Category: Toán 10

Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị
Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

Sử dụng sự tương giao của đường tròn và đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chúng ta có thể dễ dàng Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số.

Xem thêm:
- Toán 10 – Mệnh đề toán học
- Toán 10 – Tập hợp và các phép toán tập hợp
1. Lý thuyết biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

Nhắc lại rằng, đối với hệ phương trình hai ẩn, hệ bất phương trình hai ẩn $ x,y$ thì mỗi nghiệm của nó là một cặp số $ (x;y)$ thỏa mãn hệ đã cho. Mỗi cặp số $ (x;y)$ này chính là tọa độ của một điểm ở trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$.
Để biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình đã cho, chúng ta biểu diễn các phương trình, bất phương trình của hệ bởi những đường thẳng, đường tròn hoặc miền mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng. Khi đó, số nghiệm của hệ phương trình, của hệ bất phương trình chính bằng số điểm chung của các đường thẳng và đường tròn này.
- Trong mặt phẳng $ Oxy$, phương trình đường thẳng có dạng tổng quát $$ ax+by+c=0 $$
- Phương trình đường tròn tâm $ I(a,b)$ bán kính $ R$ là $$ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 $$
- Khoảng cách từ điểm $ M(x_0;y_0)$ tới đường thẳng $ \Delta:ax+by+c=0$ là
  $$ d(M,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
- Vị trí tương đối của đường thẳng $ \Delta$ và đường tròn tâm $ I$, bán kính $ R$:
  - có một điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)=R$
  - có hai điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)<R$
  - có không điểm chung khi và chỉ khi $ d(I,\Delta)>R$
2. Các ví dụ Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

Bài 1: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {y^2} – 2x \le 2&(1)\\
x – y + a = 0&(2)
\end{array} \right.$$
Lời giải: Ta có bất phương trình (1) tương đương với $$ {(x – 1)^2} + {y^2} \le 3$$ Bất phương trình này biểu diễn hình tròn $ (C)$ có tâm $ I(1;0)$ bán kính $R=\sqrt 3 $ trên mặt phẳng tọa độ $ Oxy$. Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng $ \Delta:x-y+a=0$. Để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng phải tiếp xúc với đường tròn. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
\begin{align*}
d\left( {I,\Delta } \right) &= R\\
\Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 0 – a} \right|}}{{\sqrt 2 }}& = \sqrt 3
\end{align*}
Giải hệ này, tìm được đáp số $ a = – 1 – \sqrt 6 ;a = – 1 + \sqrt 6 $.

Bài 2: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + \sqrt {2xy + m} \ge m\\
x + y \le 1
\end{array} \right.$$

Lời giải: Hệ bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2xy + m} \ge 1 – \left( {x + y} \right)\\
x + y \le 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
2xy + m \ge {\left( {1 – \left( {x + y} \right)} \right)^2}\\
x + y \le 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{lr}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le m + 1&\left( 3 \right)\\
x + y \le 1&\left( 4 \right)
\end{array} \right.
\end{align*}
- Với $m+1 \le 0$ hay $m \le -1$ thì hệ vô nghiệm.
- Với $ m+1 > 0$ hay $ m>-1$, thì bất phương trình (3) biểu diễn hình tròn $ (C)$ có tâm $ I(1;1)$ và bán kính $R=\sqrt {m + 1} $ trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Bất phương trình (4) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $ x+y=1$. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng $ x+y=1$ tiếp xúc với đường tròn $ (C)$. Điều kiện cần và đủ là
  $$d(I,\Delta)=R \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {m + 1} \Leftrightarrow m = – \frac{1}{2}$$
Bài 3: Tìm $ a$ để hệ sau có nghiệm: $$\left\{ \begin{array}{l}
4x – 3y + 2 \ge 0\\
{x^2} + {y^2} = a
\end{array} \right.$$
Lời giải:
- Nếu $ a\le 0$ hệ vô nghiệm.
- Nếu $ a> 0$ thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn bởi bất phương trình $4x-3y+2 \le 0$ và đường tròn tâm $ O(0;0)$ bán kính $R=\sqrt a $. Do đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi $$\sqrt a \ge OH \Leftrightarrow a \ge \frac{4}{{25}},$$ trong đó, $ H$ là chân đường vuông góc hạ từ $ O$ xuống đường thẳng $ 4x-3y+2= 0$.
Bài 4: Cho hệ bất phương trình $$\left\{ \begin{array}{lr}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le 2&(5)\\
x – y + m = 0&(6)
\end{array} \right.$$
Xác định $ m$ để hệ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$.

Lời giải: Tập hợp các điểm $ (x;y)$ thỏa mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường tròn $${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2$$
Đường tròn này có tâm $ I(1;1)$ và bán kính $R = \sqrt 2 $. Tập hợp các điểm $ (x;y)$ thỏa mãn (6) là các điểm nằm trên đường thẳng $\Delta $ có phương trình $x-y+m=0.$
Gỉa sử điểm $A \in \Delta $ sao cho ${x_A} = 0$ thì tọa độ của $ A$ là $ (0;m)$; $B \in \Delta $ sao cho ${x_B} = 2$ thì $ B(2;2+m)$.

Hệ có nghiệm với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$ khi và chỉ khi đoạn thẳng $ AB$ nằm trong đường tròn $ (I;R)$. Lúc đó
$$\left\{ \begin{array}{l} IA \le R\\ IB \le R
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {0 – 1} \right)^2} + {\left( {m – 1} \right)^2} \le 2\\
{\left( {2 – 1} \right)^2} + {\left( {2 + m – 1} \right)^2} \le 2
\end{array} \right. $$
Giải hệ này tìm được $ m = 0$

Bài 5: Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {y^2} – x = 0&(7)\\
x + ay – a = 0&(8)
\end{array} \right.$$
Tìm $ a$ để hệ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải: Phương trình (7) tương đương với $$ {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$$
Đây là một đường tròn tâm $I\left( {\frac{1}{2};0} \right)$ bán kính $R=\frac{1}{2}$. Tập nghiệm của phương trình (8) là tọa độ những điểm nằm trên đường thẳng $ x+ay-a=0$. Họ đường thẳng này luôn di qua điểm $ A(0;1)$ cố định.
Nhận xét điểm $ A$ nằm ngoài đường tròn $ (I;R)$, nên từ $ A$ kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn $ (I;R)$.

Phương trình tiếp tuyến đó là: $ x=0$ và $x + \frac{4}{3}y – \frac{4}{3} = 0$.

Để hệ có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng $ x+ay-a=0$ phải cắt đường tròn (I;R) tại hai điểm phân biệt. Vậy đường thẳng $ x+ay-a=0$ phải nằm giữa hai tiếp tuyến trên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $0 <a < \frac{4}{3}$.

Bài 6: Tìm $ m$ để phương trình sau có nghiệm: $$\sqrt {1 – {x^2}} = m – x$$
Lời giải: Đặt $y = \sqrt {1 – {x^2}} $, điều kiện$y \ge 0$ thì phương tương đương với hệ bất phương trình
$$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {y^2} = 1&(2)\\
x + y – m = 0&(3)
\end{array} \right.$$
Gọi hai đường thẳng song song với đường thẳng $ d:x+y-m=0$ và tiếp xúc với đường tròn $ {x^2} + {y^2} = 1$ là $d_1, d_2$. Chúng ta viết được phương trình của chúng là $$ x+y-1=0,\, x+y+\sqrt{2}=0 $$

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng $ d$ phải nằm giữa hai đường thẳng $ d_1$ và $ d_2$. Điều kiện cần và đủ là
$ – 1 \le m \le \sqrt 2 $.

Bài 7: Tìm GTLN của hàm số: $$y = x + \sqrt {a – {x^2}} (a > 0)$$

Lời giải: Đặt $t = \sqrt {{a^2} – {x^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {t^2} = {a^2}$ và $ x+t-y=0$. Chúng ta cần tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm
$$\left\{ \begin{array}{lr}
{x^2} + {t^2} = {a^2}&(1)\\
x + t – y = 0&(2)
\end{array} \right.$$

Bài 8: Hãy biện luận số nghiệm của hệ sau theo $ m$. $$\left\{ \begin{array}{lr}
x + y = 4(1)&\\
{x^2} + {y^2} = {m^2}&(2)
\end{array} \right.$$

Lời giải.
- Nếu $ m=0$ thì hệ vô nghiệm.
- Nếu $m \ne 0$ thì số nghiệm của hệ chính bằng số giao điểm của đường tròn ${x^2} + {y^2} = {m^2}$ và đường thẳng $\Delta 😡 + y = 4$
  Điều kiện cần và đủ là $$ d(O,\Delta)= \frac{{\left| { – 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 $$
Vậy ta có:
- Nếu $\left| m \right| < 2\sqrt 2 $ hệ vô nghiệm.
- Nếu $m = \pm 2\sqrt 2 $ thì hệ có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2\\ y = 2 \end{array} \right.$
- Nếu $\left| m \right| > 2\sqrt 2 $ thì hệ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Tìm $ a$ để bất phương trình sau có nghiệm $$\sqrt {a – x} + \sqrt {x + a} > a(a > 0)$$
Lời giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \sqrt {a + x} \\
v = \sqrt {a – x}
\end{array} \right.$ với điều kiện $u,v \ge 0$. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
$$\left\{ \begin{array}{lr}
u + v > a&(1)\\
{u^2} + {v^2} = 2a&(2)
\end{array} \right.$$
Làm tương tự các bài toán trước, đáp số là $ 0 < a < 4$.
13/07/2020
Toán 10 – Tập hợp và các phép toán tập hợp
Tập hợp và các phép toán tập hợp

Bài này giới thiệt Lý thuyết tập hợp (tập hợp là gì, tập hợp con là gì) và các phép toán tập hợp (các phép toán hợp của hai tập hợp, giao của hai tập hợp, hiệu của hai tập hợp. Bài tập các em có thể tham khảo trong bài viết Bài tập Tập hợp Toán 10

1. Khái niệm tập hợp

Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Ta hiểu rằng, một tập hợp là một nhóm, một sự tụ tập các phần tử (đối tượng) có chung tính chất nào đó, như tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số thực, tập hợp các học sinh trong một lớp, tập các hình tứ giác, tập hợp các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh… Tập hợp thường kí hiệu bằng chữ cái in hoa. Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là $ \mathbb{N}, $ tập hợp các số thực kí hiệu là $ \mathbb{R}… $

Mỗi một tập hợp thì gồm có các phần tử, ví dụ tập hợp các số tự nhiên $ \mathbb{N} $ thì gồm có các phần tử: $ 1,2,3,4,… $ Ta thấy số 1 nằm trong tập $ \mathbb{N}, $ khi đó ta nói, “1 là một phần tử của tập $ \mathbb{N} $” hoặc “1 thuộc tập $ \mathbb{N} $” và viết là $ 1\in \mathbb{N}; $ nhưng số $ -2 $ không nằm trong $ \mathbb{N}, $ nên ta nói “$ -2 $ không thuộc $ \mathbb{N} $” hoặc “$ -2 $ không là phần tử của $ \mathbb{N} $” và viết là $ -2\notin \mathbb{N}. $

Tổng quát, để nói $ a $ là phần tử của tập hợp $ X $ ta viết $ a\in X$, $a $ không là phần tử của tập hợp $ X $ ta viết $ a\notin X.$

Các xác định một tập hợp, cách cho tập hợp

Tập hợp được hoàn toàn xác định bởi các phần tử của nó, mỗi phần tử chỉ được kể tên một lần, thứ tự các phần tử là không quan trọng, ví dụ $ \{1,2,3\} $ và $ \{3,1,2\} $ là cùng một tập hợp. Một tập hợp được hoàn toàn xác định nếu ta liệt kê được tất cả các phần tử của nó, hoặc mô tả được các phần tử của nó có đặc điểm, tính chất gì.
- Liệt kê các phần tử của tập hợp. Nếu ta biết rõ các phần tử của một tập hợp thì ta có thể liệt kê chúng, đặt trong cặp ngoặc nhọn. Chẳng hạn, tập hợp $ S $ các nghiệm của phương trình $ x^2-3x+2=0 $ là $ S=\{1;2\} $, tập hợp $ P $ gồm các ước dương của 12 là $ P=\{1;2;3;4;6;12\} $. Khi các phần tử của một tập hợp quá nhiều, ta không thể viết hết ra được thì có thể dùng dấu ba chấm, chẳng hạn, tập hợp $ A $ các số tự nhiên lẻ bé hơn 1000 là $ A=\{1;3;5;…;997;999\} $.
- Mô tả tính chất đặc trưng của tập hợp. Đôi khi, ta có thể viết một tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của nó, chẳng hạn tập hợp $ S $ các nghiệm của phương trình $ x^2-3x+2=0 $ có thể viết $ S=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2=0 $, tập hợp $ A $ các số tự nhiên lẻ bé hơn $1000$ là $ A=\{n\in \mathbb{N} \mid n=2k+1,k\in \mathbb{N},0\leqslant k\leqslant 448\}. $ Kí hiệu là “$ \mid $” đọc là “sao cho”, đôi khi còn được kí hiệu bằng dấu hai chấm.
Chú ý:
- Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, chúng ta không cần quan tâm đến thứ tự của chúng. Tập $A$ gồm ba phần tử $1,2,3$ có thể viết là $A=\{1,2,3\}$ hoặc $A=\{1,3,2\}$ đều được.\
- Mỗi một phần tử của tập hợp chỉ được liệt kê một lần.
Ví dụ 1. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó:
- $ A= \left\{x\in \mathbb{Z}, -3<x<2 \right\} $
- $ B= \left\{x\in \mathbb{Q}, x^3-3x=0 \right\} $
- $ C= \left\{x\in \mathbb{Z}, 4x^2-8x+3=0 \right\} $
Ví dụ 2. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của nó:
- $ A= \left\{2,3,5,7,11,13\right\} $
- $ B= \left\{0,5,10,15,20 \right\} $
- $ C= \left\{-\sqrt{5},-2,-\sqrt{3},-\sqrt{2},-1,0,1,\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5} \right\} $
- $ D= \left\{X,U,A,N,T,R,O,G,B \right\} $
Tập con của một tập hợp

Trong các tập hợp, có một tập hợp đặc biệt, nó không chứa phần tử nào cả, được gọi là tập rỗng, kí hiệu $ \varnothing. $ Chẳng hạn, tập hợp các nghiệm thực của phương trình $ x^2+1=0 $ là tập rỗng.

Tập $ A $ là tập con của $ B $, kí hiệu là $ A\subset B$ hoặc $ B\supset A $, khi và chỉ khi mọi phần tử của $ A $ đều là phần tử của $ B. $ \[ A\subset B \Leftrightarrow x\in B,\, \forall x\in A.\] Hiển nhiên, một tập hợp bất kì luôn là tập con của chính nó. Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Ví dụ 3. Cho tập $ E=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid \frac{3x+8}{x+1}\in \mathbb{Z} \right\} $
- Tìm tất cả các phần tử của $ E. $
- Tìm tất cả các tập con của $ E $ có ba phần tử.
- Tìm các tập con của $ E $ có chứa phần tử $ 0$, và không chứa các ước số của $ 12$.
Ta cũng có tính chất, nếu $ A\subset B $ và $ B\subset C $ thì suy ra $ A\subset C. $
Cho hai tập hợp $ A $ và $ B $. Nếu mỗi phần tử thuộc $ A $ đều thuộc $ B $ và ngược lại mỗi phần tử thuộc $ B $ đều thuộc $ A $ thì ta nói hai tập hợp $ A $ và $ B $ bằng nhau và kí hiệu $ A= B $.
\[ A=B \Leftrightarrow A \subset B \text{ và } B \subset A. \]
Để biểu diễn một tập hợp, ta có thể dùng biểu đồ Venn, là một đường khép kín. Ví dụ, hình vẽ sau mô tả tập $ A $ là tập con của tập $ B $.

2. Các phép toán trên tập hợp

Cho hai tập hợp $ A $ và $ B $, chúng ta có các phép toán sau:
- Hợp hai tập hợp: $ A\cup B= \left\{x\mid x\in A \text{ hoặc } x\in B \right\} $.
- Giao hai tập hợp: $ A\cap B= \left\{x\mid x\in A \text{ và } x\in B \right\} $.
- Hiệu hai tập hợp: $ A\setminus B= \left\{x\mid x\in A \text{ và } x\notin B \right\}. $
- Nếu $ A\subset E $ thì $ C_EA=E\setminus A= \left\{x\mid x\in E \text{ và } x\notin A \right\}$ được gọi là phần bù của $ A $ trong $ E. $
Hiểu một cách đơn giản, giao của hai tập hợp là lấy phần chung nhau của hai tập đó. Hợp của hai tập hợp là lấy tất cả các phần tử của cả hai tập.

Ví dụ 4. Cho hai tập hợp $ A=\left\{ 1;2;3;4;5;6;7\right\} $ và $ B=\left\{1;3;5;7;9;11\right\} $. Hãy xác định các tập hợp
$$ A\cup B,\quad B\cup A,\quad A\cap B,\quad B\cap A,\quad A\setminus B,\quad B\setminus A. $$

Ví dụ 5. Cho ba tập hợp $ A=\left\{a, b,c,d,e,f,g \right\}, B=\left\{a,d,e,h,i,j\right\} $ và $ C=\left\{e,m,y,u,a,n,h\right\} $. Hãy xác định các tập hợp \[ A\cup B\cup C,\quad A\cap B\cap C \]

Ví dụ 6. Cho tập $ A=\left\{1,2,3,4,5,6 \right\}$, $B=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\leqslant x\leqslant 2 \right\}$, $C=\left\{x\in \mathbb{R}\mid 2x^2-3x=0 \right\}. $
- Liệt kê các phần tử của tập hợp $ B,C. $
- Xác định các tập hợp $ A\cap B, B\cap C,C\cap A.$
- Xác định các tập hợp $ A\cup B, B\cup C,C\cup A, A\cup B\cup C. $
- Xác định các tập hợp $ A\setminus B, B\setminus C, A \setminus C.$
Ví dụ 7. Các học sinh của một lớp gồm 40 học sinh tham gia thi đấu các môn thể thao. Có 21 học sinh thi đấu môn bóng chuyền, 17 học sinh thi bóng chuyền. Trong đó có 5 học sinh thi đấu cả hai môn bóng đá và bóng chuyền. Các em còn lại thi cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em thi cầu lông?

Hướng dẫn. Số học sinh chỉ thi đấu bóng đá là $ 21-5=16 $ em. Số học sinh chỉ thi đấu bóng chuyền là $ 17-5= 12$ em. Vậy số học sinh thi cầu lông là $ 40-16-12-5=7 $ em.

Có thể sử dụng biểu đồ Venn để làm.
03/07/2020
Toán 10 – Mệnh đề toán học
Toán 10 – Mệnh đề toán học

Bài này giới thiệu Lý thuyết và các ví dụ về Mệnh đề toán học trong chương trình Toán 10. Phần bài tập, mời các em tham khảo tại bài viết Bài tập Mệnh đề toán học.

1. Khái niệm mệnh đề

Trong thực tế cuộc sống, ta thường gặp các phát biểu [khẳng định] về một sự kiện, hiện tượng, tính chất nào đó, mà tính đúng — sai rất rõ ràng, chẳng hạn: “Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau”, “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”, “Số $ \pi $ là số vô tỉ”…

Những khẳng định này có một đặc điểm chung, đó là tính đúng — sai hoàn toàn xác định, chúng ta có thể biết được khẳng định đó hoặc là đúng, hoặc là sai, mà không phụ thuộc vào ý kiến chủ quan của người phát biểu. Người ta gọi đó là những mệnh đề toán học hoặc mệnh đề logic hay gọi tắt là mệnh đề, và định nghĩa như sau:

Mệnh đề là một câu khẳng định [phát biểu] đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa, chẳng hạn

$ P $: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”.

Một khẳng định đúng được gọi là một mệnh đề đúng, một khẳng định sai được gọi là một mệnh đề sai. Ví dụ, “Số $ \pi $ là số vô tỉ” là một mệnh đề đúng, còn “Phương trình $ x^2+1=0 $ có nghiệm” là một mệnh đề sai.

Các câu mệnh lệnh, câu hỏi không có tính đúng sai, còn câu cảm thán thì tính đúng sai còn phụ thuộc vào ý kiến chủ quan của từng cá nhân, nên chúng không là các mệnh đề. Chẳng hạn, phát biểu “Trời mưa ở Nam Định vào ngày 01/4/2021” là một mệnh đề, trong khi “Có phải hôm nay trời mưa?” hoặc “Trời mưa to quá!” không phải là mệnh đề.

Ngoài ra còn có các khẳng định mà không thể xác định được tính đúng sai, mời bạn xem tại bài Một số phát biểu không phải mệnh đề.

Ví dụ 1. Các khẳng định sau có là mệnh đề không? Nếu có, thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai.
- $ A: $ “12 là số nguyên tố.”
- $ B: $ “$ \pi $ không là số hữu tỉ.”
- $ C: $ “Cấm hút thuốc lá!”
- $ D: $ “Bài tập này khó quá!”
- $ E: $ “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau.”
- $ F: $ “Một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác đó cân và có một góc bằng $ 60^\circ$.”
- $ G: $ “Tổng các góc trong một tam giác bằng $ 360^\circ. $”
2. Mệnh đề phủ định

Khi làm việc với các mệnh đề, chúng ta rất hay gặp các cặp mệnh đề mà tính đúng — sai của chúng trái ngược nhau, chẳng hạn, xét mệnh đề $ P: $ “Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau.” thì phát biểu “Hình thoi không có bốn cạnh bằng nhau.” hoặc “Không phải hình thoi có bốn cạnh bằng nhau”. Chúng được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề $ P $, vì mệnh đề $ P $ đúng nên mệnh đề phủ định của nó sai.

Mệnh đề “Không phải $ P $” là mệnh đề phủ định của mệnh đề $ P, $ kí hiệu $ \overline{P}. $ Nếu $ P $ đúng thì $ \overline{P} $ sai và ngược lại.

Để tạo ra mệnh đề phủ định từ một mệnh đề cho trước, chúng ta chỉ việc thêm vào trước mệnh đề đã cho cụm từ “không phải”, hoặc ta tìm những từ ngữ trái nghĩa để phát biểu. Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định mệnh:
- $ P: $ “Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau.”
- $ Q: $ “Phương trình $ x^4+1=0 $ vô nghiệm.”
- $ R: $ “$\sqrt{2}>\frac{3}{2}$.”
- $ S: $ “$(\sqrt{2}-\sqrt{18})^2>8$.”
- $ T: $ “Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.”
- $ U: $ “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.”
Xem thêm Cách lập mệnh đề phủ định

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương

Khi chứng minh một bài toán, hầu hết các mệnh đề chúng ta sử dụng có dạng “Nếu — thì”, chúng được gọi là các mệnh đề kéo theo.

Cho hai mệnh đề $P$ và $ Q $, mệnh đề “Nếu $ P $ thì $ Q $” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là “$ P\Rightarrow Q$”.

Tính đúng — sai của mệnh đề kéo theo được xác định như sau, mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” sai khi $ P $ đúng, $ Q $ sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Chẳng hạn,
- Nếu $ P $ là “25 là một số chính phương”, và $ Q $ là “25 là một hợp số”, thì mệnh đề $ P\Rightarrow
  Q $ là đúng vì cả $ P $ và $ Q $ đều đúng.
- Nếu $ P $ là “25 là một số chính phương”, và $ Q $ là “25 là một số nguyên tố”, thì mệnh đề $ P\Rightarrow
  Q $ là sai vì $ P $ đúng còn $ Q $ đều sai.
- Nếu $ P $ là “25 là một số nguyên tố”, và $ Q $ là “25 là một số chẵn”, thì mệnh đề $ P\Rightarrow
  Q $ là đúng vì cả $ P $ và $ Q $ đều sai. Hơn nữa, nếu mệnh đề $ P $ sai thì mệnh đề $ P\Rightarrow Q$ luôn luôn đúng.
Chúng ta xét hai mệnh đề sau, $ P $: “Hai tam giác bằng nhau” và $ Q $: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau”.

Khi đó, mệnh đề “$ P \Rightarrow Q$” là: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác có diện tích bằng nhau”.

Ta thấy, nếu có $ P $, tức là nếu có điều kiện “hai tam giác bằng nhau” thì đủ để suy ra chúng có diện tích bằng nhau, tức là suy ra $ Q $; còn nếu có diện tích bằng nhau thì chưa đủ để suy ra chúng bằng nhau. Nói là chưa đủ tức là cần phải có thêm một số điều kiện nữa, chẳng hạn chúng phải đồng dạng, mới đủ để suy ra chúng bằng nhau. Nhưng nếu không có điều kiện diện tích bằng nhau thì không thể có chuyện chúng bằng nhau được, tức là có diện tích bằng nhau là điều kiện cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra chúng bằng nhau.

Trong trường hợp tổng quát, $ P $ gọi là giả thiết, $ Q $ gọi là kết luận, hoặc:
- $ P $ là điều kiện đủ để có $ Q,$
- $ Q$ là điều kiện cần để có $ P. $
Để hiểu rõ hơn về điều kiện cần, điều kiện đủ mời các em xem trong bài Điều kiện cần và đủ là gì?

Cho mệnh đề “$ P\Rightarrow Q$”. Mệnh đề “$ Q\Rightarrow P $” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề “$ P\Rightarrow Q $”.

Ví dụ 3. Phát biểu mệnh đề đảo của các định lí sau, xét xem chúng đúng hay sai.

A: “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì là hình thoi.”
B: “Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông”

Cho hai mệnh đề $P$ và $ Q $. Mệnh đề “$ P $ nếu và chỉ nếu $ Q $” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là “$ P\Leftrightarrow Q $”. Mệnh đề “$ P\Leftrightarrow Q $” đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề $ P $ và $ Q $ đều đúng hoặc đều sai.
Khi đó, chúng ta nói rằng “$ P $ là điều kiện cần và đủ để có $ Q$”.

Ví dụ 4. Lập mệnh đề đảo của các định lí sau và cho biết các mệnh đề này đúng hay sai. Sử dụng mệnh đề tương đương, nếu được.
- “Nếu tứ giác là hình vuông thì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau”.
- “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác ấy đồng dạng và có một cạnh bằng nhau”.
- “Nếu hai số nguyên lẻ thì tích của chúng là số lẻ”.
Hướng dẫn.
- Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác là hình vuông”. Mệnh đề này sai vì hình thoi cũng có 4 cạnh bằng nhau nhưng không phải là hình vuông.
- Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu hai tam giác đồng dạng và có một cạnh bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau”. Mệnh đề này sai vì hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $ có các cạnh tương ứng là 3, 4,6 và 6, 8, 12 thì đồng dạng và có một cạnh bằng nhau là 6 nhưng không bằng nhau.
- Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu tích của hai số nguyên là lẻ thì hai số nguyên là lẻ”. Mệnh đề này đúng, do đó có thể phát biểu: “Hai số nguyên là lẻ khi và chỉ khi tích của chúng là số lẻ”.
Phương pháp chứng minh phản chứng

Một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các mệnh đề dạng “$ A\Rightarrow B $” là phương pháp phản chứng. Cụ thể, để chứng minh mệnh đề “$ A\Rightarrow B $” là đúng ta chứng minh mệnh đề “$ \overline{B}\Rightarrow \overline{A} $” đúng.

Ví dụ 5. Chứng minh nếu tích hai số nguyên $ a $ và $ b $ là lẻ thì $ a $ và $ b $ đều là số lẻ.

Hướng dẫn. Giả sử ngược lại, không phải $ a $ và $ b $ đều lẻ, tức là $ a $ chẵn hoặc $ b $ chẵn. Khi đó $ ab $ chẵn, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nếu tích hai số nguyên $ a $ và $ b $ là lẻ thì $ a $ và $ b $ là lẻ.

Ví dụ 6. Cho $ a,b,c $ là ba số thực bất kì, chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
$$ a^2+b^2\geqslant 2bc ,\quad b^2+c^2\geqslant 2ca,\quad c^2+a^2\geqslant 2ab $$

Hướng dẫn. Giả sử ngược lại, cả ba bất đẳng thức đều sai, tức là “$ a^2+b^2<2bc $”, “$ b^2+c^2<2ca $”, “$ c^2+a^2< 2ab $”. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên đươc \[ a^2+b^2+c^2<2bc+2ca+2ab. \] Suy ra $ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2<0, $ điều này là vô lý. Vậy điều ta giả sử là sai, tức là có ít nhất một trong ba bất đẳng thức đã cho là đúng.

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng cho sáu điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là ba đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được tô cùng một màu.

Hướng dẫn. Xét $ A $ là một trong số sáu điểm đã cho. Khi đó xét năm đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm $ A $ với năm điểm còn lại). Vì mỗi đoạn thẳng chỉ được tô hoặc màu đỏ hoặc màu xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử là các đoạn $ AB_1, AB_2, AB_3 $ và có thể cho rằng chúng cùng màu xanh. Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:
- Nếu ít nhất một trong ba đoạn $ B_1B_2, B_2B_3, B_3B_1 $ màu xanh thì tồn tại một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này.
- Nếu không phải như vậy, tức là $ B_1B_2, B_2B_3, B_3B_1 $ màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là $ B_1, B_2, B_3, $ vì $ B_1B_2B_3 $ là tam giác với ba cạnh đỏ.
3. Mệnh đề chứa biến

Xét phát biểu: $$ x+2>0 $$ đây không phải là một mệnh đề, vì chúng ta chưa biết được tính đúng — sai của nó, tuy nhiên khi ta cho $ x $ một giá trị cụ thể nào đó, thì ta được một mệnh đề, chẳng hạn khi ta cho $ x=-2 $ thì được một mệnh đề sai “$ -2+2>0$”, còn khi cho $ x=1 $ ta lại được một mệnh đề đúng “$ 1+2>0 $”.

Những phát biểu có dạng như phát biểu trên được gọi là các mệnh đề chứa biến.

Những phát biểu mà tính đúng — sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được gọi là những mệnh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến $ P(x) $ là một phát biểu chứa biến $ x, $ mà với mỗi giá trị của biến $ x $ thì ta được một mệnh đề.

Ví dụ 8. Tìm $ x $ để các mệnh đề sau là đúng.
- “$ x $ là số tự nhiên nhỏ hơn 15 và chia hết cho 3”
- “$ 2x^2-5x+2=0 $”
- “$ x $ là số dương thỏa mãn $ (x-2)^2>x^2+13 $”
- “$ x $ không thỏa mãn phương trình $ (2x-5)(x+6)=0 $”
Cho mệnh đề chứa biến $ P(x) $ với $ x\in \mathbb{D} $ thì phát biểu:
- “Với mọi $ x\in \mathbb{D}, P(x) $ đúng” là một mệnh đề, kí hiệu là “$ \forall x\in \mathbb{D},P(x) $”. Mệnh đề này sai nếu có ít nhất một $ x_0\in \mathbb{D} $ sao cho $ P(x_0) $ sai.
- “Tồn tại $ x\in \mathbb{D}, P(x) $ đúng” là một mệnh đề, kí hiệu là “$ \exists x\in \mathbb{D},P(x) $”. Mệnh đề này đúng nếu có ít nhất một $ x_0\in \mathbb{D} $ sao cho $ P(x_0) $ đúng.
Để lập mệnh đề phủ định của hai mệnh đề trên, ta hãy xem xét một mệnh đề cụ thể sau

“Mọi học sinh lớp 10A5 cao trên $ 1{,}6 $ m.”

Mệnh đề này đúng hay sai? Mệnh đề phủ định của nó là gì? Mệnh đề phủ định là “Không phải mọi học sinh lớp 10A5 cao trên 1,6m”. Điều đó nghĩa là gì? Nghĩa là “Có ít nhất một học sinh lớp 10A5 không cao trên 1,6m”. Nói cách khác, tức là “Tồn tại học sinh lớp 10A5 không cao trên 1,6m”. Từ đó, ta có kết luận trong trường hợp tổng quát như sau:

Mệnh đề phủ định của “$ \forall x\in \mathbb{D},P(x) $” là “$ \exists x\in \mathbb{D},\overline{P(x)}$”.
Mệnh đề phủ định của “$ \exists x\in \mathbb{D},P(x) $” là “$ \forall x\in \mathbb{D},\overline{P(x)}. $”

Mời thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm trong bài Cách lập mệnh đề phủ định.

Ví dụ 9. Các mệnh đề sau đúng hay sai và phủ định các mệnh đề ấy:
- “$ \forall x, x^2+x+1>0 $”
- “$ \forall x, x^2\geqslant x $”
- “$ \forall x, x^2-3x+2=0 $”
- “$ \exists x, x^3-4x^2+3x-3>0 $”
- “$ \exists x,x^2+4x+5=0 $”
- “$ \forall n\in \mathbb{N}, (2n+1)^2-1 $ chia hết cho 4”
03/07/2020
Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ
Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ Phương pháp đặt ẩn phụ giải PT, bất phương trình chứa căn

Để giải phương trình chứa căn (phương trình vô tỉ) thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những cách hiệu quả để đưa một phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn phức tạp về các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn cơ bản.

Các phương pháp giải PT, BPT chứa căn khác là:
1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến) giải phương trình, bất phương trình vô tỉ gồm có 4 dạng:
- Đưa về phương trình một ẩn.
- Đưa về phương trình đẳng cấp (phương trình thuần nhất).
- Đưa về phương trình tích (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn).
- Đưa về hệ phương trình.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới

Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+9}+\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}=7$$ Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}$, điều kiện $t \ge 0$ ta thu được phương trình \[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{\sqrt {{t^2} + 7} + t = 7}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
7 – t \ge 0\\
{t^2} + 7 = {(7 – t)^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
t \le 7\\
{t^2} + 7 = 49 – 14t + {t^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{t = 3}
\end{array}\] Với $ t=3, $ ta có phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 2x + 2} = 3\]Bình phương hai vế phương trình này, tìm được nghiệm $ x=\frac{{1 \pm\sqrt {22} }}{3}.$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $$\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$$ Hướng dẫn. Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với \[ {{x}^{2}}+5x+4<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28} \] Lúc này đã thấy xuất hiện một biểu thức phức tạp và xuất hiện nhiều lần. Do đó, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$ điều kiện $ t\ge0 $ thì thu được bất phương trình \[ {{t}^{2}}-5t+24<0 \] Giải bất phương trình này được $-3<t<8$. Kết hợp điều kiện được $0<t<8$, do đó có $$\sqrt {{x^2} + 5x + 28} < 8 $$ Giải bất phương trình này tìm được $ – 9 < x < 4. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}+\sqrt{(x+2)(5-x)}=4$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-2\le x\le 5$. Đặt $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}$ điều kiện $ t\ge0. $ Suy ra \[ {{t}^{2}}=7+2\sqrt{x+2}\sqrt{5-x}=7+2\sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)} \] Do đó $ \sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)}=\dfrac{{{t}^{2}}-7}{2} $ và ta thu được phương trình \[ t + \frac{{{t^2} – 7}}{2} = 4 \] Giải phương trình bậc hai này tìm được $ t=3 $. Suy ra, ta có phương trình \[{\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 – x} = 3}\] Hai vế của phương trình này đều không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình tương đương \[\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{7 + 2\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 9}\\
\Leftrightarrow &{\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 1}
\end{array}\]Tiếp tục bình phương hai vế phương trình cuối cùng này ta tìm được đáp số $x={\frac{{3 \pm3\sqrt 5 }}{2}}$

Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=2$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 1$. Nhận xét: $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$ nên đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ thì phương trình đã cho trở thành $$t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t=1$$ Với $t=1$, chúng ta có phương trình $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$. Bình phương hai vế phương trình này ta tìm được đáp số cuối cùng $x=1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình: $$2{{x}^{2}}-6x-1=\sqrt{4x+5}$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\ge -\frac{4}{5}$. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{4x+5}$ điều kiện $ t\ge 0 $ thì $x=\frac{{{t}^{2}}-5}{4}$. Thay vào ta có phương trình: \begin{align*}
& 2.\frac{{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+25}{16}-\frac{6}{4}({{t}^{2}}-5)-1=t\\
\Leftrightarrow\;& {{t}^{4}}-22{{t}^{2}}-8t+27=0\\
\Leftrightarrow\;& ({{t}^{2}}+2t-7)({{t}^{2}}-2t-11)=0
\end{align*} Ta tìm được bốn nghiệm là: ${{t}_{1,2}}=-1\pm 2\sqrt{2}$, ${{t}_{3,4}}=1\pm 2\sqrt{3}$. Kết hợp điều kiện được ${{t}_{1}}=-1+2\sqrt{2},{{t}_{3}}=1+2\sqrt{3}$. Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là $x=1-\sqrt{2}$ và $x=2+\sqrt{3}$.

Ví dụ 6. Giải phương trình $$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $1\le x\le 6$. Đặt $y=\sqrt{x-1}$ điều kiện $y\ge 0$ thì phương trình trở thành: $${{y}^{2}}+\sqrt{y+5}=5\Leftrightarrow {{y}^{4}}-10{{y}^{2}}-y+20=0$$ Với $y\le \sqrt{5}$ thì phương trình tương đương với $$({{y}^{2}}+y-4)({{y}^{2}}-y-5)=0\Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{21}}{2},y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$ Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=\frac{11-\sqrt{17}}{2}$.

Ví dụ 7. [THTT 3-2005] Giải phương trình $$x=\left( 2004+\sqrt{x} \right){{\left( 1-\sqrt{1-\sqrt{x}} \right)}^{2}}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $0\le x\le 1$. Đặt $y=\sqrt{1-\sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành $$2{{\left( 1-y \right)}^{2}}\left( {{y}^{2}}+y-1002 \right)=0\Leftrightarrow y=1$$ Từ đó tìm được nghiệm $ x=0. $

Ví dụ 8. Giải phương trình sau: $${{x}^{2}}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-1\le x<0$. Chia cả hai vế cho $ x $ ta được phương trình $$x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}$$ Đặt $t=x-\frac{1}{x}$. Đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5} }{2}.$

Ví dụ 9. Giải phương trình $${{x}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}=2x+1$$ Hướng dẫn. Nhận xét $x=0$ không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho $ x $ ta được: $$\left( x-\frac{1}{x} \right)+\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=2$$ Đặt $t=\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}$ thu được phương trình $${{t}^{3}}+t-2=0$$ Giải phương trình này, tìm được $t=1$. Từ đó tìm được đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.

Ví dụ 10. Giải bất phương trình \[ \frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1 \] Hướng dẫn. Biến đổi bất phương trình đã cho thành \begin{align*}
&\frac{1}{1-x^2}-1>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-2 \\
\Leftrightarrow\;& \frac{x^2}{1-x^2}>3\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-2
\end{align*} Đặt $ t= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \[{{t^2} > 3t – 2}\]

Ví dụ 11. Tìm $ m $ để phương trình sau có nghiệm: $$ x(x-1)+4(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}=m $$ Hướng dẫn. Đặt $t=(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}$ thì $t\in \mathbb{R}$. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ${{t}^{2}}+4t-m=0$ có nghiệm. Điều kiện cần và đủ là \[ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow m\ge -4 \] Vậy với $ m\ge -4 $ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $ m $ để bất phương trình $$ m\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1 \right)+x(2-x)\le 0 $$ có nghiệm $x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]$.

Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}$ thì $x\in [0;1+\sqrt{3}] $ nên $ t\in[1;2]. $ Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với $$ m\le \frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}\,\,\,\,(*)$$ Xét hàm số $f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}$ trên $ [1,2] $ có $$f'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t+2}{{{(t+1)}^{2}}}>0$$ nên hàm số $ f(t) $ đồng biến trên đoạn $ [1,2]$

Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm $x\in \left[ 0;\,\,1+\sqrt{3} \right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $(*)$ có nghiệm $t\in [1,2]$ khi và chỉ khi $$m\le\underset{t\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max f(t)}}=f(2)=\frac{2}{3}$$ Vậy các giá trị cần tìm là $m\le\frac{2}{3}.$

3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất

Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc hai hai ẩn $ x,y $ là phương trình có dạng $$ ax^2+bxy+cy^2=0 $$ Cách giải. Chúng ta có hai cách để xử lý phương trình thuần nhất bậc hai này:
- Nếu $y=0$ thì $x=0$. Nếu $y\ne0$ ta chia cả hai vế cho $y^{2}$ và đặt $t=\frac{x}{y}$ được phương trình bậc hai $$at^{2}+bt+c=0$$
- Nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm $M,N$ thì ta phân tích ngay phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
  \,\,\,\,\,\,\,a{x^2} + bxy + c{y^2} = 0\\
  \Leftrightarrow a(x – My)(x – Ny)
  \end{array}\] mà không cần phải đặt $t=\frac{x}{y}$.
Ví dụ 1. [Vào 10 Trần Phú – Hải Phòng] Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x^3+1\ge0 \Leftrightarrow x\ge -1. $ Ta có $ x^3=1=(x+1)(x^2-x+1) $ mà $ (x+1)+(x^2-x+1)=x^2+2 $ tức là giữa căn thức và biểu thức còn lại có sự liên quan nhất định. Ta khai thác như thế nào?

Viết lại phương trình đã cho thành \begin{align*}
& 5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((x+1)+(x^2-x+1))\\
\Leftrightarrow \;&5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((\sqrt{x+1})^2+(\sqrt{x^2-x+1})^2)
\end{align*} Đặt $ a=\sqrt{x+1} $ và $ b=\sqrt{x^2-x+1} $ thì ta được phương trình $$ 5ab=2a^2+2b^2 $$ Phân tích đa thức thành nhân tử được $$2(a-2b)(a-\frac{1}{2}b)=0$$ Từ đó tìm được $a=2b $ hoặc $a=\frac{1}{2}b. $ Đáp số $ x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8} $$ Hướng dẫn. Đáp số $ x=3\pm\sqrt{13}. $

Ví dụ 3. Giải phương trình: $$2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}$$ Hướng dẫn. Đặt $u=\sqrt{x+1},v=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ thì phương trình trở thành: $$2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)=5uv\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u=2v \\
u=\frac{1}{2}v
\end{array} \right.$$
Tìm được đáp số $x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2\sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4} $$ Hướng dẫn. Khi giải phương trình này, việc đầu tiên là tôi thử bình phương! Được một phương trình bậc 6, thử nhóm các kiểu, loay hoay một lúc mà không được. Tôi quay lại phương trình ban đầu, quan sát biểu thức $ x^6+5x^4+8x^2+4 $ tôi thấy có mũ 6, mũ 4 và mũ 2, toàn là lũy thừa chẵn. Tôi thử tách và thành công \begin{align*}
x^6+5x^4+8x^2+4&=(x^6+x^4)+4(x^4+2x^2+1)\\
&=(x^2+1)(x^4+4x^2+4)
\end{align*} Quan sát biểu thức dưới căn ở vế trái, dễ dàng nhóm thành $ (x^2+1)(x^3+1) $. Do đó, phương trình ban đầu trở thành \[ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2) \] đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ u=x+1,v=x^2-x+1. $

Ví dụ 5. Giải bất phương trình $$2{x^3} \le (1 + 2x – 3{x^2})\sqrt {2x + 1}$$ Hướng dẫn. Đặt $y=\sqrt{2x+1}$ điều kiện $ y\ge 0 $ thì $ {{y}^{2}}=2x+1 $ và do đó, bất phương trình đã cho trở thành: $$
2{{x}^{3}}\le \left( {{y}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)y\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}\le 0\,\,\,(*)
$$ Ta xét hai trường hợp:
- $ y=0 $ tìm được nghiệm $ x=-\frac{1}{2}. $
- $ y>0 $, chia cả hai vế bất phương trình $ (*) $ cho $ y^3 $ được \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {}&{2{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^3} + 3{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} – 1 \le 0}\\
  \Leftrightarrow &{\left( {2\frac{x}{y} – 1} \right){{\left( {\frac{x}{y} + 1} \right)}^2} \le 0}\\
  \Leftrightarrow &{\frac{x}{y} \le \frac{1}{2}}\\
  \Leftrightarrow &{y \ge 2x}
  \end{array}\]Do đó, ta được
  $\sqrt {2x + 1} \ge 2x \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l}
  \left\{ \begin{array}{l}
  x \le 0\\
  2x + 1 \ge 0
  \end{array} \right.\\
  \left\{ \begin{array}{l}
  x > 0\\
  2x + 1 \ge 4{x^2}
  \end{array} \right.
  \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  – \frac{1}{2} \le x \le 0\\
  0 < x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}
  \end{array} \right.$
Kết hợp hai trường hợp, được tập nghiệm là $S=\left[ -\frac{1}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$.

4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích

Đôi khi, phương pháp này còn được gọi là Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn. Chúng tôi sẽ có một bài viết chi tiết hơn về phương pháp này. Mời Quý thầy cô và các em học sinh đón xem.

Ví dụ 1. [HSG 9 Thừa Thiên Huế 2003] Giải phương trình $$ x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1} $$ Hướng dẫn. Đặt $ t=\sqrt{x^2+1} $ thì phương trình trở thành $ t^2-(x+3)t+3x=0 $ là phương trình bậc hai đối với ẩn $ t. $

Ta có $ \Delta=(x-3)^2\ge 0 \; \forall x$ do đó \[ \left[\begin{array}{l}
t=x\\ t=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\sqrt{x^2+1}=x\\ \sqrt{x^2+x}=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\pm 2\sqrt{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1.$$ Hướng dẫn. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn $ t=\sqrt{x^2+2x-1} $ đưa về phương trình bậc hai theo $ t. $

Đáp số $ x=-1\pm \sqrt{6}. $

Cách khác: Các em có thể phân tích trực tiếp phương trình đã cho thành $ (x-1)^2-2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}-2=0 $

Ví dụ 3. [HSG Vĩnh Long 2012] Giải phương trình: $$4\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1+5x+4{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$$ Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ điều kiện $t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ thì phương trình $ (\ref{ap1}) $ trở thành: \begin{align*}
&4t=-{{t}^{4}}+7{{t}^{2}}-5\\
\Leftrightarrow \;&{{t}^{4}}-6{{t}^{2}}+9-\left( {{t}^{2}}-4t+4 \right)=0 \\
\Leftrightarrow \;&{{\left( {{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}-{{\left( t-2 \right)}^{2}}=0\\
\Leftrightarrow \;&\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t-5 \right)=0
\end{align*} Tìm được $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$. Từ đó tìm được hai nghiệm là $ x=\frac{-1-\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$ và $x=\frac{-1+\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$.

5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình $$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\le \frac{6}{5}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u=\sqrt[3]{3x-2} \\
v=\sqrt{6-5x}
\end{array} \right. $ thì chúng ta có $ \left\{ \begin{array}{l}
{{u}^{3}}=3x-2 \\
{{v}^{2}}=6-5x
\end{array} \right.$

Do đó, ta có hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
2u+3v=8 \\
5{{u}^{3}}+3{{v}^{2}}=8 \end{array} \right.$$ Giải hệ này ta được $\left\{ \begin{array}{l} u=-2 \\
v=4 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x-2=-2 \\
6-5x=16 \end{array} \right.\Rightarrow x=-2$.

Thử lại, thấy $x=-2$ là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=-2$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $$2\text{x}+1+x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}+3}=0 $$ Hướng dẫn. Đặt $\begin{cases}
u=\sqrt{{{x}^{2}}+2} \\
v=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}
\end{cases}
$ điều kiện $ u,v>0 $ thì $$
\begin{cases}
{{u}^{2}}={{x}^{2}}+2 \\
{{v}^{2}}={{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
{{v}^{2}}-{{u}^{2}}=2x+1 \\
{{x}^{2}}=\frac{{{v}^{2}}-{{u}^{2}}-1}{2} \\
\end{cases}$$ Thay vào phương trình đã cho được $$(v-u)\left( (v-u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
v-u=0\\
(v+u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2}=0\\
\end{array} \right.$$ Vì $ u,v>0 $ nên suy ra $ u=v. $

Vậy phương trình đã cho tương đương với $$ v=u\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} $$
16/06/2020
Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp
Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.

Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.

Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $\sqrt{A}\pm\sqrt{B}$ là $\sqrt{A}\mp\sqrt{B}$, tức là biến đổi:
$$ \sqrt{A}\pm \sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}$ là $(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2$ $$ \sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}=\frac{A\pm B}{(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2} $$
- Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
- Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.
Xem thêm:
2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3\sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như sau\begin{align*}
& x^3+8-3\sqrt{x+3}+3=0 \\
\Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x+3}+1}=0\\
\Leftrightarrow &(x+2)\left(x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}\right)=0\\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}
x+2=0\\x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}=0 \qquad (*)
\end{array}\right.
\end{align*} Ta có \[\begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 4 \ge 3\\
– \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge – 3\\
\Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge 0.
\end{array}\] Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức nên phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{x+1}~+1=4{{x}^{2}}+\sqrt{3x} $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ x\ge0 $ thì phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
&4{{x}^{2}}-1+\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}=0\\
\Leftrightarrow & (2x+1)(2x-1)+\frac{2x-1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}=0\\
\Leftrightarrow & (2x-1)\left( 2x+1+\frac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}} \right)=0\\
\Leftrightarrow & 2x-1=0\\
\Leftrightarrow & x=\frac{1}{2}
\end{align*} So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=\frac{1}{2}. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+x=\sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge \sqrt[3]{2}$. Đoán được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
&\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = \sqrt {{x^3} – 2} – 5 \\
\Leftrightarrow\;& \left( {x – 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \\
\Leftrightarrow\;& x = 3
\end{align*} Ta có \[\begin{array}{*{20}{c}}{1 + \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} \right)}^2} + 3}}}\\
{}&{ < 2 < \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}}}
\end{array}\] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=3. $

Ví dụ 4. Giải phương trình $$ \sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4} $$ Hướng dẫn. Nhận xét $\left( 3{{x}^{2}}-5x+1 \right)-\left( 3{{x}^{2}}-3x-3 \right)=-2(x-2)$ và $\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=3(x-2)$ nên ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
&\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}=\sqrt{{{x}^{2}}-2}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}\\
\Leftrightarrow\;& \frac{-2(x-2)}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\\
\Leftrightarrow\;& (x-2)\left[ \frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}} \right]=0
\end{align*} Ta có $ \dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}>0 $ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

Ví dụ 5. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+15}=3x-2 +\sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau \begin{align}
&\sqrt{x^2+15}-4=3x-3+\sqrt{x^2+8}-3 \notag\\
\Leftrightarrow &\frac{x^2+15-16}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2+8-9}{\sqrt{x^2+8}+3}\notag\\
\Leftrightarrow &\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \,\,\,(*)
\end{align} Xét hai trường hợp:
- $ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
- $ x\ne 1 $ thì phương trình $$ (*)\Leftrightarrow\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3$$ Vì $ \sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8} $ nên từ phương trình đã cho, chúng ta suy ra
  \begin{align*} &3x-2=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}\\
  \Leftrightarrow \;& 3x-2>0 \Leftrightarrow x>\frac{2}{3}
  \end{align*} Suy ra $ x+1>0 $ và như vậy $ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3>\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}} $ hay phương trình $(*)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

Ví dụ 6. Giải phương trình\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ -\frac{1}{3}\le x\le 6. $ Đoán được nghiệm $ x=5 $ nên ta tách phương trình đã cho thành:
\[ (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0 \] Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:
\begin{align*}
&\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\\
\Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right)=0
\end{align*} Vì $ -\frac{1}{3}\le x\le 6 $ nên $$ \dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0,$$ do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.

Ví dụ 7. Giải phương trình \[ (x+3)\sqrt{x+4}+(x+9)\sqrt{x+11}=x^2+9x+10 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge -4 $. Dễ dàng đoán được nghiệm $ x=5 $, nên ta tách thành: \[ (x+3)\left(\sqrt{x+4}-3\right)+(x+9)\left(\sqrt{x+11}-4\right)=x^2+2x-35 \] Sau đó, nhân liên hợp được: \begin{align*}
&(x+3)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+4}+3}+(x+9)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\\
\Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7\right)=0
\end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7=0\,\,(*)
$$ Vì điều kiện là $ x\ge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ \frac{1}{\sqrt{x+4}+3} $ và $ \frac{1}{\sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ \frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau:
\begin{align*}
VT(*)&= \frac{x+4}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{x+4}{2}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{x+9}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
&=(x+4)\left(\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{1}{2}\right)+(x+9)\left(\frac{1}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
&<0
\end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

Ví dụ 8. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}=2x-1 $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách PT đã cho thành \[ \left(\sqrt{x^2+8}-3\right)-\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)-2(x-1)=0 \] Sử dụng phương pháp nhân liên hợp được \[ (x-1)\left((x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2\right)=0 \] Nhận xét rằng $ \sqrt{x^2+8}+3>\sqrt{x^2+3}+2 $ nên $$ \frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}<0 $$ Mặt khác, từ phương trình đã cho có $ 2x-1=\sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}>0 \Leftrightarrow x>\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+1>\frac{3}{2} . $ Do đó, $$ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)<0 $$ và dẫn tới \[ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2<0 \] Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

Ví dụ 9. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+5}+\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.

Ví dụ 10. Giải phương trình $$\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$$ Hướng dẫn. Điều kiện xác định của phương trình là $x\ge 1$. Với diều kiện đó, ta có: $(x+2)-(x-1)=3>0$ nên $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}>0$ với $x\ge 1$. Nhân hai vế của phương trình với $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}$ ta được \begin{align*}
&\bigg( (x+2)-(x-1) \bigg)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)\\
\Leftrightarrow\;& \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}\ge 1 \\
{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}} \\
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0\\
{{x}^{2}}+x-1-2\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2\sqrt{x+2}.\sqrt{x-1} \\
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
{{x}^{2}}-x-2=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
x=-1\vee x=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1\vee x=2.
\end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $

Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ \left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}-3} \right)\ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
& 4\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} \right)\ge 4\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1} \right)\\
\Leftrightarrow & 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\\
\Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge 2x+2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\\
\Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4\ge 0\\
\Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l}x\le -2 \\ x\ge 2 \\ \end{array} \right.
\end{align*} Kết hợp với điều kiện $x\ge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+\infty)$.

Nhận xét. Bất phương trình này hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!

Ví dụ 12. Giải bất phương trình $$2x+5>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ 1\le x\le 2. $ Chúng ta có $$ 2x+5=3x+4-(x-1)=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right) $$ nên bất phương trình đã cho tương đương với tương đương với \begin{align*}
& \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right)>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\\
\Leftrightarrow & \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2-x} \text{\quad (vì $ \sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}>0 $)}
\end{align*} Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $

Ví dụ 13. Giải phương trình $$\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$\left( 2{{x}^{2}}+x+9 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)=2\left( x+4 \right)$$ Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ x\ne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được $$\frac{2x+8}{\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4\Rightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$$ Thu được hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + x + 9} – \sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2\\
\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4
\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{8}{7}
\end{array} \right. \] Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = \frac{8}{7}. $

3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.

Bài 1. Giải phương trình $ \sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6 $

Đáp số. $ x=3 $

Bài 2. Giải phương trình $ \sqrt{4x^2 +5x+1}-2\sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $

Đáp số. $ x=\frac{1}{3}. $

Bài 3. Giải phương trình $ \sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2} $

Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4}\right)+\left(\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2}\right)=0, $ rồi nhân liên hợp…
Đáp số. $ x=3 $

Bài 4. Giải phương trình $ \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $

Hướng dẫn. Tách thành $ \left(\sqrt{x-2}-1\right) +\left(\sqrt{4-x}-1\right)-\left(2x^2-5x-3\right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại…
Đáp số. $ x=3 $

Bài 5. Giải phương trình $2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 5-x \right)}=x+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 10-x \right)}$

Đáp số. $ x=1,x=\frac{15+5\sqrt{5} }{2} $

Bài 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

Đáp số. $ x=2 $

Bài 7. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+\sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$

Bài 8. [Đề thi Olympic 30/4 năm 2007] Giải phương trình $2{{x}^{2}}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$

Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$

Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=\left( x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

Bài 11. Giải phương trình $1+\sqrt{x}=4x^{2}+\sqrt{3x-1}$

Đáp số. $x=\frac{1}{2}$

Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{x}=1-\sqrt[3]{3x^2+x-1}+\sqrt[3]{2x+1} $

Đáp số. $ x=1 $

Bài 13. Giải phương trình $ 2\sqrt {{x^2} + 5} = 2\sqrt {x – 1} + {x^2} $

Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2\sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2\sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow 2\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ \frac{2(x+2)}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+x+2\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {x – 1} + 1}} + \left( {x + 2} \right)\left( {1 – \frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} \right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.

Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5} $

Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{{{x}^{2}}+12}-\sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành \begin{align*}
& \sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+\sqrt{{{x}^{2}}+5}-3\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3\left( x-2 \right)+\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \\
& \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 \right)=0\Leftrightarrow x=2
\end{align*} Chứng minh được $\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3<0,\forall x>\frac{5}{3}$.
Đáp số. $ x=2 $

Bài 15. Giải bất phương trình $\frac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$

Đáp số. $ \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$
14/06/2020

Toán 10 – Bài tập công thức lượng giác

Phân dạng Bài tập công thức lượng giác

1. Lý thuyết công thức lượng giác

1.1. Khái niệm các giá trị lượng giác

Sử dụng đường tròn lượng giác, chúng ta có các khái niệm và kết quả sau:

1.2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Bạn cần nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt $ 0,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2},\pi $ như trong bảng sau:

1.3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan cos đối – sin bù – phụ chéo – khác $ \pi $ tan; hơn nhau ở tuổi 90…; hơn kém chẵn $ \pi $ thì sin-cos…

STT	Hai cung	Gọi là hai cung	Công thức	Cách nhớ
1	$\left( -a \right)$ và $a$	Đối nhau	$\cos (-a)=\cos a$ $\sin (-a)=-\sin a$ $\tan (-a)=-\tan a$ $\cot (-a)=-\cot a$	Cos đối
2	$\left( \pi -a \right)$ và$a$	Bù nhau	$\sin (\pi -a)=\sin a$ $\cos(\pi -a)=-\cos a$ $\tan (\pi -a)=-\tan a$ $\cot (\pi -a)=-\cot a$	Sin bù
3	$\left( \frac{\pi }{2}-a \right)$ và $a$	Phụ nhau	$\sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cos a$ $\cos\left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\sin a$ $\tan \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cot a$ $\cot \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\tan a$	Phụ chéo
4	$\left( \pi +a \right)$ và $a$	Sai khác $\pi $	$\tan (\pi +a)=\tan a$ $\cot (\pi +a)=\cot a$ $\sin (\pi +a)=-\sin a$ $\cos(\pi +a)=-\cos a$	Khác $\pi $ tan, cot
5	$\left( \frac{\pi }{2}+a \right)$ và $a$	Hơn $\frac{\pi }{2}$	$\sin \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=\cos a$ $\cos\left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\sin a$ $\tan \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\cot a$ $\cot \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\tan a$	2 cung hơn nhau $\frac{\pi }{2}$ thì sin ( cung lớn) = cos ( cung nhỏ)

Mời thầy cô và các em xem thêm ở bài Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

1.4. Các công thức lượng giác cơ bản

$ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},\tan x\cot x=1 $
$ \sin^2x+\cos^2x=1, 1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, 1+\cot^2x=\dfrac{1}{\sin^2x} $

1.5. Công thức cộng

1.6. Công thức nhân và hạ bậc

1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

2. Các dạng toán và ví dụ điển hình

Ví dụ 1. Biểu diễn các cung có số đo: $ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{13\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3},60^\circ+k120^\circ $ trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 2. Tính $ \tan 300^\circ,\sin(-780^\circ) $

Hướng dẫn.
$ \tan 300^\circ=-\sqrt{3},\sin(-780^\circ)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. $

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức

$ A=5\tan540^\circ+2\cos1170^\circ+4\sin990^\circ-3\cos540^\circ. $
$ B= 3\sin\dfrac{25\pi}{6}-3\tan\dfrac{13\pi}{4}+2\cos\dfrac{14\pi}{3}$
$ C=\dfrac{\sin(-234^\circ)-\cos216^\circ}{\sin144^\circ-\cos216^\circ}\cdot\tan36^\circ $
$ D=\sin(x+\pi)-\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cot(2\pi-x)+\tan(\dfrac{3\pi}{2}-x) $

Hướng dẫn.
$ A=-1, \quad B=-\dfrac{1}{2}, \quad C=1,\quad D=-2\sin x $

Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức

$ \sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x $
$ \sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x $
$ \dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} $
$ \dfrac{1+\cot x}{1-\cot x}=\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} $

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

$ A=(\tan x+\cot x)^2-(\tan x-\cot x)^2 $
$ B=(1-\sin^2x)\cot^2x+1-\cot^2x $
$ C=\tan x+\dfrac{\cos x}{1+\sin x} $
$ D=\dfrac{\cos x\tan x}{\sin^2x}-\cot x\cos x $

Hướng dẫn. $ A=4$, $B=\sin^2x$, $C=\dfrac{1}{\cos x}$, $D=\sin x $

Ví dụ 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào $ x $

$ A=\dfrac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x} $
$ B=\dfrac{(1-\tan^2x)^2}{4\tan^2x} $
$ C=2(\sin^6x+\cos^6x)-3(\sin^4x+\cos^4x) $

Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$

Ví dụ 7. Cho $ \cos\alpha=-\dfrac{3}{5} $ và $ 180^\circ<\alpha<270^\circ. $ Tính $ \sin\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha? $

Hướng dẫn. $ \sin\alpha=-\dfrac{4}{5},\tan\alpha=\dfrac{4}{3},\cot\alpha=\dfrac{3}{4}. $

Ví dụ 8. Cho $ \tan\alpha=\dfrac{3}{4} $ và $ \pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}. $ Tính Tính $ \sin\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha? $

Hướng dẫn. $ \sin\alpha=-\dfrac{3}{5},\cos\alpha=-\dfrac{4}{5},\cot\alpha=\dfrac{4}{3}. $

3. Phân loại bài tập công thức lượng giác

Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một cung (góc)

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc, biết:

a) $\sin \alpha = \frac{2}{3},{\rm{ }}\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $
b) $\cos \alpha = \frac{4}{5},{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $
c) $\cos \alpha = – \frac{5}{7},{\rm{ }} – \pi < \alpha < – \frac{\pi }{2}$
d) $\tan \alpha = \frac{4}{3},{\rm{ }}\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$
e) $\cot \alpha = – \sqrt 3 ,{\rm{ }} – \frac{{3\pi }}{2} < \alpha < – \pi $
f) $\tan \alpha = \frac{7}{3},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2}$

Bài 2. Cho $\tan \alpha = 3$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = \frac{{2\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 3\cos \alpha }}$
b) $B = \frac{{3\sin \alpha – 5\cos \alpha }}{{5{{\sin }^3}\alpha – 4{{\cos }^3}\alpha }}$.

Bài 3. Cho $\cot \alpha = \frac{3}{5}$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }}$
b) $B = \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}$
c) $C = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 12\sin \alpha \cos \alpha + 10{{\cos }^2}\alpha }}{{3{{\sin }^2}\alpha + \sin \alpha \cos \alpha – 2{{\cos }^2}\alpha }}$.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $A = \frac{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha – 2{{\cos }^2}\alpha }}$ biết $\cot \alpha = 3$.
b) $A = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha – 1}}{{ – 2{{\sin }^2}\alpha + 3{{\cos }^2}\alpha }}$ biết $\tan \alpha = \frac{1}{4}$.
c) $C = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha – \tan \alpha }}$ biết $\sin \alpha = \frac{3}{5},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2}$.
d) $D = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\tan \alpha }}$ biết $\sin \alpha = – \frac{4}{5},{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $.
e) $E = \frac{{4\cot \alpha + 3}}{{1 – 5\sin \alpha }}$ biết $\cos \alpha = – \frac{1}{3},{\rm{ }}\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$.
f) $F = \frac{{\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{\cos \alpha – 2\sin \alpha }}$ biết $\tan \alpha = 3$.

Bài 5. Cho $\tan \alpha + \cot \alpha = m$. Hãy tính giá trị các biểu thức lượng giác sau $m$:

a) ${\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha $
b) $\left| {\tan \alpha – \cot \alpha } \right|$
c) ${\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha $

Bài 6. Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = m$. Hãy tính:

a) $\sin \alpha \cos \alpha $
b) $\left| {\sin \alpha – \cos \alpha } \right|$
c) ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha $
d) ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha $ e) ${\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha $

Dùng công thức cộng
Bài 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$, biết $\sin x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $0 < x < \frac{\pi }{2}.$
b) $\tan \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$, biết $\cos x = – \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < x < \pi .$
c) $\cos \left( {a + b} \right),{\rm{ }}\sin \left( {a – b} \right),$ biết $\sin a = \frac{4}{5},{\rm{ }}{0^0} < a < {90^0}$ và $\sin b = \frac{2}{3},{90^0} < a < {180^0}$.

Bài 9.

a) Cho $\sin a = – \frac{{12}}{{13}}$, với $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$. Tính $\tan \left( {\frac{\pi }{3} – a} \right)$.
b) Cho $\sin a = \frac{5}{{13}},{\rm{ }}\cos b = \frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2} < a < \pi ,{\rm{ }}\frac{\pi }{2} < b < \pi $. Tính $\sin \left( {a – b} \right),{\rm{ }}\cos \left( {a + b} \right)$.
c) Cho $\tan a = \frac{1}{2},{\rm{ sin}}b = \frac{3}{5}$ với $0 < b < \frac{\pi }{2}$. Tính $\cot \left( {a – b} \right),{\rm{ tan}}\left( {a + b} \right)$.

Bài 10. Cho $\tan \alpha = – \frac{{15}}{8}$ với $\frac{{3\pi }}{2} < b < 2\pi $.

a) Tính $\sin \alpha ,{\rm{ }}\cos \alpha ,{\rm{ }}\cot \alpha $.
b) Tính $\sin \left( {\alpha – 7\pi } \right),{\rm{ }}\cos \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{3}} \right),{\rm{ }}\cot \left( {\frac{{3\pi }}{4} – \alpha } \right)$.

Bài 11. Cho $\sin \alpha = \frac{8}{{17}},{\rm{ sin}}\beta = \frac{{15}}{{17}},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2},{\rm{ 0}} < \beta < \frac{\pi }{2}.$ Chứng minh $\alpha + \beta = \frac{\pi }{2}$.

Dùng công thức nhân

Bài 12. Tính $\sin 2a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\tan 2a$, biết

a) $\sin a = – 0,6$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.
b) $\sin a = \frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi $.
c) $\cos a = – \frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi $.
d) $\tan a = \frac{4}{3}$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.
e) $\tan a = 2$.
f) $\cos a = \frac{1}{4}$ và $\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi $.
g) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi $.

Bài 13. Cho $\cos a = – \frac{5}{{13}}$ với $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$. Tính giá trị $$\sin 2a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\cot \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right),\sin \left( {{{30}^0} + a} \right)$$

Bài 14. Cho $\sin 2a = \frac{4}{5}{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{4} < a < \frac{\pi }{2}} \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\cos 4a,{\rm{ tan}}\left( {\frac{\pi }{4} – 2a} \right).$

Bài 15. Cho $\sin 2a = – \frac{5}{9}{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos a.$

Bài 16. Cho $\cos 2a = \frac{3}{5}{\rm{ }}\left( {\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi } \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos a,{\rm{ }}\tan a$.

Dạng 2. Rút gọn biểu thức lượng giác:

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau (không dùng máy tính):

a) $A = \sin {170^0}.\cos {80^0} + \cos {10^0}.\sin {80^0}.$
b) $B = \frac{{\cos \left( { – {{288}^0}} \right)\cot {{72}^0}}}{{\tan \left( { – {{162}^0}} \right)\sin {{108}^0}}} – \tan {18^0}$.
c) $C = \frac{{\sin \left( { – {{243}^0}} \right) + \sin {{126}^0}}}{{\sin {{144}^0} – \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}$.
d) $D = \frac{{\left( {\cot {{44}^0} + \tan {{226}^0}} \right).\cos {{406}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} – \cot {72^0}.\cot {18^0}$.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau ( không dùng máy tính ):

a) $A = {\sin ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right) + {\tan ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right).{\tan ^2}\left( {{{270}^0} + x} \right) + \sin \left( {{{90}^0} + x} \right).\cos \left( {x – {{360}^0}} \right)$.
b) $B = \frac{{\cos \left( {x – {{90}^0}} \right)}}{{\sin \left( {{{180}^0} – x} \right)}} + \frac{{\tan \left( {x – {{180}^0}} \right)\cos \left( {x + {{180}^0}} \right)\sin \left( {{{270}^0} + x} \right)}}{{\tan \left( {{{270}^0} + x} \right)}}$.
c) $C = \frac{{\sin {{20}^0}.\sin {{30}^0}.\sin {{40}^0}.\sin {{50}^0}.\sin {{60}^0}.\sin {{70}^0}}}{{\cos {{10}^0}.\cos {{50}^0}}}.$
d) $D = \tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}…..\tan {88^0}.\tan {89^0}.$
e) $E = \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} + …. + \cos \frac{{6\pi }}{7}$.

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x – \pi } \right)$.
b) $B = \cos \left( {\pi – x} \right) + \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$.
c) $C = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$.
d) $D = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) – \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) + \cos \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right) – \sin \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right).$
e) $E = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cos \left( {\pi – x} \right) + \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) + \cos \left( {2\pi – x} \right).$
f) $F = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} – x} \right) – \cos \left( {\frac{{13\pi }}{2} – x} \right) – 3\sin \left( {x – 5\pi } \right) – 2\sin x – \cos x.$

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sin \left( {\pi – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cot \left( {\pi + x} \right).\cot \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$.
b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + \cos \left( {2\pi – x} \right) + \cos \left( {3\pi + x} \right)$.
c) $C = \cot \left( {x – 4\pi } \right)\cos \left( {x – \frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {x + 6\pi } \right) – 2\sin \left( {x – \pi } \right)$.
d) $C = \sin \left( {x + 5\pi } \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cot \left( {4\pi – x} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$.
e) $E = \cot \left( {x + 5\pi } \right).\cos \left( {x – \frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {x + 4\pi } \right) – 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right).$
f) $F = \cos \left( {x + 5\pi } \right) – 2\sin \left( {\frac{{11\pi }}{2} – x} \right) – \sin \left( {\frac{{11\pi }}{2} + x} \right).$

Công thức lượng giác cơ bản
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \left( {1 – {{\sin }^2}a} \right){\cot ^2}a + 1 – {\cot ^2}a.$ b) $B = {\cos ^4}a + {\sin ^2}a.{\cos ^2}a + {\sin ^2}a.$
c) $C = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x}}{{{{\sin }^2}x – {{\tan }^2}x}}$ d) $D = \frac{{{{\left( {\sin a + \cos a} \right)}^2} – 1}}{{\cot a – \sin a.\cos a}}$.
e) $E = \left( {1 + \cot a} \right).{\sin ^3}a + \left( {1 + \tan a} \right).{\cos ^3}a$ f) $F = \frac{{{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x – 1}}{{{{\cot }^2}a}}$.

Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = 1 – {\cos ^2}a + {\cot ^2}a.{\sin ^2}a$.
b) $B = \frac{{2{{\cos }^2}a – 1}}{{\sin a + \cos a}}$.
c) $C = \cot a – \frac{{\cos a}}{{\sin a + 1}}$
d) $D = \frac{{\sin a + 1}}{{\cos a}}.\left[ {1 – {{\left( {\frac{{1 – \sin a}}{{\cos a}}} \right)}^2}} \right].$
e) $E = \sqrt {\left( {1 + \cot a} \right).{{\sin }^2}a + \left( {1 + \tan a} \right).{{\cos }^2}a} $.

Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = 3.{\cos ^2}x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\sin ^2}x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)$
b) $B = \frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$.
c) $C = \frac{{\cot {}^2x – {{\cos }^2}x}}{{\cot {}^2x}} + \frac{{\sin x.\cos x}}{{\cot x}}$
d) $D = \frac{2}{{\tan x – 1}} + \frac{{\cot x + 1}}{{\cot x – 1}}$.
e) $E = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) – 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$ .
f) $F = {\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} – {\left( {\tan x – \cot x} \right)^2}$.
g) $G = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} $ .
h) $H = 2{\cos ^4}x – {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x$.

Công thức cộng, nhân, biến đổi

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\sin \left( { – b} \right)$
b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right) + \frac{1}{2}{\sin ^2}a$
c) $C = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{2} – b} \right) – \sin \left( {a – b} \right)$
d) $D = \cos a.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – a} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right)$.
e) $E = \cos \left( {x + {{17}^0}} \right).\cos \left( {{{13}^0} – x} \right) – \sin \left( {{{17}^0} + x} \right).\sin \left( {{{13}^0} – x} \right)$.
f) $F = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) – \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right)$.

Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}$
b) $B = \frac{{\cot x – \tan x}}{{\cos 2x}}$.
c) $C = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}$
d) $D = \frac{{\sin a.\cos 5a – \sin 5a.\cos 3a}}{{\cos 2a}}$.
e) $H = \sin x\left( {1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x} \right)$.

Bài 10. Rút gọn các biểu thức:

a) $A = \frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}}$
b) $B = \frac{{4{{\sin }^2}a}}{{1 – {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}$
c) $C = \frac{{1 + \cos a – \sin a}}{{1 – \cos a – \sin a}}$
d) $D = \frac{{1 + \sin a – 2{{\sin }^2}\left( {{{45}^0} – \frac{a}{2}} \right)}}{{4\cos \frac{a}{2}}}$.
e) $E = \frac{{\tan 2a}}{{\tan 4a – \tan 2a}}$
f) $F = \frac{{3 – 4\cos 2a + \cos 4a}}{{3 + 4\cos 2a + \cos 4a}}$
g) $G = \sqrt {1 + \sin a} – \sqrt {1 – \sin a} ,{\rm{ }}0 < a < \frac{\pi }{2}$ h) $H = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}$

Bài 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = \sin 8x + 2{\cos ^2}\left( {{{45}^0} + 4x} \right)$
b) $B = \cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)$
c) $C = \cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$
d) $D = \sin 2x – 2\sin \left( {x – {{15}^0}} \right).\cos \left( {x + {{15}^0}} \right)$.
e) $E = {\cos ^2}x + \sin \left( {x + {{30}^0}} \right).\sin \left( {x – {{30}^0}} \right)$

Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = \sin 6x.\cot 3x – \cos 6x$
b) $B = \left( {\cot \frac{x}{3} – \tan \frac{x}{3}} \right).\tan \frac{{2x}}{3}$
c) $C = \frac{{{{\cos }^3}x – \cos 3x}}{{\cos x}} + \frac{{{{\sin }^3}x + \sin 3x}}{{\sin x}}$
d) $D = {\sin ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right)$
e) $E = {\cos ^2}\left( {a – x} \right) + {\cos ^2}x – 2\cos a.\cos x.\cos \left( {a – x} \right)$
f) $F = {\left[ {\tan \left( {{{90}^0} – x} \right) – \cot \left( {{{90}^0} + x} \right)} \right]^2} – {\left[ {\cot \left( {{{180}^0} + x} \right) + \cot \left( {{{270}^0} + x} \right)} \right]^2}$.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi góc $\alpha $ ta có:

a) $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha $
b) $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \sin \alpha $
c) $\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \cot \alpha $
d) $\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \tan \alpha $.

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức:

a) ${\tan ^2}\alpha – {\sin ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha .{\sin ^2}\alpha $
b) $\tan \alpha + \frac{{\cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha }} = \frac{1}{{\cos \alpha }}$
c) $\frac{{{{\sin }^3}\alpha + {{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} = 1 – \sin \alpha .\cos \alpha $
d) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha – 1}}{{\tan \alpha + 1}}$
e) ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha – {\sin ^6}\alpha – {\cos ^6}\alpha = {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $
f) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha – {{\cos }^6}\alpha } \right) + 1 = 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$
g) ${\sin ^3}\alpha \left( {1 + \cot \alpha } \right) + {\cos ^3}\alpha \left( {1 + \tan \alpha } \right) = \sin \alpha + \cos \alpha $

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{{1 + {{\cos }^2}\alpha }}{{1 – {{\sin }^2}\alpha }} – \tan \alpha .\cot \alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ b)$\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha – 1}}{{1 – \cos \alpha }} = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha + 1}}$
c) $\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha – \sin \alpha }} = \frac{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}{{1 – {{\cot }^2}\alpha }}$
d) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }} – \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha – 1}} = \sin \alpha + \cos \alpha $.

Sử dụng công thức cộng, nhân
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau

a) $\cos x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \frac{1}{4}\cos 3x$
b) $\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{1 + \cos 2x + \cos x}} = \tan x$
c) $\sin 5x – 2\sin x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \sin x$
d) $\frac{{1 + \cos x – \sin x}}{{1 – \cos x – \sin x}} = – \cot \frac{x}{2}$
e) $\frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}.\frac{{\cos x}}{{1 + \cos x}} = \tan \frac{x}{2}$
f) $\frac{{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}}{{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}} = {\tan ^4}x$

Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a – b} \right) = {\sin ^2}a – {\sin ^2}b$
b) $\frac{{4\tan x\left( {1 – {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}^2}}} = \sin 4x$
c) $\frac{{2\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)}} = \tan a + \tan b$
d) $\frac{{1 + {{\tan }^4}x}}{{{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x}} = {\tan ^2}x$
e) $\sin 2x – \sin 4x + \sin 6x = 4\sin x.\cos 2x.\cos 3x$
f) $\tan 3x – \tan 2x – \tan x = \tan x.\tan 2x.\tan 3x$
g) $\frac{{\cos x.\sin \left( {x – 3} \right) – \sin x.\cos \left( {x – 3} \right)}}{{\cos \left( {3 – \frac{\pi }{6}} \right) – \frac{1}{2}\sin 3}} = – \frac{{2\tan 3}}{{\sqrt 3 }}$

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

a) $\sin \left( {A + B} \right) = \sin C$
b) $\cos \left( {A + B} \right) = – \cos C$
c) $\sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{C}{2}$
d) $\cos \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{C}{2}$
e) $\tan \frac{{A + B – C}}{2} = \cot C$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B$
b) $\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}.\cos \frac{B}{2}$
c) $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A.\sin B.\sin C$
d) $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $\cos B.\cos C – \sin B.\sin C + \cos A = 0$.
b) $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}$.
c) $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = – 1 – 4\cos A.\cos B.\cos C$.
d) $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2} = 1$

09/06/2020

Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm
Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

Từ định lí về dấu tam thức bậc hai chúng ta có thể giải được các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 (bất phương trình bậc hai) luôn dương, luôn âm với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$, tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực $x$, tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm… Đây là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt chương trình Đại số và Giải tích ở cấp THPT.

Nếu bài viết hữu ích, bạn hãy tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Để hiểu về các dạng toán tìm điều kiện để phương trình luôn đúng, vô nghiệm… chúng ta cần thành thạo các dạng bài Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai.

✅Xem thêm ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10

1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2 +bx+c $, tìm điều kiện của tham số $m$ để $ f(x) >0$ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{R}$.

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:
- Khi $ a=0 $, ta kiểm tra xem lúc đó $ f(x) $ như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
- Khi $ a\ne 0 $, thì $f(x)$ là một tam thức bậc hai, nên $ f(x)>0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ khi và chỉ khi \[\begin{cases}
  a>0\\ \Delta <0
  \end{cases}\]
Tương tự, chúng ta có các bài toán sau:

Bài toán 2. Cho $ f(x)=ax^2 +bx+c $, tìm điều kiện của tham số $m$ để $ f(x) <0$ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{R} $.

Cần xét hai trường hợp:
- Kiểm tra khi $ a=0 $.
- Khi $ a\ne 0 $, thì $ f(x)>0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ tương đương với \[\begin{cases}
  a<0\\ \Delta <0
  \end{cases}\]
Bài toán 3. Cho $ f(x)=ax^2 +bx+c $, tìm điều kiện của tham số $m$ để $ f(x) \ge 0$ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{R} $.

Xét hai trường hợp:
- Khi $ a=0 $, ta kiểm tra xem lúc đó $ f(x) $ như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
- Khi $ a\ne 0 $, thì $ f(x)>0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ tương đương với \[\begin{cases}
  a>0\\ \Delta \le 0
  \end{cases}\]
Bài toán 4. Cho hàm số $ f(x)=ax^2 +bx+c $, tìm điều kiện của tham số $m$ để $ f(x) \le 0$ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{R} $.

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:
- Khi $ a=0 $, ta kiểm tra xem lúc đó $ f(x) $ như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
- Khi $ a\ne 0 $, thì $ f(x)>0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ tương đương với \[\begin{cases}
  a<0\\ \Delta \le 0
  \end{cases}\]
Ví dụ 1. Tìm $m$ để hàm số $f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn. Hàm số $f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi \[\begin{cases}
a=3>0\\ \Delta =-12m-11<0
\end{cases} \] Giải hệ này, từ đó tìm được đáp số $ m<\frac{-11}{12} $.

Ví dụ 2. Tìm $m$ để biểu thức sau luôn dương với mọi $x$ \[f(x)=(m-1) x^{2}+(2 m+1) x+m+1.\]

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. $ m-1=0 \Leftrightarrow m=1 $. Lúc này bất phương trình $f(x)>0$ tương đương với $ 3 x+2>0 \Leftrightarrow x>-\frac{2}{3} $ Rõ ràng tập nghiệm này không đáp ứng được mong muốn của đề bài (đề bài yêu cầu là $f(x)>0$ với mọi $ x\in R $), do đó $ m=1 $ không thỏa mãn yêu cầu.
- Trường hợp 2. $m \neq 1$, khi đó $f(x)>0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ tương đương với $ \begin{array}{l}
  & \left\{\begin{array}{l}
  m-1>0 \\
  \Delta=4 m+5<0
  \end{array}\right. \\
  \Leftrightarrow& \left\{\begin{array}{l}
  m>1 \\
  m<-\frac{5}{4}
  \end{array}\right.
  \end{array} $ Rất tiếc hệ này cũng vô nghiệm.
Tóm lại, không tìm được giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2. Tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm

Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng (nghiệm đúng) với mọi $x$ thuộc $ \mathbb{R}$ thì ta làm như phần trên. Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm thì ta sử dụng các lập luận sau
- Bất phương trình $ f(x)>0 $ vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) \le 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
- Bất phương trình $ f(x)<0 $ vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
- Bất phương trình $ f(x)\ge 0 $ vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) < 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
- Bất phương trình $ f(x)\le 0 $ vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) > 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
Đây chính là 4 bài toán đã xét ở phần trước. Sau đây chúng ta sử dụng các kết quả trên để giải quyết một số bài tập.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình \[ (m-1){{{x}}^{2}}+2(m-1)x+1\ge 0 \] nghiệm đúng với $ \forall x\in \mathbb{R} $.

Hướng dẫn. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì cũng chính là \[f(x)\ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R},\] trong đó $f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2(m-1)x+1$. Do đó, chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. Khi $m=1$, bất phương trình trở thành \[0x^2+0x+1\ge 0\] Rõ ràng bất phương trình này luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Nên giá trị $m=1$ thỏa mãn yêu cầu.
- Trường hợp 2. Khi $ m\ne 1 $, thì $f(x)$ là tam thức bậc hai nên $f(x) \ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi
  \begin{align}
  &\begin{cases}
  m-1>0 \\
  {{(m-1)}^{2}}-(m-1)\le 0 \\
  \end{cases}\\
  \Leftrightarrow & \begin{cases}
  m>1 \\
  {{m}^{2}}-3m+2\le 0 \\
  \end{cases}\\
  \Leftrightarrow & \begin{cases}
  m>1 \\
  1\le m\le 2 \\
  \end{cases} \Leftrightarrow 1<m\le 2
  \end{align}
Kết luận. Kết hợp cả 2 trường hợp, chúng ta có đáp số $ m\in \left[ 1;2 \right] $.

Ví dụ 2. Cho hàm số $f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2mx-3$ trong đó $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để bất phương trình $f(x)>0$ vô nghiệm.

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:
- Khi $ m=1 $, bất phương trình $f(x)>0$ trở thành \[ 2x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}. \] Suy ra $m=1$ không thỏa mãn yêu cầu.
- Khi $ m\ne 1 $ thì $f(x)$ là tam thức bậc hai. Yêu cầu bài toán tương đương với \[f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\]
  Điều kiện cần và đủ là \[ \left\{ \begin{align}
  & m-1<0 \\
  & \Delta’={{m}^{2}}+3(m-1)\le 0 \\
  \end{align} \right. \]Giải hệ bất phương trình trên, tìm được đáp số $ m\in \left[ \frac{-3-\sqrt{21}}{2};\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right]. $
Ví dụ 3. Cho $f(x)=(m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1$, với $m$ là tham số.
1. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $f(x)=0$ nhận $ x=-2 $ làm nghiệm.
2. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $ y=\sqrt{f(x)} $ được xác định với mọi giá trị của $ x\in \mathbb{R} $.
Hướng dẫn.

1. Phương trình $f(x)=0$ nhận $x=-2$ làm nghiệm khi và chỉ khi $f(-2)=0$. Điều này tương đương với
\[ (m-2){{(-2)}^{2}}-2(2-m)(-2)+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \] Vậy $ m=\frac{1}{2} $ là giá trị cần tìm.

2. Hàm số $ y=\sqrt{f(x)} $ được xác định với mọi giá trị của $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi: \[f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow (m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,(1) \] Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $ m-2=0\Leftrightarrow m=2 $ thì (1) có dạng $3\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (luôn đúng)
- Trường hợp 2: $ m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2 $. Lúc đó (1) xảy ra khi và chỉ khi: \begin{align}
  &\left\{ \begin{array}{l}
  m \ne 2\\
  \Delta’ \le 0\\
  m – 2 > 0
  \end{array} \right.\\
  \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
  m > 2\\
  {(2 – m)^2} – (m – 2)(2m – 1) \le 0
  \end{array} \right.\\
  \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
  m > 2\\
  (2 – m)(m + 1) \le 0
  \end{array} \right.\\
  \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
  m > 2\\
  \left[ \begin{array}{l}
  m \le – 1\\
  m \ge 2
  \end{array} \right.
  \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2
  \end{align}
Kết luận: Vậy các số thực $ m\ge 2 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài giảng về bất phương trình bậc 2

Chi tiết về các dạng toán trên, mời các bạn xem trong video sau:

https://youtu.be/7Kl3U3qa5HY
05/04/2020
Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn
Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn

Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:
- Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai
- Lý thuyết và bài tập dấu nhị thức bậc nhất
1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình

$$\sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
{x^2} – 3x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 0\, \vee \,x = 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 2. Giải phương trình

\[\sqrt {25 – {x^2}} = x – 1\]

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
25 – {x^2} = {(x – 1)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
2{x^2} – 2x – 24 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 4\, \vee \,x = – 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 4
\end{array}\] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.

Ví dụ 3. Giải phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x\]

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\\
\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
2{x^2} – 5x – 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 3 \vee \,x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
{x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 1
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 5x + 4} = \sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
{x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) \ge 0\\
3{x^2} – 2x – 8 = 0
\end{array} \right. & \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ge 4
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{-8}{6}$.

Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 \ge \sqrt {2\left( {{x^2} – 1} \right)} $$

Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
{x^2} – 2x – 3 \le 0\\
{x^2} – 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
– 1 \le x \le 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le – 1\\
x \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right.
\end{array}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;3} \right] \cup \left\{ { – 1} \right\}$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < \sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x – 5 < 0\\
– {x^2} + 4x – 3 \ge 0
\end{array} \right. & \left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x – 5 \ge 0\\
{\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3
\end{array} \right. & \left( 2 \right)
\end{array} \right.$$
- Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$\left\{ \begin{array}{l}
  x < \frac{5}{2}\\
  1 \le x \le 3
  \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < \frac{5}{2}$$
- Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$\begin{array}{l}
  \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
  x \ge \frac{5}{2}\\
  5{x^2} – 24x + 28 < 0
  \end{array} \right.\\
  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
  x \ge \frac{5}{2}\\
  2 < x < \frac{{14}}{5}
  \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le x < \frac{{14}}{4}
  \end{array}$$
Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = \left[ {1;\frac{{14}}{5}} \right)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$\sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} = \sqrt {1 – 2x} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 4} = \sqrt {1 – 2x} + \sqrt {1 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x + 4 = 1 – x + 2\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x \ge – \frac{1}{2}\\
(1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\
x = 0 \vee x = – \frac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} $$

Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align} & 3x+1\ge 0 \\ & 2x-1\ge 0 \\ & 6-x\ge 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \frac{1}{2}\le x\le 6 \right.$

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} \\
\Leftrightarrow \,\,\,\sqrt {3x + 1} = \sqrt {6 – x} + \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,\,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,\,2x – 4 = 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,x – 2 = \sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,{x^2} – 4x + 4 = – 2{x^2} + 13x – 6\,\,\,(x \ge 2)\\
\Leftrightarrow \,\,3{x^2} – 17x + 10 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = \frac{2}{3}\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10. Giải bất phương trình $$2\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{9-2x}\ge \frac{3}{2}$$

Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x-3\ge 0 \\ & 9-2x\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 3\le x\le \frac{9}{2}$

Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,2\sqrt {x – 3} \ge \frac{1}{2}\sqrt {9 – 2x} + \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 4\left( {x – 3} \right) \ge \frac{1}{4}\left( {9 – 2x} \right) + \frac{9}{4} + \frac{3}{2}\sqrt {9 – 2x} \\
\Leftrightarrow 16x – 48 \ge 18 – 2x + 6\sqrt {9 – 2x} \\
\Leftrightarrow 9x – 33 \ge 3\sqrt {9 – 2x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
18x – 64 \ge 0\\
{\left( {9x – 33} \right)^2} \ge 9\left( {9 – 2x} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{32}}{9}\\
81{x^2} – 576x + 1008 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{32}}{9}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le \frac{{28}}{9}\\
x \ge 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 4
\end{array}\]

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 4;\,\frac{9}{2} \right]$.

Xem các ví dụ khác nữa tại đây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn
05/04/2020

Category: Toán 10

Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

1. Lý thuyết biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

2. Các ví dụ Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

Tập hợp và các phép toán tập hợp

1. Khái niệm tập hợp

Các xác định một tập hợp, cách cho tập hợp

Tập con của một tập hợp

2. Các phép toán trên tập hợp

Toán 10 – Mệnh đề toán học

1. Khái niệm mệnh đề

2. Mệnh đề phủ định

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương

Phương pháp chứng minh phản chứng

3. Mệnh đề chứa biến

Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ Phương pháp đặt ẩn phụ giải PT, bất phương trình chứa căn

1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ

2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới

3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất

4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích

5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

Phân dạng Bài tập công thức lượng giác

1. Lý thuyết công thức lượng giác

1.1. Khái niệm các giá trị lượng giác

1.2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

1.3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

1.4. Các công thức lượng giác cơ bản

1.5. Công thức cộng

1.6. Công thức nhân và hạ bậc

1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

2. Các dạng toán và ví dụ điển hình

3. Phân loại bài tập công thức lượng giác

Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một cung (góc)

Dạng 2. Rút gọn biểu thức lượng giác:

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

2. Tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm

3. Bài giảng về bất phương trình bậc 2

Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn

1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức