Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

Chúng tôi xin giới thiệu Tài liệu Lý thuyết và Bài tập mệnh đề của thầy Trần Sĩ Tùng để Thầy cô và các em học sinh tham khảo.

I. Tóm tắt kiến thức

1. Mệnh đề

• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề $P$.

• Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ và kí hiệu là $\overline{P}$.
• Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

3. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$.

• Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P ⇒ Q$.
• Mệnh đề $P ⇒ Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q.

Khi đó:

• P là giả thiết, Q là kết luận;
• P là điều kiện đủ để có Q;
• Q là điều kiện cần để có P.

Mời các em xem thêm Điều kiện cần và đủ là gì?

4. Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

5. Mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề P và Q.
• Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.
• Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.
Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

6. Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

7. Kí hiệu ∀ và ∃

• “∀x ∈ X, P(x)”
• “∃x ∈ X, P(x)”
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” là “∃x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” là “∀x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.

8. Phép chứng minh phản chứng

Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B.

• Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
• Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

9. Bổ sung kiến thức về mệnh đề

Cho hai mệnh đề P và Q.

• Mệnh đề “P và Q” được gọi là giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∧ Q.
• Mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là  hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∨ Q.
• Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: $$\overline{P\wedge Q}=\overline{P}\vee \overline{Q}, \overline{P\vee Q}=\overline{P}\wedge \overline{Q}$$

II. Bài tập mệnh đề

Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

a) Số $11$ là số chẵn.
b) Bạn có chăm học không?
c) Huế là một thành phố của Việt Nam.
d) $2x + 3$ là một số nguyên dương.
e) $2-\sqrt{5}<0$.
f) $4 + x = 3$.
g) Hãy trả lời câu hỏi này!.
h) Paris là thủ đô nước Ý.
i) Phương trình ${{x}^{2}}-x+1=0$ có nghiệm.
k) $13$ là một số nguyên tố.

Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

a) Nếu $a$ chia hết cho $9$ thì $a$ chia hết cho $3$.
b) Nếu $a\ge b$ thì ${{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}$.
c) Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $6$.
d) Số $\pi $ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
f) 81 là một số chính phương.
g) $5 > 3$ hoặc $5 < 3$.
h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng ${{60}^{0}}$.
d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.
f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.
g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

a) $\forall x\in R,{{x}^{2}}>0$.
b) $\exists x\in R,x>{{x}^{2}}$
c) $\exists x\in Q,4{{{x}}^{2}}-1=0$.
d) $\forall n\in N,{{n}^{2}}>n$.
e) $\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+1>0$.
f) $\forall x\in \mathbb{R},x^2>9 \Rightarrow x>3$.
g) $\forall x\in R,x>3\Rightarrow {{x}^{2}}>9$.
h) $\forall x\in R,{{x}^{2}}<5\Rightarrow x<\sqrt{5}$
i) $\exists x\in R,5x-3{{x}^{2}}\le 1$
k) $\exists x\in N,{{x}^{2}}+2x+5$ là hợp số.
l) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
m) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)$ là số lẻ.
n) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 6.

Bài 5. Điền vào chỗ trống từ nối “và” hay “hoặc” để được mệnh đề đúng:

a) $\pi <4…\pi >5$.
b) $ab=0$ khi $a=0\,…\,b=0$.
c) $ab\ne 0$ khi $a\ne 0\,…\,b\ne 0$
d) $ab>0$ khi $a>0\,…\,b>0\,…\,a<0\,…\,b<0$.
e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 … cho 3.
f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 … bằng 5.

Bài 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng:

a) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+4=0″$
b) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+6=0″$
c) $P(x):”{{x}^{2}}-3x>0″$
d) $P(x):”\sqrt{x}\ge x”$
e) $P(x):”2x+3\le 7″$
f) $P(x):”{{x}^{2}}+x+1>0″$

Bài 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.
b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
d) Số tự nhiên $n$ có ước số bằng $1$ và bằng $n$.

Bài 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) $\forall x\in R:{{x}^{2}}>0$ .
b) $\exists x\in R:x>{{x}^{2}}$.
c) $\exists x\in Q:4{{x}^{2}}-1=0$.
d) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x+7>0$.
e) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x-2<0$.
f) $\exists x\in R:{{x}^{2}}=3$.
g) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
h) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+2n+5$ là số nguyên tố.
i) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+n$ chia hết cho 2.
k) $\forall n\in N,{{n}^{2}}-1$ là số lẻ.

Bài 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.
b) Nếu $a+b>0$ thì một trong hai số a và b phải dương.
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
d) Nếu $a=b$ thì ${{a}^{2}}={{b}^{2}}$.
e) Nếu $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$.

Bài 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.
e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.

Bài 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”:

a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.
c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
e) Số tự nhiên $n$ là số lẻ khi và chỉ khi ${{n}^{2}}$ là số lẻ.

Bài 12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:

a) Nếu $a+b<2$ thì một trong hai số $a$ và $b$ nhỏ hơn $1$.
b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn ${{60}^{0}}$.
c) Nếu $x\ne -1$ và $y\ne -1$ thì $x+y+xy\ne -1$.
d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn.
e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
g) Nếu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=0$ thì $x = 0$ và $y = 0$.