Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

Công thức lượng giác lớp 10 là một phần kiến thức quan trọng. Để giải được phương trình lượng giác ở lớp 11 thì học sinh cần nắm vững các kiến thức:

• Cách biểu diễn một góc lượng giác, một cung lượng giác trên đường tròn đơn vị (đường tròn lượng giác).
• Cách tính các giá trị lượng giác của một cung bằng định nghĩa.
• Công thức lượng giác của các góc và cung có liên quan đặc biệt (còn gọi là cung liên kết).
• Các công thức lượng giác bao gồm công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích.

Mời thầy cô và các em học sinh xem thêm

• Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn
• Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

1. Biểu diễn cung và góc lượng giác trên đường tròn lượng giác

Biểu diễn cung và góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Mỗi một góc lượng giác có số đo $\alpha$ khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác sẽ tương ứng với một điểm $M$ duy nhất (xem hình vẽ).

Khi đó, hoành độ của điểm $M$ được gọi là cosin của góc lượng giác $\alpha$, tung độ của điểm $M$ được gọi là sin của góc $\alpha$.

2. Công thức lượng giác cơ bản

• \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\)
• \(1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in { Z }\)
• \(1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}, \alpha \neq k \pi, k \in Z\)
• \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1, \alpha \neq k \frac{\pi}{2}, k \in Z\)

3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Để dễ nhớ, chúng ta có câu “cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tang”

3.1. Giá trị lượng giác của các cung hơn nhau số chẵn lần \(\pi\)

• \(\sin (\alpha\pm k2\pi)=\sin \alpha\)
• \(\cos (\alpha\pm k2\pi)=\cos \alpha\)
• \(\tan (\alpha\pm k2\pi)=\tan \alpha\)
• \(\cot (\alpha\pm k2\pi)=\cot \alpha\)

Vì các điểm hơn kém nhau chẵn lần \(\pi\) thì có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác nên các giá trị lượng giác của chúng là như nhau.

3.2. Giá trị lượng giác của các cung đối nhau \(\alpha\) và \(-\alpha\)

• \(\cos (-\alpha)=\cos \alpha\)
• \(\sin (-\alpha)=-\sin \alpha\)
• \(\tan (-\alpha)=-\tan \alpha\)
• \(\cot (-\alpha)=-\cot \alpha\)

3.3. Giá trị lượng giác của các cung bù nhau

Hai cung bù nhau (góc bù nhau) là 2 cung có tổng bằng \(\pi\).

• \(\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha\)
• \(\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha\)
• \(\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha\)
• \(\cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\)

3.4. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém \(\pi\)

• \(\sin (\alpha\pm\pi)=-\sin \alpha\)
• \(\cos (\alpha\pm\pi)=-\cos \alpha\)
• \(\tan (\alpha\pm\pi)=\tan \alpha\)
• \(\cot (\alpha\pm\pi)=\cot \alpha\)

3.5. Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau

Hai cung phụ nhau (góc phụ nhau) là 2 cung có tổng bằng \(\frac{\pi}{2}\).

• \(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha\)
• \(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha\)
• \(\tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha\)
• \(\cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha\)

3.6. Giá trị lượng giác của các cung hơn nhau \(\frac{\pi}{2}\)

Các cung hơn nhau \(\frac{\pi}{2}\) tức là \(\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\) và \(\alpha \).

• \(\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \alpha\)
• \(\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \alpha\)
• \(\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\cot \alpha\)
• \(\cot \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\tan \alpha\)

4. Công thức lượng giác

4.1. Công thức lượng giác công thức cộng

• \(\cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b\)
• \(\cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b\)
• \(\sin (a-b)=\sin a \cos b-\cos a \sin b\)
• \(\sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b\)
• \(\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b}\)
• \(\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \tan b}\)

4.2. Công thức nhân đôi

• \(\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha\)
• \(\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha\)
• \(\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}\)

4.3. Công thức hạ bậc

• \(\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \)
• \(\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \)
• \(\tan ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}\)

4.4. Công thức biến đổi tổng thành tích

• \(\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\)
• \(\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\)
• \(\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\)
• \(\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\)

4.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

• \(\cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]\)
• \(\sin a \sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]\)
• \(\sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]\)