lớn. Những đại lượng mà chỉ có độ lớn thôi chứ không có hướng, ví dụ như độ dài, thể tích, khối lượng, v.v., thì được gọi là những đại lượng vô hướng (scalars). Những đại lượng mà có cả hướng lẫn độ lớn, như là vận tốc, gia tốc, lực, từ trường, v.v. thì được biểu diễn bằng các vec-tơ.

Để vẽ một vec-tơ, người ta có thể vẽ một đoạn thẳng nối từ một điểm A nào đó đến một điểm B nào đó trên mặt phẳng hay trong không gian. Hướng đi từ A đến B chính là hướng của vec-tơ , và độ lớn (đô dài) của đoạn thẳng AB chính là độ lớn của vec-tơ. Khái niệm đoạn thẳng có hướng (tức là vec-tơ) như vậy được một nhà bác học người Italia tên là Giusto Bellavitis (1803-1880) đề xuất vào giữa thế kỷ 19 (khoảng năm 1846) dưới tên gọi “bipoint”.
12/09/2020