0

Bài tập Mệnh đề toán học

Bài tập Mệnh đề toán học

Để làm được các Bài tập Mệnh đề toán học này, các em học sinh cần nắm vững lý thuyết ở bài Mệnh đề toán học.

Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, nếu là mệnh đề thì xét xem nó đúng hay sai?

  • “Số 11 là số nguyên tố.”
  • “Vai trò của Quốc Hội là gì?”
  • “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.”
  • “$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.”
  • “$ \forall n\in \mathbb{N}, n^2+n $ là số chẵn.”
  • “$ \forall n\in \mathbb{N}, 2n^2+1 $ chia hết cho 3.”
  • “Tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhỏ hơn 60$ ^\circ $.”
  • “Tồn tại một hình thang có ba góc tù.”

Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:

  • Mọi hình vuông đều là hình thoi.
  • Có một tam giác cân không là tam giác đều.
  • Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3.
  • $ \forall x\in \mathbb{R}, f(x)>0 \Rightarrow f(x)\leqslant 0$ vô nghiệm.
  • Phương trình $ x^2+1=0 $ vô nghiệm và phương trình $ x+3=0 $ có nghiệm.

Bài 3.  Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

  • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2+1>0 $,
  • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2-3x+2=0$,
  • $ \exists n\in \mathbb{N}, n^2+2 $ chia hết cho 4,
  • $ \exists n\in \mathbb{Q}, 2n+1\ne 0$,
  • $ x\leqslant 0 $ hoặc $ x>1$,
  • $ 1<x<3. $

Bài 4. Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$. Xét mệnh đề: “Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $”. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Nêu một điều kiện cần và đủ để phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $.

Bài 5. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”.

  • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.
  • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
  • Nếu một số tự nhiên tận cùng là 5 thì số đó chia hết cho 5.

Bài 6. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”.

  • Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
  • Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
  • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

Bài 7. Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng. Biết rằng cuốn bọc bìa màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì.

Hướng dẫn. Lập bảng dữ kiện. Đáp số: Văn màu xanh, Toán màu đỏ, Địa lí màu vàng.

Bài 8. Trong một bảng đấu loại bóng đá có bốn đội Mùa Xuân, Mùa Hạ, Mùa Thu và Mùa Đông. Người ta đưa ra 3 dự đoán:

  • Đội Mùa Xuân nhì, đội Mùa Hạ nhất.
  • Đội Mùa Hạ nhì, đội Mùa Đông ba.
  • Đội Mùa Thu nhì, đội Mùa Đông tư.

Kết quả cả ba dự đoán đều có một ý đúng, một ý sai. Hãy xác định thứ tự của mỗi đội.

Bài 9. Có ba nhà triết gia Hy-Lạp cổ, sau một cuộc tranh luận căng thẳng và cũng vì trời hè nóng nực nên đã nằm ngủ dưới gốc cây trong vườn của Viện Hàn lâm. Có mấy thợ thông lò đi qua tinh nghịch đã bôi nhọ lên trán cả ba triết gia. Khi ba nhà thông thái tỉnh dậy, họ nhìn nhau và cùng phá lên cười. Ai cũng yên chí rằng chỉ có hai người kia bị nhọ và họ cười nhau, còn mình thì cười họ. Thế nhưng, trong khoảnh khắc, một triết gia không cười nữa vì ông ta suy đoán ra trên trán ông ta cũng bị nhọ. Vậy nhà thông thái đó suy luận như thế nào?

Bài 10. Đến một ngôi đền cổ có ba vị thần: Thần Thật Thà luôn nói thật, thần Dối Trá luôn nói dối và thần Khôn Ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Để biết cách tiêu diệt rồng lửa cứu công chúa, hoàng tử phải hỏi vị thần Thật Thà. Nhưng ba vị thần trông giống hệt nhau. Để xác định vị nào là thần Thật Thà, chàng đã hỏi vị thần bên trái:

– Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Thật Thà.

Hoàng tử hỏi thần ngồi giữa: – Ngài là ai? Ta là thần Khôn Ngoan.

Sau cùng chàng hỏi thần bên phải: Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Dối Trá.

Nghe xong, hoàng tử bối rối không xác định được đâu là thần Thật Thà. Bạn hãy giúp hoàng tử!

Bài 11. [Câu đố của Einstein] Vào cuối thế kỉ 19, Einstein ra câu đố này và nói rằng chỉ có nhiều nhất là 2% dân số trên thế giới giải được. Bạn có muốn vào con số ít ỏi thế không? Nếu giải được thì chỉ số IQ của bạn không dưới 140 đâu nhé.

câu đố của einstein

Có 5 ngôi nhà, mỗi nhà có một màu khác nhau. Trong mỗi nhà ở một người có quốc tịch khác nhau. Mỗi người chỉ thích một loại nước uống, hút thuốc một hãng và nuôi một con vật trong nhà. Cả 5 người không cùng thích một loại nước uống, hút thuốc cùng một hãng hay nuôi cùng một con vật trong nhà như người hàng xóm của mình. Câu hỏi: Ai nuôi cá?, biết rằng:

  • Người Anh ở trong nhà màu đỏ.
  • Người Thuỵ Điển nuôi chó.
  • Người Đan Mạch thích uống trà.
  • Ngôi nhà màu xanh lá cây nằm bên trái ngôi nhà màu trắng.
  • Người ở nhà màu xanh lá cây thích uống cà phê.
  • Người hút thuốc hiệu Pall Mall nuôi chim.
  • Người ở nhà màu vàng hút thuốc hiệu Dunhill.
  • Người ở nhà nằm giữa thích uống sữa.
  • Người Na-uy ở nhà đầu tiên.
  • Người hút thuốc hiệu Blends ở cạnh nhà người có nuôi mèo.
  • Người có nuôi ngựa ở cạnh nhà người hút thuốc hiệu Dunhill.
  • Người hút thuốc hiệu Blue Master thích uống bia.
  • Người Đức hút thuốc hiệu Prince.
  • Người Na-uy ở cạnh nhà màu xanh lơ.
  • Người hút thuốc hiệu Blends có người hàng xóm thích uống nước khoáng.

Hướng dẫn. Mời các em xem lời giải tại đây Ai là người nuôi cá? Câu đố của Einstein 98% dân số thế giới không giải được!

Bài 12. [SASMO 2015] Albert, Bernard vừa kết bạn với Cheryl và họ muốn biết ngày sinh nhật của cô. Cheryl đã đưa cho họ một danh sách với 10 ngày là: 15/5, 16/5, 19/5, 17/6, 18/6, 14/7,16/7, 14/8, 15/8 và 17/8.

Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

Cheryl sau đó đã nói riêng với Albert về tháng và Bernard về ngày sinh của mình.

Albert: Bài Tôi không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào nhưng tôi biết Bernard cũng không biết nhiều hơn.

Bernard: Bài Lúc đầu tôi không biết sinh nhật Cheryl nhưng bây giờ thì tôi đã biết.

Albert: Bài Bây giờ tôi cũng biết sinh nhật Cheryl là ngày nào.

Vậy, Cheryl sinh nhật vào ngày nào?

Hướng dẫn. Mời bạn xem lời giải tại đây Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

Bài 13. Một người nông dân phải đưa một con sói, một con dê và một bắp cải qua sông bằng một chiếc thuyền. Tuy nhiên thuyền của anh ta quá nhỏ, do đó, mỗi lần qua sông anh chỉ mang được mỗi một trong ba đồ vật trên đi cùng với anh ta. Hỏi làm thế nào anh nông dân có thể mang tất cả ba đồ vật trên qua sông, biết rằng con sói không thể để lại ở một mình với con dê, còn con dê thì không thể để ở lại một mình với bắp cải.

Bài 14. Trong bốn đồng tiền có ba đồng tiền thật khối lượng như nhau và một đồng tiền giả có khối lượng khác. Làm thế nào để tìm được đồng tiền giả bằng hai lần cân, sử dụng cân có hai đĩa và không có quả cân.

Hướng dẫn. Lần cân thứ nhất, đặt nên mỗi quả cân một đồng tiền…

Bài 15. Có 16 chai rượu trong đó có một chai rượu giả, nhẹ hơn tất cả các chai còn lại. Làm thế nào chỉ ba lần cân xác định được chai nào giả?

Hướng dẫn. Chia 16 chai rượu thành 3 nhóm: 2 nhóm 6 và 1 nhóm 4.

Bài 16. Làm thế nào để lấy được 6 lít nước từ sông về, nếu trong tay chỉ có hai cái thùng, một thùng dung tích 4 lít, một thùng dung tích 9 lít và không thùng nào có vạch chia dung tích?

Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b) $ là trạng thái thùng $ 4 $ lít đang chứa $ a $ lít $ (0\leqslant a \leqslant 4) $ và thùng 9 lít đang chứa $ b $ lít $ (0\leqslant b\leqslant 9). $ Khi đó việc lấy 6 lít nước từ sông về được diễn tả qua các trạng thái sau:

(0,0) ➡️ (0,9)➡️(4,5) ➡️ (0,5) ➡️ (4,1) ➡️ (0,1) ➡️ (1,9) ➡️(4,6)

Bài 17. Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng đó thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 8 lít, nếu chỉ dùng thêm một can 11 lít và một can 6 lít?

Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b,c) $ là trạng thái can 16 lít chứa $ a $ lít xăng, can 11 lít chứa $ b $ lít xăng và can 6 lít chứa $ c $ lít xăng.
Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bằng nhau được diễn tả qua các trạng thái sau:

(16,0,0) ➡️ (10,0,6) ➡️(10,6,0) ➡️ (4,6,6) ➡️ (4,11,1)➡️ (15,0,1)➡️ (15,1,0) ➡️
(9,1,6) ➡️(9,7,0) ➡️(3,7,6)➡️(3,11,2) ➡️(14,0,2) ➡️(14,2,0)➡️(8,2,6)➡️(8,8,0).

Bài 18. Chứng minh rằng nếu $n^2 $ là số chẵn thì $ n $ cũng là số chẵn.

Bài 19. Chứng minh rằng $ \sqrt{2} $ là số vô tỷ.

Bài 20. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố.

Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp phản chứng của Euclide.

Bài 21. Chứng minh rằng nếu $ x^2+y^2=0 $ thì $ x=0 $ và $ y=0. $

Bài 22. Chứng minh các định lí sau:

  1. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ là số lẻ thì $ n $ là số lẻ.
  2. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ chia hết cho 3 thì $ n $ chia hết cho 3.
  3. Nếu $ a,b,c $ là ba cạnh tam giác vuông ($ a $ là cạnh huyền) thì $ b $ hay $ c $ chia hết cho 3.

Hướng dẫn. Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

1. Giả sử ngược lại, $ n $ là số chẵn, thế thì $ n = 2k. $ Suy ra: $ n^2 = 4k^2 $ là số chẵn: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

2. Giả sử ngược lại, $ n $ không chia hết cho 3 tức $ n = 3k\pm 1. $ Khi đó: \[ n^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1 \] Tức là $ n^2 $ cũng không chia hết cho 3. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

3. Giả sử ngược lại, $ b $ và $ c $ không chia hết cho 3, thế thì: $ b = 3m\pm 1 , c = 3n\pm 1.$ Suy ra: \[ b^2 + c^2 = 9(m^2 + n^2 ) \pm 6m \pm 6n + 2 \] Số này chia cho 3 thì dư 2, trong khi:

  • Nếu $ a=3k $ thì $ a^2 $ chia hết cho 3.
  • Nếu $ a=3k\pm 1 $ thì $ a^2=3(3k^2\pm 2k)+1 $ chia cho 3 dư 1.

Do đó $ a^2 $ luôn không có dạng khác $ 3k + 2 $, nên mệnh đề: $ a^2 = b^2 + c^2 $ là sai. Dẫn tới điều giả sử là sai, tức là mệnh đề đã cho là đúng.

Bài 23. Có 50 đôi tất giống hệt nhau, nhưng bị xếp lộn xộn ở trong tủ. Hỏi phải lấy ít nhất mấy chiếc tất để được một đôi?

Bài 24. Trên đường tròn có bán kính là 100 m, lấy 630 điểm tùy ý. Chứng minh rằng có ít nhất hai điểm cách nhau không đến 1 m.

Hướng dẫn. Giả sử không có hai điểm nào cách nhau dưới 1 m , tức mọi cặp điểm đều cách nhau 1 m trở lên. Vì độ dài cung luôn lớn hơn độ dài dây cung, nên chu vi đường tròn sẽ lớn hơn tổng độ dài của 630 dây cung, mỗi dây cung đều dài từ 1 m trở lên. Do đó chu vi đường tròn sẽ lớn hơn 630 m. Nhưng đường tròn có bán kính là 100 m, nên chu vi phải là $ 2\pi R = 200\cdot3,1415.< 630$m: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức mệnh đề đã cho là đúng.

Bài 25. Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 101 điểm. Chứng minh rằng có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường tròn bán kính $ 1/7. $

Hướng dẫn. Chia hình vuông ra làm 25 hình vuông bằng nhau, mỗi cạnh của hình vuông là 0,2. Vì có 101 điểm, mà chỉ có 25 hình vuông, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hình vuông nhỏ chứa ít nhất năm điểm (trong 101 điểm đã cho). Vì hình vuông này nội tiếp trong đường tròn bán kính $ R<1/7 $

hocbaicungcon

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *